1．2 集合间的基本关系讲义--2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

本讲义聚焦集合间的基本关系核心知识点，系统梳理子集、真子集、空集的定义、记法、图示及性质，从概念理解到性质应用再到8类题型精讲，构建递进式学习支架，助力学生形成完整知识脉络。 资料以思维导图可视化知识结构，培养数学眼光的抽象能力，通过Venn图应用、参数求解等题型实例，提升数学思维的推理能力。课后精练与培优拓展分层设计，课中辅助教师高效授课，课后帮助学生查漏补缺，强化知识应用。

1．2 集合间的基本关系 目录 01 思维导图 2 02 知识回顾 3 知识点一．子集 3 知识点二．真子集 3 知识点三．空集 3 03 题型精讲 5 题型 1：求解集合的子集与真子集 5 题型 2：韦恩图的理解与应用 6 题型 3：子集、真子集的个数计算 7 题型 4：由集合包含关系求参数 7 题型 5：集合间包含关系的判定 8 题型 6：集合相等关系的判断 8 题型 7：利用集合相等关系计算 9 题型 8：空集的概念、性质与应用 10 04 课后精练 11 05 培优拓展 14 知识点一．子集 1、Venn图:在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图. 2、子集 定义 一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集 记法与读法 记作 (或)，读作“A包含于B”(或“B包含A”) 图示 结论 (1)反身性:任何一个集合是它本身的子集，即 (2)传递性:对于集合A，B，C，若，且，则 3、一般地，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等，记作.也就是说，若，且，则. 知识点二．真子集 定义 若集合，存在元素，则称集合A是集合B的真子集． 记法与读法 记作AB（或BA），读作“A真包含于B”（或“B真包含A”） 图示 知识点三．空集 定义 一般地，我们把不含任何元素的集合叫做空集 记法 规定 空集是任何集合的子集，即 特性 （1）空集只有一个子集，即它本身，； （2），则∅A 结论：（1）（类比） （2）空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集． （3）若则（类比，则） （4）一般地，一个集合元素若为n个，则其子集数为个，其真子集数为个，特别地，空集的子集个数为1，真子集个数为0． 题型 1：求解集合的子集与真子集 【例1】写出集合的所有子集和真子集． 【方法技巧与总结】 分类讨论是写出所有子集的有效方法，一般按集合中元素个数的多少来划分，遵循由少到多的原则，做到不重不漏． 【变式1-1】（2026·高一·四川达州·阶段检测）已知集合. (1)求集合； (2)写出集合的所有子集. 【变式1-2】（2026·高一·广东江门·阶段检测）已知集合且，且 (1)写出集合的子集，真子集； (2)求集合的子集数，非空真子集数． 【变式1-3】（1）写出集合的子集和真子集． （2）写出集合的所有子集和真子集． （3）写出集合的所有子集和真子集． 题型 2：韦恩图的理解与应用 【例2】（2026·高一·广东佛山·期末）已知集合U=R，则正确表示集合M={-1，0，1}和N={x|x2-x=0}关系的文氏图是（　　） A． B．C． D． 【方法技巧与总结】 Venn是集合的又一种表示方法，使用方便，表达直观，可迅速帮助我们分析问题、解决问题，但它不能作为严密的数学工具使用． 【变式2-1】设集合M={y|y=x2+1}，N={x|y=x2+1}，能正确表示集合M与集合N的关系的Venn图是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2026·高一·辽宁大连·阶段检测）已知全集，则正确表示集合和关系的韦恩（）图是______（填序号）. 题型 3：子集、真子集的个数计算 【例3】满足条件的集合的个数是____ 【方法技巧与总结】 若集合A中有n个元素，则集合A有个子集，有个真子集，有个非空子集，有个非空真子集，该结论可在选择题或填空题中直接使用． 【变式3-1】（2026·高一·四川成都·期中）已知集合，集合，则满足关系的所有集合为__________________ 【变式3-2】（2026·高一·山东德州·阶段检测）集合的全部非空子集的元素和等于_________. 【变式3-3】若集合的所有三元子集的三数之积构成集合，则________ 题型 4：由集合包含关系求参数 【例4】已知集合，． (1)若是的子集，求实数的值； (2)若是的子集，求实数的取值范围． 【方法技巧与总结】 1、求解此类问题通常是借助于数轴，利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，以形定数，同时还要注意验证端点值，做到准确无误，一般含“=”用实心点表示，不含“=”用空心点表示． 