第2章 第4节 函数的对称性(Word教师用书)-【金版新学案】2027年高考数学高三总复习大一轮复习（湘教版）

该高中数学讲义聚焦函数对称性高考核心考点，涵盖函数自身轴对称、中心对称，两函数图象对称及对称与周期关系，按定义推导、性质总结、应用拓展逻辑架构知识，通过自测诊断、考点梳理、方法指导、真题训练环节，帮助学生系统突破对称问题难点。 资料以数学思维培养为核心，创新采用“性质推导-典例共研-分层精练”教学模式，如通过双对称关系推导周期公式，结合2024新课标Ⅰ卷真题讲解中心对称证明，培养学生逻辑推理与模型构建能力，分层练习确保复习效率，为教师把控复习节奏提供精准指导。

第四节　函数的对称性 【课程标准】　1.能通过平移，分析得出一般的轴对称和中心对称公式和推论.　2.会利用对称公式解决问题. 1.函数图象的对称性 (1)若函数y=f(x+a)是偶函数，则函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称. (2)若函数y=f(x+b)是奇函数，则函数y=f(x)的图象关于点(b，0)中心对称. (3)若对于R上的任意x都有f(2a-x)=f(x)或f(-x)=f(2a+x)或f(a+x)=f(a-x)，则y=f(x)的图象关于直线x=a对称. 2.两个函数图象的对称 (1)函数y=f(x)与y=f(-x)关于y轴对称. (2)函数y=f(x)与y=-f(x)关于x轴对称. (3)函数y=f(x)与y=-f(-x)关于原点对称. [常用结论] 函数对称性与周期性的关系(双对称问题求周期) (1)若函数f(x)的图象关于x=a和x=b(a≠b)对称，则y=f(x)的一个周期为2|b-a|. (2)若函数f(x)的图象关于(a，0)和(b，0)(a≠b)对称，则y=f(x)的一个周期为2|b-a|. (3)若函数f(x)的图象关于x=a和(b，0)(a≠b)对称，则y=f(x)的一个周期为4|b-a|. 【自测诊断】 1.(多选)下列结论正确的是(　　) A．函数y=f(x+1)是偶函数，则函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称 B．函数y=f(x-1)是奇函数，则函数y=f(x)的图象关于点(1，0)对称 C．若函数f(x)满足f(x-1)+f(x+1)=0，则f(x)的图象关于y轴对称 D．若函数f(x)满足f(2+x)=f(2-x)，则f(x)的图象关于直线x=2对称 答案：AD 2.函数f(x)=图象的对称中心为(　　) A．(0，0) B．(0，1) C．(1，0) D．(1，1) 答案：B 解析：因为f(x)==1+，由y=向上平移一个单位长度得到y=1+，又y=关于(0，0)对称，所以f(x)=1+的图象关于(0，1)对称.故选B． 3.设偶函数f(x)的定义域为[-5，5]，若当x∈[0，5]时，f(x)的图象如图所示，则不等式f(x)<0的解集为　　　　.  答案：[-5，-2)∪(2，5] 解析：由题图可知，当0<x<2时，f(x)>0；当2<x≤5时，f(x)<0.又f(x)是偶函数，所以当-2<x<0时，f(x)>0；当-5≤x<-2时，f(x)<0.综上，不等式f(x)<0的解集为[-5，-2)∪(2，5]. 4.偶函数y=f(x)的图象关于直线x=2对称，且当x∈[2，3]时，f(x)=2x-1，则f(-1)=　　　　.  答案：5 解析：因为f(x)为偶函数，所以f(-1)=f(1)，由f(x)的图象关于x=2对称，可得f(1)=f(3)=2×3-1=5. 学生用书⬇第27页 考点一　函数自身轴对称问题(高考超重点)师生共研 (1)下列函数中，其图象与函数y=log2x的图象关于直线x=2对称的是(　　) A．y=log2(2+x) B．y=log2(2-x) C．y=log2(4+x) D．y=log2(4-x) (2)若函数f(x)=(1-x2)(x2+ax+b)的图象关于直线x=-2对称，则ab=　　　　.  (3) (2023·全国乙卷节选)已知函数f(x)=ln(1+x)，是否存在a，b，使得曲线y=f关于直线x=b对称?若存在，求a，b的值；若不存在，说明理由. 答案：(1)D　(2)120 解析：(1)设所求函数的图象上任意一点P(x，y)，则点P关于x=2对称的点为Q(4-x，y)，由题意知点Q在y=log2x的图象上，可得y=log2(4-x)，即函数y=log2x关于x=2对称的函数解析式为y=log2(4-x).故选D． (2)因为f(x)的图象关于直线x=-2对称， 所以f(-3)=f(-1)，f(-5)=f(1)，即解得所以ab=120. (3)假设存在a，b， 使得曲线y=f关于直线x=b对称. 令g(x)=f=(x+a)ln=(x+a)ln ， 因为曲线y=g(x)关于直线x=b对称， 所以g(x)=g(2b-x)， 即(x+a)ln =(2b-x+a)ln =(x-2b-a)ln ， 于是得 当a=，b=-时，g(x)=ln， g(-1-x)=ln =ln =ln =ln=g(x)， 所以曲线y=g(x)关于直线x=-对称，满足题意. 故存在a，b，使得曲线y=f关于直线x=b对称，且a=，b=-. 轴对称问题的常用性质 1.函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称⇔f(x)=f(2a-x)⇔f(a-x)=f(a+x). 2.若函数y=f(x)满足f(a+x)=f(b-x)，则y=f(x)的图象关于直线x=成轴对称. 对点练1.