1.5 基本不等式的综合应用(课时作业Word)-【高考领航】2027年高考数学大一轮复习学案

**基本信息** 聚焦基本不等式的综合应用，以恒成立问题、最值计算、实际应用为载体，系统训练配凑、常数代换、换元等方法，强化“正定等”条件的逻辑推理与数学建模能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |恒成立与参数范围|第1-3、5、12题|恒成立转化为最值问题，分离参数法|从基本不等式定义到“最值-参数”逻辑链，强化推理意识| |最值计算|第4、7、8、9、13题|配凑法（拆添项）、换元法（x+1=t）|应用条件“正定等”的递进，培养运算能力与几何直观| |实际应用|第11、14题|数学建模（利润=收入-成本）|从实际问题抽象数量关系，发展模型观念与应用意识| |综合应用|第6、10题|常数代换（“1”的妙用）、综合不等式证明|融合等式与不等式，提升数学语言表达与创新意识|

限时规范训练5　基本不等式的综合应用 (建议用时：60分钟　分值：98分) 1．对于任意0<x<4，m>恒成立，则(　　) A．m>　　　　　 B．m> C．m> D．m> 解析：D　对于任意0<x<4，m>恒成立，则m>max，而，当且仅当x＝1时取等号，所以m>.故选D. 2．已知a>0，b>0，＝1，若不等式2a＋b≥m恒成立，则m的最大值为(　　) A．2＋ B．3＋ C．3＋2 D．5 解析：C　由不等式2a＋b≥m恒成立可知，只需m小于等于2a＋b的最小值．由a>0，b>0，＝1，可得2a＋b＝(2a＋b)＝3＋，当且仅当，即a＝1＋＋1时取等号，所以m≤3＋2，所以m的最大值为3＋2.故选C. 3．已知不等式2x＋m＋>0(x>－1)恒成立，则实数m的取值范围是(　　) A．(－∞，－2) B．(－4，＋∞) C．(－2，＋∞) D．(－∞，－4) 解析：C　不等式2x＋m＋>0(x>－1)恒成立，即m>－，－＝－≤－＝－2，当且仅当2(x＋1)＝，即x＝0时等号成立，故m>－2.故选C. 4．(2025·广东揭阳三模)“物竞天择，适者生存”是大自然环境下选择的结果，森林中某些昆虫会通过向后跳跃的方式来躲避偷袭的天敌．经某生物小组研究表明某类昆虫在水平速度为v(单位：分米/秒)时的跳跃高度H(单位：米)近似满足v2＝的等量关系，则该类昆虫的最大跳跃高度约为(　　) A．0.2米 B．0.25米 C．0.45米 D．0.7米 解析：B　由v2＝可知v2－Hv4＝4H，故H＝，当且仅当v2＝2时，等号成立．于是该类昆虫的最大跳跃高度为0.25米．故选B. 5．(多选)已知x>0，y>0，且2x＋y＝1，若≤x＋2y恒成立，则实数m的可能取值为(　　) A． B． C．3 D． 解析：ABC　由x>0，y>0，得xy>0，≤x＋2y恒成立，即恒成立，又＝(2x＋y)＝5＋＝9，当且仅当x＝y＝时，等号成立，故≤9，即≤0，即解得m<1或m≥.故选ABC. 6．(多选)早在公元前6世纪，毕达哥拉斯学派已经知道算术中项，几何中项以及调和中项，毕达哥拉斯学派哲学家阿契塔在《论音乐》中定义了上述三类中项，其中算术中项，几何中项的定义与今天大致相同．而今我们称为正数a，b的算术平均数，为正数a，b的几何平均数，并把这两者结合的不等式(a>0，b>0)叫做基本不等式．下列与基本不等式有关的命题中正确的是(　　) A．若ab＝1，则a＋b≥2 B．若a>0，b>0，且＝1，则a＋b的最小值为4 C．若a>0，b>0，则≥4 D．若a>0，b>0且a＋b＝4，则的最小值为2 解析：BCD　对于A，若a＝－1，b＝－1，满足ab＝1，则a＋b＝－2<2，故A错误；对于B，若a>b>0，且＝1，则a＋b＝(a＋b)＝2＋＝4，当且仅当a＝b＝2时取等号，故B正确；对于C，因为a>0，b>0，所以a＋＝2，当且仅当a＝，即a＝1时等号成立，同理，b＋＝2，当且仅当b＝，即b＝1时等号成立，由乘法法则知≥2×2＝4，当且仅当a＝b＝1时等号成立，故C正确；对于D，令a＋2＝m>2，b＋2＝n>2，则m＋n＝8，所以＝2，当且仅当m＝n＝4，即a＝b＝2时取等号，即的最小值是2，故D正确．故选BCD. 7．(5分)若∀x>2，不等式x＋≥a恒成立，则实数a的最大值是_________． 解析：因为x>2，所以x－2>0，所以x＋＋2＝6，当且仅当x－2＝，即x＝4时取等号，又不等式x＋≥a恒成立，所以a≤min，即a≤6，所以实数a的最大值为6. 