2、涉及“A⊆B”或“A⫋B，且B≠⌀”的问题，一定要分A=⌀和A≠⌀两种情况进行讨论，其中A=⌀的情况容易被忽略，应引起足够的重视． 【变式4-1】设集合，. (1)若，求实数a的取值范围； (2)若 ，求实数a的取值范围 【变式4-2】（专题01集合的四类重难点题型（压轴题专项训练）数学苏教版2026·高一必修第一册）设全集，集合，非空集合. (1)若A是B的真子集，求实数a的取值范围； (2)若B是A的子集，求实数a取值范围. 【变式4-3】（2026·高一·云南昆明·阶段检测）设集合，. (1)若集合B中有两个大于0的元素，求实数a的取值范围； (2)若，求实数a的取值范围. 【变式4-4】设集合，已知，求实数a的取值范围． 【变式4-5】（02限时小练2集合间的基本关系高中数学必修第一册�RA）（1）已知集合，．若，求实数的取值范围． （2）若（1）中条件“”改为“”，其他条件不变，求实数的取值范围． 题型 5：集合间包含关系的判定 【例5】（2026·高二·河南南阳·阶段检测）已知集合，集合，则与关系为（     ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 判断两个集合间的关系的关键在于：弄清两个集合的元素的构成，也就是弄清楚集合是由哪些元素组成的．这就需要把较为抽象的集合具体化（如用列举法来表示集合）、形象化（用Venn图，或数形集合表示）． 【变式5-1】（2026·天津红桥·一模）集合，则与的关系为（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】集合 之间的关系是（　　） A．⫋ B．⫋ C．⫋⫋ D．⫋ 【变式5-3】（2026·高一·天津河北·阶段检测）已知集合，集合，则（   ） A． B． C． D．与没有包含关系 题型 6：集合相等关系的判断 【例6】（2026·高一·福建福州·期中）下列四组中，表示相等集合的是（   ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 判断两集合是否相等，关键在于确认它们是否拥有完全相同的元素，即两个集合中的每一个元素都能在另一个集合中找到，且元素的数量也相同。不考虑元素的排列顺序，只关注元素的存在性和数量。若满足这些条件，则两个集合相等。 【变式6-1】（2026·高一·江苏南京·期中）若集合，，则集合，之间的关系表示最准确的为（   ） A． B． C． D．无法确定 【变式6-2】（2026·高一·重庆·阶段检测）已知集合，，则的关系满足（   ） A． B． C． D． 【变式6-3】（2026·高一·河北衡水·阶段检测）下列与集合表示同一集合的是（   ） A． B． C． D． 题型 7：利用集合相等关系计算 【例7】设集合，，且，则________. 【方法技巧与总结】 根据两集合相等求参数，关键在于利用集合相等的定义：两个集合相等当且仅当它们拥有完全相同的元素。这意味着，我们可以通过比较两个集合的元素，建立等式或不等式关系，进而求解参数。求解过程中，需要确保集合中的元素满足相等条件，从而解出参数的值。 【变式7-1】（2026·高一·湖南张家界·阶段检测）若集合A中有三个元素1，，a，集合B中有三个元素0，，b．若集合A与集合B相等，则的值为________． 【变式7-2】，若，则______． 【变式7-3】（2026·高一·上海浦东新·期中）已知集合，，且，则的值为_____. 题型 8：空集的概念、性质与应用 【例8】（2026·高一·上海宝山·期中）已知六个关系式①；②；③；④；⑤；⑥，它们中关系表达正确的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【方法技巧与总结】 空集是特殊的集合，它不包含任何元素。空集具有独特的性质：它是任何集合的子集，包括它自身。空集与任何集合的并集仍是该集合本身，空集与任何集合的交集仍是空集。 【变式8-1】（2026·高一·广东揭阳·阶段检测）若集合，则实数的取值范围是______. 【变式8-2】（2026·高一·北京·期中）下列集合：①；②；③；④；⑤；⑥方程的实数解组成的集合.其中，是空集的所有序号为__________. 【变式8-3】（2026·高一·云南红河·阶段检测）写出下列关系正确的序号______. （1）；（2）；（3）⫋；（4）；（5）；（6）. 【变式8-4】（2026·高一·上海长宁·开学考试）若不等式的解集为，则a的取值集合为______ 【变式8-5】下列各式中正确的是（  ） A． B． C． D． 1．（2026·山东烟台·二模）已知集合，，若，则实数的值为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 2．（2026·贵州六盘水·一模）集合的子集的个数为（   ） A．64 B．16 C．6 D．4 3．已知集合，，则满足B的集合C的个数为（   ） A．