2.8 对数函数(教师用书Word)-【高考领航】2027年高考数学大一轮复习学案

该高中数学讲义聚焦对数函数核心考点，涵盖概念、图象性质及反函数等高考必备内容，按“概念定义-图象特征-性质应用”逻辑架构梳理知识，通过课标解读、知识点精讲、考点分析（含例题）、跟踪训练等环节，帮助学生构建完整知识体系，突破单调性判断、大小比较等难点。 资料突出数形结合与逻辑推理，如利用对数函数图象恒过定点及单调性特征分析问题（数学眼光），比较大小时借助中间量转化（数学思维），设置分层练习适配不同学生需求，培养学生数学表达与问题解决能力，助力教师精准把控复习节奏，提升学生应考效率。

2．8　对数函数 [课标解读] 1．通过具体实例，了解对数函数的概念．能画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与图象中的特殊点．　2.知道对数函数y＝logax与指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)互为反函数． 1．对数函数的概念 一般地，函数y＝logax(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是(0，＋∞). 2．对数函数的图象和性质 a＞1 0＜a＜1 图 象 性 质 定义域：(0，＋∞) 值域：R 过定点(1，0) 当x＞1时，y＞0； 当0＜x＜1时，y＜0 当x＞1时，y＜0； 当0＜x＜1时，y＞0 在(0，＋∞)上 是增函数 在(0，＋∞)上 是减函数 3.反函数 指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)互为反函数，它们的定义域与值域正好互换，它们的图象关于直线y＝x对称． 常用结论 对数函数图象的特点(应用见例1) (1)对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)的图象恒过点(1，0)，(a，1)，，依据这三点的坐标可得到对数函数的大致图象． (2)函数y＝logax与y＝(a＞0，且a≠1)的图象关于x轴对称． (3)如图给出4个对数函数的图象 则b＞a＞1＞d＞c＞0，即在第一象限，不同的对数函数图象从左到右底数逐渐增大． 1．思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)函数y＝log2(x＋1)是对数函数．(　　) (2)函数y＝ln －1<x<1}．(　　) (3)当x＞1时，若logax＞logbx，则a＜b.(　　) (4)函数y＝log2x与y＝的图象重合．(　　) 答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)√ 2．(人A必修一P160T1(3)改编)函数f(x)＝ln |x|的大致图象是(　　) 解析：C　函数的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，故排除A、B，当x>0时，f(x)＝ln x单调递增，故排除D.故选C. 3．(人B必修二P27例2改编)不等式log2(2x＋3)>log2(5x－6)的解集为(　　) A．(－∞，3)　　　　 B． C． D． 解析：D　由已知得解得<x<3.故选D. 4．(人A必修一P141T13(1)改编)已知x＝ln π，y＝log52，z＝，则(　　) A．x<y<z　　　　　　　 B．z<x<y C．z<y<x D．y<z<x 解析：C　x＝ln π>ln e＝1，由0＝log51<log52<log55＝1，可得0<y<1，z＝＝0，故z<y<x.故选C. 考点一　对数函数的图象及应用 例1　(1)(2025·湖南长沙一模)已知lg a＋lg b＝0(a>0，b>0，且a≠1，b≠1)，则函数f(x)＝a－x与g(x)＝logbx的图象可能是(　　) 解析：B　由lg a＋lg b＝0可知，＝b，故f(x)＝a－x＝bx，故函数f(x)＝a－x与函数g(x)＝logbx的单调性相同．故选B. (2)已知函数f(x)＝|log3x|，若a<b，且f(a)＝f(b)，则a＋4b的取值范围是(　　) A．　　　　　　 B． C．[5，＋∞) D．