2.4 函数的对称性(教师用书Word)-【高考领航】2027年高考数学大一轮复习学案

该高中数学讲义聚焦函数对称性高考核心考点，涵盖奇偶函数对称、函数自身对称及两函数对称三大模块，按“概念梳理-性质推论-应用突破”逻辑架构知识体系，通过课标解读明确要求，思考辨析夯实基础，考点例题（轴对称、中心对称等）精讲方法，跟踪训练强化应用，形成系统性复习闭环。 资料采用“性质推导-实例验证-变式迁移”教学策略，如在轴对称问题中引导学生通过“f(a+x)=f(a-x)”抽象对称本质，结合几何直观分析图象关系，培养数学思维与推理能力。设置教材改编题、高考模拟题分层练习，配合即时反馈，助力学生高效掌握对称判定与应用技巧，为教师把控复习节奏提供精准教学支持。

2．4　函数的对称性 [课标解读] 1．能通过平移，分析得出一般的轴对称和中心对称公式和推论．　2.会利用对称公式解决问题． 1．奇函数、偶函数的对称性 (1)奇函数关于原点对称，偶函数关于y轴对称． (2)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称． (3)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象关于点(b，0)中心对称． 2．函数图象的对称性 (1)若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)或f(a＋x)＝f(a－x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称． (2)若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝－f(x)或f(－x)＝－f(2a＋x)或f(a＋x)＝－f(a－x)，则y＝f(x)的图象关于点(a，0)对称． 3．两个函数图象的对称性 (1)函数y＝f(x)与y＝f(－x)关于y轴对称． (2)函数y＝f(x)与y＝－f(x)关于x轴对称． (3)函数y＝f(x)与y＝－f(－x)关于原点对称． 1．思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)函数y＝f(x＋1)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称．(　　) (2)函数y＝f(x－1)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象关于点(1，0)对称．(　　) (3)若函数f(x)满足f(x－1)＋f(x＋1)＝0，则f(x)的图象关于y轴对称．(　　) (4)若函数f(x)满足f(2＋x)＝f(2－x)，则f(x)的图象关于直线x＝2对称．(　　) 答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)√ 2．(人A必修一P87T13改编)函数f(x)＝图象的对称中心为(　　) A．(0，0)　　　　　　 B．(0，1) C．(1，0) D．(1，1) 解析：B　因为f(x)＝，由y＝向上平移一个单位长度得到f(x)＝1＋，又y＝关于(0，0)对称，所以f(x)＝1＋的图象关于(0，1)对称．故选B. 3．(湘教必修一P86T13改编)若偶函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，且当x∈[2，3]时，f(x)＝2x－1，则f(－1)＝________. 解析：因为f(x)为偶函数，所以f(－1)＝f(1)，由f(x)的图象关于x＝2对称， 可得f(1)＝f(3)＝2×3－1＝5，所以f(－1)＝5. 答案：5 4．(人B必修一P114探索与研究改编)已知函数y＝f(x＋2)－3是奇函数，且f(4)＝2，则f(0)＝________. 解析：法一：由y＝f(x＋2)－3是奇函数，得f(－x＋2)－3＝－f(x＋2)＋3，令x＝2，f(0)－3＝－f(4)＋3，得f(0)＝4. 法二：由y＝f(x＋2)－3是奇函数，得f(x)关于(2，3)对称，故f(0)＋f(4)＝6，即f(0)＝4. 答案：4 考点一　轴对称问题 例1　已知函数g(x)＝(x＋a)ln 是否存在a，b，使得曲线y＝g(x)关于直线x＝b对称？若存在，求a，b的值；若不存在，说明理由． 解：假设存在a，b, 使得曲线y＝g(x)关于直线x＝b对称． 因为曲线y＝g(x)关于直线x＝b对称，所以g(x)＝g(2b－x)， 即(x＋a)ln ＝(2b－x＋a)ln ＝(x－2b－a)ln ， 于是得 当a＝时，g(x)＝ln ，g(－1－x)＝ln ＝ln ＝ln ＝g(x)， 所以曲线y＝g(x)关于直线x＝－对称，满足题意． 故存在a，b，使得曲线y＝g(x)关于直线x＝b对称，且a＝. 