4 B．7 C．8 D．15 4．（2026·湖南永州·一模）设集合，且，则实数的取值集合为（    ） A． B． C． D． 5．已知集合，，，则集合的关系是（    ） A． B． C． D． 6．（2026·高一·安徽·期中）下列说法错误的是（   ） A．由1，2，3组成的集合可表示为或 B．空集是集合的子集 C．代数式的值组成的集合是 D．集合与集合是同一个集合 7．（多选题）（2026·高一·云南曲靖·阶段检测）若集合，则（    ） A． B． C． D． 8．（多选题）（2026·高一·辽宁·阶段检测）已知，，则的值可以为（   ） A． B． C． D． 9．（多选题）（2026·高一·云南昭通·期中）已知集合，则（    ） A．若，则 B．若，则有两个子集 C．若中只有一个元素，则 D．不可能为 10．（多选题）（2026·高一·贵州遵义·阶段检测）下列四个命题：其中不正确的命题为（    ） A．是空集 B．若，则 C．集合有两个元素 D．集合是有限集 11．（多选题）（2026·高一·江苏南京·期中）已知为实数，若集合，且，则的值可以是（　　） A． B． C． D． 12．下列命题中正确的有　________　(写出全部正确命题的序号)． ①；②；③；④；⑤；⑥． 13．（2026·高一·福建泉州·期中）已知非空集合，且⫋，则___________ 14．（2026·高三·山东·阶段检测）已知集合，若，则整数a的所有可能取值构成的集合为________ 15．（2026·高一·北京·阶段检测）已知集合，则满足条件的集合的个数为__________． 16．已知集合，，，为实数且． (1)当，时，判断集合，间的关系； (2)若，求实数和的值． 17．（2026·高一·上海·期末）已知集合. (1)若只有一个元素，试求实数的值，并用列举法表示集合； (2)若至少有两个子集，试求实数的取值范围. 18．（2026·高一·上海普陀·期中）已知集合，且满足，求实数可能取的一切值． 19．（2026·高一·安徽安庆·阶段检测）已知集合 (1)若求实数的取值范围. (2)是否存在实数，使得?若存在求出的值；若不存在，请说明理由. 1．若对任意，都有，则称非空集合为“和谐集”，已知集合，则集合的子集中“和谐集”的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．（2026·高三·河北雄安·期中）已知，均为整数，且，，则集合的真子集的个数为（   ） A． B． C． D． 3．（2026·高一·云南曲靖·阶段检测）对于非空集合，其所有元素的几何平均数记为，即若非空数集满足下列两个条件：① ；②，则称为的一个“保均值真子集”，，则集合的“保均值真子集”的个数为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 4．（2026·高一·贵州贵阳·阶段检测）已知集合，则的关系满足（    ） A．⫋ B．⫋⫋ C．⫋⫋ D．⫋⫋ 5．（2026·高一·江苏苏州·阶段检测）若，则下列结论中正确结论的个数为（ ） ①；②；③若，则；④若且，则 A．1 B．2 C．3 D．4 6．（多选题）（2026·高一·湖南长沙·期中）已知 ，且 均不为空集，对于集合 ，我们把集合{}记作 . 例如， ，则有 . 当集合 有 3 个元素，且最大元素不大于 2 时，称集合 为一个集合键. 那么，下列说法中正确的是（    ） A．若，则中有 3 个元素 B．若，则 C．若 ，则是一个集合键 D．集合键共有6个 7．（2026·高一·黑龙江绥化·阶段检测）已知集合，集合，⫋，求k的取值集合. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 1．2 集合间的基本关系 目录 01 思维导图 2 02 知识回顾 3 知识点一．子集 3 知识点二．真子集 3 知识点三．空集 3 03 题型精讲 5 题型 1：求解集合的子集与真子集 5 题型 2：韦恩图的理解与应用 6 题型 3：子集、真子集的个数计算 7 题型 4：由集合包含关系求参数 8 题型 5：集合间包含关系的判定 11 题型 6：集合相等关系的判断 13 题型 7：利用集合相等关系计算 14 题型 8：空集的概念、性质与应用 16 04 课后精练 19 05 培优拓展 27 知识点一．子集 1、Venn图:在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图. 2、子集 定义 一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集 记法与读法 记作 (或)，读作“A包含于B”(或“B包含A”) 图示 结论 (1)反身性:任何一个集合是它本身的子集，即 (2)传递性:对于集合A，B，C，若，且，则 3、一般地，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等，记作.