2.9 函数的图象(教师用书Word)-【高考领航】2027年高考数学大一轮复习学案

该高中数学高考复习讲义聚焦函数的图象专题，覆盖函数表示方法、图象变换规律及性质应用等核心考点，按“基础变换—图象识别—综合应用”逻辑架构知识，通过课标解读、知识梳理、例题精讲、跟踪训练四环节，帮助学生构建从作图到解题的完整思维链。 讲义突出数学眼光与思维培养，如指导学生用“左加右减”规律分析平移变换，通过真题案例（例2利用奇偶性和特值法识别图象）训练逻辑推理，设置分层练习（基础辨析题、能力提升题）保障复习效果，助力学生高效突破难点，为教师把控复习节奏提供清晰路径。

2．9　函数的图象 [课标解读] 1．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数．　2.会运用函数图象理解和研究函数的性质，解决方程解的个数与不等式解的问题． 1．描点法作图的流程 2．函数图象的四种变换 提醒：函数图象平移变换的一般规律 (1)左右平移仅仅是相对x而言的，即发生变化的只是x本身，利用“左加右减”进行操作，如果x的系数不是1，需要把系数提出来，再进行变换．如从f(－2x)的图象到f(－2x＋1)的图象是向右平移个单位长度，其中是把x变成x－. (2)上下平移仅仅是相对y而言的，即发生变化的只是y本身，利用“上减下加”进行操作．但平时我们是对y＝f(x)中的f(x)进行操作，满足“上加下减”． 常用结论 将y＝f(x)图象的横坐标变为原来的a倍，纵坐标不变得到函数y＝f(a＞0)的图象． 1．思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)当x∈(0，＋∞)时，函数y＝|f(x)|与y＝f(|x|)的图象相同．(　　) (2)函数y＝af(x)与y＝f(ax)(a>0且a≠1)的图象相同．(　　) (3)函数y＝f(x)与y＝－f(x)的图象关于原点对称．(　　) (4)若函数y＝f(x)满足f(1＋x)＝f(1－x)，则函数f(x)的图象关于直线x＝1对称．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　 (4)√ 2．(人A必修一P83探究改编)函数f(x)＝的图象关于(　　) A．y轴对称　　　　　 B．x轴对称 C．原点对称 D．直线y＝x对称 解析：A　函数f(x)的定义域为R，且f(－x)＝f(x)，所以f(x)为偶函数，其图象关于y轴对称．故选A． 3．(人A必修一P85练习T1改编)已知图①中的图象是函数y＝f(x)的图象，则图②中的图象对应的函数可能是(　　) A．y＝f(|x|) B．y＝|f(x)| C．y＝f(－|x|) D．y＝－f(－|x|) 解析：C　因为题图②中的图象是在题图①的基础上，去掉函数y＝f(x)的图象在y轴右侧的部分，然后将y轴左侧图象翻折到y轴右侧得来的，所以题图②中的图象对应的函数可能是y＝f(－|x|)．故选C. 4．(人A必修一P140T6)在2 h内将某种药物注射进患者的血液中．在注射期间，血液中的药物含量呈线性增加；停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减．能反映血液中药物含量Q随时间t变化的图象是(　　) 解析：B　依题意知，在2 h内血液中药物含量Q持续增加，停止注射后，Q呈指数衰减，只有B符合．故选B. 考点一　作函数的图象 例1　作出下列各函数的图象： (1)y＝； (2)y＝|x2－4x－5|； (3)y＝－1. 解：(1)原函数解析式可化为y＝2＋， 所以函数图象可由函数y＝上的图象向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度得到，如图所示． (2)y＝|x2－4x－5|的图象可由函数y＝x2－4x－5的图象保留x轴上方的部分不变，将x轴下方的部分翻折到x轴上方得到，如图所示． (3)y＝－1，其图象可看作由函数y＝的图象向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度得到，而y＝＝其图象可由y＝x的图象保留x≥0时的图象，然后将该部分关于y轴对称得到， 所以y＝－1的图象如图所示． 