2.6 指数式与对数式的运算(教师用书Word)-【高考领航】2027年高考数学大一轮复习学案

该高中数学讲义聚焦指数式与对数式运算高考核心考点，依据课标要求梳理根式、指数幂、对数的概念性质及运算规律，构建从基础概念到综合应用的知识体系，通过考点梳理、例题精讲、跟踪训练环节帮助学生突破运算难点，体现复习的系统性与针对性。 资料以概念辨析夯实基础，分层训练提升能力，创新采用指对互化转化策略（如例3设参数t统一变量），培养学生数学思维与抽象能力，设置基础巩固到综合应用练习，配合即时反馈，确保高效突破考点，助力学生提升应考能力，为教师把控复习节奏提供清晰指导。

2.6　指数式与对数式的运算 [课标解读] 1．通过对有理数指数幂(a＞0，且a≠1；m，n为整数，且n＞0)、实数指数幂ax(a＞0，且a≠1；x∈R)含义的认识，了解指数幂的拓展过程，掌握指数幂的运算性质．　2.理解对数的概念和运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用． 1．根式与有理数指数幂 (1)根式 (2)有理数指数幂 概 念 正分数指数幂： a>0，m，n∈N*， n>1 负分数指数幂:＝＝ 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 运算性质 aras＝ar＋s a＞0，b＞0， r，s∈Q (ar)s＝ars (ab)r＝arbr 2．对数 概念 一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝ logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数 性质 对数式与指数式的互化：当a>0，a≠1时，ax＝N⇔x＝logaN 负数和0没有对数 1的对数是0：loga1＝0 底数的对数是1：logaa＝ 1 对数恒等式：alogaN＝N 运算 性质 loga(MN)＝logaM＋logaN a>0，且a≠1，M>0，N>0 loga＝logaM－logaN logaMn＝nlogaM(n∈R) 对数 换底 公式 logab＝ 常用结论 1．换底公式的变形 (1)logab·logba＝1，即logab＝. logab(a，b均大于0且不等于1，m≠0，n∈R)．(应用见例2(3)) 2．换底公式的推广 logab·logbc·logcd＝logad(a，b，c均大于0且不等于1，d＞0)．(应用见例2(2)) 1．思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1) ＝－4.(　　) (2)分数指数幂可以理解为个a相乘．(　　) (3)log2x2＝2log2x.(　　) (4)若MN＞0，则loga(MN)＝logaM＋logaN.(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 2．(人A必修一P127T5改编)设a＝lg 2，b＝lg 3，则log1210＝(　　) A．　　　　　　 B． C．2a＋b D．2b＋a 解析：A　log1210＝ ＝.故选A． 3．(人A必修一P110T8改编)已知＝3，则a＋a-1＝________；a2＋a-2＝________. 解析：由＝3，得a＋a-1＋2＝9，即a＋a-1＝7，则a2＋a-2＋2＝49，即a2＋a-2＝47. 答案：7　47 4．(北师大必修一P105例4(1)改编－log32·log49＝________. 解析：原式＝＝4＋9－1＝12. 答案：12 考点一　指数幂的化简与求值 例1　计算： ＋(－6)0＋ ； (a>0，b>0)； (3)若10m＝4，10n＝5，求的值． 解：(1)原式＝＋ －2＝ －2＝2＋ . (2)原式＝＝a＋1. (3)由10m＝4，10n＝5得 ＝ ＝. 1．指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算． 2．当底数是负数时，先确定运算结果的符号，再把底数化为正数． 3．运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既含有分母又含有负指数． 跟踪训练1　计算： ； ＋ ×6. 解： ＝. ＋ ×6 ＝ ＝2－1＋2＋8×9＝75. 考点二　对数式的化简与求值 例2　计算： (1)lg 14－2lg ＋lg 7－lg 18； (2)log35·log57·log79＋(lg 2)2＋lg 2·lg 5＋lg 5－ln (ln e)＋21＋log24； (3)(log35＋log53)2－－(log53)2. 解：(1)lg 14－2lg ＋lg 7－lg 18 ＝lg 14－lg 7＋lg ＝lg ＝lg 1＝0. (2)log35·log57·log79＋(lg 2)2＋lg 2·lg 5＋lg 5－ln (ln e)＋21＋log24 ＝ ＝＋lg 2·lg 10＋lg 5－ln 1＋8＝2＋lg 2＋lg 5－0＋8＝11. (3)(log35＋log53)2－－(log53)2 ＝－(log53)2 ＝(log35)2＋2log35×＋(log53)2－log35×log35－(log53)2＝2. 1．在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后用对数运算法则化简合并． 2．先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算． 3．ab＝N⇔b＝logaN(a>0，且a≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化． 跟踪训练2　(1)求值：×lg 2×log23＝__________. 解析：×lg 2×log23 ＝4＋lg 5－×lg 2×log23＝4＋lg 5－×lg 2×log23＝4＋lg 5＋lg 2＝4＋lg 10＝5. 答案：5 (2)＝__________. 解析：原式＝ ＝. 答案：－ 考点三　指数、对数运算的综合应用 例3　(1)已知log23＝a，2b＝7，用a，b表示log4256为(　　) A．　　　　 B． C． D． 解析：B　由题意可得b＝log27，所以log4256＝.故选B. (2)(2025·宁夏吴忠一模)若abc≠0，且3a＝4b＝6c，则(　　) A． B． C． D． 解析：C　设3a＝4b＝6c＝t，则a＝log3t，b＝log4t，c＝log6t，所以.≠，故A错误；≠，故B错误；，故C正确；≠，故D错误．故选C. 指对互化的转化技巧 对于将指数恒等式ax＝by＝cz作为已知条件，求函数f(x，y，z)的值的问题，通常设ax＝by＝cz＝k(k＞0)，则x＝logak，y＝logbk，z＝logck，将x，y，z的值代入函数f(x，y，z)求解． 跟踪训练3　(1)若2x＝3y＝6，则x＋y－xy＝(　　) A． B． C． D．0 解析：D　因为2x＝3y＝6，所以x＝log26，y＝log36，则＝log62，＝log63，所以＝log62＋log63＝1，所以＝1，则x＋y－xy＝0.故选D. (2)(2026·福建泉州期中)设0.2a＝0.3，b＝log20.3，则(　　) A．ab<a＋b<0 B．a＋b<ab<0 C．a＋b<0<ab D．ab<0<a＋b 解析：A　由0.2a＝0.3，得a＝log0.20.3＝>0，由b＝log20.3，得b＝log20.3＝<0，>0，又因为ab<0，所以a＋b<0；又因为<＝1，且ab<0，所以a＋b>ab.综上得ab<a＋b<0.故选A． 学科网（北京）股份有限公司 $