常用逻辑用语 专题复习讲义-2024-2025学年高一上学期人教A版数学必修第一册

该高中数学讲义通过结构化梳理与表格对比构建常用逻辑用语知识体系，命题部分明确“若p则q”结构及真假分类，充分必要条件用表格呈现命题真假、推出关系与条件关系的对应，全称与特称命题突出符号化表示及否定规则，清晰展现逻辑概念的内在联系。 讲义亮点在于分层练习设计，基础题如命题判断（第1题）巩固概念，综合题如含参数命题真假（第9题）提升逻辑推理能力，答案解析详细。通过符号语言转化（如全称命题否定）培养数学语言表达，帮助不同层次学生掌握逻辑思维方法，为教师精准教学提供支持。

第一章、常用逻辑用语（二） 第一节 命题 1.命题的概念 定义：一般地，在数学中，用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句． 2．命题的分类 真命题：判断为真的语句． 假命题：判断为假的语句． 一个数学命题要么是真命题，要么是假命题，但不能既真又假，也不能模棱两可、无法判断其真假．数学中的定义、定理、公理都是真命题． 3．命题的结构形式 命题的基本结构形式是“若p，则q”，通常把这种形式的命题中的p叫做命题的条件，q叫做命题的结论． 第二节 充分条件和必要条件 1.充分条件与必要条件 命题真假 “若p，则q”是真命题 “若p，则q”是假命题 推出关系 p⇒q pq 条件关系 p是q的充分条件 q是p的必要条件 p不是q的充分条件 q不是p的必要条件 2.充要条件的定义．一般地，如果既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q.此时，我们说，p是q的充分必要条件，简称充要条件．显然，如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件． 概括地说，如果p⇔q，那么p与q互为充要条件． 3．判断p是q的什么条件，结果只有四种：充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件． (1)若p⇒q，但qp，则p是q的充分不必要条件； (2)若pq，但q⇒p，则p是q的必要不充分条件； (3)若p⇒q，且q⇒p，则p是q的充要条件； (4)若pq，且qp，则p是q的既不充分也不必要条件． 第三节 全称命题和存在命题 1.全称量词和全称命题 (1)短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示，常见的全称量词还有“一切”“每一个”“任给”“所有的”等． (2)含有全称量词的命题，叫做全称命题． (3)全称命题：“对M中任意一个x，有p(x) 成立”，可用符号简记为∀x∈M，p(x)． 2．存在量词和存在量词命题 (1)短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示，常见的存在量词还有“有些”“有一个”“对某个”“有的”等． (2)含有存在量词的命题，叫做特称命题． (3)特称命题：“存在M中的元素x0，有p(x0)成立”，可用符号简记为∃x0∈M，p(x0). 3．全称命题与特称命题判断真假 要确定一个全称命题是真命题，需保证该命题对所有的元素都成立；若能举出一个反例说明命题不成立，则该全称命题是假命题． ②要确定一个特称命题是真命题，举出一个例子说明该命题成立即可；若经过逻辑推理得到命题对所有的元素都不成立，则该特称命题是假命题． 4.含有一个量词的命题的否定 (1)全称命题p：∀x∈M，p(x) ，它的否定﹁p：∃x0∈M，﹁p(x0)； (2)特称命题p：∃x0∈M，p(x0)，它的否定﹁p：∀x∈M，﹁p(x)． 含有一个量词的命题的否定，是在否定结论的同时，改变量词的属性，即将全称量词改为存在量词，存在量词改为全称量词. 课后训练 1．下列语句中是命题的是(　　) A.是无限不循环小数 B．6x≤9 C．什么是“温室效应”？ D．给我把门打开 2．下列命题是真命题的为(　　) A．{x∈N|x3＋1＝0}不是空集 B．若＝，则x＝y C．指数函数和对数函数的图象关于y轴对称 D．若整数m是偶数，则m是合数 3.命题“第二象限角的余弦值小于0”的条件是(　　) A．余弦值 B．第二象限 C．