函数图象的画法 注意：画函数的图象一定要注意定义域． 跟踪训练1　分别作出下列函数的图象： (1)y＝|log2(x＋1)|；(2)y＝|x－2|(x＋1)；(3)y＝ ＋. 解：(1)设t(x)＝y＝|log2(x＋1)|，则其图象可由y＝log2x的图象向左平移1个单位，再保留x轴上方的部分不变，将x轴下方的部分翻折到x轴上方得到，如图． (2)当x≥2，x－2≥0，y＝(x－2)(x＋1)＝x2－x－2＝ －； 当x<2，即x－2<0时，y＝－(x－2)(x＋1)＝－x2＋x＋2＝－2＋. 所以y＝ 这是分段函数，每段函数的图象可根据二次函数图象作出，如图． (3)设m(x)＝y＝ ＋其图象如图． 考点二　函数图象的识别 例2　(1)(2026·江苏南京一模)函数f(x)＝的图象大致为(　　) 解析：A　f(x)＝定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，又f(－x)＝＝f(x)，故f(x)＝为偶函数，排除BD；当x>0时，ex>1，e－x<1，故f(x)＝>0，排除C选项，A正确．故选A. (2)(2025·天津卷T3)已知函数y＝f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式可能为(　　) A．f(x)＝ B．f(x)＝ C．f(x)＝ D．f(x)＝ 解析：D　由题图可知函数为偶函数，而函数f(x)＝和函数f(x)＝为奇函数，故排除选项A、B；又当x∈(0，1)时1－x2>0，x2－1<0，此时f(x)＝>0，f(x)＝<0，由题图可知当x∈(0，1)时，f(x)<0，故C不符合，D符合．故选D. 1．由函数解析式确定函数图象的两个关键点 (1)利用函数的解析式，判断函数的奇偶性，再根据奇偶函数图象的对称性，排除不合适的选项． (2)利用特值法，根据函数在某区间上的函数值的符号或极限思想，对不合适的选项进行排除． 2．由函数图象判断其解析式的关键 会观图，从图象的左右位置，判断函数的定义域；从图象的上下位置，判断函数的值域；从图象的变化趋势，判断函数的单调性；从图象的对称性，判断函数的奇偶性，从而把不合适的解析式排除． 跟踪训练2　(1)(2026·广东揭阳期中)在同一平面直角坐标系中，函数f(x)＝x2(2x－2－x)与g(x)＝x的大致图象为(　　) 解析：B　由函数f(x)＝x2(2x－2－x)，可得其定义域为R，且f(－x)＝(－x)2(2－x－2x)＝－x2(2x－2－x)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，则函数f(x)的图象关于原点对称，当x＝1时，f(1)＝12×(21－2-1)＝>1，且g(1)＝1，所以f(1)>g(1)．故选B. (2)(2025·四川南充三模)函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式可能为(　　) A．f(x)＝ B．f(x)＝ C．f(x)＝ D．f(x)＝ 解析：B　由题图可知f(x)的图象关于原点对称，则f(x)为奇函数，对于A，f(x)＝定义域为R，定义域关于原点对称，f(－x)＝＝f(x)，所以f(x)＝为偶函数，不符合题意，故A错误；对于C，f(x)＝定义域为R，定义域关于原点对称，f(－x)＝＝f(x)，所以f(x)＝为偶函数，不符合题意，故C错误；对于D，f(x)＝定义域为R，定义域关于原点对称，f(－x)＝＝－f(x)，所以f(x)＝为奇函数，当x>0时，ex>e－x>0，x2＋2>0，所以f(x)>0恒成立，不符合题意，故D错误；故利用排除法可知选项B符合题意．故选B. 