2.11 函数模型的应用(教师用书Word)-【高考领航】2027年高考数学大一轮复习学案

该高中数学高考复习讲义聚焦函数模型的应用专题，覆盖常见函数模型（一次、二次、指数、对数等）、增长差异比较及实际问题解决等核心考点，按课标解读-知识梳理-考点突破逻辑架构知识体系。通过考点梳理（表格呈现模型与性质）、方法指导（如函数图象判断技巧）、真题训练（改编题与高考题示例）等环节，帮助学生系统突破难点，体现复习的系统性和针对性。 资料以数学眼光观察现实问题、数学思维分析增长规律、数学语言表达模型为特色，如在构建函数模型考点中，引导学生从体育馆区域面积问题抽象出函数关系式，培养模型意识。设置思考辨析、跟踪训练等分层练习，配合方法总结与即时反馈，确保高效复习，助力学生提升应考能力，为教师把控复习节奏提供清晰指导。

2.11　函数模型的应用 [课标解读] 1．理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具，在实际情境中，会选择合适的函数类型刻画现实问题的变化规律．　2.结合现实情境中的具体问题，利用计算工具，比较对数函数、一元一次函数、指数函数增长速度的差异，理解“对数增长”“直线上升”“指数爆炸”等术语的现实含义． 1．几种常见的函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0) 反比例函数模型 f(x)＝＋b(k，b为常数且k≠0) 二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0) 指数函数模型 f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0) 对数函数模型 f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0) 幂函数模型 f(x)＝axn＋b(a，b，n为常数，a≠0，n≠0) 2．三种增长函数模型的性质 　　函数 性质　　 y＝ax(a＞1) y＝ logax(a＞1) y＝ xn(n＞0) 在(0，＋∞) 上的增减性 单调递增 单调递增 单调递增 增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳 图象的 变化 随x的增大就像与y轴平行一样 随x的增大就像与x轴平行一样 随n值变化而各有不同 值的比较 存在一个x0，当x＞x0时，有logax＜xn＜ax 1．思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)某种商品进价为每件100元，按进价增加10%出售，后因库存积压降价，若按九折出售，则每件还能获利．(　　) (2)函数y＝2x的函数值比y＝x2的函数值大．(　　) (3)不存在x0，使<logax0.(　　) (4)在(0，＋∞)上，随着x的增大，y＝ax(a>1)的增长速度会超过并远远大于y＝xa(a>0)的增长速度．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2．(人A必修一P155T9改编)已知甲、乙两种商品在过去一段时间内的价格走势如图所示．假设某商人持有资金120万元，他可以在t1至t4的任意时刻买卖这两种商品，且买卖能够立即成交(其他费用忽略不计)．如果他在t4时刻卖出所有商品，那么他将获得的最大利润是(　　) A．40万元　　　　 B．60万元 C．80万元 D．120万元 解析：D　当甲商品的价格为6元时，该商人全部买入甲商品，可以买120÷6＝20(万份)，在t2时刻全部卖出，此时获利20×2＝40(万元)；当乙商品的价格为4元时，该商人全部买入乙商品，可以买(120＋40)÷4＝40(万份)，在t4时刻全部卖出，此时获利40×2＝80(万元)．故该商人共获利40＋80＝120(万元)．故选D. 3．(人A必修一P138探究改编)已知f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，当x∈(4，＋∞)时，对三个函数的增长速度进行比较，下列选项中正确的是(　　) A．f(x)＞g(x)＞h(x) B．g(x)＞f(x)＞h(x) C．g(x)＞h(x)＞f(x) D．f(x)＞h(x)＞g(x) 解析：B　当x∈(4，＋∞)时，易知增长速度由大到小依次为g(x)＞f(x)＞h(x)．