2.2 第一课时 函数的单调性(教师用书Word)-【高考领航】2027年高考数学大一轮复习学案

该高中数学讲义聚焦函数单调性与最值高考核心考点，依据课标要求系统梳理单调函数定义、单调区间、最值等知识，通过表格对比、等价形式推导建立内在逻辑，设置考点分析、典例精讲、跟踪训练环节，帮助学生突破单调性判断、定义证明、参数范围求解等难点。 讲义突出数学思维与数学语言培养，如用定义证明单调性时引导学生规范取值、作差变形、定号、结论四步流程，分析复合函数单调性强调“同增异减”法则。设置思考辨析纠正常见错误，分层练习适配不同水平学生，助力学生提升逻辑推理与问题解决能力，为教师把控复习节奏提供清晰教学路径。

2.2　函数的单调性与最值 [课标解读] 1．借助函数图象，会用数学符号语言表达函数的单调性，理解其实际意义．　2.会根据函数的单调性求参数的范围．　3.会利用函数的单调性比较函数值的大小，解函数不等式．　4.会利用函数的单调性求函数的最值． 1．函数的单调性 (1)单调函数的定义 单调递增 单调递减 定义 一般地，设函数f(x)的定义域为D，区间I⊆D，如果∀x1，x2∈I 当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就称函数f(x)在区间I上单调递增 当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就称函数f(x)在区间I上单调递减 图象 描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看 图象是下降的 (2)单调区间的定义 如果函数y＝f(x)在区间I上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间I叫做y＝f(x)的单调区间． 2．函数的最值 前提 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D，如果存在实数M满足 条件 (1)∀x∈D，都有f(x)≤M； (2)∃x0∈D，使得f(x0)＝M (1)∀x∈D，都有f(x)≥M； (2)∃x0∈D，使得f(x0)＝M 结论 M为f(x)的最大值 M为f(x)的最小值 常用结论 1．单调性定义的等价形式 设对任意的x1，x2∈[a，b]，x1≠x2. (1)若有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0或＞0，则f(x)在[a，b]上单调递增． (2)若有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＜0或＜0，则f(x)在[a，b]上单调递减．(应用见第一课时例1(1)) 2．若函数f(x)，g(x)在区间I上具有单调性，则在区间I上具有以下性质： (1)当f(x)，g(x)都是增(减)函数时，f(x)＋g(x)是增(减)函数． (2)若k＞0，则kf(x)与f(x)单调性相同；若k＜0，则kf(x)与f(x)单调性相反． (3)函数y＝f(x)(f(x)＞0)在公共定义域内与y＝－f(x)，y＝的单调性相反． (4)复合函数y＝f(g(x))的单调性与y＝f(u)和u＝g(x)的单调性有关．简记为：“同增异减”．(应用见第一课时例1(2)) 1．思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)对于函数y＝f(x)，若f(1)<f(3)，则f(x)为增函数．(　　) (2)函数y＝f(x)在[1，＋∞)上单调递增，则函数在[1，＋∞)上单调递减．(　　) (3)函数y＝的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．(　　) (4)对于函数f(x)，x∈D，若对任意x1，x2∈D，且x1≠x2有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0，则函数f(x)在区间D上是增函数．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2．(人B必修一P140T2(1)改编)函数y＝x－在[1，2]上的最小值为__________. 解析：根据题意y＝x－在[1，2]上为增函数，则y＝x－在[1，2]上的最小值为y＝0. 答案：0 3．(人A必修一P86T7改编)函数f(x)＝ 的单调递减区间为____________ . 解析：由f(x)＝ ，则2x2－7x＋3≥0，解得x≥3或x≤，所以函数f(x)＝ 的定义域为，设t＝2x2－7x＋3，y＝f(x)，则y＝ 为定义域内的增函数，而函数t＝2x2－7x＋3在单调递减，所以函数f(x)＝ 的单调递减区间为. 答案： 4．(苏教必修一P122T4改编)已知y＝f(x)在定义域(0，1)上是减函数，且f(1－a)>f(2a－1)，则实数a的取值范围为________. 解析：由于函数y＝f(x)在定义域(0，1)上是减函数，且f(1－a)>f(2a－1)，可得解得<a<1，因此，实数a的取值范围是. 答案： 第一课时　函数的单调性 考点一　函数单调性的判断 例1　(1)下列函数中，满足“对任意x1，x2∈(0，1)，且x1≠x2，都有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0”的是(　　) A．y＝tan x　　　　 B．y＝cos x＋1 C．y＝log2x D．