轴对称问题的常用性质 (1)函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称⇔f(x)＝f(2a－x)⇔f(a－x)＝f(a＋x)． (2)若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(b－x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝成轴对称． 跟踪训练1　已知函数f(x)＝log2(4x＋a·2x＋4)，其中a∈R，证明：函数y＝f(x)－x的图象是轴对称图形． 证明：因为h(x)＝f(x)－x＝log2(4x＋a·2x＋4)－log22x＝log2(2x＋22-x＋a)， 在函数有意义的前提下，可得h(2－x)＝log2(22-x＋2x＋a)＝h(x)， 可知x＝1为h(x)的一条对称轴，所以函数y＝f(x)－x的图象是轴对称图形． 考点二　中心对称问题 例2　已知函数f(x)＝ln ＋ax＋b(x－1)3.证明：曲线y＝f(x)是以(1，a)为中心的中心对称图形． 证明：法一：因为f(x)的定义域为(0，2)，所以f(x)若为中心对称图形，对称中心横坐标必为1.所以f(2－x)＝ln ＋a(2－x)＋b(1－x)3＝－ln －ax－b(x－1)3＋2a＝－f(x)＋2a， 故曲线y＝f(x)关于点(1，a)中心对称． 法二：因为f(x)＝ln ＋ax＋b(x－1)3，x∈(0，2)， 所以f(x＋1)＝ln ＋ax＋a＋bx3，x∈(－1，1)． 令g(x)＝f(x＋1)－a＝ln ＋ax＋bx3，x∈(－1，1)， 则g(－x)＝ln －ax－bx3＝－ln －ax－bx3＝－g(x)， 所以g(x)是定义域为(－1，1)的奇函数，其图象关于坐标原点对称． 又因为f(x)的图象可由g(x)的图象向右平移1个单位长度，再向上平移a个单位长度得到， 所以曲线y＝f(x)是中心对称图形． 中心对称问题的常用性质 (1)函数y＝f(x)的图象关于点(a，b)对称⇔f(a＋x)＋f(a－x)＝2b⇔2b－f(x)＝f(2a－x)． (2)若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＋f(b－x)＝c，则y＝f(x)的图象关于点成中心对称． 注意：对于函数自身对称的性质可以简记为：函数自身对称求平均，即性质(2)关于点，也就是关于点对称． 跟踪训练2　(1)若函数f(x)＝的图象关于点(1，2)对称，则a＝(　　) A．－2　　　　　 B．－1 C．1 D．2 解析：D　f(x)＝关于(1，2)对称，所以f(1＋x)＋f(1－x)＝4，即a＋＝2a＝4，则a＝2.故选D. (2)(2026·河南安阳期中)已知函数f(x)＝＋x－1在区间[a，b]上的值域为[m，M].若a＋b＝4，则m＋M的值为(　　) A．1 B．2 C．4 D．8 解析：B　函数f(x)＝ex-2－＋x－1，则f(4－x)＋f(x)＝e2-x－＋4－x－1＋ex-2－－ex-2＋2＋ex-2－＝2，因此函数f(x)的图象关于点(2，1)对称，函数y＝ex-2，y＝－，y＝x－1在R上都单调递增，因此函数f(x)在[a，b]上单调递增，则m＝f(a)，M＝f(b)，而a＋b＝4，所以m＋M＝f(4－b)＋f(b)＝2.故选B. 考点三　两个函数图象的对称问题 例3　已知函数y＝f(x)是定义域为R的函数，则函数y＝f(x＋2)与y＝f(4－x)的图象(　　) A．关于直线x＝1对称 B．关于直线x＝3对称 C．关于直线y＝3对称 D．关于点(3，0)对称 解析：A　设P(x0，y0)为y＝f(x＋2)图象上任意一点，则y0＝f(x0＋2)＝f(4－(2－x0))，所以点Q(2－x0，y0)在函数y＝f(4－x)的图象上，而点P(x0，y0)与点Q(2－x0，y0)关于直线x＝1对称，所以函数y＝f(x＋2)与y＝f(4－x)的图象关于直线x＝1对称．故选A． 函数y＝f(a＋x)的图象与函数y＝f(b－x)的图象关于直线x＝对称．可以简记为：两个函数对称解方程，即由a＋x＝b－x，得x＝. 跟踪训练3　(1)下列函数中，其图象与函数y＝log2x的图象关于直线x＝2对称的是(　　) A．y＝log2(2＋x)　　 B．y＝log2(2－x) C．y＝log2(4＋x) D．y＝log2(4－x) 解析：D　设所求函数的图象上任意一点P(x，y)，则点P关于x＝2对称的点为Q(4－x，y)，由题意知点Q在y＝log2x的图象上，可得y＝log2(4－x)，即函数y＝log2x关于x＝2对称的函数解析式为y＝log2(4－x)．故选D. (2)下列函数与y＝2x－cos x的图象关于原点对称的是(　　) A．g(x)＝－2x＋cos x B．g(x)＝2－x－cos (－x) C．g(x)＝－2－x＋cos (－x) D．g(x)＝－2－x－cos (－x) 解析：C　令f(x)＝2x－cos x，f(x)与g(x)关于原点对称，则g(x)＋f(－x)＝0，所以g(x)＝－f(－x)＝－[2－x－cos (－x)]＝－2－x＋cos (－x)．故选C. 学科网（北京）股份有限公司 $