也就是说，若，且，则. 知识点二．真子集 定义 若集合，存在元素，则称集合A是集合B的真子集． 记法与读法 记作AB（或BA），读作“A真包含于B”（或“B真包含A”） 图示 知识点三．空集 定义 一般地，我们把不含任何元素的集合叫做空集 记法 规定 空集是任何集合的子集，即 特性 （1）空集只有一个子集，即它本身，； （2），则∅A 结论：（1）（类比） （2）空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集． （3）若则（类比，则） （4）一般地，一个集合元素若为n个，则其子集数为个，其真子集数为个，特别地，空集的子集个数为1，真子集个数为0． 题型 1：求解集合的子集与真子集 【例1】写出集合的所有子集和真子集． 【解析】由0个元素构成的子集：； 由1个元素构成的子集：{1}，{2}，{3}； 由2个元素构成的子集：{1，2}，{1，3}，{2，3}； 由3个元素构成的子集：{1，2，3}． 因此集合A的所有子集为，{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}，{1，2，3}； 集合A的所有真子集为，{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}. 【方法技巧与总结】 分类讨论是写出所有子集的有效方法，一般按集合中元素个数的多少来划分，遵循由少到多的原则，做到不重不漏． 【变式1-1】（2026·高一·四川达州·阶段检测）已知集合. (1)求集合； (2)写出集合的所有子集. 【解析】（1）当都为正数时，； 当都为负数时，； 当中有一个是正数，另外两个是负数时，； 当中有一个是负数，另外两个是正数时，. 综上所述，. （2）集合的所有子集为： . 【变式1-2】（2026·高一·广东江门·阶段检测）已知集合且，且 (1)写出集合的子集，真子集； (2)求集合的子集数，非空真子集数． 【解析】（1）， 的子集有：，，，，，，，； 的真子集有：，，，，，，． （2）， 有4个元素，的子集数为个， 的非空真子集数为个． 【变式1-3】（1）写出集合的子集和真子集． （2）写出集合的所有子集和真子集． （3）写出集合的所有子集和真子集． 【解析】（1）子集：，；真子集：； （2）子集：，，，；真子集：，，； （3）子集：，，，，，，，； 真子集：，，，，，，． 题型 2：韦恩图的理解与应用 【例2】（2026·高一·广东佛山·期末）已知集合U=R，则正确表示集合M={-1，0，1}和N={x|x2-x=0}关系的文氏图是（　　） A． B．C． D． 【答案】B 【解析】N={x|x2-x=0}={0，1}，M={-1，0，1}，所以N⊆M，所以选B. 故选：B 【方法技巧与总结】 Venn是集合的又一种表示方法，使用方便，表达直观，可迅速帮助我们分析问题、解决问题，但它不能作为严密的数学工具使用． 【变式2-1】设集合M={y|y=x2+1}，N={x|y=x2+1}，能正确表示集合M与集合N的关系的Venn图是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】∵M={y|y=x2+1}={y|y≥1}，N={x|y=x2+1}=R， ∴M⫋N，对应的Venn图是D. 故选：D 【变式2-2】（2026·高一·辽宁大连·阶段检测）已知全集，则正确表示集合和关系的韦恩（）图是______（填序号）. 【答案】② 【解析】．由N＝{x|x2+x＝0}， 得N＝{﹣1，0}． ∵M＝{﹣1，0，1}， ∴N⊊M， 故答案为②． 题型 3：子集、真子集的个数计算 【例3】满足条件的集合的个数是____ 【答案】7 【解析】由题意，是集合的真子集，且集合为集合的子集， 所以集合至少有3个元素，最多有5个元素， 如果集合有3个元素：，，； 如果集合有4个元素：，，； 如果集合有5个元素：； 所以满足条件的集合共有7个. 【方法技巧与总结】 若集合A中有n个元素，则集合A有个子集，有个真子集，有个非空子集，有个非空真子集，该结论可在选择题或填空题中直接使用． 【变式3-1】（2026·高一·四川成都·期中）已知集合，集合，则满足关系的所有集合为__________________ 【答案】 【解析】因为，，， 所以集合可以为 【变式3-2】（2026·高一·山东德州·阶段检测）集合的全部非空子集的元素和等于_________. 【答案】240 【解析】集合中共有个元素， 对于集合中的任意一个元素，它在所有子集中出现的次数为次， 则集合的全部非空子集的元素和等于. 故答案为：. 【变式3-3】若集合的所有三元子集的三数之积构成集合，则________ 【答案】 【解析】因为所有三元子集中每个元素共出现3次， 所以所有三元子集的元素之积， 所以， 用120分别除以中的元素即得． 题型 4：由集合包含关系求参数 【例4】已知集合，． (1)若是的子集，求实数的值； (2)若是的子集，求实数的取值范围． 