2.1 函数的概念及其表示(教师用书Word)-【高考领航】2027年高考数学大一轮复习学案

该高中数学讲义聚焦函数概念及表示，覆盖定义域、解析式、分段函数等高考核心考点，依据课标要求梳理构成要素与表示方法，通过考点分类讲解、方法归纳、真题演练的教学流程，帮助学生构建知识体系，突破定义域求解、分段函数应用等难点，体现复习的系统性与针对性。 资料特色在于融合真题改编与分层训练，如通过换元法、待定系数法等培养数学思维，设置思考辨析与典例精讲强化概念理解，借助分段函数与方程不等式的综合题提升数学语言表达能力。分层练习配合即时反馈，确保高效复习，为教师把控节奏、提升学生应考能力提供有力支持。

2．1　函数的概念及其表示 [课标解读] 1．了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域和值域．　2.会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数．　3.了解简单的分段函数，并能简单应用． 1．函数的有关概念 2．分段函数 (1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数． (2)可转化为分段函数的函数 ①含有绝对值的函数：形如y＝|x|，y＝|x－2|等． ②最值函数：设min{a，b}＝max{a，b}＝直观上来说min{a，b}用来表示a，b的最小值，我们将其称为最小值函数，同样，max{a，b}用来表示a，b的最大值，称作最大值函数． 常用结论 求函数的定义域时，需掌握的几个常用结论 (1)分式型要满足f(x)≠0. (2)根式型 (n∈N*)要满足f(x)≥0. (3)[f(x)]0要满足f(x)≠0. (4)对数型logaf(x)(a>0，且a≠1)要满足f(x)>0.(应用见例2) (5)正切型tan [f(x)]要满足f(x)≠＋kπ，k∈Z. 1．思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)f(x)＝ ＋ 是一个函数．(　　) (2)函数就是定义域到值域的对应关系．(　　) (3)若A＝R，B＝{x|x>0}，f：x→y＝|x|，其对应是从A到B的函数．(　　) (4)若两个函数的定义域与值域分别相同，则这两个函数是同一个函数．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 2．(北师大必修一P55例2改编)函数f(x)＝ ＋(x－1)0的定义域是(　　) A．[－5，＋∞)　　　　 B．[－5，1) C．[－5，1)∪(1，＋∞) D．(1，＋∞) 解析：C　f(x)＝ ＋(x－1)0有意义，等价于解得x≥－5且x≠1，故函数的定义域为[－5，1)∪(1，＋∞)．故选C. 3．(人A必修一P66例3改编)在下列函数中，与函数y＝ 是同一个函数的为(　　) A．y＝ B．y＝ C．y＝ D．y＝ 解析：A　原函数化简为：y＝ ＝x(x∈R)，y＝＝x(x∈R)，与原函数为同一个函数，故A正确；y＝＝x(x≠－1)，与原函数不是同一个函数，故B错误；y＝ ＝|x|(x∈R)，与原函数不是同一个函数，故C错误；y＝(x≠0)，与原函数不是同一个函数，故D错误．故选A． 4．(苏教必修一P134T3改编)已知函数f(x)＝则f(f(0))＝(　　) A．2 B．3 C．5 D．33 解析：B　函数f(x)＝则f(0)＝20＋1＝2，所以f(f(0))＝f(2)＝|2－5|＝3.故选B. 考点一　函数概念的理解 例1　(多选)下列说法正确的是(　　) A．函数y＝ · 与函数y＝ 表示同一个函数 B．已知集合A＝{x|0≤x≤4}，B＝{x|0≤x≤2}，对应关系f：x→ 能构成从A到B的函数 C．函数f(x)的图象与y轴最多有一个交点 D．函数y＝2－ ，x∈[0，4]的值域为[0，2] 解析：BCD　对于y＝ · ，有解得x≥1，则y＝ · 的定义域为[1，＋∞)，对于y＝ ，有x2－1≥0，解得x≤－1或x≥1，则y＝ 的定义域为(－∞，－1]∪[1，＋∞)，即y＝ · 与y＝ 的定义域不一致，所以这两个函数不表示同一个函数，故A错误；当x∈A时，0≤ ≤2，且x与唯一一个 对应，根据函数定义可得f：x→ 构成从A到B的函数，故B正确；由函数的定义知，f(x)的图象与y轴最多有一个交点，故C正确；由x∈[0，4]，得 ＝ ∈[0，2]，所以y＝2－ ∈[0，2]，故D正确．故选BCD. 