2.2 第二课时 函数单调性的应用(教师用书Word)-【高考领航】2027年高考数学大一轮复习学案

该高中数学高考复习讲义聚焦函数单调性的应用，涵盖比较大小、解不等式、求最值三大核心考点，按“考点分角度—例题解析—方法总结—跟踪训练”的逻辑架构展开，通过考点梳理明确单调性判断与应用方法，结合真题讲解提炼解题策略，助力学生构建系统知识网络，突破高考高频难点。 讲义以“数学思维”和“数学语言”为导向，创新采用分层教学策略，如例2解不等式时引导学生结合单调性定义与定义域列不等式组，培养推理能力，跟踪训练设计基础巩固与能力提升题组，配合换元法、分离常数法等技巧指导，帮助学生在有限时间内高效掌握解题方法，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供实用教学资源。

第二课时　函数单调性的应用 考点一　函数单调性的应用 角度1　比较大小 例1　(1)已知f(x)＝2x－，a＝f，b＝c＝f，则(　　) A．a>b>c　　　　 B．a>c>b C．c>a>b D．c>b>a 解析：D　易知函数y＝2x和y＝－在(1，＋∞)上单调递增，所以f(x)＝2x－在(1，＋∞)上单调递增，又 > > ，故f>f，即c>b>a.故选D. (2)设a＝，则(　　) A．c>b>a B．a>b>c C．a>c>b D．c>a>b 解析：B　设f(x)＝，当x>1时，x2－1>0，则在(1，＋∞)单调递减，所以f(x)在(1，＋∞)单调递减，所以f(2022)>f(2023)>f(2024)，即a>b>c.故选B. 1．利用函数的单调性比较函数值的大小，首先要判断函数的单调性，判断自变量是否在同一单调区间内，然后根据函数的单调性比较大小． 2．若涉及双变量或具体数值的比较大小问题，则需根据不等式的结构构造函数． 角度2　解不等式 例2　(1)定义在[－2，2]上的函数f(x)满足(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0(x1≠x2)，且f(x)>f(2x－1)，则实数x的取值范围为(　　) A．(－∞，1) B． C． D．[－1，1) 解析：C　由题意知，f(x)在[－2，2]上单调递增，则f(x)>f(2x－1)⇔解得－≤x<1.故选C. (2)设函数f(x)＝则满足f(t－1)<f(2t)的t的取值范围是__________. 解析：因为函数y＝2x－1在R上单调递增，函数y＝1为常函数，所以分段函数f(x)在(－∞，1]上单调递增，在(1，＋∞)不具有单调性，且f(1)＝21－1＝1，即当x≤1时，f(x)≤1，因为f(t－1)<f(2t)，所以解得－1<t<2，所以满足f(t－1)<f(2t)的t的取值范围是(－1，2)． 答案：(－1，2) 1．当函数f(x)的解析式已知时，欲求解不等式，需要先判断函数的单调性，然后根据单调性解不等式． 2．当函数f(x)的解析式未知时，欲求解不等式，可以依据函数单调性的定义和性质，将符号“f”去掉，列出关于自变量的不等式(组)，然后求解，此时注意函数的定义域． 跟踪训练1　(1)已知函数f(x)＝x＋，x∈(1，＋∞)，则下列不等式恒成立的是(　　) A．f(8)>f(k2＋2k＋4) B．f(6)>f(k2＋2k＋4) C．f(4)<f(k2＋2k＋4) D．f(2)<f(k2＋2k＋4) 解析：D　任取1<x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝x1－x2＋(x1x2－1)，因为x1－x2<0，x1x2>1，所以f(x1)－f(x2)<0，则f(x)在(1，＋∞)上单调递增．又k2＋2k＋4＝(k＋1)2＋3≥3>2，所以f(2)<f(k2＋2k＋4)恒成立．故选D. (2)已知函数f(x)＝在R上单调递增，且f(2a－1)<f(a＋3)，则实数a的取值范围为(　　) A．(－∞，4) B．[1，4) C．[2，4) D．(1，4) 解析：C　因为函数f(x)＝在R上单调递增，则log31＋a≥21，所以a≥2，又f(2a－1)<f(a＋3)，所以2a－1<a＋3，解得a<4，所以实数a的取值范围为[2，4)．故选C. 考点二　利用函数的单调性求最值 例3　(1)若函数f(x)＝在区间[0，1]上的最大值为3，则实数m＝(　　) A．－1 B．1 C．3 D．