【解析】（1） 由题意得，因为集合表示一元二次方程的解集， 若是的子集，则， 所以，解得 . （2）①若为空集，则，解得； ②若中只有一个元素，则，解得， 把代入集合得 ，符合要求； ③若中有两个元素，则，则由（1）可知； 综上所述，实数的取值范围为． 【方法技巧与总结】 1、求解此类问题通常是借助于数轴，利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，以形定数，同时还要注意验证端点值，做到准确无误，一般含“=”用实心点表示，不含“=”用空心点表示． 2、涉及“A⊆B”或“A⫋B，且B≠⌀”的问题，一定要分A=⌀和A≠⌀两种情况进行讨论，其中A=⌀的情况容易被忽略，应引起足够的重视． 【变式4-1】设集合，. (1)若，求实数a的取值范围； (2)若 ，求实数a的取值范围 【解析】（1）集合，， 由题意， ①若，则，则； ②若或，则 解得：，将代入方程得：得：， 即符合要求； ③若，则，即 即的两根分别为、0， 则有且，则. 综上所述，实数的取值范围是或. （2），， 则，即 ， 即0和是方程的两根， ，， 解得：或（舍去）， 故. 【变式4-2】（专题01集合的四类重难点题型（压轴题专项训练）数学苏教版2026·高一必修第一册）设全集，集合，非空集合. (1)若A是B的真子集，求实数a的取值范围； (2)若B是A的子集，求实数a取值范围. 【解析】（1）因为A是B的真子集， 则，等号不能同时取到， 所以； （2）因为B是A的子集， 因为，则，又， 所以. 【变式4-3】（2026·高一·云南昆明·阶段检测）设集合，. (1)若集合B中有两个大于0的元素，求实数a的取值范围； (2)若，求实数a的取值范围. 【解析】（1）因为集合B中有两个大于0的元素，所以有两个不等正根， 所以，解得， 所以实数a的取值范围为； （2）由，可得，解得或， 因为，所以或或或； 当时，，解得； 当时，，无解，故舍去； 当时，，解得； 当时，，无解，故舍去； 综上所述：实数a的取值范围为. 【变式4-4】设集合，已知，求实数a的取值范围． 【解析】当时，，解得； 当时，解得； 综上所述，的取值范围为，或． 【变式4-5】（02限时小练2集合间的基本关系高中数学必修第一册�RA）（1）已知集合，．若，求实数的取值范围． （2）若（1）中条件“”改为“”，其他条件不变，求实数的取值范围． 【解析】（1）由集合， 当时，，解得，此时满足 ； 当时，要使得， 则满足且等号不能同时取，解得． 综上可得，实数的取值范围是． （2）当时，由，得，满足； 当时，要使得， 则满足，解得， 综上可得，实数m的取值范围是． 题型 5：集合间包含关系的判定 【例5】（2026·高二·河南南阳·阶段检测）已知集合，集合，则与关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，， 所以， 因为，所以集合不是集合的子集，A错误 因为可视为集合的一个元素，但集合中不含该元素，所以集合不是集合的子集，C错误； 因为集合的元素中含有元素，所以，B错误，D正确. 【方法技巧与总结】 判断两个集合间的关系的关键在于：弄清两个集合的元素的构成，也就是弄清楚集合是由哪些元素组成的．这就需要把较为抽象的集合具体化（如用列举法来表示集合）、形象化（用Venn图，或数形集合表示）． 【变式5-1】（2026·天津红桥·一模）集合，则与的关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题知， 所以与的关系为 【变式5-2】集合 之间的关系是（　　） A．⫋ B．⫋ C．⫋⫋ D．⫋ 【答案】A 【解析】集合， ， 所以， ， ， 所以⫋. 故选：A 【变式5-3】（2026·高一·天津河北·阶段检测）已知集合，集合，则（   ） A． B． C． D．与没有包含关系 【答案】A 【解析】由，因为，所以， 又，所以， 故选：A. 题型 6：集合相等关系的判断 【例6】（2026·高一·福建福州·期中）下列四组中，表示相等集合的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对于A，两集合表示点的坐标不同，不是同一个集合，故A错误； 对于B，两集合元素相同，是相等集合，故B正确； 对于C，集合中有元素，集合为空集，不是相等集合，故C错误； 对于D，集合表示抛物线上的点，集合为数集，故D错误. 故选：B 【方法技巧与总结】 判断两集合是否相等，关键在于确认它们是否拥有完全相同的元素，即两个集合中的每一个元素都能在另一个集合中找到，且元素的数量也相同。不考虑元素的排列顺序，只关注元素的存在性和数量。若满足这些条件，则两个集合相等。 【变式6-1】（2026·高一·江苏南京·期中）若集合，，则集合，之间的关系表示最准确的为（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【解析】对于集合，当时，， 当时，，所以. 