答案：6 8．(5分)现有一家物流公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息：仓库每月土地占地费y1万元与仓库到车站的距离x千米的函数关系近似为y1＝；每月库存货物费y2万元与x的函数关系近似为y2＝x.这家公司应该把仓库建在距离车站_________千米处，才能使两项费用之和最少． 解析：因为y1＝x，所以总费用为y1＋y2＝(x＋1)－，当且仅当(x＋1)时等号成立，解得x＝4或x＝－6(舍)． 答案：4 9．(5分)(2025·湖南株洲模拟)一个矩形的周长为l，面积为S，给出下列实数对：①(1，4)；②(6，8)；③(7，12)；④，其中可作为数对(S，l)的是________(填序号)． 解析：设矩形的长，宽分别为x，y(x，y>0)，则x＋y＝，S＝xy，因为x＋y≥2，当且仅当x＝y时，等号成立，所以，即l2≥16S.将四组实数对逐个代入检验可知，可作为数对(S，l)的为①(1，4)，③(7，12)． 答案：①③ 10．(13分)已知正数x，y满足x＋2y＝1. (1)当x，y取何值时，xy有最大值？ (2)若≥3a恒成立，求实数a的取值范围． 解：(1)因为正数x，y满足x＋2y＝1， 由基本不等式得x＋2y＝1≥2，解得xy≤， 当且仅当x＝2y，即x＝时，等号成立， 故xy的最大值为. (2)要想≥3a恒成立，只需min≥3a， 正数x，y满足x＋2y＝1， 所以＝(x＋2y)＝1＋4＋＝9， 当且仅当，即x＝y＝时，等号成立， 故9≥3a，解得a≤2， 所以实数a的取值范围是(－∞，2]. 11．(13分)某医院为改善医疗技术，2024年初以72万元的价格购进一套医疗设备．已知该套医疗设备每年获得的总收入为40万元，使用x(x∈N*)年后所需要的各种维护费用总计为(2x2＋8x)万元，2024年为第一年． (1)写出该套医疗设备的利润函数f(x)的表达式，并求f(x)的最大值； (2)第几年后，该套医疗设备的年平均利润最大？ 解：(1)f(x)＝40x－(2x2＋8x＋72)＝－2x2＋32x－72，x∈N*， 因为f(x)＝－2(x－8)2＋56，所以当x＝8时，f(x)取最大值56. (2)年平均利润为y＝＝－2＋32≤－2×32＝8，当且仅当x＝，即x＝6时取等号，故第六年后平均利润最大． 12．(2025·吉林延边一模)已知正实数x，y满足x＋y－xy＝0，且不等式x＋y－a>0恒成立，则a的取值范围是(　　) A．(－∞，2) B．(－∞，8) C．(－∞，6) D．(－∞，4) 解析：B　因为正实数x，y满足x＋y－xy＝0，所以，则x＋y＝2(x＋y)＝2≥8，当且仅当x＝y＝4时取等号，因为不等式x＋y－a>0恒成立，所以a<8.故选B. 13．(5分)对一切x，y>0，都有5x＋12≤a(x＋y)，则实数a的最小值是________． 解析：因为x，y>0，所以≤a，所以a≥max，又＝9，当且仅当y时，取等号，所以a≥9，所以实数a的最小值是9. 答案：9 14．(15分)随着我国经济发展、医疗消费需求增长、人们健康观念转变以及人口老龄化进程加快等因素的影响，医疗器械市场近年来持续增长．某市一家医疗器械公司为了进一步增加市场竞争力，计划改进技术生产某产品．已知生产该产品的年固定成本为400万元，最大产能为100台．每生产x台，需另投入成本G(x)万元，且G(x)＝x∈N*，由市场调研知，该产品每台的售价为200万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完． (1)写出年利润W(x)(单位：万元)关于年产量x(单位：台)的函数解析式(利润＝销售收入－成本)； (2)当该产品的年产量为多少时，公司所获年利润最大？最大年利润是多少？ 解：(1)由题意可得W(x)＝ x∈N*，所以W(x)＝ x∈N*. (2)当0<x≤40时，W(x)＝－2x2＋140x－400， 当x＝35时，W(x)取最大值，W(35)＝2050(万元)； 当40<x≤100时，W(x)＝－x－＋1700＝－＋1700≤－2＋1700＝1580，当且仅当x＝60时，等号成立， 因为2050>1580，故当该产品的年产量为35台时，所获年利润最大，最大年利润为2050万元． 学科网（北京）股份有限公司 $