2.7 指数函数(教师用书Word)-【高考领航】2027年高考数学大一轮复习学案

该高中数学讲义聚焦指数函数核心考点，涵盖概念、图象及性质，按“概念-图象-性质-应用”逻辑架构知识体系，通过考点梳理、方法指导、真题训练三环节，帮助学生构建从基础到综合应用的解题思路。 资料突出数学思维与数学语言培养，如通过一次函数与指数函数图象关联分析发展几何直观，比较大小题引入中间量强化推理意识，设置分层练习保障复习效果，助力学生高效掌握考点，为教师把控复习节奏提供清晰指导。

2．7　指数函数 [课标解读] 1．通过具体实例，了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念．　2.能用描点法或借助计算工具画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点． 1．指数函数的概念 一般地，函数y＝ax(a＞0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R. 2．指数函数的图象和性质 a＞1 0＜a＜1 图象 定义域 R 值域 (0，＋∞) 性质 过定点(0，1)，即x＝0时，y＝1 当x＞0时，y＞1；当x＜0时，0＜y＜1 当x＜0时，y＞1；当x＞0时，0＜y＜1 在(－∞，＋∞)上是增函数 在(－∞，＋∞)上是减函数 常用结论 指数函数图象的特点(应用见例1) (1)指数函数的图象恒过点(0，1)，(1，a)，，依据这三点的坐标可得到指数函数的大致图象． (2)函数y＝ax与y＝x(a＞0，且a≠1)的图象关于y轴对称． (3)在第一象限内，指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的图象越高，底数越大． (4)指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的图象以x轴为渐近线；y＝ax＋b恒过定点(0，1＋b)，且以y＝b为渐近线． 1．思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)函数y＝2x-1是指数函数．(　　) (2)函数y＝ax2＋1(a>1)的值域是(0，＋∞)．(　　) (3)2-3＞2-4.(　　) (4)若am＜an(a＞0，且a≠1)，则m＜n.(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)× 2．(人A必修一P114例1改编)已知函数f(x)＝－2ax+1－2(a>0且a≠1)的图象经过定点P(m，n)，则m＋n＝(　　) A．－1　　　　　　 B．－4 C．－5 D．3 解析：C　令x＋1＝0，得x＝－1，此时f(－1)＝－2a0－2＝－4，所以定点P的坐标为(－1，－4)，即m＝－1，n＝－4，所以m＋n＝－5.故选C. 3．(人A必修一P119T6改编)若a＝20.3，b＝0.20.3，c＝0.20.2，则下列各式正确的是(　　) A．c<a<b B．a<c<b C．c<b<a D．b<c<a 解析：D　因为a＝20.3>1，b＝0.20.3<c＝0.20.2<1，则a>c>b.故选D. 4．(人A必修一P118练习T1改编)在区间[a，5]上，f(x)＝2x的最大值是其最小值的4倍，则实数a＝(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：C　因为f(x)＝2x区间[a，5]上单调递增，又f(a)＝2a，f(5)＝25＝32，所以32＝4×2a，解得a＝3.故选C. 考点一　指数函数的图象及应用 例1　(1)当a≠0时，函数y＝ax＋b和y＝bax的图象只可能是(　　) 解析：A　对于A，由一次函数的图象知，a>0，0<b<1，此时函数y＝bax为减函数，故A正确；对于B，由一次函数的图象知，a>0，b>1，此时函数y＝bax为增函数，故B错误；对于C，由一次函数的图象知，a<0，b>1，此时函数y＝bax为减函数，C错误；对于D，由一次函数的图象知，a<0，0<b<1，此时函数y＝bax为增函数，故D错误．故选A． (2)(2025·广东广州一模)已知实数a，b满足3a＝4b，则下列不等式可能成立的是(　　) A．