4.1 任意角和弧度制、三角函数的概念(教师用书Word)-【高考领航】2027年高考数学大一轮复习学案

该高中数学高考复习讲义聚焦任意角、弧度制及三角函数概念核心考点，按角的推广、度量到函数定义的逻辑梳理知识，通过课标解读明确考求，结合思考辨析夯实基础，设置三个考点模块（象限角与终边相同角、扇形公式、三角函数定义），每个考点配例题精讲与跟踪训练，形成“梳理-讲解-训练”系统复习链。 讲义突出数学思维与应用意识培养，如扇形面积最值问题转化为二次函数求最值，训练运算推理能力，三角函数定义结合终边上点坐标实例，强化数学抽象与表达。设置基础辨析、中档例题、综合训练分层练习，配合方法总结（如终边角集合应用），帮助学生高效突破难点，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供实用指导。

4．1　任意角和弧度制、三角函数的概念 [课标解读] 1．了解任意角的概念和弧度制的概念．　2.能进行弧度与角度的互化．　3.理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义． 1．角的概念的推广 (1)定义：角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所形成的图形． (2)分类 (3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}． 2．弧度制的定义和有关公式 (1)定义：把长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作1 rad. (2)公式 角α的弧度数公式 |α|＝(弧长用l表示) 角度与弧度的换算 1°＝ rad；1 rad＝()° 弧长公式 弧长l＝|α|r 扇形面积公式 S＝ lr＝|α|r2 3．任意角的三角函数 (1)定义 前提 如图，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y) 定义 正弦 y叫做α的正弦函数，记作sin α，即sin α＝y 余弦 x叫做α的余弦函数，记作cos α，即cos α＝x 正切 叫做α的正切函数，记作tan α，即tan α＝(x≠0) 三角 函数 正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上的点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，将它们统称为三角函数 (2)定义的推广 设P(x，y)是角α终边上异于原点的任一点，它到原点的距离为r(r>0)，那么sin α＝，cos α＝，tan α＝(x≠0)． 常用结论 1．三角函数值在各象限的符号规律：一全正，二正弦，三正切，四余弦．(应用见例4) 2．象限角(应用见例1(2)) 3．轴线角(应用见限时规范训练T9) 1．思考辨析(在括号内打“ √”或“×”) (1)小于90°的角是锐角．(　　) (2)锐角是第一象限角，第一象限角也都是锐角．(　　) (3)角α的三角函数值与其终边上点P的位置无关．(　　) (4)若α为第一象限角，则sin α＋cos α>1.(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)√ 2．(人A必修一P170例1改编)已知α＝－，β与α的终边相同，且β∈，则β＝________. 解析：　因为α＝－＝－2×2π－，β与α的终边相同，且β∈，所以β＝－. 答案：－ 3．(人A必修一P176T10改编)已知某扇形的周长为10，圆心角为2，则该扇形的半径为________，该扇形的面积为__________. 解析：设该扇形的半径为r，则2r＋2r＝10，解得r＝，所以该扇形的面积为×2×2＝. 答案： 4．(人A必修一P180T3改编)若角θ的终边经过点P(－1，m)(m>0)，且sin θ＝m，则m＝______. 解析：因为角θ的终边经过点P(－1，m)(m>0)，所以sin θ＝m，解得m＝1(m＝－1舍去)，所以m＝1. 答案：1 考点一　象限角与终边相同的角 例1　(1)用弧度制表示与2025°角的终边相同的角的集合为(　　) A．{α|α＝＋2kπ，k∈Z} B．{α|α＝＋2kπ，k∈Z} C．{α|α＝－＋2kπ，k∈Z} D．{α|α＝－＋2kπ，k∈Z} 解析：D　2025°用弧度制可表示为12π－，所以与2025°角的终边相同的角构成的集合为{α|α＝－＋2kπ，k∈Z}．故选D. (2)(多选)若α是第二象限角，则(　　) A．－α是第一象限角 B．是第一或第三象限角 C．＋α是第二象限角 D．2α是第三象限角或第四象限角或2α的终边在y轴非正半轴上 解析：BD　因为α是第二象限角，所以可得＋2kπ<α<π＋2kπ，k∈Z.对于A，－π－2kπ<－α<－－2kπ，k∈Z，则－α是第三象限角，故A错误；对于B，可得＋kπ<<＋kπ，k∈Z，当k为偶数时，是第一象限角；当k为奇数时，是第三象限角，故B正确；对于C，2π＋2kπ<＋α<＋2kπ，k∈Z，即2(k＋1)π<＋α<＋2(k＋1)π，k∈Z，所以＋α是第一象限角，故C错误；对于D，π＋4kπ<2α<2π＋4kπ，k∈Z，所以2α的终边位于第三象限或第四象限或y轴非正半轴上，故D正确．故选BD. 1．利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k(k∈Z)赋值来求得所需的角． 2．确定kα，(k∈N*)的终边位置的方法 先写出kα或的范围，然后根据k的可能取值确定kα或的终边所在的位置． 跟踪训练1　(1)(多选)(苏教必修一P176T2，3，5改编)下列说法正确的是(　　) A．第二象限角大于第一象限角 B．