考点三　函数图象的应用 角度1　研究函数的性质 例3　(多选)对任意两个实数a，b，定义min{a，b}＝若f(x)＝2－x2，g(x)＝x2，F(x)＝min{f(x)，g(x)}，则(　　) A．F(x)是偶函数 B．方程F(x)＝0有三个解 C．F(x)在区间[－1，1]上单调递增 D．F(x)有4个单调区间 解析：ABD　根据函数f(x)＝2－x2与g(x)＝x2，画出函数F(x)＝min{f(x)，g(x)}的图象，如图，由图象可知，函数F(x)＝min{f(x)，g(x)}的图象关于y轴对称，故A正确；函数F(x)的图象与x轴有三个交点，所以方程F(x)＝0有三个解，故B正确；函数F(x)在[－1，0)上单调递减，在[0，1]上单调递增，故C错误；由图可知，F(x)有4个单调区间，故D正确．故选ABD. 角度2　解不等式 例4　定义在R上的函数f(x)满足：①f(x)在[1，＋∞)上单调递减；②f(x)＝f(2－x)；③f(－4)＝0.则不等式(x＋1)f(2x－2)<0的解集为________. 解析：因为f(x)＝f(2－x)，所以函数f(x)关于x＝1对称，又f(x)在[1，＋∞)上单调递减，且f(6)＝f(－4)＝0，作出函数f(x)的示意图如图， 不等式(x＋1)f(2x－2)<0等价于或即或或 解得x>4.即不等式(x＋1)f(2x－2)<0的解集为(4，＋∞)． 答案：(4，＋∞) 角度3　求参数的取值范围 例5　已知0<a<1，当x∈时，函数f(x)＝loga(－4x2＋logax)的图象恒在x轴下方，则a的取值范围是(　　) A．　　　　　 B． C． D．(0，1) 解析：A　因为函数f(x)＝loga(－4x2＋logax)的图象恒在x轴下方，所以f(x)＝loga(－4x2＋logax)<0对任意x∈恒成立，又0<a<1时，可得－4x2＋logax>1对任意x∈恒成立，即logax>4x2＋1，x∈恒成立，在同一平面直角坐标系中作出函数y＝logax，y＝4x2＋1的图象，如图所示． 由图象知，只需loga≥4×2＋1＝2，解得a≥，又0<a<1，所以≤a<1.故选A． 1．利用函数图象研究不等式问题时，当不等式问题不能用代数法直接求解但其与函数有关时，可将不等式问题转化为两函数图象(图象易得)的上、下关系问题，利用图象法求解．若函数为抽象函数，可根据题目画出大致图象，再结合图象求解． 2．利用函数图象解决参数的取值范围问题时，一般先准确地作出函数图象，再利用函数图象的直观性，结合其性质，求解参数的取值范围． 跟踪训练3　(1)定义在R上的奇函数f(x)，f(1)＝0，当x>0时，函数单调递增，则不等式(x－1)f(x)≤0的解集是(　　) A．[－1，0]∪{1} B．(－1，0]∪{1} C．[0，1] D．[－1，1] 解析：A　因为f(x)是R上的奇函数，所以f(0)＝0，又有f(1)＝0，所以f(－1)＝0，当x>0时，函数f(x)单调递增，所以函数f(x)的大致图象如图，当x≤1时，x－1≤0，x>1时，x－1>0， 则(x－1)f(x)≤0的解集为[－1，0]∪{1}．故选A． (2)已知函数f(x)＝|x－3|－|x＋1|，则下列描述中正确的是(　　) A．函数f(x)的图象关于直线x＝1对称 B．函数f(x)的图象关于点(1，0)对称 C．函数f(x)有最小值，无最大值 D．函数f(x)的图象是两条射线 解析：B　函数f(x)＝|x－3|－|x＋1|的图象如图所示， 由图可得：函数f(x)的图象无对称轴，故A错误；函数f(x)的图象关于点(1，0)对称，故B正确；函数f(x)有最小值，有最大值，故C错误；函数f(x)的图象是两条射线和一条线段，故D错误．故选B. (3)设函数f(x)＝则x1＋x2＋x3的取值范围是(　　) A． B． C． D． 解析：B　由解析式可得f(x)图象如图所示， 令f(x1)＝f(x2)＝f(x3)＝k，要满足题设，则－3<k<4，若x1<x2<x3，则x2＋x3＝6，令3x＋4＝－3，则x＝－，故－<x1<0，综上x1＋x2＋x3的取值范围是.故选B. 学科网（北京）股份有限公司 $