b<a<0　　　　 B．2b<a<0 C．0<a<b D．0<2b<a 解析：B　设函数f(x)＝3x，g(x)＝4x，h(x)＝2x，作出函数图象如图所示，设3a＝4b＝t.对于A，当0<t<1时，直线y＝t与函数f(x)＝3x，g(x)＝4x的图象交点的横坐标为a，b，由函数图象可知，a<b<0，故A错误；对于C，当t>1时，直线y＝t与函数f(x)＝3x，g(x)＝4x的图象交点的横坐标为a，b，由函数图象可知，0<b<a，故C错误； 因为3a＝4b，所以3a＝22b，设3a＝22b＝t，作出函数f(x)＝3x，h(x)＝2x的图象如图所示，对于B，当0<t<1时，直线y＝t与函数f(x)＝3x，h(x)＝2x的图象交点的横坐标为a，2b，由函数图象可知，2b<a<0，故B正确；对于D，当t>1时，直线y＝t与函数f(x)＝3x，h(x)＝2x的图象交点的横坐标为a，2b，由函数图象可知，0<a<2b，D错误．故选B. 指数函数的图象及其应用策略 (1)已知函数解析式判断其图象时，可通过图象经过的定点和特殊点来进行分析判断． (2)进行图象识别与应用时，可从基本的指数函数图象入手，通过平移、伸缩、对称等变换得到相关函数的图象． (3)根据指数函数图象判断底数的大小问题，可通过直线x＝1与图象的交点进行判断． 跟踪训练1　(1)函数y＝(0<a<1)的图象大致形状为(　　) 解析：D　当x>0时，y＝ax(0<a<1)；当x<0时，y＝－ax(0<a<1)，所以x>0时函数是减函数，x<0时函数是增函数，且图象是y＝ax(0<a<1)的x<0部分关于x轴的对称图形．故选D. (2)(2025·甘肃兰州模拟)已知函数 f(x)＝|2x－1|，关于x的方程f(x)＝k有两个不等实数根，则实数k的取值范围是(　　) A．(1，＋∞) B．[1，＋∞) C．[0，1] D．(0，1) 解析：D　作出函数f(x)＝|2x－1|的图象，如图所示，若关于x 的方程 f(x)＝k 有两个不等实根，则函数y＝f(x) 的图象与直线 y＝k 有两个交点，由图可知，k∈(0，1)．故选D. 考点二　指数函数的性质及应用 角度1　比较指数式的大小 例2　(1)(多选)以下关于数的大小的结论正确的是(　　) A．1.72.5<1.73 B．0.8-0.1<0.8-0.2 C． D． 解析：ABD　对于A，因为指数函数y＝1.7x在R上单调递增，且2.5<3，所以1.72.5<1.73，故A正确；对于B，因为指数函数y＝0.8x在R上单调递减，且－0.1>－0.2，所以0.8-0.1<0.8-0.2，故B正确；对于C，因为1.50.3>1.50＝1，0<0.93.1<0.90＝1，所以1.50.3>0.93.1，故C错误；对于D，因为12＝，且12＝3＝，所以，故D正确．故选ABD. (2)(2025·全国一卷T8)已知2＋log2x＝3＋log3y＝5＋log5z，则x，y，z的大小关系不可能是(　　) A．x>y>z B．x>z>y C．y>x>z D．y>z>x 解析：B　法一：设2＋log2x＝3＋log3y＝5＋log5z＝t，则x＝2t-2，y＝3t-3，z＝5t-5.设函数f(x)＝xt－x＝e(t－x)ln x，x≥2.设函数g(x)＝(t－x)ln x，x≥2.g′(x)＝.因为y＝x(1＋ln x)是增函数，故可通过取区间(－∞，2＋2ln 2)，(2＋2ln 2，3＋3ln 3)，(3＋3ln 3，5＋5ln 5)，(5＋5ln 5，＋∞)中t的特殊值来确定大小关系．当t<2＋2ln 2时，g′(x)<0，g(x)在区间(2，＋∞)单调递减，从而g(2)>g(3)>g(5)，所以f(2)>f(3)>f(5)，即x>y>z.当2＋2ln 2<t<3＋3ln 3时，取t＝5，则g(2)＝3ln 2，g(3)＝2ln 3，g(5)＝0，可得g(3)>g(2)>g(5)，所以f(3)>f(2)>f(5)，即y>x>z.当3＋3ln 3<t<5＋5ln 5时，取t＝9，则g(2)＝7ln 2，g(3)＝6ln 3，g(5)＝4ln 5，可得g(3)>g(5)>g(2)，所以f(3)>f(5)>f(2)，即y>z>x.故选B. 