1.6 第二课时 一元二次方程与不等式的应用(教师用书Word)-【高考领航】2027年高考数学大一轮复习学案

该高中数学高考复习讲义聚焦一元二次方程与不等式的应用，涵盖恒成立问题（实数集上、给定区间上、给定参数范围三个角度）和根的分布问题两大核心考点，按“考点梳理-方法指导-真题训练”逻辑构建知识体系。通过典型例题解析、解题策略归纳及跟踪训练，帮助学生突破分类讨论、分离参数等难点，体现复习的系统性与针对性。 讲义以数形结合和逻辑推理为核心，如根的分布问题结合二次函数图象分析开口方向、判别式等要素，培养学生数学眼光与思维。设置分层训练（基础巩固、能力提升），例2通过对勾函数性质求最值，高效突破给定区间恒成立问题，助力学生提升解题能力，为教师把控复习节奏提供清晰路径。

第二课时　一元二次方程与不等式的应用 考点一　一元二次不等式的恒(能)成立问题 角度1　在实数集R上的恒成立问题 例1　若不等式(a－2)x2－2(a－2)x－4<0对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围为(　　) A．(－∞，－2)∪(2，＋∞) B．(－∞，－2)∪[2，＋∞) C．(－2，2) D．(－2，2] 解析：D　当a＝2时，－4<0恒成立，则a＝2符合题意；当a≠2时， 解得－2<a<2，所以实数a的取值范围为(－2，2].故选D. 角度2　在给定区间上的恒成立问题 例2　若不等式x2－tx＋1<0对一切x∈恒成立，则实数t的取值范围为(　　) A．　　　　　 B． C．[2，＋∞] D． 解析：D　因为不等式x2－tx＋1<0对一切x∈恒成立，所以t>在区间上恒成立，由对勾函数性质可知函数y＝x＋在区间上单调递减，在区间(1，3)上单调递增，且当x＝时，y＝2＋，当x＝3时，y＝3＋，所以x＋<，故t≥.故选D. 角度3　给定参数范围的恒成立问题 例3　若命题“∃－1≤a≤3，ax2－(2a－1)x＋3－a<0”为假命题，则实数x的取值范围为(　　) A．{x|－1≤x≤4} B．{x|0≤x≤} C．{x|－1≤x≤0或≤x≤4} D．{x|－1≤x<0或<x≤4} 解析：C　由题意可得：命题“∀－1≤a≤3，ax2－(2a－1)x＋3－a≥0”为真命题，即ax2－(2a－1)x＋3－a＝(x2－2x－1)a＋x＋3≥0对a∈[－1，3]恒成立， 则解得－1≤x≤0或≤x≤4，即实数x的取值范围为{x|－1≤x≤0或≤x≤4}．故选C. 恒成立问题求参数范围的解题策略 (1)弄清楚自变量、参数，一般情况下，求谁的范围，谁就是参数． (2)一元二次不等式在R上恒成立，可用判别式Δ；一元二次不等式在给定区间上恒成立，不能用判别式Δ，一般运用分离参数法求最值或进行分类讨论． 跟踪训练1　(1)设a∈R，若关于x的不等式x2－ax＋1≥0在区间[1，2]上有解，则a的取值范围为(　　) A．(－∞，2] B．[2，＋∞) C． D． 解析：C　因为关于x的不等式x2－ax＋1≥0在区间[1，2]上有解，所以a≤x＋在x∈[1，2]上有解⇔a≤max，x∈[1，2]，因为函数f(x)＝x＋在区间[1，2]上单调递增，所以f(x)max＝，所以a≤. (2)已知函数f(x)＝mx2－(m－1)x＋m－1. ①若不等式f(x)<1的解集为R，求m的取值范围； ②若不等式f(x)≥0对一切x∈恒成立，求m的取值范围； ③若不等式f(x)>2对一切m∈(0，2)恒成立，求x的取值范围． 解：①不等式f(x)<1，即mx2－(m－1)x＋m－2<0， 当m＝0时，x－2<0，解得x<2，不符合题意； 当m≠0时， 有解得m<， 综上所述，m的取值范围为. ②不等式f(x)≥0对一切x∈恒成立， 即m(x2－x＋1)≥1－x对一切x∈恒成立， 因为x2－x＋1＝2＋>0， 则不等式等价于m≥对一切x∈恒成立，1－x>0， 由x∈，得 ≤＝1， 当且仅当1－x＝，即x＝0时等号成立，所以max＝1， 所以m≥1，即m的取值范围是[1，＋∞)． ③不等式f(x)>2对一切m∈(0，2)恒成立， 即(x2－x＋1)m＋x－3>0对一切m∈(0，2)恒成立， 令h(m)＝(x2－x＋1)m＋x－3， 因为x2－x＋1＝2＋>0， 所以函数h(m)＝(x2－x＋1)m＋x－3在区间(0，2)上单调递增，则h(0)＝x－3≥0，解得x≥3， 所以x的取值范围为[3，＋∞)． 考点二　一元二次方程根的分布问题 例4　(1)关于x的一元二次方程x2＋(a2－1)x＋a－2＝0有一个根小于1，另一个根大于1，则实数a的取值范围是(　　) A．(－1，2) B．(－2，0) C．(－2，1) D．(0，1) 解析：C　二次函数f(x)＝x2＋(a2－1)x＋a－2的图象开口向上，由f(x)＝0的一个根小于1，另一个根大于1，得f(1)<0，因此12＋(a2－1)＋a－2<0，解得－2<a<1，所以实数a的取值范围是(－2，1)．故选C. (2)若关于x的方程x2－2ax＋a＋2＝0在区间(－2，1)上有两个不相等的实数根，则a的取值范围是(　　) A． B． C．∪(－1，＋∞) D．∪(1，＋∞) 解析：A　令g(x)＝x2－2ax＋a＋2，因为方程x2－2ax＋a＋2＝0在区间(－2，1)上有两个不相等的实数根，所以 即解得－<a<－1， 所以a的取值范围是.故选A. 求解二次方程根的分布问题，最重要的是数形结合，即结合对应二次函数的图象，从以下角度考虑：(1)开口方向；(2)判别式；(3)对称轴；(4)在区间端点处的函数值． 跟踪训练2　(1)已知方程x2＋2mx－m＋12＝0的两根都大于－2，则实数m的取值范围是(　　) A．(－∞，－4)　　 B．(－5，－4) C．(－∞，－4] D．(－∞，－4)∪(4，＋∞) 解析：C　令f(x)＝x2＋2mx－m＋12，因为方程x2＋2mx－m＋12＝0的两根都大于－2，所以由题意可得解得m≤－4.故选C. (2)方程x2＋2ax－a＝0在区间(0，1)和(1，2)各有一个根的充要条件是(　　) A．a∈(－∞，－1) B．a∈ C．a∈ D．a∈(－2，－1) 解析：B　因为一元二次方程x2＋2ax－a＝0在区间(0，1)和(1，2)各有一个根，令f(x)＝x2＋2ax－a，则由题意可得即解得－<a<－1，则方程x2＋2ax－a＝0在区间(0，1)和(1，2)各有一个根的充要条件是a∈.故选B. 学科网（北京）股份有限公司 $