故选B. 4．(人B必修二P43例2改编)某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：℃)满足函数关系y＝ekx＋b(e＝2.718…为自然对数的底数，k，b为常数)．若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时，在22 ℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33 ℃的保鲜时间是________小时． 解析：由已知得192＝eb①，48＝e22k＋b＝e22k·eb②，将①代入②得e22k＝，则e11k＝.当x＝33时，y＝e33k＋b＝e33k·eb＝3×192＝24，所以该食品在33 ℃的保鲜时间是24小时． 答案：24 考点一　利用函数图象刻画变化过程 例1　如图所示是一个无水游泳池，ABCD-A′B′C′D′是一个四棱柱，游泳池是由一个长方体切掉一个三棱柱得到的．现在向泳池注水，如果进水速度是均匀的(单位时间内注入的水量不变)，水面与AB的交点为M，则AM的高度h随时间t变化的图象可能是(　　) 解析：A　由题意可知，当往游泳池内注水时，游泳池内的水呈“直棱柱”状，且直棱柱的高不变，刚开始水面面积逐渐增大，水的高度增长得越来越慢，当水面经过D点后，水面的面积为定值，水的高度匀速增长，故符合条件的函数图象为A选项中的图象．故选A． 判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的方法 (1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象． (2)验证法：根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选出符合实际情况的答案． 跟踪训练1　如图，一高为H且装满水的鱼缸，其底部装有一排水小孔，当小孔打开时，水从孔中匀速流出，水流完所用时间为T.当水流出所用时间为t时，鱼缸水深为h，则函数h＝f(t)的图象大致是(　　) 解析：B　函数h＝f(t)是关于t的减函数，故排除C、D，一开始，h随着时间的变化减少程度逐渐变慢，超过一半时，h随着时间的变化减少程度逐渐变快，故对应的图象为B.故选B. 考点二　已知函数模型解决实际问题 例2　(1)(2024·北京卷T7)生物丰富度指数d＝是河流水质的一个评价指标，其中S，N分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数．生物丰富度指数d越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数S没有变化，生物个体总数由N1变为N2，生物丰富度指数由2.1提高到3.15，则(　　) A．3N2＝2N1　　　　 B．2N2＝3N1 C． D． 解析：D　根据个体总数由N1变为N2可得，＝2.1，＝3.15，所以2.1ln N1＝3.15ln N2，约分可得2ln N1＝3ln N2，故＝，所以.故选D. (2)(2025·北京卷T9)在一定条件下，某人工智能大语言模型训练N个单位的数据量所需要时间T＝klog2N(单位：小时)，其中k为常数．在此条件下，已知训练数据量N从106个单位增加到1.024×109个单位时，训练时间增加20小时；当训练数据量N从1.024×109个单位增加到4.096×109个单位时，训练时间增加(单位：小时)(　　) A．2　　　　　　 B．4 C．20 D．40 解析：B　设当N取106个单位、1.024×109个单位、4.096×109个单位时所需时间分别为T1，T2，T3，由题意，T1＝klog2106＝6klog210，T2＝klog2(1.024×109)＝klog2(210×106)＝k(10＋6log210)，T3＝klog2(4.096×109)＝klog2(212×106)＝k(12＋6log210)，因为T2－T1＝k(10＋6log210)－6klog210＝10k＝20，所以k＝2，所以T3－T2＝k(12＋6log210)－k(10＋6log210)＝2k＝4，所以当训练数据量N从1.024×109个单位增加到4.096×109个单位时，训练时间增加4小时．故选B. 追本 溯源 1.