1.6 第二课时 一元二次方程与不等式的应用(课时作业Word)-【高考领航】2027年高考数学大一轮复习学案

**基本信息** 聚焦一元二次方程与不等式应用，以函数与方程思想为主线，系统整合恒成立、根分布等核心问题的解题方法。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |不等式恒成立|4题|分离参数法、函数最值法|二次函数性质→不等式解集→参数范围| |方程根的分布|5题|函数零点判定、端点值分析|方程根→函数图象→参数限制条件| |综合应用|5题|命题逻辑、集合关系转化|代数推理→数学建模→问题解决|

限时规范训练7　一元二次方程与不等式的应用 (建议用时：60分钟　分值：98分) 1．若关于x的不等式mx2－mx－1<0的解集是R，则实数m的取值范围是(　　) A．{m|－4≤m≤0}　　 B．{m|－4<m≤0} C．{m|0≤m<4} D．{m|－4<m<0} 解析：B　当m＝0时，原不等式为－1<0，符合题意；当m≠0时，要使关于x的不等式mx2－mx－1<0的解集为R，只需解得－4<m<0.综上，－4<m≤0.故选B. 2．关于x的方程x2＋x＋9＝0有两个不相等的实数根x1，x2且x1<1<x2，那么a的取值范围是(　　) A． B． C． D． 解析：D　设f(x)＝x2＋x＋9，则解得－<a<0，即a的取值范围为.故选D. 3．若命题“∀x∈[0，3]，x2－2x－a≤0”为真命题，则实数a的最小值是(　　) A．－1 B．0 C．1 D．3 解析：D　若命题“∀x∈[0，3]，x2－2x－a≤0”为真命题，则∀x∈[0，3]，x2－2x－a≤0恒成立，即a≥(x2－2x)max，令t(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1，x∈[0，1]时，t(x)单调递减；x∈(1，3]时，t(x)单调递增；当x＝3时，t(x)max＝t(3)＝9－6＝3，故a≥3，则实数a的最小值是3.故选D. 4．已知一元二次方程x2－mx＋1＝0的两根都在(0，2)内，则实数m的取值范围是(　　) A． B． C． D． 解析：B　设f(x)＝x2－mx＋1，由题意可得解得2≤m<.因此，实数m的取值范围是.故选B. 5．(多选)若关于x的一元二次方程(x－2)(x－3)＝m有实数根x1，x2，且x1<x2，则下列结论中正确的是(　　) A．当m＝0时，x1＝2，x2＝3 B．m>－ C．当m>0时，2<x1<x2<3 D．二次函数y＝(x－x1)(x－x2)＋m的图象与x轴交点的坐标为(2，0)和(3，0) 解析：ABD　对于A，当m＝0时，(x－2)(x－3)＝0，解得：x1＝2，x2＝3，故A正确；对于B，若关于x的一元二次方程(x－2)(x－3)＝m有两个不等实数根x1，x2，即x2－5x＋6－m＝0，则Δ＝25－4(6－m)＝4m＋1>0，解得：m>－，故B正确；对于C， y＝(x－2)(x－3)图象与y＝m图象交点横坐标即为x1和x2，但不满足2<x1<x2<3，故C错误；对于D，由(x－2)(x－3)＝m展开得：x2－5x＋6－m＝0，由根与系数的关系可得x1＋x2＝5，x1x2＝6－m，所以y＝(x－x1)(x－x2)＋m＝x2－(x1＋x2)x＋x1x2＋m＝x2－5x＋6＝(x－2)(x－3)，故二次函数y＝(x－x1)(x－x2)＋m的图象与x轴交点的坐标为(2，0)和(3，0)，故D正确．故选ABD. 6．(多选)已知函数f(x)＝x2－ax＋4，a∈R，则下列叙述正确的是(　　) A．若对∀x∈R都有f(x)≥0成立，则－4≤a≤4 B．若∃x∈[1，2]使得f(x)≥0有解，则a≤4 C．若∃x1，x2>0且x1≠x2使得f(x1)＝f(x2)＝0，则a>4 D．若f(x)≤0的解集是[1，4]，则a＝5 解析：ACD　对于A，由x2－ax＋4≥0恒成立，得Δ＝a2－16≤0，解得－4≤a≤4，故A正确；对于B，当x∈[1，2]时，f(x)≥0⇔ax≤x2＋4⇔a≤x＋，函数y＝x＋在区间[1，2]上单调递减，当x＝1时，max＝5，由∃x∈[1，2]使得f(x)≥0有解，得a≤5，故B错误；对于C，依题意，方程x2－ax＋4＝0有两个不等的正根，则解得a>4，故C正确；对于D，由x2－ax＋4≤0的解集是[1，4]，得1，4是方程x2－ax＋4＝0的两个根，则a＝5，D正确．故选ACD. 7．(5分)已知函数f(x)＝，a为实数，若对于∀x∈(0，＋∞)，f(x)≥2恒成立，则实数a的取值范围是____________． 解析：由≥2，x>0，得x2＋ax＋6≥2(x＋1)⇒x2＋(a－2)x＋4≥0，x>0.设g(x)＝x2＋(a－2)x＋4，x>0.因为g(0)＝4>0，所以g(x)≥0，x>0⇔Δ≤0或－≤0.由Δ≤0⇒(a－2)2－16≤0⇒－2≤a≤6；由－≤0⇒a≥2.所以实数a的取值范围为[－2，6]∪[2，＋∞)＝[－2，＋∞)． 答案：[－2，＋∞) 8．