4.3 第二课时 简单的三角恒等变换(教师用书Word)-【高考领航】2027年高考数学大一轮复习学案

该高中数学讲义聚焦三角恒等变换核心考点，涵盖三角函数式化简、求值（给角、给值、给值求角）及综合应用，按“基础方法—分层角度—综合提升”逻辑架构知识，通过考点梳理（如“三看”化简原则）、方法指导（角的转化策略）、真题讲解（2025模考题）、跟踪训练等环节，帮助学生构建解题框架。 资料采用分层突破与方法创新策略，如例5结合函数性质深化变换应用，典例通过换元法利用三角函数有界性解方程，培养数学思维与推理能力。设置基础巩固、能力提升训练，配合即时反馈，助力学生高效突破难点，为教师把控复习节奏提供清晰路径。

第二课时　简单的三角恒等变换 考点一　三角函数式的化简 例1　＝______. 解析：　原式＝cos 2x. 答案：cos 2x 三角函数式的化简要遵循“三看”原则 跟踪训练1　2 ＋ 等于(　　) A．2cos 2　　　　　 B．2sin 2 C．4sin 2＋2cos 2 D．2sin 2＋4cos 2 解析：B　2 ＋ ＝2＋ ＋＝2|sin 2＋cos 2|＋2|cos 2|.因为<2<π，所以cos 2<0，因为sin 2＋cos 2＝ sin <2＋<π，所以sin 2＋cos 2>0，所以原式＝2(sin 2＋cos 2)－2cos 2＝2sin 2.故选B. 考点二　三角函数式的求值 角度1　给角求值 例2　tan 70°·cos 10°等于(　　) A．1 B．2 C．－1 D．－2 解析：C　tan 70°·cos 10°＝·cos 10° ·＝×2sin (20°－30°)＝＝－1.故选C. 给角求值问题的解题策略 观察所给角与特殊角之间的关系，利用和、差、倍角公式等将非特殊角的三角函数值转化为：(1)特殊角的三角函数值；(2)正、负相消的项和特殊角的三角函数值；(3)可约分的项和特殊角的三角函数值等． 角度2　给值(式)求值 例3　(2025·河北秦皇岛三模)已知tan (α－β)＝－，tan ＝，则cos 2α＝(　　) A．－ B． C．－ D． 解析：D　tan ＝，解得tan β＝－，又tan (α－β)＝，解得tan α＝－，所以cos 2α＝cos2α－sin2α＝.故选D. 给值求值问题的解题策略 已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值的解题关键：把“所求角”用“已知角”表示． 角度3　给值求角 例4　已知α，β为锐角，tanα＝，cos (α＋β)＝，则2α＋β的值为(　　) A． B．π C． D． 解析：A　因为α，β为锐角，tan α＝，cos (α＋β)＝－，所以sin α＝，cos α＝，sin (α＋β)＝，α，β∈，α＋β∈，所以2α＋β∈，则sin (2α＋β)＝sin [(α＋β)＋α]＝sin (α＋β)cos α＋cos (α＋β)sin α＝，所以2α＋β＝.故选A． 给值求角问题的解题原则 “给值求角”实质上可转化为“给值求值”，即通过求角的某个三角函数值来求角(注意角的范围)，在选取函数时，遵循以下原则： (1)已知正切函数值，选正切函数． (2)已知正弦、余弦函数值，选正弦或余弦函数，若角的范围是，选正、余弦函数皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦函数；若角的范围为，选正弦函数． 跟踪训练2　(1)若cos α＋cos β＝，cos (α－β)＝－，其中α，β∈(0，π)，则sin α＋sin β＝(　　) A． B． C． D． 解析：A　令sin α＋sin β＝t(t>0)　①，因为cos α＋cos β＝　②，由①2＋②2，得2＋2cos (α－β)＝t2＋，又cos (α－β)＝－，所以t2＝.因为α，β∈(0，π)，所以t＞0，所以t＝.故选A． (2)＝ (　　) A． B．2 C．2＋ D．2－ 解析：D　＝ ＝ ＝ ＝tan 15°＝tan (45°－30°) ＝ .故选D. (3)(苏教必修二P72T3改编)已知tan α＝，tan β＝－，且α，β∈(0，π)，则2α－β＝(　　) A． B．或 C．－ D．或或－ 解析：C　因为tan α＝>0，且α∈(0，π)，所以α∈，2α∈(0，π)．又tan 2α＝>0，所以2α∈.因为tanβ＝－<0，且β∈(0，π)，所以β∈，所以2α－β∈(－π，0)． 又tan (2α－β)＝＝1，所以2α－β＝－.故选C. 考点三　三角恒等变换的综合应用 例5　已知函数f(x)＝sin ωx－ cos ωx(其中ω>0，x∈R)的最小正周期为2π. (1)若tan α＝2 ，求的值； (2)已知f(θ)＝，θ∈，求sin θ的值． 