－3 解析：C　函数f(x)＝，当m>2时，f(x)＝在[0，1]上单调递减，最大值为f(0)＝m＝3；当m<2时，f(x)＝在[0，1]上单调递增，最大值为f(1)＝＝3，解得m＝4，不合题意，所以实数m＝3.故选C. (2)(2025·广东肇庆二模)已知函数f(x)＝则f(x)的最小值是________. 解析：当x<1时，f(x)＝2－x＋1，f(x)单调递减，所以f(x)>2-1＋1＝.当x≥1时，f(x)＝x2－6x＋4，f(x)在区间[1，3)上单调递减，在区间[3，＋∞)上单调递增，所以f(x)≥f(3)＝－5.综上所述，f(x)的最小值是－5. 答案：－5 1．利用单调性求最值的一般步骤 (1)判断函数的单调性． (2)利用单调性写出最值． 2．函数的最值与单调性的关系 (1)若函数f(x)在闭区间[a，b]上单调递减，则f(x)在[a，b]上的最大值为f(a)，最小值为f(b)． (2)若函数f(x)在闭区间[a，b]上单调递增，则f(x)在[a，b]上的最大值为f(b)，最小值为f(a)． (3)求最值时一定要注意所给区间的开闭，若是开区间，则不一定有最大(小)值． 跟踪训练2　(1)(2026·河南开封开学考试)已知函数f(x)＝若∀x∈R，f(x)≥f(0)，则实数a的取值范围为(　　) A． B．[0，＋∞) C． D． 解析：D　由题意知f(x)的最小值为f(0)＝a2＋1，故3－2a≥0，即a≤.当a<0时，f(x)min＝f(a)＝1<f(0)，不合题意；当0≤a≤时，在(－∞，0]上f(x)的最小值为f(0)，为使f(0)为定义域R上的最小值，还需在(0，＋∞)上f(x)≥f(0)，此时f(x)＝(3－2a)x＋3的下确界为3，故需3≥f(0)＝a2＋1，解得－ ≤a≤ ，综上，实数a的取值范围为.故选D. (2)设函数f(x)＝在区间[3，4]上的最大值和最小值分别为M，m，则＝________. 解析：因为f(x)＝，x∈[3，4]，当x∈[3，4]时，x－2>0，易知函数f(x)＝在[3，4]上单调递减．所以M＝f(3)＝6，m＝f(4)＝4，所以. 答案： 1．配方法：主要用于和一元二次函数有关的函数求值域问题． 2．单调性法：利用函数的单调性，再根据所给定义域来确定函数的值域． 3．数形结合法． 4．换元法：引进一个(几个)新的量来代替原来的量． 5．分离常数法：分子、分母同次的分式形式采用配凑分子的方法，把函数分离成一个常数和一个分式和的形式． 典例　(多选)下列函数中，值域正确的是(　　) A．当x∈[0，3)时，函数y＝x2－2x＋3的值域为[2，6) B．函数y＝的值域为R C．函数y＝2x－ 的值域为 D．函数y＝ ＋ 的值域为 解析：ACD　对于A，(配方法)y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，由x∈[0，3)，再结合函数的图象(如图①所示)，可得函数的值域为[2，6)． 对于B，(分离常数法)y＝，显然≠0，所以y≠2.故函数的值域为(－∞，2)∪(2，＋∞)；对于C，(换元法)设t＝ ，则x＝t2＋1，且t≥0，所以y＝2(t2＋1)－t＝22＋，由t≥0，再结合函数的图象(如图②所示)，可得函数的值域为；对于D，函数的定义域为[1，＋∞)，因为y＝ 与y＝ 在[1，＋∞)上均单调递增，所以y＝ ＋ 在[1，＋∞)上单调递增，所以当x＝1时，ymin＝ ，即函数的值域为.故选ACD. 尝试训练　(1)函数y＝2x＋4 的值域为__________. 解析：法一：设t＝ (t≥0)，则x＝t2－1，原函数转化为y＝2t2＋4t－2(t≥0)，该函数图象的对称轴为t＝－1，且开口向上，所以y＝2t2＋4t－2在[0，＋∞)上单调递增，所以y≥－2，所以函数的值域为[－2，＋∞)． 法二：函数的定义域为[－1，＋∞)，因为y＝2x和y＝ 在[－1，＋∞)上均单调递增，所以函数y＝2x＋4 在[－1，＋∞)上单调递增，所以y≥2×(－1)＋4× ＝－2，所以函数的值域为[－2，＋∞)． 答案：[－2，＋∞) (2)函数y＝(x<－5)的值域为__________. 解析：y＝＝(x＋1)＋＋5，因为x<－5，设t＝x＋1<－4，因y＝t＋在(－∞，－4)上单调递增，则y＝t＋<－4＋＝－5，故y＝(x＋1)＋＋5<0，故函数的值域为(－∞，0)． 答案：(－∞，0) 学科网（北京）股份有限公司 $