(1)(2026·山东东营模拟)已知函数f(x)=32-x+3x+a，其中a为常数，若存在x1≠x2，且f(x1)=f(x2)，则x1+x2=(　　) A．0 B．1 C．2 D．2a (2)已知函数f(x)的定义域为R，且f(x+2)为偶函数，f(x)在[2，+∞)上单调递减，则不等式f(-x2)>f(-1)的解集为　　　　.  答案：(1)C　(2)(-1，1) 解析：(1)因为f=3x+32-x+a=f(x)，所以f(x)关于直线x=1对称，又f(x1)=f(x2)，所以x1+x2=2.故选C． (2)因为f(x+2)是偶函数，所以f(x)的图象关于直线x=2对称，又f(x)在[2，+∞)上单调递减，所以f(x)在(-∞，2]上单调递增.又-x2，-1∈(-∞，2]，f(-x2)>f(-1)，所以-x2>-1，即x2<1，所以-1<x<1，所以原不等式的解集为(-1，1). 考点二　函数自身中心对称问题(高考超重点)师生共研 (1)若函数f=的图象关于点对称，则a=(　　) A．-2 B．-1 C．1 D．2 (2)已知函数f(x)满足f(-x)+f(x+2)=0，若函数y=f(x)-有6个零点，则6个零点的和为　　　　.  答案：(1)D　(2)6 解析：(1)f(x)==a+关于(1，2)对称，所以f(1+x)+f(1-x)=4，即a++a+=2a=4，则a=2.故选D． (2)因为f(-x)+f(x+2)=0，所以f(x)的图象关于点(1，0)对称，又y=的图象也关于点(1，0)对称，所以函数y=f(x)-(x≠1)的图象关于点(1，0)对称，该函数的零点之和为2×3=6. 中心对称问题的常用性质 1.函数y=f(x)的图象关于点(a，b)对称⇔f(a+x)+f(a-x)=2b⇔2b-f(x)=f(2a-x). 2.若函数y=f(x)满足f(a+x)+f(b-x)=c，则y=f(x)的图象关于点成中心对称. 对点练2.(1)(2026·河南安阳期中)已知函数f(x)=2x-，则f(x)的图象(　　) A．关于直线x=2对称 B．关于点(2，0)对称 C．关于直线x=0对称 D．关于原点对称 (2)已知函数f=x3-3x2，则f=(　　) A．-8 098 B．-8 096 C．0 D．8 100 答案：(1)B　(2)A 解析：(1)对于A，由f=24-x-=-2x≠f(x)，所以f(x)的图象不关于直线x=2对称，故A错误；对于B，由f=24-x-=-2x=-f(x)，所以f(x)的图象关于点(2，0)对称，故B正确；对于C，由f(-x)=2-x-=-16×2x≠f(x)，所以f(x)不是偶函数，故f(x)的图象不关于直线x=0对称，故C错误；对于D，由f(-x)=2-x-=-16×2x≠-f(x)，所以f(x)不是奇函数，故f(x)的图象不关于原点对称，故D错误. (2)f=x3-3x2=-3x+1=-3-2，所以f+f(1-x)=x3-3x-2-x3+3x-2=-4，即f关于(1，-2)中心对称，所以f=[f+f]+[f+f]+…++f=2 024×+f=-8 098.故选A． 考点三　两个函数图象的对称师生共研 已知函数y=f(x)是定义域为R的函数，则函数y=f(x+2)的图象与y=f(4-x)的图象(　　) A．关于直线x=1对称 B．关于直线x=3对称 C．关于直线y=3对称 D．关于点(3，0)对称 答案：A 解析：设P(x0，y0)为y=f(x+2)图象上任意一点，则y0=f(x0+2)=f(4-(2-x0))，所以点Q(2-x0，y0)在函数y=f(4-x)的图象上，而P(x0，y0)与Q(2-x0，y0)关于直线x=1对称，所以函数y=f(x+2)的图象与y=f(4-x)的图象关于直线x=1对称.故选A． 　　 函数y=f(a+x)的图象与函数y=f(b-x)的图象关于直线x=对称. 学生用书⬇第28页 对点练3.(1)(2026·福建厦门高三质检)函数y=f(1-x)的图象与函数y=f(2+x)的图象关于直线x=m对称，其中m=(　　) A．3 B． C．-1 D．- (2)下列函数与y=2x-cos x的图象关于原点对称的函数是(　　) A．g(x)=-2x+cos x B．g(x)=-cos(-x) C．g(x)=-+cos(-x) D．g(x)=--cos(-x) 答案：(1)D　(2)C 解析：(1)设点P(x，y)在函数y=f(1-x)的图象上，点P关于直线x=m的对称点为Q(x'，y')，则则则y'=f(1-2m+x')，即y=f(1-2m+x)与y=f(1-x)关于直线x=m对称，则1-2m=2，得m=-.故选D． (2)令f(x)=2x-cos x，f(x)与g(x)关于原点对称，则g(x)+f(-x)=0，所以g(x)=-f(-x)=-[-cos(-x)]=-2-x+cos(-x).故选C． [真题再现]　(2024·新课标Ⅰ卷节选)已知函数f(x)=ln+ax+b(x-1)3. 证明：曲线y=f(x)是中心对称图形. 证明：f=ln +ax+b的图象是由函数g=ln +ax+bx3+a向右平移1个单位得到，而函数g=ln +ax+bx3+a关于中心对称，所以y=f图象为中心对称图形，且对称中心为. [教材呈现]　(湘教版必修一P86T13)设函数f(x)的定义域为R，且f(1+x)=f(1-x).若当x≥1时，f(x)=x2-1，试确定f，f，f之间的大小关系. 点评：该高考题是教材习题结论的直接应用，推出f-a=ln +ax+bx3为奇函数即可.如果利用结论f(2-x)+f(x)=2a解答该题更简单. 学科网（北京）股份有限公司 $