函数的含义及判断两个函数是同一个函数的方法 (1)函数概念中有两个要求：①A，B是非空的实数集；②第一个集合A中的每个元素在第二个集合B中有且只有一个元素与之对应． (2)两个函数满足定义域和对应关系相同时，才是同一个函数． 跟踪训练1　(1)(2026·山东菏泽期中)下列从集合A到集合B的对应关系，其中y是x的函数的是(　　) A．A＝B＝R，对应关系f：x→y＝ B．A＝B＝R，对应关系f：x→y＝ C．A＝B＝R，对应关系f：x→y＝±x D．A＝B＝N，对应关系f：x→y＝ 解析：B　对于A，集合A中的元素0，按照对应关系在集合B中没有实数与之对应，所以y不是x的函数；对于B，集合A中的任何实数，按照对应关系在集合B都有唯一的实数与之对应，所以y是x的函数；对于C，集合A中非0的实数，按照对应关系在集合B都有两个实数与之对应，所以y不是x的函数；对于D，集合A中的正奇数，按照对应关系在集合B中没有自然数与之对应，所以y不是x的函数．故选B. (2)(多选)设A＝[0，2]，B＝[0，2]，下列选项能表示从集合A到集合B的函数关系的是(　　) 解析：AD　对于集合A中的任意一个元素，在集合B中都有唯一确定的元素和其对应，则满足从集合A到集合B的函数关系，其中AD满足，B选项中自变量范围为[0，1]，不是[0，2]，B错误；C选项，因变量的取值范围是[0，3]，不是[0，2]的子集，C错误．故选AD. 考点二　函数的定义域 例2　已知函数y＝f(2x＋1)的定义域为[－1，2]，则函数y＝的定义域为(　　) A．[－1，2]　　　　　 B．(－1，2] C．[－1，5] D．(－1，5] 解析：D　对于函数y＝f(2x＋1)，－1≤x≤2，则－1≤2x＋1≤5，所以，函数f(x)的定义域为[－1，5]，对于函数y＝，有即解得－1<x≤5.因此，函数y＝的定义域为(－1，5].故选D. 1．若已知函数的解析式，其定义域应使函数解析式中所含式子(运算)有意义，列出不等式或不等式组求解；对于实际问题，定义域应使实际问题有意义． 2．若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f(g(x))的定义域可由不等式a≤g(x)≤b求出． 3．若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]上的值域． 跟踪训练2　(1)(人A必修一P65例2改编)函数y＝的定义域为(　　) A．(－∞，－4)∪(－4，1) B．(－∞，－1)∪(－1，4) C．(－∞，1) D．(1，＋∞) 解析：A　由得所以函数y＝的定义域为(－∞，－4)∪(－4，1)．故选A． (2)已知函数f(x)的定义域为[－5，6]，则函数f(4－3x)的定义域为(　　) A．　　　　　 B． C．[－5，6] D．[－14，19] 解析：B　因为函数f(x)的定义域为[－5，6]，由－5≤4－3x≤6，解得－≤x≤3，故函数f(4－3x)的定义域为.故选B. 考点三　函数的解析式 例3　(1)已知f(1－sin x)＝cos2x，求f(x)的解析式； (2)已知f＝x4＋，求f(x)的解析式； (3)已知f(x)是一次函数且3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，求f(x)的解析式； (4)若对任意实数x，均有f(x)－2f(－x)＝9x＋2，求f(x)的解析式． 解：(1)(换元法)设1－sinx＝t，t∈[0，2]，则sin x＝1－t， 因为f(1－sin x)＝cos2x＝1－sin2x， 所以f(t)＝1－(1－t)2＝2t－t2，t∈[0，2]. 即f(x)＝2x－x2(0≤x≤2)． (2)(配凑法)f＝x4＋＝2－2， 又x2＋＝2， 当且仅当x2＝，即x＝±1时等号成立． 设t＝x2＋，则t≥2，所以f(t)＝t2－2(t≥2)， 所以f(x)＝x2－2(x≥2)． (3)(待定系数法)因为f(x)是一次函数，可设f(x)＝ax＋b(a≠0)， 所以3[a(x＋1)＋b]－2[a(x－1)＋b]＝2x＋17，即ax＋(5a＋b)＝2x＋17， 所以解得 所以f(x)＝2x＋7(x∈R)． (4)(解方程组法)因为f(x)－2f(－x)＝9x＋2，　① 所以f(－x)－2f(x)＝－9x＋2，② 由①＋2×②得－3f(x)＝－9x＋6，所以f(x)＝3x－2(x∈R)． 函数解析式的四种求法 (1)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围． (2)配凑法：由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表达式．