y＝ex 解析：B　由对任意的x1，x2∈(0，1)，且x1≠x2，都有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0，即函数f(x)在(0，1)上单调递减．对于A，因为(0，1)⊆，而函数y＝tan x在上单调递增，故A错误；对于B，由余弦函数y＝cos x在上单调递减，所以y＝cos x＋1在(0，1)上单调递减，故B正确；对于C，y＝log2x在(0，＋∞)上单调递增，故C错误；对于D，y＝ex在R上单调递增，故D错误．故选B. (2)(2025·广东广州一模)函数f(x)＝ 的单调递增区间为(　　) A． B．(－∞，－1] C． D． 解析：C　由题意可得2x2－x－3≥0，解得x≤－1或x≥易错点：在讨论函数的单调区间时，要先确定函数的定义域.根据二次函数及复合函数的性质可知，f(x)＝ 的单调递增区间为提示：y＝2x2－x－3＝22－，其在上单调递增.故选C. 1．求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间． 2．函数单调性的判断方法：(1)定义法；(2)图象法；(3)利用已知函数的单调性；(4)导数法． 3．函数y＝f(g(x))的单调性应根据外层函数y＝f(t)和内层函数t＝g(x)的单调性判断，遵循“同增异减”的原则． 注意：函数在两个不同的区间上单调性相同，一般要分开写，用“，”连接，不要用“∪”． 跟踪训练1　(1)下列函数中，在R上单调递增的是(　　) A．f(x)＝x2＋2x＋1 B．f(x)＝x C．f(x)＝ D．f(x)＝ 解析：D　对于A，f(x)＝x2＋2x＋1＝(x＋1)2，故在(－∞，－1)上单调递减，在(－1，＋∞)上单调递增，故A错误；对于B，f(x)＝x在R上单调递减，故B错误；对于C，f(x)＝的定义域为[0，＋∞)，且单调递增，故f(x)＝不满足在R上单调递增，故C错误；对于D，y＝x－1在(－∞，1]上单调递增，y＝ln x在(1，＋∞)上单调递增， 画出f(x)＝的图象，如图，所以f(x)＝在R上单调递增，故D正确．故选D. (2)函数f(x)＝x2－4|x|＋3的单调递减区间是(　　) A．(－∞，－2) B．(－∞，－2)和(0，2) C．(－2，2) D．(－2，0)和(2，＋∞) 解析：B　f(x)＝x2－4|x|＋3＝由二次函数的性质知，当x≥0时，f(x)＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1的单调递减区间为(0，2)；当x<0时，f(x)＝x2＋4x＋3＝(x＋2)2－1的单调递减区间为(－∞，－2)．故f(x)的单调递减区间是(－∞，－2)和(0，2)．故选B. 考点二　用定义证明函数的单调性 例2　试讨论函数f(x)＝(a≠0)在(－1，1)上的单调性． 解：设－1＜x1＜x2＜1， 因为f(x)＝a＝a， 所以f(x1)－f(x2)＝a－a＝， 由于－1＜x1＜x2＜1， 所以x2－x1＞0，x1－1＜0，x2－1＜0， 故当a＞0时，f(x1)－f(x2)＞0， 即f(x1)＞f(x2)，函数f(x)在(－1，1)上单调递减； 当a＜0时，f(x1)－f(x2)＜0， 即f(x1)＜f(x2)，函数f(x)在(－1，1)上单调递增． 利用定义证明函数单调性的步骤 (1)取值并规定大小：设x1，x2是该区间内的任意两个值，且x1<x2. (2)作差变形：作差f(x1)－f(x2)或f(x2)－f(x1)，并通过因式分解、通分、配方、有理化等方法，转化为易判断正负的关系式． (3)定号：确定f(x1)－f(x2)或f(x2)－f(x1)的符号，当符号不确定时，进行分类讨论． (4)结论：根据定义确定单调性． 跟踪训练2　已知函数f(x)＝，判断函数y＝f(x)在区间[1，＋∞)上的单调性，并根据定义证明． 解：f(x)在[1，＋∞)上单调递减，证明如下： 任取x1，x2∈[1，＋∞)且x1<x2， 则f(x1)－f(x2)＝＝ . 因为x2>x1≥1，所以x2－x1>0，x1x2－1>0， 所以f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，故函数f(x)在区间[1，＋∞)上单调递减． 考点三　由单调性求参数的取值范围 例3　(2026·安徽淮北期中)已知函数f(x)＝在R上单调递增，则a的取值范围是(　　) A．[3，＋∞) B．[－3，－1] C．(－∞，－1] D．[－3，－1) 解析：B　当x≥1时，f(x)＝ex-1＋ln x＋7，显然为增函数，当x<1时，f(x)＝－x2－2ax－a，此时为开口向下的二次函数，所以对称轴x＝－a≥1，即a≤－1即可，当x＝1时，e0＋ln 1＋7≥－1－2a－a⇒9≥－3a⇒a≥－3，故a的取值范围是[－3，－1].故选B. 利用单调性求参数的取值(范围)．根据其单调性直接构建参数满足的方程(组)(不等式(组))或先得到其图象的升降，再结合图象求解．对于分段函数，要注意衔接点的取值． 跟踪训练3　(2025·山西太原二模)若函数f(x)＝ ＋在(0，2]上单调递减，则实数a的取值范围是(　　) A．(0，2] B．(0，4] C．[2，＋∞) D．[4，＋∞) 解析：C　当a＝0时，f(x)＝ ＋为增函数，不符合题意；当a<0时，y＝ ，y＝均为增函数，故f(x)＝ ＋为增函数，不符合题意；当a>0时，f(x)＝ ＋在[a，＋∞)上单调递增，在(0，a]上单调递减，由f(x)＝ ＋在(0，2]上单调递减，得a≥2，故选C. 学科网（北京）股份有限公司 $