3.4 导数与函数的最值(教师用书Word)-【高考领航】2027年高考数学大一轮复习学案

该高中数学讲义聚焦导数与函数的最值高考核心考点，涵盖存在条件、求解步骤及常用结论，按求已知函数最值、由最值求参数、生活优化问题三个考点系统架构知识。通过考点梳理、方法指导与真题训练，帮助学生突破分类讨论等难点，体现复习的系统性与针对性。 资料采用分层设计，结合高考改编题与实际应用案例，如通过含参函数分类讨论培养数学思维，用商场利润问题强化数学语言表达现实世界的能力。设置基础巩固到综合应用的分层练习，确保高效突破考点，助力学生提升应考能力，为教师把控复习节奏提供清晰指导。

3.4　导数与函数的最值 [课标解读] 1．理解函数最值与极值的关系．　2.会求闭区间上函数的最大值、最小值．　3.了解最值在现实生活中的应用． 1．函数f(x)在区间[a，b]上有最值的条件： 如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值． 2．求y＝f(x)在区间[a，b]上的最大(小)值的步骤： (1)求函数y＝f(x)在区间(a，b)上的极值； (2)将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． 常用结论 1．若函数在开区间(a，b)内的极值点只有一个，则其极值点为函数的最值点．(应用见例2) 2．若函数在闭区间[a，b]内的最值点不是端点，则其最值点亦为其极值点． 3．求最值时，应注意极值点和所给区间的关系，关系不确定时，需要分类讨论，不可想当然认为极值就是最值．(应用见例1) 1．思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)函数f(x)在区间[a，b]上的最大值和最小值，一定在区间端点处取得．(　　) (2)开区间上的单调连续函数无最值．(　　) (3)在定义域内，若函数有最值与极值，则极大(小)值就是最大(小)值．(　　) (4)若函数在给定区间上有最值，则最大(小)值最多有一个；若有极值，则可有多个．(　　) 答案：(1)×　(2)√　 (3)×　 (4)√ 2．(人A选修二P93探究改编)已知定义在R上的函数f(x)，其导函数f′(x)的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是(　　) A．f(b)>f(a)>f(c) B．函数f(x)在x＝c处取得最大值，在x＝e处取得最小值 C．函数f(x)在x＝c处取得极大值，在x＝e处取得极小值 D．函数f(x)的最小值为f(d) 解析：C　由题图可知，当x≤c时，f′(x)≥0，所以函数f(x)在(－∞，c]上单调递增，又a<b<c，所以f(a)<f(b)<f(c)，故A不正确．因为f′(c)＝0，f′(e)＝0，且当x<c时，f′(x)>0；当c<x<e时，f′(x)<0；当x>e时，f′(x)>0，所以函数f(x)在x＝c处取得极大值，但不一定取得最大值，在x＝e处取得极小值，不一定是最小值，故B不正确，C正确．由题图可知，当d≤x≤e时，f′(x)≤0，所以函数f(x)在[d，e]上单调递减，从而f(d)>f(e)，所以D不正确．故选C. 3．(人A选修二P98T6改编)函数f(x)＝9x在[0，4]上的最小值为__________. 解析：由f(x)＝x3－9x求导得：f′(x)＝x2－9，因为x∈[0，4]，由f′(x)>0可得3<x<4，由f′(x)<0可得0<x<3，故函数f(x)在(0，3)上单调递减，在(3，4)上单调递增，故x＝3时，函数f(x)取得极小值，也是最小值，为－18. 答案：－18 4．(人A选修二P104T8改编)若函数f(x)＝x3－6x2＋9x在区间[1，m]上的最小值为0，则m的取值范围为__________. 解析：由题可知f′(x)＝3x2－12x＋9，令f′(x)＝0，即3x2－12x＋9＝0，解得x＝1或x＝3，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表： x (－∞，1) 1 (1，3) 3 (3，＋∞) f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x) 单调 递增 极大 值4 单调 递减 极小 值0 单调 递增 所以f(x)在区间(1，3)上单调递减，在区间(3，＋∞)上单调递增，又有f(1)＝4，f(3)＝0，故要使f(x)在区间[1，m]上的最小值为0，则m≥3. 