1.4 基本不等式(课时作业Word)-【高考领航】2027年高考数学大一轮复习学案

**基本信息** 聚焦基本不等式的条件判断、变形应用与综合求解，通过典例系统提炼配凑、代换、换元等方法，构建"条件-变形-应用"的逻辑链条，培养运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |条件判断|1题|同号条件分析|从基本不等式成立条件切入，理解"一正二定三相等"核心| |直接应用|2题|公式直接求最值|结合和定积最大、积定和最小，强化公式正向应用| |配凑变形|3题|拆项配凑法|通过构造"x-1"等形式转化为正数，突破变量范围限制| |常数代换|3题|"1"的代换技巧|利用已知等式构建代换式，实现目标式与已知条件关联| |综合应用|5题|换元法、函数转化|结合指数运算、二次函数等，提升复杂情境下模型构建能力|

限时规范训练4　基本不等式 (建议用时：45分钟　分值：72分) 1．给出条件①ab>0，②ab<0，③a>0，b>0，④a<0，b<0，其中能使ab＋≥2成立的条件有(　　) A．1个　　　　　 B．2个 C．3个 D．4个 解析：C　由基本不等式可知，要使ab＋≥2成立，则ab>0，所以a，b同号，所以①③④均可以．故选C. 2．(2025·广东汕头一模)已知a>0，b>0，a＋b＝4，则ab的最大值为(　　) A．1 B．2 C．4 D．不存在 解析：C　由基本不等式得：ab≤2＝4，当且仅当a＝b＝2时取等号，C正确．故选C. 3．(2026·河南濮阳一模)已知x>1，则4x＋的最小值为(　　) A．4 B．6 C．8 D．10 解析：C　由x>1得x－1>0，4x＋＝4(x－1)＋＋4＝8，当且仅当4(x－1)＝，即x＝时，等号成立，故4x＋的最小值为8.故选C. 4．若x<0，则的最大值是(　　) A．2 B．－2 C．4 D．－4 解析：B　因为x<0，所以1－x>0，＋2＝2≤－2＋2＝－2，当且仅当1－x＝，即x＝－1时，等号成立．故选B. 5．(2025·黑龙江佳木斯三模)已知正数x，y满足2x·4y＝4xy，则2x＋y的最小值是(　　) A．2 B．9 C． D．13 解析：C　由2x·4y＝4xy，则2x·22y＝22xy，即x＋2y＝2xy，则＝1，所以2x＋y＝(2x＋y)＝，当且仅当，即x＝y＝时等号成立，所以2x＋y的最小值是.故选C. 6．已知x，y>0，那么的最大值为(　　) A．2 B． C．3 D． 解析：B　由题可知：2＝，由基本不等式可得x＋y≥2，故2＝1＋≤1＋1＝2，当且仅当x＝y时取得最大值，故.故选B. 7．(2025·河南周口二模)已知m>0，n>0，且m＋＝1，则当n＋取得最小值时，＝(　　) A．3－4 B． C．2－2 D．1 解析：A　已知m>0，n>0，且m＋＝1，所以＝mn＋1＋2＋＋3，当且仅当mn＝时，即n＝时，n＋取得最小值，则－4.故选A. 8．(2025·云南昆明模拟)已知x>0，y>0，且x＋y－xy＋8＝0，则xy的最小值为(　　) A．4 B．8 C．16 D．32 解析：C　由题意可知xy＝x＋y＋8≥2＋8，即xy－2－8≥0，令＝t(t>0)，则t2－2t－8≥0，解得t≥4或t≤－2(舍)．即≥4，xy≥16，当且仅当x＝y＝4时，等号成立．故选C. 9．(多选)在下列函数中，最小值是2的函数有(　　) A．f(x)＝x2＋ B．f(x)＝cos x＋ C．f(x)＝ D．f(x)＝3x＋－2 解析：AD　对于A，因为x2＞0，所以由基本不等式可得x2＋≥2，当且仅当x2＝，即x＝1或x＝－1时，等号成立，故A正确；对于B，因为0<x<，所以0＜cos x＜1，由基本不等式可得cos x＋≥2，当且仅当cos x＝，即cos x＝1时，等号成立，但是cos x取不到1，所以等号不能成立，故B错误；对于C，由基本不等式可得f(x)＝≥2，当且仅当，即x2＝－2时，等号成立，显然不可能取到，故C错误；对于D，因为3x＞0，所以由基本不等式可得f(x)＝3x＋－2＝2，当且仅当3x＝，即x＝log32时，等号成立，故D正确．故选AD. 10．(多选)设正数x，y满足2x＋y＝1，则下列选项正确的是(　　) A．2xy的最大值为 B．4x2＋y2的最小值为 C．3x(x＋2y)的最大值为2 D．的最小值为1＋2 解析：ABD　对于A，1＝2x＋y≥2，得2xy≤，当且仅当y＝2x且2x＋y＝1，即x＝时，2xy取得最大值，为，故A正确；对于B，4x2＋y2＝(2x＋y)2－4xy＝1－4xy≥1－2×，当且仅当x＝时，，故B正确；对于C，3x(x＋2y)≤2＝(2x＋y)2＝1，当且仅当3x＝x＋2y，即x＝y＝时，3x(x＋2y)取得最大值，为1，故C错误；对于D，＋1，当且仅当，即x＝－1时，取得最小值，为2＋1，故D正确．故选ABD. 11．(5分)(2025·四川眉山模拟)已知a，b∈R＋，4a＋b＝1，则的最小值是________． 解析：因为a，b∈R＋，4a＋b＝1，故＝(4a＋b)＝5＋＝9，当且仅当，且4a＋b＝1，即a＝时等号成立，即的最小值为9. 答案：9 12．(5分)已知x>0，y>0，且x2＋3xy－2＝0，则2x＋y的最小值是__________． 解析：因为x>0，y>0，x2＋3xy－2＝0，所以y＝，则2x＋y＝2x＋，当且仅当，即x＝时，取等号． 答案： 13．已知x>0，y>0，x＋＝1，则的最小值为(　　) A． B．5 C．2＋2 D．2＋ 解析：C　由题意得x＝1－，且x>0，y>0，所以y>2，所以＋(y－2)－＝2＋(y－2)＋， 当且仅当y－2＝，即y＝2＋时取等号，所以的最小值为2＋2.故选C. 14．(5分)(2025·陕西西安模拟)已知实数a>0，b>2，且，则2a＋b的最小值是________． 解析：因为a>0，b>2，且，所以＝1，所以2a＋b＝[2(a＋1)＋(b－2)]＝4＋4＋ 敲黑板：当两个变量为正实数，有一个代数式的值已知，求另一个代数式的最值问题时，根据任意数乘1数值不变的性质，将已知式和所求式相乘，转化成互为倒数式之和的形式，然后再使用基本不等式求最值，当且仅当，即b－2＝2(a＋1)，即a＝3，b＝10时，等号成立，故2a＋b的最小值是16. 答案：16 学科网（北京）股份有限公司 $