特别注意形如x±与x2＋，ax±a－x与a2x＋a-2x，sin x±cos x与sin x cos x一般都运用配凑法． (3)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法． (4)解方程组法：已知关于f(x)与f或f(－x)等的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)，充分体现了方程思想的应用． 跟踪训练3　(1)若函数f＝＋1，则f(x)＝(　　) A．　　　　　　 B．(x≠1) C．x2 D．x2(x≠1) 解析：D　因为f＝＝2，且≠1，所以f(x)＝x2(x≠1)．故选D. (2)已知定义在(0，＋∞)上的函数f(x)满足f(x)－4f＝－，则f(2)的值为(　　) A． B． C． D． 解析：D　因为定义在(0，＋∞)上的函数f(x)满足f(x)－4f＝－，所以f－4f(x)＝－15x，所以f＝4f(x)－15x，所以f(x)－4[4f(x)－15x]＝－，解得f(x)＝4x＋，所以f(2)＝8＋.故选D. 考点四　分段函数 角度1　分段函数求值 例4　(2025·山东潍坊一模)已知函数f(x)＝则f(f(－1))＝(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 解析：B　将x＝－1代入，得到f(－1)＝(－1)2＋(－1)＝0，所以f(f(－1))＝f(0)，将x＝0代入，得到f(0)＝e0＋ln 1＝1.因此，f(f(－1))＝f(0)＝1.故选B. 角度2　分段函数与方程、不等式 例5　已知函数f(x)＝则f(x)－f(－x)>－1的解集为(　　) A．∪ B． C．∪ D．∪(0，1) 解析：B　当0<x≤1时，－1≤－x<0，则f(x)－f(－x)>－1可化为－x＋1－(x－1)>－1，解得x<，又0<x≤1，所以0<x≤1.当－1≤x<0时，0<－x≤1，则f(x)－f(－x)>－1可化为－x－1－(x＋1)>－1，解得x<－，又－1≤x<0，所以－1≤x<－.综上，x∈.故选B. 解决分段函数问题的方法 (1)求分段函数的函数值：首先确定自变量的值属于哪个区间，其次选定相应的解析式代入求解．当求f(f(a))的值时，应由内到外依次求值． (2)已知函数值或范围求自变量的值或范围：应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围． 跟踪训练4　(1)已知函数f(x)＝ 则f(2023)＝(　　) A．－1 B．0 C． D．1 解析：D　当x－2>1，即x>3时，f(x－2)＝－f(x－4)，所以当x>3时，f(x)＝－f(x－2)＝f(x－4)，所以当x>3时，f(x)的周期为4关键点：判断出函数的周期性．所以f(2023)＝f(3)．又因为当x>1时，f(x)＝－f(x－2)，所以f(3)＝－f(3－2)＝－f(1)＝－cos π＝1提示：由于分段函数在各段上的对应法则不同，所以求分段函数在某点处的函数值时，关键要弄清该点所在区间对应的函数解析式是哪一个，然后再代入求值，即f(2023)＝1.故选D. (2)(2025·江西宜春二模)已知函数f(x)＝若f(1－a)＝4，则a的值为(　　) A．0或 B．0或 C． D． 解析：A　若1－a≥0，即a≤1，可得f(1－a)＝41-a＝4，解得：a＝0，符合；若1－a<0，即a>1，可得f(1－a)＝22a-1＝4，解得：a＝，符合；综上可知：a的值为0或.故选A． 典例　(多选)(2025·广东东莞联考)给定数集A＝R，B＝(0，＋∞)，x，y满足方程2x－y＝0，下列对应关系f为函数的是(　　) A．f：A→B，y＝f(x) B．f：B→A，y＝f(x) C．f：A→B，x＝f(y) D．f：B→A，x＝f(y) 解析：ABD　对于y＝f(x)＝2x，∀x∈A，均有唯一确定的f(x)，且f(x)∈(0，＋∞)＝B与之对应，符合函数定义，故选项A符合题意；对于y＝f(x)＝2x，∀x∈B，均有唯一确定的f(x)，且f(x)∈(1，＋∞)⊆A，符合函数定义，故选项B符合题意；对于x＝f(y)＝log2y，取y＝1∈A，但x＝0∉B，不符合函数定义，故选项C不符合题意；对于x＝f(y)＝log2y，∀y∈B，均有唯一确定的f(y)，且f(y)∈R＝A，符合函数定义，故选项D符合题意．故选ABD. 本题考查函数的定义，需要学生对函数定义中的几个关键点深刻理解，才能将正确选项全部选出，如：C选项考查A中的每一个元素在B中都有唯一确定元素与之对应，体现新高考对基础概念深入考查的特点和趋势． 学科网（北京）股份有限公司 $