法二：设2＋log2x＝3＋log3y＝5＋log5z＝m，所以令m＝2，则x＝1，y＝3-1＝，此时x>y>z，A有可能；令m＝5，则x＝8，y＝9，z＝1，此时y>x>z，C有可能；令m＝8，则x＝26＝64，y＝35＝243，z＝53＝125，此时y>z>x，D有可能．故选B. 角度2　解简单的指数方程或不等式 例3　解下列方程或不等式． (1)2x+3＝22x2＋x－6； (2)4x－2x－2>0； (3)62x+4＝33x·2x+8； (4)ax2＋3x>a2x+2(其中a>0且a≠1)． 解：(1)由2x+3＝22x2＋x－6得，x＋3＝2x2＋x－6，解得x＝±. 所以原方程的解集为{}． (2)令2x＝t>0，则t2－t－2>0； 解得t<－1(舍)或t>2，即2x>2， 所以x>1，所以不等式的解集为{x|x>1}． (3)方程两边同除以33x·2x+8得x-4＝1.解得x＝4.原方程的解集为{4}． (4)当a>1时，因为ax2＋3x>a2x+2，且y＝ax在R上单调递增， 所以x2＋3x>2x＋2，即x2＋x－2>0，解得x>1或x<－2， 当0<a<1时，因为ax2＋3x>a2x+2，且y＝ax在R上单调递减， 所以x2＋3x<2x＋2，即x2＋x－2<0，解得－2<x<1， 综上：当a>1时，x∈(－∞，－2)∪(1，＋∞)； 当0<a<1时，x∈(－2，1)． 角度3　指数函数性质的综合应用 例4　设f(x)＝(a，b为实常数)． (1)若f(x)是奇函数，求a与b的值； (2)若f(x)定义域不为R且是奇函数时，求函数f(x)的值域． 解：(1)f(x)是奇函数时，f(－x)＝－f(x)． 即对定义域内任意实数x都成立， 即(2a－b)·22x＋(2ab－4)·2x＋(2a－b)＝0. 对定义域内任意实数x都成立，所以 解得或 (2)当时，f(x)＝，定义域为R，不符合题意；当时，f(x)＝(x≠0)．当x>0时，因为2x>1，故1－2x<0，则<0，所以f(x)<－；当x<0时，－x>0，f(x)＝－f(－x)>.综上所述：函数f(x)的值域为∪. 1．比较指数式大小的方法 (1)能化成同底数的先化成同底数幂，再利用单调性比较大小． (2)不能化成同底数的，一般引入“1”等中间量比较大小． 2．指数方程或不等式的解法 (1)解指数方程或不等式的依据： ①af(x)＝ag(x)⇔f(x)＝g(x)； ②af(x)＞ag(x)，当a＞1时，等价于f(x)＞g(x)；当0＜a＜1时，等价于f(x)＜g(x)． (2)解指数方程或不等式的方法：先利用幂的运算性质化为同底数幂，再利用函数单调性转化为一般方程或不等式求解． 跟踪训练2　(1)设a＝，则a，b，c的大小关系为(　　) A．c>a>b B．a>b>c C．b>a>c D．a>c>b 解析：D　依题意，函数y＝在(0，＋∞)上单调递增，函数y＝x在R上单调递减，则a＝>c＝＝b，所以a，b，c的大小关系为a>c>b.故选D. (2)若x满足不等式2x2＋1≤x-2，则函数y＝2x的值域是(　　) A． B． C． D．[2，＋∞) 解析：B　将2x2＋1≤x-2化为x2＋1≤－2(x－2)，即x2＋2x－3≤0，解得x∈[－3，1]，所以2-3≤2x≤21，所以函数y＝2x的值域是.故选B. (3)(多选)(2026·广东广州开学考试)已知函数f(x)＝＋2，则(　　) A．f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞) B．f(x)为奇函数 C．f(x)为R上的减函数 D．f(x)无最值 解析：ABD　对于A，由f(x)＝＋2可知ex－1≠0，所以x≠0，即其定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，故A正确；对于B，f(x)＝，f(－x)＝，显然f(x)＝－f(－x)，所以f(x)为奇函数，故B正确；对于C，由A项结论可知C显然错误；对于D，由指数函数的性质知：当x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)时，ex－1∈(－1，0)∪(0，＋∞)，所以∈(－∞，－4)∪(0，＋∞)，则f(x)∈(－∞，－2)∪(2，＋∞)，故D正确．故选ABD. 学科网（北京）股份有限公司 $