(5，＋∞) 解析：D　画出f(x)＝|log3x|的图象如图所示，因为a<b，且f(a)＝f(b)，所以－log3a＝log3b，故＝b，且0<a<1，令y＝a＋4b，则y＝a＋，由对勾函数的性质可知y＝a＋在(0，1)上单调递减，故y＝a＋>1＋＝5，故a＋4b的取值范围是(5，＋∞)．故选D. 对数函数图象的识别及应用方法 (1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项． (2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解． 注意：对于函数f(x)＝|logax|(a＞0，且a≠1)，若f(m)＝f(n)(m≠n)，则必有mn＝1. 跟踪训练1　(1)(2025·广东深圳二模)已知a>0，且a≠1，则函数y＝loga的图象一定经过(　　) A．一、二象限 B．一、三象限 C．二、四象限 D．三、四象限 解析：D　当x＝0时，y＝loga＝－1，则当0<a<1时，函数图象过二、三、四象限； 则当a>1时，函数图象过一、三、四象限； 所以函数y＝loga的图象一定经过三、四象限．故选D. (2)若实数x，y，z互不相等，且满足2x＝3y＝log4z，则下列式子一定成立的是(　　) A．z>x>y B．z>y>x C．x>y>z D．z>x，z>y 解析：D　设2x＝3y＝log4z＝k>0，则x＝log2k，y＝log3k，z＝4k，分别作出t＝log2k，t＝log3k，t＝4k的图象如图所示，由图可知，当k>0时，4k>log2k，4k>log3k，即z>x，z>y.故选D. 考点二　对数函数的性质及应用 角度1　比较大小 例2　(2025·辽宁辽阳一模)若a＝－log0.220，b＝log624，c＝log312，则(　　) A．c>a>b B．b>a>c C．a>b>c D．c>b>a 解析：A　a＝－log0.220＝log520＝1＋log54，b＝log624＝1＋log64，c＝log312＝1＋log34，因为0＝log41<log43<log45<log46，所以log34>log54>log64，则c>a>b.故选A． 比较对数值大小的方法 若底数相同，真数不同 若底数为同一常数，可由对数函数的单调性直接进行判断；若底数为同一字母，则需对底数进行分类讨论 若底数不同，真数相同 可以先用换底公式化为同底后，再进行比较 若底数与真数都不同 常借助1，0等中间量进行比较 角度2　解对数方程或不等式 例3　(1)不等式log2(x－1)<1的解集为__________. 解析：因为log2(x－1)<1，则log2(x－1)<log22，即0<x－1<2，解得1<x<3. 答案：(1，3) (2)解下列对数方程： ①log4(3－x)＋log0.25(3＋x)＝； ②log2(9x－5)＝log2(3x－2)＋2. 解：①原方程转化为log4＝log4，则 解方程得x＝0或x＝7(舍)，故原方程的解集为{0}． ②原方程转化为log2(9x－5)＝log2[4(3x－2)]⇒9x－5＝4(3x－2)．即9x－4·3x＋3＝0，3x＝1或3x＝3，解得x＝0或x＝1.又故x＝0不符合题意， 故原方程解集为{1}． 1．求解对数不等式的两种类型及方法 (1)logax＞logab：借助y＝logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a＞1与0＜a＜1两种情况讨论． (2)logax＞b：需先将b化为以a为底的对数式的形式，再借助y＝logax的单调性求解． 2．对数方程的解法 (1)logaf(x)＝logag(x)(a>0且a≠1)，化为求解． (2)形如F(logax)＝0的方程如(logax)2＋blogax＋c＝0，令logax＝t后转化为t2＋bt＋c＝0求解． (3)形如logf(x)g(x)＝c的方程，化为指数式[f(x)]c＝g(x)求解． 角度3　对数函数性质的综合应用 例4　已知f(x)＝log2是一个奇函数． (1)求f(x)的解析式和定义域； (2)试判断f(x)的单调性并求出f(x)的值域． 