解：(1)f(x)＝sin ωx－ cos ωx＝2(sin ωx－＝2sin ， 因为T＝＝2π，所以ω＝1， 则f(x)＝2sin ， 所以 ＝＝tan ＝. 因为tan α＝2 ，所以原式＝. (2)因为f(θ)＝2sin ＝，所以sin ＝，因为θ∈，所以θ－∈，则cos ＝，所以sin θ＝sin ＝sin cos ＋cos sin . 1．进行三角恒等变换要抓住：变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系；注意公式的逆用和变形使用． 2．形如y＝a sin x＋b cos x化为y＝ sin (x＋φ)，可进一步研究函数的周期性、单调性、最值与对称性等性质． 跟踪训练3　已知函数f(x)＝sin ωx＋ cos ωx的最小正周期为4π. (1)求ω的值； (2)设α，β∈，f＝，f＝，求cos (α＋β)的值． 解：(1)由f(x)＝sin ωx＋ cos ωx＝2sin ，又因为函数f(x)的最小正周期为4π，所以T＝＝4π，解得ω＝. (2)由(1)得f(x)＝2sin ，则f＝2sin α＝，则sin α＝，又因为α，β∈，所以cos α＝，又因为f＝2sin ＝，则cos β＝，所以sin β＝，所以cos (α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝. 人A必修一P225例8与P226T4，T5给出了两组公式： (1)积化和差公式： ①sin αcos β＝[sin (α＋β)＋sin (α－β)]； ②cos αsin β＝[sin (α＋β)－sin (α－β)]； ③cos αcos β＝[cos (α＋β)＋cos (α－β)]； ④sin αsin β＝－[cos (α＋β)－cos (α－β)]. (2)和差化积公式： ①sin θ＋sin φ＝2sin cos ； ②sin θ－sin φ＝2cos sin ； ③cos θ＋cos φ＝2cos cos ； ④cos θ－cos φ＝－2sin sin . 应用上述公式可实现三角函数式的积与和的相互转化． 典例　(1)已知cos α＋cos β＝，sin α－sin β＝－，则tan (α－β)的值为(　　) A．　　　　　　 B．－ C．－ D． 解析：B　由和差化积公式，得cos α＋cos β＝2cos cos ，sin α－sin β＝2cos sin ，两式相除得，tan .所以tan (α－β)＝tan ＝.故选B. (2)已知角α，β满足cos α＝，cos (α＋β)cos β＝，则cos (α＋2β)的值为(　　) A．　　　　　　　 B． C． D． 解析：C　cos α＝，cos (α＋β)cos β＝，由积化和差得cos (α＋β)cos β＝[cos (α＋β＋β)＋cos (α＋β－β)]，即cos (α＋β)cos β＝[cos (α＋2β)＋cos α]，故＝，解得cos (α＋2β)＝.故选C. 尝试训练　(1)＝(　　) A．－ B．－ C． D． 解析：A　＝ ＝－＝－ .故选A． (2)已知sin (α＋β)sin (α－β)＝，sin α＋sin β＝m，则sin α－sin β＝(　　) A． B．－ C． D．－ 解析：C　由sin (α＋β)sin (α－β)＝，可得＝，即sin2α－sin2β＝，又sinα＋sin β＝m，结合平方差公式可得：sin α－sin β＝.故选C. 典例　方程2cos 2x＝cos 4x－1所有正根的和为(　　) A．810π　　　 B．1008π C．1080π D．1800π 解析：C　2cos 2x＝cos 4x－1＝2cos22x－2，令a＝cos2x，b＝则2a(a－b)＝2a2－2，即ab＝1，因为a＝cos 2x，所以a∈[－1，1]，同理b∈[－1，1]，所以a＝1，b＝1或a＝－1，b＝－1，当a＝1，b＝1时，cos 2x＝1，cos ＝1，所以x＝kπ，k∈Z，x＝，k1∈Z，因为1 007＝1×19×53，所以x＝π，19π，53π，1 007π，当a＝－1，b＝－1时，cos 2x＝－1，cos ＝－1，则x＝，k2∈Z，x＝，k3∈Z，令，k2，k3∈Z，得(2k2＋1)(2k3＋1)＝4028，k2，k3∈Z，方程无解，所以方程所有正根的和为π＋19π＋53π＋1007π＝1080π.故选C. 本题解题的关键是通过换元将计算式变简单后，利用三角函数的有界性确定方程的解，与利用三角恒等变换等方法解方程的题目不同，需要在复习过程中多涉猎不同类型的题目，拓展解题思路，锻炼思维能力，以应对新高考对思维能力考查的要求． 学科网（北京）股份有限公司 $