(人A必修一P126例5)尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放出的能量E(单位：焦耳)与地震里氏震级M之间的关系为 lg E＝4.8＋1.5M. 2011年3月11日，日本东北部海域发生里氏9.0级地震，它所释放出来的能量是2008年5月12日我国汶川发生里氏8.0级地震的多少倍(精确到1)? 2．(人B必修二P44例4)人们通常以分贝(符号是dB)为单位来表示声音强度的等级，其中0 dB是人能听到的等级最低的声音．一般地，如果强度为x的声音对应的等级为f(x)dB，则有 f(x)＝10lg . (1)求等级为0 dB的声音的强度； (2)计算出90 dB的声音与60 dB的声音强度之比． 名师 点评 高考题与教材题考查角度相同，但在运算难度上要高于教材题，这体现了高考题源于教材，高于教材的特点． 已知函数模型解决实际问题的技巧 (1)认清所给函数模型，明确其中的变量，弄清楚哪些为待定系数． (2)根据已知条件，利用待定系数法，确定模型中的待定系数． (3)利用该函数模型，借助函数的性质、系数等解决相关问题． 跟踪训练2　(1)(2026·安徽合肥期中)在一个有限的资源和空间环境下，某种生物的数量P(t)与时间t(单位：天)的关系式为P(t)＝，其中K，A为正常数．已知该种生物数量为时，所对应的时间分别为t1，t2，则t2－t1＝(　　) A．ln 2 B．ln 3 C．2ln 2 D．2ln 3 解析：C　由P(t1)＝代入化简得＝8，　① 由P(t2)＝得＝2，　② ①除以②得＝4，则t2－t1＝ln 4＝2ln 2.故选C. (2)(2025·山东淄博三模)随着人工智能技术的快速发展，训练深度学习模型所需的计算量也在急剧增长. 某公司现有新一代AI芯片A、B两套研发方案，若A设计方案中初始计算量为N1，每年增长50%；B设计方案中初始计算量为N2(N2＝3N1)，每年增长 20%.如此预计至少几年后A设计方案计算量更高？(参考数据：lg 2≈0.301，lg 3≈0.477 )(　　) A．4 B．5 C．6 D．7 解析：B　设x年后A设计方案计算量更高，则x年后，A设计方案计算量为N1x，B设计方案计算量为3N1·x，则N1x>3N1x⇒x>3⇒x lg >lg 3⇒x>≈4.92，预计至少5年后A设计方案计算量更高．故选B. 考点三　构建函数模型解决实际问题 例3　某高校为了方便冬季体育活动，计划建造一间室内面积为900平方米的体育馆，在馆内划出三块相同的矩形区域供三个班级同时使用，相邻区域之间间隔3米，其余部分离墙1米(如图)．设体育馆室内长为x米，三块区域的总面积为S平方米． (1)求S关于x的函数关系式； (2)当体育馆室内长为多少米时，三块区域的总面积最大？并求其最大值． 解：(1)由题设，得S＝(x－8)＝－2x－＋916，由已知得故x∈(8，450)． 所以S＝－2x－＋916，x∈(8，450)． (2)因为8<x<450， 所以2x＋ ＝240， 当且仅当x＝60时等号成立，从而S≤676. 故当体育馆室内长为60米时，S最大，最大为676平方米． 建模解决实际问题的三个步骤 第一步：建模：抽象出实际问题的数学模型． 第二步：解模：对数学模型进行逻辑推理或数学演算，得到问题在数学意义上的解． 第三步：回归：对求得的数学结果进行深入的讨论，作出评价、解释，返回到原来的实际问题中去，得到实际问题的解．即： 注意：(1)构建函数模型时不要忘记考虑函数的定义域．(2)应用函数模型的关键是对模型的判断，先设定模型，再将已知有关数据代入验证，确定参数，从而确定函数模型． 跟踪训练3　已知某零件原来的售价为15元，可售出50万件，据市场调查，该零件的单价每提高1元，销售量就减少2万件，现该零件的销售商计划对该零件进行提价销售，设提价后的零件售价为x(x∈N*)元． (1)求提价后该零件的销售总收入(单位：万元)的最大值； (2)若提价后该零件的销售总收入(单位：万元)不低于原来的销售总收入，求x的取值集合． 解：(1)由题意可得提价后该零件的销售总收入y＝[50－2(x－15)]x＝－2x2＋80x， 因为y＝－2x2＋80x＝－2(x－20)2＋800， 所以当x＝20时，y取得最大值800万元， 即该零件的售价为20元时，该零件的销售总收入取得最大值800万元． (2)由题意可得 整理得 即 解得15<x≤25，又x∈N*，所以x的取值集合为{16，17，18，19，20，21，22，23，24，25}． 学科网（北京）股份有限公司 $