解：(1)因为函数f(x)＝log2为奇函数，则f(－x)＝－f(x)， 即log2＝－log2＝log2，可得， 即(2＋x)(2－x)＝(a－x)(a＋x)，即4－x2＝a2－x2，所以a2＝4，解得a＝±2， 当a＝－2时，因为＝－1(x≠2)，此时，函数f(x)无意义； 当a＝2时，f(x)＝log2，符合题意， 由>0可得<0，解得－2<x<2，即函数f(x)的定义域为(－2，2)． (2)f(x)＝log2＝log2＝log2， 因为内层函数u＝－1在(－2，2)上为减函数，外层函数y＝log2u为增函数， 故函数f(x)在(－2，2)上单调递减， 当－2<x<2时，0<x＋2<4，则u＝－1>0， 所以函数f(x)的值域为R. 解决与对数函数有关的复合函数的单调性问题 需关注三点 (1)遵循定义域优先的原则，所有问题都必须在定义域内讨论． (2)底数与1的大小关系． (3)复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的，判断内层函数和外层函数的单调性，运用复合函数“同增异减”原则确定函数的单调性． 跟踪训练2　(1)(2026·福建厦门期中)设a＝log0.43，b＝log43，c＝30.4，则(　　) A．a<b<c B．b<c<a C．a<c<b D．b<a<c 解析：A　a＝log0.43，因为0.4<1，对数函数单调递减，故a<log0.41＝0；b＝log43，因为4>1，对数函数单调递增，故0＝log41<b<log44＝1；c＝30.4，因为3x单调递增，故c>30＝1.因此a<b<c.故选A． (2)若loga(a2＋1)<loga2a<0，则a的取值范围是________. 解析：由题意得a>0，且a≠1，故必有a2＋1>2a，又loga(a2＋1)<loga2a<0，所以0<a<1，同时2a>1，所以<a<1.综上，a的取值范围是. 答案： (3)(多选)(2025·贵州安顺模拟)已知函数f(x)＝ln ，则(　　) A．f(x)是奇函数 B．f(x)≥0 C．f(x)在(－2，2)上单调递减 D．f(x)在(2，＋∞)上单调递增 解析：ACD　要使得函数f(x)有意义，则>0，解得x≠2且x≠－2，所以f(x)的定义域关于原点对称，且f(－x)＋f(x)＝＝ln 1＝0，从而f(x)是奇函数，故A正确；f(1)＝ln <ln 1＝0，故B错误；当x∈(－2，2)时，f(x)＝ln ＝＝ln (2－x)－ln (2＋x)，y＝ln (2－x)在(－2，2)上单调递减，y＝ln (2＋x)在(－2，2)上单调递增，所以f(x)在(－2，2)上单调递减，故C正确；当x∈(2，＋∞)时，f(x)＝ln ＝ln ＝ln ，y＝1－在(2，＋∞)上单调递增，y＝ln x在(0，＋∞)上单调递增，所以f(x)在(2，＋∞)上单调递增，D正确．故选ACD. (人A必修一P43T10)已知b克糖水中含有a克糖(b>a>0)，再添加m克糖(m>0)(假设全部溶解)，糖水变甜了．请将这一事实表示为一个不等式，并证明这个不等式成立． 本题得到的不等式称为糖水不等式： (1)设b>a>0，m>0，则有<； (2)糖水不等式的倒数形式：设a>b>0，m>0，则有>. 对数型糖水不等式： (1)设n∈N*，且n>1，则有logn＋1·n<log(n＋2)(n＋1)； (2)设a>b>1，m>0，则有logab<loga＋m(b＋m)； (3)上式的倒数形式：设a>b>1，m>0，则有logba>logb＋m(a＋m)． 典例　已知a＝3log83，b＝，c＝log45，则a，b，c的大小关系为(　　) A．a>b>c　　　　　　　 B．c>a>b C．a>c>b D．c>b>a 解析：A　法一：a＝3log83＝log827＝ ＝log23，b＝log316＝log34.对任意x>y>0，m>0，>0，即>.所以a＝log23＝>＝log3>log34，即a>b，b＝log34＝>＝log4>log45，即b>c，所以a>b>c.故选A． 法二：a＝3log83＝log827＝ ＝log23，b＝log316＝log34，c＝log45，利用对数型糖水不等式得log23>log34>log45，即a>b>c.故选A． 尝试训练　已知a>b>0，c∈R则下列不等式一定成立的是(　　) A．ab<b2 B．ac2>bc2 C．< D．< 解析：C　对于A，由a>b>0，得ab>b2，故A错误；对于B，当c＝0时，ac2＝0＝bc2，故B错误；对于C，由a>b>0，得a＋1>b＋1>0，则<，故C正确；对于D，取c＝－b，则＝0<，故D错误．故选C. 学科网（北京）股份有限公司 $