(5分)已知关于x的不等式x2－(a＋4)x＋2a＋5≥0在(－∞，2)上恒成立，则a的最小值为________． 解析：由不等式x2－(a＋4)x＋2a＋5≥0在(－∞，2)上恒成立， 得(2－x)a≥－x2＋4x－5在(－∞，2)上恒成立， 所以a≥＝－(2－x)－在(－∞，2)上恒成立， 又(2－x)＋＝2，所以－≤－2， 当且仅当2－x＝，即x＝1时，等号成立． 所以a≥－2，故a的最小值为－2. 答案：－2 9．(5分)已知集合A＝{x|x2－7x＋10≤0}，B＝{x|x2－(2－m)x＋5－m≤0}，若B⊆A，则实数m的取值范围为__________． 解析：由x2－7x＋10≤0解得2≤x≤5， 所以A＝{x|2≤x≤5}，要使B⊆A，则存在以下两种情况． (1)若B＝∅，即方程x2－(2－m)x＋5－m＝0无实数根，则Δ<0，解得－4<m<4. (2)若B≠∅，设方程x2－(2－m)x＋5－m＝0的两根为x1，x2， 设f(x)＝x2－(2－m)x＋5－m，画出函数图象，如图，分析可知， 方程x2－(2－m)x＋5－m＝0的两根x1，x2都在[2，5]上， 故应满足 解得－5≤m≤－4. 综上所述，实数m的取值范围为{m|－5≤m≤4}． 答案：{m|－5≤m≤4} 10．(13分)关于x的方程x2＋(m－3)x＋m＝0满足下列条件，求实数m的取值范围． (1)有两个正根； (2)一个根大于1，一个根小于1； (3)一个根在(－2，0)内，另一个根在(0，4)内； (4)一个根小于2，一个根大于4. 解：(1)令f(x)＝x2＋(m－3)x＋m，设f(x)＝0的两个根为x1，x2， 则满足解得0<m≤1，所以实数m的取值范围为(0，1]. (2)若方程x2＋(m－3)x＋m＝0的一个根大于1，一个根小于1， 则满足f(1)＝2m－2<0，解得m<1， 所以实数m的取值范围为(－∞，1)． (3)若方程x2＋(m－3)x＋m＝0一个根在(－2，0)内，另一个根在(0，4)内， 则满足解得－<m<0， 所以实数m的取值范围为. (4)若方程x2＋(m－3)x＋m＝0的一个根小于2，一个根大于4， 则满足解得m<－， 所以实数m的取值范围为. 11．(13分)设二次函数y＝x2＋mx. (1)若对任意实数x∈[1，2]，y>0恒成立，求实数m的取值范围； (2)若存在x0∈[－4，0)，使得函数值y0≤－4成立，求实数m的取值范围． 解：(1)对任意实数x∈[1，2]，y>0恒成立， 即x∈[1，2]，x2＋mx>0⇒mx>－x2⇒m>－x恒成立， 即可得m>(－x)max，所以m>－1，实数m的取值范围为(－1，＋∞)． (2)存在x0∈[－4，0)，使得y0≤－4成立，即＋4≤－mx0， 只需(－x0)＋≤m成立，即需min≤m成立， 因为－x0∈(0，4]，所以－x0＋≥ 2＝4，当且仅当x0＝－2时等号成立， 则min＝4≤m，所以m≥4， 综上，实数m的取值范围是[4，＋∞)． 12．方程4x2＋(m－2)x＋m－5＝0的一根在区间(－1，0)内，另一根在区间(0，2)内，则m的取值范围是(　　) A．　　　　　　　 B． C．∪(5，＋∞) D． 解析：B　因为方程4x2＋(m－2)x＋m－5＝0的一根在区间(－1，0)内，另一根在区间(0，2)内，所以函数f(x)＝4x2＋(m－2)x＋m－5的两个零点一个在区间(－1，0)内，另一个在区间(0，2)内，则 解得－<m<5，所以m的取值范围是.故选B. 13．(5分)(2025·山东日照模拟)若存在实数m，使得对于任意的x∈[a，b]，不等式m2＋sin x cos x≤m恒成立，则当b－a取得最大值时，＝________． 解析：因为m2＋sin x cos x≤2sin ·m恒成立，即m2－2sin ·m＋sin x cos x≤0恒成立，若存在实数m，使得上式成立，则Δ＝4sin2－4sinx cos x＝2－2cos －2sin 2x＝2－2sin 2x－2sin 2x＝2－4sin 2x≥0，可得sin 2x≤，可得2kπ－≤2x≤2kπ＋，k∈Z，解得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，由题意知，[a，b]⊆[，kπ＋]，k∈Z，则当b－a取得最大值时，a＝kπ－，b＝kπ＋，k∈Z，则a＋b＝－＋2kπ，k∈Z，此时＝＝，k∈Z. 答案： 14．(15分)已知m∈R，命题p：∃x∈R，x2＋4mx＋1<0成立．命题q：∀x∈{x|－1≤x≤2}，不等式m2－m≥x2－2x－1恒成立． (1)若p为真命题，求实数m的取值范围； (2)若命题p，q一真一假，求实数m的取值范围． 解：(1)若p为真命题，则Δ＝16m2－4>0，解得m<－或m>. 所以实数m的取值范围为{x或m>}． (2)当x∈{x|－1≤x≤2}时，x2－2x－1＝(x－1)2－2∈{x|－2≤x≤2}， 若q为真命题，则m2－m≥2，解得m≤－1或m≥2， 当p真，q假时，则可得－1<m<－或<m<2； 当p假，q真时，则可得m∈∅， 综上，实数m的取值范围是{x或<m<2}． 学科网（北京）股份有限公司 $