与1920°终边相同的角中，最小正角是120° C．22°30′化成弧度是 D．终边落在直线y＝α＝k·180°＋60°，k∈Z} 解析：BCD　对于A，100°是第二象限角，361°是第一象限角，但100°<361°，故A错误；对于B，与1920°终边相同的角为β＝k·360°＋1920°＝(k＋5)·360°＋120°，k∈Z，当k＝－5时，β＝120°，所以与1920°终边相同的角中，最小正角是120°，故B正确；对于C，22°30′化成弧度是22.5×，故C正确；对于D，易得直线y＝ x的倾斜角为60°，当角的终边在第一象限时，α＝60°＋k1·360°，k1∈Z；当角的终边在第三象限时，α＝240°＋k2·360°，k2∈Z.所以角α的集合为{α|α＝k·180°＋60°，k∈Z}，故D正确．故选BCD. (2)若角α的终边落在如图所示的阴影部分内(含边界)，则角α的取值范围是(　　) A． B． C．[，kπ＋](k∈Z) D．[，2kπ＋](k∈Z) 解析：D　依题意，在[0，2π)内阴影部分的边界射线对应的角分别为，终边在阴影部分内对应角的范围是，所以角α的取值范围是[，2kπ＋](k∈Z)．故选D. 考点二　扇形的弧长及面积公式 例2　(1)(人A必修一P175T6改编)砖雕是古建筑雕刻中很重要的一种艺术形式，传统砖雕精致细腻、气韵生动、极富书卷气等特点．图(2)是根据一个砖雕(如图(1))所作的扇环，该扇环可视为将扇形OAB截去同心扇形OCD所得的图形，若∠AOB＝，C，D分别在OA，OB上，AC＝2，的长度＝2π，则该扇环的面积为(　　) 　图(1)　　　　　图(2) A．　　　　　 B． C． D． 解析：A　因为∠AOB＝＝2π，所以OA＝＝3，所以OC＝OA－AC＝3－2＝1，由扇形面积公式可得该扇环的面积S＝(OA2－OC2)＝×(32－12)＝.故选A． (2)已知扇形的周长为20，则该扇形的面积S的最大值为(　　) A．10 B．15 C．20 D．25 解析：D　设扇形圆心角为θ，θ>0，扇形半径为r，r>0，由题有2r＋rθ＝20⇒θ＝－2，则S＝r2＝10r－r2＝－(r－5)2＋25≤25，当r＝5，θ＝2时取等号．故选D. 应用扇形的弧长及面积公式解决问题的方法 (1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度． (2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得到解决． (3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形． 跟踪训练2　(1)已知某扇形折叠扇的面积为200，周长为60，且扇形弧长大于其半径，则该扇形折叠扇的半径和圆心角的大小分别为(　　) A．10，4 B．20，4 C．10，6 D．20，6 解析：A　设该扇形折叠扇的圆心角，弧长，半径，面积分别为α，l，r，S，易得弧长l＝αr，周长等于2r＋l＝(2＋α)r＝60，S＝αr2＝200，两式联立解得或因l＝αr>r，即α>1，故故选A． (2)(2026·天津南开开学考试)已知某扇形的周长为8，则当此扇形的面积最大时，半径为(　　) A．2 B．4 C．0.5 D．0.25 解析：A　设扇形所在圆的半径为r，弧长为l，可得l＝8－2r，所以扇形的面积为S＝(8－2r)r＝－r2＋4r＝－(r－2)2＋4，于是，当r＝2时，扇形的面积最大．故选A． 考点三　三角函数的定义及应用 角度1　利用三角函数的定义求值 例3　已知角α的终边过点M(x，1)(x>0)，且cos α＝x，则tan α＝(　　) A． 　　　　　　　　 B． C． D． 解析：D　设r＝|OM|＝ ，由三角函数的定义得cos α＝x，整理可得x2＋1＝3，因为x>0，所以x＝ ，所以tan α＝.故选D. 利用三角函数的定义，已知角α终边上一点P的坐标，可以求出角α的三角函数值；已知角α的三角函数值和相关条件，可以求出点P的坐标；已知角α的终边所在的直线方程或角α的大小，也可求角α终边上某特定点的坐标． 角度2　三角函数值符号的判断 例4　(1)(人A必修一P185T10改编)已知sin θ·tan θ<0，且cos θ·sin θ<0，则θ为(　　) A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 解析：B　因为sin θ·tan θ<0，所以θ的终边可能在第二、三象限；因为cos θ·sin θ<0，所以θ的终边可能在第二、四象限．要同时满足sin θ· tan θ<0，cos θ·sin θ<0，则θ为第二象限角．故选B. (2)当α为钝角时，＝(　　) A．1 B．0 C．2 D．－2 解析：C　因为α为钝角，所以sin α>0，cos α<0，故＝2.故选C. 在判断三角函数值的符号时，应确定角的终边所在的象限，再结合三角函数值在各象限的符号来确定所求三角函数值的符号．特别要注意不要忽略角的终边在坐标轴上的情况． 跟踪训练3　(1)sin 2cos 3tan 4的值(　　) A．小于0 B．大于0 C．等于0 D．不存在 解析：A　因为<2<3<π<4<，所以sin 2>0，cos 3<0，tan 4>0，所以sin 2cos 3tan 4<0.故选A． (2)在平面直角坐标系中，点P(tan 2026°，sin 2026°)位于第________象限(　　) A．一 B．二 C．三 D．四 解析：D　因为tan 2026°＝tan (5×360°＋226°)＝tan 226°>0，sin 2026°＝sin (5×360°＋226°)＝sin 226°<0，所以P(tan 2026°，sin 2026°)位于第四象限．故选D. 学科网（北京）股份有限公司 $