一个角是第二象限角 D．没有条件 4．下列各小题中，p是q的充分条件的是(　　) ①p：m＜－2，q：y＝x2＋mx＋m＋3有两个不同的零点； ②p：＝1，q：y＝f(x)是偶函数； ③p：cos α＝cos β，q：tan α＝tan β. A．① B．③ C．②③ D．①② 5．“a≥2”是“函数f(x)＝x2－2ax＋3在区间[1,2]上单调”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．“存在整数m0，n0，使得m＝n＋2 024”的否定是(　　) A．任意整数m，n，m2＝n2＋2 024 B．存在整数m0，n0，使得m≠n＋2 024 C．对任意整数m，n，m2≠n2＋2 024 D．以上都不对 7．下列命题中的假命题是(　　) A．∃x0∈R，lg x0＝0 B．∃x0∈R，tan x0＝1 C．∀x∈R，x2>0 D．∀x∈R，ex>0 8．若命题“∃x0∈R，使得3x＋2ax0＋1<0”是假命题，则实数a的取值范围是(　　) A．(－，) B．(－∞，－]∪[，＋∞) C．[－，] D．(－∞，－)∪(，＋∞) 9．已知命题p：“∀x∈[0,1]，a≥ex”，命题q：“∃x∈R，x2－4x＋a＝0”，若命题p，q均是真命题，则实数a的取值范围是(　　) A．[4，＋∞) B．[1,4] C．[e,4] D．(－∞，1] 10.已知函数f(x)＝x2，g(x)＝x－m，若对∀x1∈[－1,3]，∃x2∈[0,2]，使得f(x1)≥g(x2)，则实数m的取值范围是________． 11．“xy＝1”是“lg x＋lg y＝0”的________条件． 12．四个条件中，使a>b成立的充分不必要条件是________． (1)a>b＋1　(2)a>b－1　(3)a2>b2　(4)a3>b3 课后训练答案 1．解析：B，C，D三项不是命题，故选A. 答案：A 2． 解析：A项错误，x3＋1＝0得x＝－1.C项错误，底数相同的指数函数和对数函数的图象关于直线y＝x对称．D项错误，2是偶数，但不是合数，故选B. 答案：B 3. 解析：原命题可改写为“若一个角是第二象限角，则它的余弦值小于0”，故选C. 答案：C 4． 解析：对于①，函数y＝x2＋mx＋m＋3有两个不同零点，即Δ＝m2－4(m＋3)＞0解得m＞6或m＜－2，所以p是q的充分条件；对于②，p是q的充分条件；对于③，当α＝β＝时，p成立，但q不成立，所以p不是q的充分条件，故选D. 答案：D 5． 解析：要使函数f(x)＝x2－2ax＋3在区间[1,2]上单调，则有对称轴x＝a满足a≥2或a≤1， 所以“a≥2”是“函数f(x)＝x2－2ax＋3在区间[1,2]上单调”的充分不必要条件，故选A. 答案：A 6． 解析：特称命题的否定是全称命题，应含全称量词． 答案：C 7． 解析：对于A，x＝1时，lg x＝0； 对于B，x＝kπ＋(k∈Z)时，tan x＝1； 对于C，当x＝0时，x2＝0，所以C中命题为假命题； 对于D，ex>0恒成立． 答案：C 8． 解析：命题“∃x0∈R，使得3x＋2ax0＋1<0”是假命题，则“∀x∈R,3x2＋2ax＋1≥0”为真命题，则Δ＝4a2－12≤0，解得x∈[－，]，故选C. 答案：C 9． 解析：若命题p是真命题，则有a≥e；若命题q是真命题，则应有16－4a≥0，解得a≤4，由于命题p，q均是真命题，所以e≤a≤4，故选C. 答案：C 10.解析：因为x1∈[－1,3]，所以f(x1)∈[0,9]，又因为对∀x1∈[－1,3]，∃x2∈[0,2]，使得f(x1)≥g(x2)，即∃x2∈[0,2]，g(x2)≤0，即－m≤0，所以m≥，又∈，故m≥. 答案：m≥ 11．解析：lg x＋lg y＝lg(xy)＝0，∴xy＝1且x>0，y>0. 所以“lg x＋lg y＝0”成立，xy＝1必成立，反之不然． 因此“xy＝1”是“lg x＋lg y＝0”的必要不充分条件． 答案：必要不充分 12． 解析：(1)a>b＋1能够推出a>b，a>b不能推出a>b＋1，是； (2)a>b－1不能够推出a>b，不是； (3)a2>b2不能够推出a>b，不是； (4)a3>b3能够推出a>b，a>b也能推出a3>b3，不是． 学科网（北京）股份有限公司 $