故选：A. 【变式6-2】（2026·高一·重庆·阶段检测）已知集合，，则的关系满足（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于，； 对于，； 对于，. 因，则，则表示偶数，故易得. 故选：D. 【变式6-3】（2026·高一·河北衡水·阶段检测）下列与集合表示同一集合的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A，集合中只有一个元素，所以A错误， 对于B，集合的元素是点，所以B错误， 对于C，由，解得或， 所以，故C正确， 对于D，集合中有二个元素，，所以D错误， 故选：C. 题型 7：利用集合相等关系计算 【例7】设集合，，且，则________. 【答案】 【解析】由集合中元素的互异性，可知， 因为，所以，或， 解得，所以. 【方法技巧与总结】 根据两集合相等求参数，关键在于利用集合相等的定义：两个集合相等当且仅当它们拥有完全相同的元素。这意味着，我们可以通过比较两个集合的元素，建立等式或不等式关系，进而求解参数。求解过程中，需要确保集合中的元素满足相等条件，从而解出参数的值。 【变式7-1】（2026·高一·湖南张家界·阶段检测）若集合A中有三个元素1，，a，集合B中有三个元素0，，b．若集合A与集合B相等，则的值为________． 【答案】 2 【解析】由题意可知，即集合与集合的元素完全相同，因为，所以； 又集合的元素为，若，则无意义，因此， 故仅能，即； 将代入，得， 此时集合，集合， 由元素对应相等可得，. 因此. 【变式7-2】，若，则______． 【答案】1 【解析】由已知得，则，所以， 于是，即或， 又由集合中元素的互异性知应舍去，故， 所以． 【变式7-3】（2026·高一·上海浦东新·期中）已知集合，，且，则的值为_____. 【答案】 【解析】因为，，且， 所以或， 解得或或 ， 根据集合的元素的互异性可得，且， 所以，此时，，满足， 所以. 故答案为： 题型 8：空集的概念、性质与应用 【例8】（2026·高一·上海宝山·期中）已知六个关系式①；②；③；④；⑤；⑥，它们中关系表达正确的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【解析】根据元素与集合、集合与集合关系： 是的一个元素，故，①正确； 是任何非空集合的真子集，故、，②③正确； 没有元素，故，④正确；且、，⑤错误，⑥正确； 所以①②③④⑥正确. 故选：C 【方法技巧与总结】 空集是特殊的集合，它不包含任何元素。空集具有独特的性质：它是任何集合的子集，包括它自身。空集与任何集合的并集仍是该集合本身，空集与任何集合的交集仍是空集。 【变式8-1】（2026·高一·广东揭阳·阶段检测）若集合，则实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】根据集合，分和两种情况讨论，结合一元二次方程的性质，即可求解.由题意，集合， 若时，集合，满足题意； 若时，要使得集合， 则满足，解得， 综上可得，实数的取值范围是. 故答案为：. 【变式8-2】（2026·高一·北京·期中）下列集合：①；②；③；④；⑤；⑥方程的实数解组成的集合.其中，是空集的所有序号为__________. 【答案】②④⑥ 【解析】①集合中含有一个元素，故不是空集； ②因为，，故是空集； ③集合中含有一个元素，故不是空集； ④是空集； ⑤集合中含有一个元素，故不是空集； ⑥因为方程没有实数解，故是空集； 故答案为：②④⑥. 【变式8-3】（2026·高一·云南红河·阶段检测）写出下列关系正确的序号______. （1）；（2）；（3）⫋；（4）；（5）；（6）. 【答案】（1）（2）（3）（4）（5） 【解析】一个集合是它本身的子集，故（1）正确； 集合具有无序性，故（2）正确； 空集是任意非空集合的真子集，故（3）正确； 0是集合中的元素，故（4）正确； 是有理数，故（5）正确； 空集是不包含任何元素的集合，中有一个元素0，和空集不相等，故（6）错误. 故答案为：（1）（2）（3）（4）（5）. 【变式8-4】（2026·高一·上海长宁·开学考试）若不等式的解集为，则a的取值集合为______ 【答案】 【解析】若不等式的解集为，则，所以，符合题意， 故a的取值集合为. 故答案为：. 【变式8-5】下列各式中正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对于A选项，的表示格式不对，元素与集合间用，不能用等号，故A不正确； 对于B选项,正确，因为事任何集合的子集； 对于C选项, 因为事任何集合的子集,所以有，故C不正确； 对于D选项,由于空集中没有任何元素，所以事错误的，故D不正确， 故选B. 1．（2026·山东烟台·二模）已知集合，，若，则实数的值为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【解析】由，得或， 若，则，，满足， 若，则或， 时，，，满足， 时，，不满足集合元素的互异性， 综上，或． 