答案：[3，＋∞) 考点一　求已知函数的最值 例1　已知函数f(x)＝x2＋(1－2a)x－a ln x(a∈R)，求函数f(x)在[1，2]上的最小值． 解：f′(x)＝2x＋(1－2a)－，其中1≤x≤2，当a≤1时，对任意的x∈[1，2]，f′(x)≥0，f(x)在[1，2]上单调递增， 此时，f(x)min＝f(1)＝2－2a； 当a≥2时，对任意的x∈[1，2]，f′(x)≤0， f(x)在[1，2]上单调递减， 此时，f(x)min＝f(2)＝4＋2(1－2a)－a ln 2＝6－4a－a ln 2； 当1<a<2时，令f′(x)＝0，可得x＝a，列表如下： x [1，a) a (a，2] f′(x) － 0 ＋ f(x) 单调 递减 极小值 单调 递增 所以，函数f(x)在[1，a]上单调递减，在[a，2]上单调递增， 此时，f(x)min＝f(a)＝a2＋a(1－2a)－a ln a＝a－a2－a ln a. 综上所述，f(x)min＝ 1．求函数f(x)在[a，b]上的最值时： (1)若函数在区间[a，b]上单调递增或递减，f(a)与f(b)一个为最大值，一个为最小值． (2)若函数在闭区间[a，b]内有极值，要先求出[a，b]上的极值，与f(a)，f(b)比较，最大的是最大值，最小的是最小值，可列表完成． 2．若所给函数f(x)含参数，则需通过对参数分类讨论，判断函数的单调性，从而得到函数f(x)的最值． 跟踪训练1　已知函数f(x)＝－ln x(a∈R)，求f(x)在上的最大值g(a)． 解：f′(x)＝， 当a≤时，f′(x)≤0，x∈，所以函数f(x)在上单调递减， 此时，g(a)＝f＝2－ae； 当<a<e时，令f′(x)>0，则≤x<a， 令f′(x)<0，则a<x≤e， 所以函数f(x)在上单调递减， 此时，g(a)＝f(a)＝－ln a； 当a≥e时，f′(x)≥0，x∈， 所以函数f(x)在上单调递增，此时， g(a)＝f(e)＝－， 综上所述，g(a)＝ 考点二　由函数的最值求参数 例2　已知x＝是函数f(x)＝x2－11x＋a ln x的极值点． (1)求a的值； (2)若函数f(x)在(1，c)上存在最小值，求c的取值范围． 解：(1)因为f(x)＝x2－11x＋a ln x，所以f′(x)＝2x－11＋(x>0)， 因为x＝是函数f(x)的极值点，所以f′＝3－11＋＝0，解得a＝12， 此时f′(x)＝(x>0)， 所以在上f′(x)>0，在上f′(x)<0，在(4，＋∞)上f′(x)>0， 所以f(x)在上单调递增，在上单调递减，在(4，＋∞)上单调递增，此时x＝为函数的极值点，故所求a的值为12. (2)由(1)知，当a＝12时，f(x)在上单调递增，在上单调递减，在(4，＋∞)上单调递增， 又(1，c)为开区间，故c>4，所以c的取值范围是(4，＋∞)． 已知函数在某区间上的最值求参数的值(或范围)，一般先求导数，利用导数研究函数的单调性及极值点，探索最值点，根据已知最值列方程(不等式)解决问题． 跟踪训练2　(1)当x＝1时，函数f(x)＝a ln x＋取得最大值－2，则a＝(　　) A．－2　　　　　　 B．－4 C．2 D．4 解析：A　由f(x)＝a ln x＋，x>0，可得f′(x)＝，因为当x＝1时，函数f(x)取得最大值－2，所以解得a＝－2，b＝－2，所以f′(x)＝，因此当x∈(0，1)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，当x∈(1，＋∞)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，故当x＝1时函数取得最大值－2，满足题意．故选A． (2)若函数f(x)＝(x－3)ex＋x2－2x＋1在区间(2m－2，3＋m)上存在最值，则m的取值范围是(　　) A．(－∞，－1) B．(2，＋∞) C．(－1，2) D．(－∞，－1)∪(2，＋∞) 解析：C　f′(x)＝(x－2)ex＋x－2＝(x－2)(ex＋1)，则当x>2时，f′(x)>0，当x<2时，f′(x)<0，即f(x)在(－∞，2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，即f(x)在x＝2处取得最值，则有2m－2<2<3＋m，解得－1<m<2.故选C. 考点三　生活中的最优化问题 例3　某商场在“五一”劳动节期间，要对某商品进行调价，已知该商品的每日销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：百元/千克)满足y＝，其中，该商品的成本为1百元/千克． (1)将该商场每日销售该商品所获利润f(x)表示为销售价格x的函数； (2)当每日销售该商品所获利润最大和最小时，销售价格分别是多少？(参考数据：≈12.182，利润结果保留2位小数) 解：(1)由题意：f(x)＝(x－1)·＝＋ex. (2)因为f′(x)＝－＋ex＝. 设g(x)＝ex(x－1)2－e2. 则g′(x)＝ex(x－1)2＋ex·2(x－1)＝ex(x2－1)，因为，所以g′(x)>0. 所以函数f′(x)在上单调递增． 又g＝－e2≈×4.482－7.389<0， g＝－e2≈×12.182－7.389>0， 又g(2)＝e2－e2＝0， 当≤x<2时，g(x)<0，所以f′(x)<0，所以f(x)在上单调递减； 当2<x≤时，g(x)>0，所以f′(x)>0，所以f(x)在上单调递增． 又f＝≈2×7.389＋4.482＝19.26， f(2)＝2e2≈14.78， f＝×7.389＋12.182≈17.11. 所以当销售价格x＝百元/千克时，利润最大；当销售价格x＝2百元/千克时，利润最小． 解决最优化问题，应从以下几个方面入手：(1)设出变量，找出函数关系式，确定定义域；(2)在实际应用问题中，若函数f(x)在定义域内只有一个极值点，则它通常就是最值点． 跟踪训练3　某莲藕种植塘每年的固定成本是3万元，每年最大规模的种植量是15万斤，每种植1斤莲藕，成本增加1元，销售额y(单位：万元)与莲藕种植量x(单位：万斤)满足y＝－x3＋3x2＋x，要使销售利润最大，每年需种植莲藕(　　) A．12万斤 B．10万斤 C．8万斤 D．6万斤 解析：A　设销售利润为g(x)，则g(x)＝－x3＋3x2－3，0<x≤15，所以g′(x)＝－x(x－12)，令g′(x)>0得0<x<12，令g′(x)<0得12<x<15，可知g(x)在(0，12)上单调递增，在(12，15)上单调递减，所以当x＝12时，销售利润最大．故选A． 结论1：三次函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)的图象关于点(，f中心对称． 结论2：已知三次函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)中心对称点的横坐标为x0，两个极值点分别为x1，x2，则f′(x0)＝－(x1－x2)2. 结论3：若y＝f(x)图象关于点(m，n)对称，则y＝f′(x)图象关于轴x＝m对称，点对称函数的导数是轴对称函数，轴对称函数的导数是点对称函数． 典例　已知任意三次函数的图象必存在唯一的对称中心，若函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，且M(x0，f(x0))为曲线y＝f(x)的对称中心，则必有g′(x0)＝0(其中函数g(x)＝f′(x))．若实数m，n满足则m＋n＝(　　) A．－4 B．－3 C．－2 D．－1 解析：A　令f(x)＝x3＋6x2＋13x，则f′(x)＝3x2＋12x＋13，令h(x)＝3x2＋12x＋13，h′(x)＝6x＋12＝0，解得x＝－2，又f(－2)＝(－2)3＋6×(－2)2＋13×(－2)＝－10，所以函数f(x)的图象关于点(－2，－10)成中心对称．因为所以f(m)＋f(n)＝－20，又f′(x)＝3x2＋12x＋13＝3(x＋2)2＋1>0，所以函数f(x)＝x3＋6x2＋13x在R上单调递增，所以m＋n＝2×(－2)＝－4.故选A． 尝试训练　已知函数f(x)＝2x3－3x2＋9x－，则f＋f＋f＋…＋等于(　　) A．2024 B． C．2025 D．2026 解析：B　由f(x)＝2x3－3x2＋9x－，可得f′(x)＝6x2－6x＋9，令g(x)＝6x2－6x＋9，g′(x)＝12x－6.令g′(x)＝12x－6＝0，得x＝，又f＝2×3－3×2＋9×，所以对称中心为，f＋＝1，f＋f＝1，…，f＝1，f＝，f＋f＋f＋…＋＝1012×1＋.故选B. 学科网（北京）股份有限公司 $