培优增分1 函数性质的综合应用(教师用书Word)-【高考领航】2027年高考数学大一轮复习学案

该高中数学讲义聚焦函数性质综合应用高考热点，围绕奇偶性、对称性、周期性及单调性的内在联系构建知识体系，通过命题解读梳理考点要求，结合典例精讲方法规律，设置跟踪训练强化真题应用，形成“考点分析-方法指导-真题训练”的系统复习流程，助力学生突破综合应用难点。 讲义突出抽象函数模型化教学特色，归纳指数、对数等函数对应的抽象表达式，引导学生用数学思维构建逻辑联系，通过分层练习落实核心素养。设计“性质推导-图象应用-综合求值”教学活动，帮助学生高效掌握解题策略，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支持。

培优增分1　函数性质的综合应用 [命题解读] 函数性质的综合应用是历年高考的一个热点内容，经常以客观题形式出现，通过分析函数的性质特点，结合图象研究函数的性质，往往多种性质结合在一起进行考查． 类型一　奇偶性、对称性与周期性 例1　(多选)(2026·福建漳州期中)函数f(x)对∀x∈R，f(x＋2)＝f(4－x)，且f(x＋6)为奇函数，则下列说法错误的是(　　) A．若x∈(0，3]时f(x)＝2x，则f(8)＝4 B．f(x)的周期为6 C．f(x)的图象关于(－6，0)中心对称 D．f(2025)＋f(3)≠0 解析：ABD　对于A，已知f(x＋6)为奇函数，则有f(－x＋6)＝－f(x＋6)，令x＝－2，得：f(8)＝－f(4)，又f(x＋2)＝f(4－x)，令x＝0，得f(4)＝f(2)，因此可得f(8)＝－f(4)＝－f(2)＝－4，故A错误；对于B，已知f(x＋6)为奇函数，则有f(－x＋6)＝－f(x＋6)，又f(x＋2)＝f(4－x)，则有f(x)＝f(6－x)，由此可得f(x)＝－f(x＋6)，即有f(x＋12)＝－f(x＋6)＝－[－f(x)]＝f(x)，因此可得f(x)的周期为12，故B错误；对于C，已知f(x＋6)为奇函数，则有f(－x＋6)＝－f(x＋6)，因此可得函数f(x)的图象关于(6，0)中心对称，又函数f(x)的周期为12，所以f(x)的图象关于(－6，0)中心对称，故C正确；对于D，已知函数f(x)的周期为12，则有f(2025)＝f(168×12＋9)＝f(9)，又f(－x＋6)＝－f(x＋6)，令x＝3，得f(9)＝－f(3)，因此可得f(2025)＝－f(3)，即f(2025)＋f(3)＝0，故D错误．故选ABD. 1．由函数的奇偶性与对称性可求函数的周期，常用于化简求值、比较大小等． 2．注意如下表达式的区别： (1)若函数y＝f(x)为奇函数(或偶函数)，则函数y＝f(x＋a)的图象关于点(－a，0)对称(或关于x＝－a对称)． (2)若f(ax＋b)为偶函数，则函数f(x)的图象关于直线x＝b对称；若f(ax＋b)为奇函数，则函数f(x)的图象关于点(b，0)对称． 跟踪训练1　(多选)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x＋1)＝f(3－x)，当0≤x≤2时，f(x)＝2x＋x－1，则下列结论正确的是(　　) A．f(x)的图象关于直线x＝－2对称 B．f(x)＝f(x＋4) C．当x∈[－2，0]时，f(x)的值域是[－5，0] D．当x∈[10，12]时，f(x)＝212-x－x＋11 解析：ABD　因为f(x＋1)＝f(3－x)，则f(x)关于直线x＝2对称，则f(－x)＝f(x＋4)，因为函数f(x)是定义在R上的偶函数，则f(－x)＝f(x)，则f(x)＝f(x＋4)，故B正确；则f(－x)＝f(x)＝f(x－4)，则f(x)的图象关于直线x＝－2对称，故A正确；对于C，因为函数f(x)是定义在R上的偶函数，则当x∈[－2，0]时，f(x)的值域与x∈[0，2]时的值域相同，当0≤x≤2时，f(x)＝2x＋x－1，显然其为增函数，则f(x)的值域为[f(0)，f(2)]，即[0，5]，故C错误；对于D，当x∈[－2，0]时，－x∈[0，2]，则f(x)＝f(－x)＝2－x－x－1，当x∈[10，12]时，x－12∈[－2，0]，根据f(x)的周期为4，则f(x)＝f(x－12)＝212-x－x＋11，故D正确．故选ABD. 类型二　函数性质的综合应用 例2　(多选)已知函数f(x)的定义域为R，f(2－x)＋f(4＋x)＝0，f(x－1)＝f(5－x)，当x∈[－2，0]时，f(x)单调递增，则(　　) A．f(x)为偶函数 B．f(x)的图象关于点(－1，0)中心对称 C．f<f D． f(k)＝1 解析：AB　对于A，由f(2－x)＋f(4＋x)＝0，得f(6－x)＝－f(x)，由f(x－1)＝f(5－x)，得f(x)＝f(4－x)，所以f(6－x)＝－f(4－x)，则f(6＋x)＝－f(4＋x)，所以f(2＋x)＝－f(x)，则f(4＋x)＝－f(2＋x)＝f(x)，所以f(x)的一个周期为4，由f(x)＝f(4－x)与f(4＋x)＝f(x)，得f(4－x)＝f(4＋x)，即f(－x)＝f(x＋8)＝f(x)，所以f(x)为偶函数，故A正确；由f(2－x)＋f(4＋x)＝0，得f(3－x)＝－f(3＋x)，所以f(x)的图象关于点(3，0)中心对称，又f(－1)＝f(－4＋3)＝f(3)＝0，所以f(x)的图象关于点(－1，0)中心对称，故B正确；因为当x∈[－2，0]时，f(x)单调递增，所以当x∈[2，4]时，f(x) 单调递增，因为f(x)＝f(4－x)，所以f(x)的图象关于直线x＝2对称，所以f(x)在(0，2)上单调递减，所以f＝f＝f>f，故C错误；因为f(1)＋f(5)＝0，又f(5)＝f(4＋1)＝f(1)，所以f(1)＝0，又f(3)＝f(1)＝0，f(2)＋f(4)＝0，所以f(k)＝506×0＋f(1)＝0，故D错误．故选AB. 函数的奇偶性、对称性、周期性和单调性是函数的四大性质，在高考中常常将它们综合在一起命题，解题时，往往需要借助函数的奇偶性、对称性和周期性来确定另一区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性解决相关问题． 跟踪训练2　 (多选)(2025·吉林延边一模)设f(x)是R上的奇函数，且对∀x∈R都有f(2－x)＝f(x)，当x∈[0，1]时，f(x)＝x2，则下列说法正确的是(　　) A．f(x)的最大值是1，最小值是0 B．当3≤x≤4时，f(x)＝－(x－4)2 C．点(1，0)是函数f(x)的对称中心 D．f(x)在区间(3，5)上是增函数 解析：BD　因为f(x)是R上的奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，又对∀x∈R都有f(2－x)＝f(x)，所以f(x)的图象关于直线x＝1对称，因为f(2－x)＝－f(－x)，即f(2＋x)＝－f(x)，所以f(4＋x)＝f(x)，所以f(x)是周期为4的周期函数，又当x∈[0，1]时，f(x)＝x2单调递增，所以f(x)在[－1，0]上单调递增，则f(x)在[－1，1]上单调递增，由f(x)的图象关于直线x＝1对称，得f(x)在[1，3]上单调递减，所以f(x)在[－1，3]上的最大值是f(1)＝1，最小值是f(－1)＝－f(1)＝－1，故A错误；当3≤x≤4时，0≤4－x≤1，则f(x)＝－f(－x)＝－f(4－x)＝－(4－x)2，故B正确；由对∀x∈R都有f(2－x)＝f(x)，得f(x)的图象关于直线x＝1对称，故C错误；由f(x)在[－1，1]上单调递增，且周期为4，则f(x)在区间(3，5)上是增函数，故D正确．故选BD. 抽象函数是指没有给出具体的函数解析式，只给出它的一些特征、性质或一些特殊关系式的函数，其构思新颖，条件隐蔽．抽象函数问题近几年频频出现在高考试题中． 1．解决抽象函数问题的基本策略 (1)赋值法：如根据条件式，令变量分别取0，1，－1，2等特殊数值代入，求出某些函数值． (2)构造具体函数法：如抽象问题图象化，抽象问题模型化． 2．常见的抽象函数模型 (1)对于正比例函数f(x)＝kx(k≠0)，与其对应的抽象函数为f(x±y)＝f(x)±f(y)． (2)对于一次函数f(x)＝kx＋b(k≠0)，与其对应的抽象函数为f(x±y)＝f(x)±f(y)∓b. (3)对于反比例函数f(x)＝，与其对应的抽象函数为f(x＋y)＝. (4)对于二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，与其对应的抽象函数为f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋2axy－c. (5)对于指数函数f(x)＝ax(a＞0，a≠1)，与其对应的抽象函数为f(x＋y)＝f(x)f(y)或f(x－y)＝. (6)对于对数函数f(x)＝logax(a＞0，a≠1)，与其对应的抽象函数为f(xy)＝f(x)＋f(y)或＝f(x)－f(y)． (7)对于正弦函数f(x)＝sin x，与其对应的抽象函数为f(x＋y)f(x－y)＝f2(x)－f2(y)． (8)对于余弦函数f(x)＝cos x，与其对应的抽象函数为f(x)＋f(y)＝2ff或f(x)f(y)＝[f(x＋y)＋f(x－y)]. 典例　(多选)已知函数f(x)，g(x)均为定义在R上的非常值函数，且g(x)为f(x)的导函数．对∀x，y∈R，f(x＋y)＋f(x－y)＝2f(x)f(y)且f(1)＝0，则(　　) A．f(0)＝0 B．f(x)为偶函数 C．g(x)＋g(2024－x)＝0 D．[f(x)]2＋[f(1－x)]2＝2 解析：BC　∀x，y∈R，f(x＋y)＋f(x－y)＝2f(x)f(y)，且f(1)＝0，可以取f(x)＝f(0)＝1，故A错误；令x＝0，得f(y)＋f(－y)＝2f(0)f(y)＝2f(y)，即f(－y)＝f(y)，则f(x)为偶函数，故B正确；令x＝1，得f(1＋y)＋f(1－y)＝2f(1)f(y)＝0，即f(1＋x)＋f(1－x)＝0，求导得f′(1＋x)－f′(1－x)＝0，则g(1＋x)＝g(1－x)，即g(2＋x)＝g(－x)，又f(－x)＝f(x)，求导得f′(－x)＝－f′(x)，即g(－x)＝－g(x)，因此g(2＋x)＝－g(x)，g(4＋x)＝－g(2＋x)＝g(x)，因此g(x)＋g(2024－x)＝g(x)＋g(－x)＝0，C正确；f2(0)＋f2(1)＝1≠2.故D错误．故选BC. 尝试训练　(多选)已知对任意x，y∈R，f(x＋y)＝f(x)f＋ff(y)，且＝1，则(　　) A．f(1)＝0 B．f＝1 C．f(x)的图象关于直线x＝对称 D． f＝1 解析：ACD　令x＝y＝0，则f(0)＝2f(0)f＝2f(0)，则f(0)＝0，令x＝y＝，则f(1)＝2f(0)f＝0，故A正确；对任意x，y∈R，取f(x)＝sin πx，则f＝cos πx，f＝cos πy，满足f(x＋y)＝f(x)f＋ff(y)，则f＝－1，故B错误；令y＝，则f＝f(x)f(0)＋f＝f，所以f(x)的图象关于直线x＝对称，故C正确；令y＝－x，则f(0)＝f(x)f＋ff(－x)＝＝0，由题意f不恒为0，则f(x)＋f(－x)＝0，即f(－x)＝－f(x)，故f(x)为奇函数，又f＝f，则f(x＋1)＝f(－＝f(－x)＝－f(x)，所以f(x＋2)＝－f(x＋1)＝f(x)，则f(x)是以2为周期的函数，而f(2)＝f(0)＝0，则f＋f(1)＋f＋f(2)＝0，所以 f＝506×[＋f(1)＋f＋f(2)]＋f＝1，故D正确．故选ACD. 学科网（北京）股份有限公司 $