2．（2026·贵州六盘水·一模）集合的子集的个数为（   ） A．64 B．16 C．6 D．4 【答案】A 【解析】由题意且，的值可以为：，所以有6个元素. 故集合的子集有：个. 3．已知集合，，则满足B的集合C的个数为（   ） A．4 B．7 C．8 D．15 【答案】B 【解析】方法一：因为集合，， 所以满足条件的集合C有：，，，，，，，共7个． 方法二：集合中有2个元素，集合中有5个元素， 故满足条件的集合C可以是集合的任意一个真子集与集合A的并集， 因为集合的真子集的个数为， 所以满足条件的集合C有 4．（2026·湖南永州·一模）设集合，且，则实数的取值集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意得． 当时，； 当时，，由，可得或． 综上所述，实数的取值集合为． 故选：D. 5．已知集合，，，则集合的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】集合， 当时，， 当时，， 又集合，， 集合，集合， ，可得， 综上可得 故选：C. 6．（2026·高一·安徽·期中）下列说法错误的是（   ） A．由1，2，3组成的集合可表示为或 B．空集是集合的子集 C．代数式的值组成的集合是 D．集合与集合是同一个集合 【答案】D 【解析】集合元素无序，和表示同一个集合，A对； 空集是任何非空集合的子集，B对； 当时，；当或时，； 当时，，C对； 是点集，是数集，D错． 故选：D 7．（多选题）（2026·高一·云南曲靖·阶段检测）若集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】对于A，因为空集是任何集合的子集， 即，故A正确； 对于B，因为，而是集合中的一个元素， 所以，故B正确； 对于C，因为，而是集合中的一个元素， 所以,故C错误； 对于D，因为集合是由集合中的元素组成的， 所以，故D正确. 8．（多选题）（2026·高一·辽宁·阶段检测）已知，，则的值可以为（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】当时，由，得，满足，所以； 当时，由，得，满足，所以； 当时，由，得，满足，所以； 当时，由，得，不满足. 故选：ABD 9．（多选题）（2026·高一·云南昭通·期中）已知集合，则（    ） A．若，则 B．若，则有两个子集 C．若中只有一个元素，则 D．不可能为 【答案】AB 【解析】对于A，由，得，解得，A正确； 对于B，由，得，解得，集合有两个子集，B正确； 对于C，若集合只有一个元素， 当时，，合乎题意， 当时，则有，解得， 故当中只有一个元素时，或，C错误； 对于D，当时，则关于的方程无实数解， 所以，解得， 故当时，，D错误. 故选：AB. 10．（多选题）（2026·高一·贵州遵义·阶段检测）下列四个命题：其中不正确的命题为（    ） A．是空集 B．若，则 C．集合有两个元素 D．集合是有限集 【答案】ABCD 【解析】对于A，不是空集，空集不含任何元素，故A是假命题； 对于B，若，则不一定属于，例：，，，，故B是假命题； 对于C，集合，只有一个元素，故C是假命题； 对于D，表示有理数，包括整数和分数，比如为正整数的倒数时，都有，所以集合是无限集，故D是假命题． 故选：ABCD． 11．（多选题）（2026·高一·江苏南京·期中）已知为实数，若集合，且，则的值可以是（　　） A． B． C． D． 【答案】ABC 【解析】由解得或，则， 当时，此时，满足； 当时，此时，则， 若，则或，所以或； 综上所述，的可取值为， 故选：ABC. 12．下列命题中正确的有　________　(写出全部正确命题的序号)． ①；②；③；④；⑤；⑥． 【答案】①③ 【解析】对于①，的元素都在中，故，①正确. 对于②，菱形不一定是矩形（矩形要求四个角都是直角，而菱形只需四边相等），故菱形不是矩形的子集，②错误. 对于③，，故，③正确. 对于④，的元素是有序数对，而的元素是数和，元素类型不同，故两个集合之间不存在包含关系，④错误. 对于⑤，，⑤错误. 对于⑥，，⑥错误. 13．（2026·高一·福建泉州·期中）已知非空集合，且⫋，则___________ 【答案】8 【解析】由题意得，中只有1个元素，则，解得， 当时，，此时，则， 当时，，此时，则， 则. 14．（2026·高三·山东·阶段检测）已知集合，若，则整数a的所有可能取值构成的集合为________ 【答案】 【解析】当时，，满足，故符合题意； 当时，，，， 或，或或， ，或或或， 综上可知所有整数的取值构成的集合为. 15．（2026·高一·北京·阶段检测）已知集合，则满足条件的集合的个数为__________． 【答案】7 【解析】因为集合，， 若，可知集合必含有元素1，2，可能含有元素3，4，5，且， 则集合的个数即为集合的非空子集的个数， 且集合有3个元素，所以集合的个数为. 故答案为：7. 16．已知集合，，，为实数且． (1)当，时，判断集合，间的关系； (2)若，求实数和的值． 【解析】（1）当时，集合，故B A． （2）①当时，集合，由得，解得； ②当时，集合，此时，解得． 综上所述，或． 17．（2026·高一·上海·期末）已知集合. (1)若只有一个元素，试求实数的值，并用列举法表示集合； (2)若至少有两个子集，试求实数的取值范围. 【解析】（1）时，解得符合题意； 时令解得， 此时， 解得符合题意， 故或，或 （2）若至少有两个子集，则至少有一个元素. 由（1）知或时符合题意. 由题意可知时若也符合题意. 即解得且. 综上. 18．（2026·高一·上海普陀·期中）已知集合，且满足，求实数可能取的一切值． 【解析】， 可能为，，. 当时，无解，故，满足， 当时，则，解得， 当时，则，解得. 综上，实数的取值为. 19．（2026·高一·安徽安庆·阶段检测）已知集合 (1)若求实数的取值范围. (2)是否存在实数，使得?若存在求出的值；若不存在，请说明理由. 【解析】（1）当时，，不成立； 当时，，因为所以，解得； 当时，，因为所以，解得， 综上：实数的取值范围是或； （2）当时，，不成立； 当时，，，不成立； 当时，，因为所以，解得； 综上：实数的值是2； 1．若对任意，都有，则称非空集合为“和谐集”，已知集合，则集合的子集中“和谐集”的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【解析】由且可得： 若，则， 所以“和谐集”不含元素； 若，不存在，所以“和谐集”不含元素； 若，则，要求也属于该集合，产生矛盾， 所以“和谐集”不含元素； 若，则， 若，则， 若，则； 所以集合的子集中“和谐集”只有. 故选：B． 2．（2026·高三·河北雄安·期中）已知，均为整数，且，，则集合的真子集的个数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】要求集合的真子集个数，只需求集合的元素个数， 即，则或. 对于，由整数知且为偶数， 则有个满足条件的； 对于，由整数知且为3的倍数， 则有个满足条件的， 又因为被重复统计，故集合的元素个数是， 故集合的真子集的个数是. 故选：C. 3．（2026·高一·云南曲靖·阶段检测）对于非空集合，其所有元素的几何平均数记为，即若非空数集满足下列两个条件：① ；②，则称为的一个“保均值真子集”，，则集合的“保均值真子集”的个数为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【解析】因为集合， 则， 单元素子集需满足，故只有， 两个元素子集需满足，即，有， 三个元素的子集需满足，即，有， 四个元素的子集需满足，即，有， 所以集合的“保均值真子集”有：，共6个. 故选：C. 4．（2026·高一·贵州贵阳·阶段检测）已知集合，则的关系满足（    ） A．⫋ B．⫋⫋ C．⫋⫋ D．⫋⫋ 【答案】A 【解析】，， ， 因为，所以表示被6除余数为1的数； 因为，所以表示被3除余数为1的数； 因为，所以表示被3除余数为1的数； 所以, 被3除余1的整数，当其为奇数时，被6除余1；当其为偶数时，被6除余4. 集合中元素的分子均为被6除余1的数，而集合、中元素的分子为所有被3除余1的数， 所以是的真子集. 故选：A 5．（2026·高一·江苏苏州·阶段检测）若，则下列结论中正确结论的个数为（ ） ①；②；③若，则；④若且，则 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】①：，所以①正确； ②：当时，，满足，所以②正确； ③若，设，则， 因为，所以，则，所以③正确； ④：设，则，所以④错误； 故选：C. 6．（多选题）（2026·高一·湖南长沙·期中）已知 ，且 均不为空集，对于集合 ，我们把集合{}记作 . 例如， ，则有 . 当集合 有 3 个元素，且最大元素不大于 2 时，称集合 为一个集合键. 那么，下列说法中正确的是（    ） A．若，则中有 3 个元素 B．若，则 C．若 ，则是一个集合键 D．集合键共有6个 【答案】ABD 【解析】对于A，由集合，可得， 所以中有3个元素，所以A正确； 对于B，由集合，根据的定义，可得，所以B正确； 对于C，由集合，可得， 此时中有4个元素，所以不是一个集合键，所以C错误； 对于D，要使得中有个元素，且最大元素不大于， 则有：；；； ；；；，共计6个， 所以共有6个集合键，所以D正确. 故选：ABD. 7．（2026·高一·黑龙江绥化·阶段检测）已知集合，集合，⫋，求k的取值集合. 【解析】由题意知，， 因为⫋， 所以①当时，， ②当时，， ③当时，， 综述：或或.即k的取值集合为. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $