第2章 第2节 函数的单调性与最值(Word教师用书)-【金版新学案】2027年高考数学高三总复习大一轮复习（湘教版）

该高中数学讲义聚焦函数单调性与最值核心考点，依定义、结论、应用逻辑架构知识体系，通过自测诊断、多维探究（求单调区间、证明单调性）、师生共研（求最值）及真题训练，帮助学生系统突破考点难点。 资料以“数学思维”为引领，设计定义法证明单调性、复合函数“同增异减”等探究活动，结合分层练习（基础自测、能力提升、真题再现），培养学生推理能力与应用意识，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供高效支撑。

第二节　函数的单调性与最值 【课程标准】　1.借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性、最大(小)值，理解实际意义．　2.掌握函数单调性的简单应用． 1.函数单调性的定义 (1)单调函数的定义 条件 设D是函数f(x)的定义域，I是D的一个非空的子集.如果∀x1，x2∈I，当x1<x2时 都有f(x1)<f(x2) 都有f(x1)>f(x2) 结论 就称f(x)是区间I上的增函数 就称f(x)是区间I上的减函数 图示 (2)单调区间的定义 如果函数y=f(x)在区间I上是增函数或减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间I叫作y=f(x)的单调区间. [微提醒]　(1)求函数的单调区间或讨论函数的单调性必须先求函数的定义域.(2)一个函数的同一种单调区间用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接.(3)“函数的单调区间为M”与“函数在区间N上单调”是两个不同的概念，显然N⊆M. 2.函数的最大(小)值 前提 设D是函数y=f(x)的定义域，如果有a∈D， 条件 (1)∀x∈D，都有f(x)≤f(a)； (2)∃a∈D，使得M=f(a) (1)∀x∈D，都有f(x)≥f(a)； (2)∃a∈D，使得M=f(a) 结论 称M是函数f(x)的最大值，a为f(x)的最大值点 称M是函数f(x)的最小值，a为f(x)的最小值点 [常用结论] (1)函数单调性的两个等价结论 设∀x1，x2∈I(x1≠x2)，则 ①>0(或(x1-x2)[f(x1)-f]>0)⇔f(x)在I上单调递增. ②<0(或(x1-x2)[f(x1)-f]<0)⇔f(x)在I上单调递减. (2)若函数f(x)，g(x)在区间I上具有单调性，则在区间I上具有以下性质 ①当f(x)，g(x)都是增(减)函数时，f(x)+g(x)是增(减)函数. ②若k>0，则kf(x)与f(x)单调性相同；若k<0，则kf(x)与f(x)单调性相反. ③函数y=f(x)(f(x)>0)在公共定义域内与y=-f(x)，y=的单调性相反. ④复合函数y=f(g(x))的单调性与y=f(u)和u=g(x)的单调性有关.简记为：“同增异减”. 【自测诊断】 1.(多选)下列结论错误的是(　　) A．因为f(x)在[-3，2]上是增函数，则f(-3)<f(2) B．函数f(x)在(-2，3)上单调递增，则函数的单调递增区间为(-2，3) C．若函数f(x)在区间(1，2]和(2，3)上均为增函数，则函数f(x)在区间(1，3)上为增函数 D．函数y=的单调递减区间是(-∞，0)∪(0，+∞) 答案：BCD 2.(多选)下列函数中，在区间(0，+∞)上单调递减的是(　　) A．y=-x B．y=x2-x C．y=-x2-2x D．y=ex 答案：AC 学生用书⬇第21页 3.(用结论)设函数f(x)在R上为增函数，则下列结论一定正确的是(　　) A．y=在R上为减函数 B．y=|f(x)|在R上为增函数 C．y=-在R上为增函数 D．y=-f(x)在R上为减函数 答案：D 4.函数f(x)=在区间[1，5]上的最大值为　　　　，最小值为　　　　.  答案：3　 5.已知函数f(x)=x2-2kx+4在[5，20]上单调，则实数k的取值范围是　　　　.  答案：(-∞，5]∪[20，+∞) 考点一　确定函数的单调性多维探究 角度1　求函数的单调区间 1.函数f(x)=ln(x2-2x-8)的增区间是(　　) A．(-∞，-2) B．(-∞，1) C．(1，+∞) D．(4，+∞) 答案：D 解析：由x2-2x-8>0，得f(x)的定义域为{x|x>4或x<-2}.设t=x2-2x-8，则y=ln t为增函数.要求函数f(x)的增区间，即求函数t=x2-2x-8的增区间(定义域内).因为函数t=x2-2x-8在(4，+∞)上单调递增，在(-∞，-2)上单调递减，所以函数f(x)的增区间为(4，+∞).故选D． 2.函数y=|-x2+2x+1|的增区间是　　　　　　　　.  答案： 解析：作出函数的图象如图所示，由图象知，其增区间是. 求函数的单调区间的方法 1.图象法：如果f(x)是以图象给出的，或者f(x)的图象易作出，可由函数图象直观地写出它的单调区间. 2.复合函数法： (1)求函数的定义域. (2)求简单函数的单调区间. (3)求复合函数的单调区间，依据是“同增异减”. 角度2　利用定义证明函数的单调性 (1)(2023·北京卷)下列函数中，在区间(0，+∞)上单调递增的是(　　) A．f(x)=-ln x B．f(x)= C．f(x)=- D．f(x)=3|x-1| 答案：C 解析：对于A，因为y=ln x在上单调递增，所以f=-ln x在上单调递减，故A错误；对于B，因为y=2x在上单调递增，所以f=在上单调递减，故B错误；对于C，因为y=在上单调递减，所以f=-在上单调递增，故C正确；对于D，因为f===，f==30=1，f==3，显然f=在上不单调，故D错误.故选C． (2)试讨论函数f(x)=(a≠0)在(-1，1)上的单调性. 解：设-1<x1<x2<1， f(x)=a=a， f(x1)-f(x2)=a-a=， 由于-1<x1<x2<1， 所以x2-x1>0，x1-1<0，x2-1<0， 故当a>0时，f(x1)-f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，函数f(x)在(-1，1)上单调递减； 当a<0时，f(x1)-f(x2)<0， 即f(x1)<f(x2)，函数f(x)在(-1，1)上单调递增. 定义法证明或判断函数单调性的步骤 注意：判断函数的单调性还有图象法、导数法、性质法等. 对点练1.(1)(多选)在下列函数中，满足对任意x1，x2∈<0的是(　　) A．f(x)=-2(x-1)2-2 B．f(x)=3x+5 C．f(x)=1+ D．f(x)=|x-4| (2)函数f(x)=的增区间是　　　　.  答案：(1)AC　(2)(-1，1) 解析：(1)由题意可知，函数f(x)在(1，+∞)上单调递减.对于A，f(x)=-2(x-1)2-2，其图象开口向下，对称轴为直线x=1，故f(x)在(1，+∞)上单调递减，满足题意；对于B，f(x)=3x+5为一次函数，且k=3>0，故f(x)在(1，+∞)上单调递增，不满足题意；对于C，f(x)=1+在(1，+∞)上单调递减，满足题意；对于D，f(x)=|x-4|=显然f(x)在(1，4)上单调递减，在[4，+∞)上单调递增，不满足题意.故选AC． (2)当x≠0时，f(x)=，因为y=x+在(-1，0)，(0，1)上单调递减，所以f(x)在(-1，1)上单调递增，即f(x)的增区间是(-1，1). 对点练2.设f(x)是定义在R上的函数，∀m，n∈R，f(m+n)=f(m)·f(n)(f(m)≠0，f(n)≠0)，且当x>0时，0<f(x)<1.求证： (1)f(0)=1； (2)x∈R时，恒有f(x)>0； (3)f(x)在R上是减函数. 证明：(1)根据题意，令m=0，可得f(0+n)=f(0)·f(n). 因为f(n)≠0，所以f(0)=1. (2)由题意知x>0时，0<f(x)<1； 当x=0时，f(0)=1>0； 当x<0时，-x>0，所以0<f(-x)<1. 因为f(x+(-x))=f(x)·f(-x)，所以f(x)·f(-x)=1，所以f(x)=>0. 故x∈R时，恒有f(x)>0. (3)任取x1，x2∈R，且x1<x2， 则f(x2)=f(x1+(x2-x1))， 所以f(x2)-f(x1)=f(x1+(x2-x1))-f(x1)=f(x1)·f(x2-x1)-f(x1)=f(x1)[f(x2-x1)-1]. 由(2)知f(x1)>0， 又x2-x1>0，所以0<f(x2-x1)<1， 故f(x2)-f(x1)<0，故f(x)在R上是减函数. 学生用书⬇第22页 考点二　求函数的最值师生共研 (1)函数f(x)=-log2在区间[-2，2]上的最大值为　　　　.  (2) (一题多解)对于任意实数a，b，定义min=设函数f(x)=-x+3，g(x)=log2x，则函数h(x)=min{f(x)，g(x)}的最大值是　　　　.  答案：(1)8　(2)1 解析：(1)因为函数y=，y=-log2(x+4)在区间[-2，2]上都单调递减，所以函数f(x)=-log2在区间[-2，2]上单调递减，所以函数f(x)的最大值为f=-log2=9-1=8. (2)法一：在同一坐标系中，作函数f(x)，g(x)的图象， 依题意，h(x)的图象为如图所示的实线部分.易知点A(2，1)为图象的最高点，因此h(x)的最大值为h(2)=1. 法二：依题意h(x)= 当0<x≤2时，h(x)=log2x是增函数； 当x>2时，h(x)=3-x是减函数， 因此h(x)在x=2时取得最大值h(2)=1. 求函数最值的三种常用方法 对点练3.(1) (一题多解)函数y=x+的最小值为　　　　.  (2)设f(x)=则f(x)的最小值为　　　　.  答案：(1)1　(2)2-3 解析：(1)法一：(换元法)令t=，且t≥0，则x=t2+1，所以原函数变为y=t2+1+t，t≥0，配方得y=+.又因为t≥0，所以y≥+=1，故函数y=x+的最小值为1. 法二：(单调性法)由题易得x-1≥0，即x≥1.因为函数y=x和y=在定义域内均为增函数，故函数y=x+在[1，+∞)上为增函数，所以ymin=1. (2)当x≥1时，f(x)=x+-3在上单调递减，在上单调递增，所以f(x)在x=时取得最小值，即f(x)min=2-3；当x<1时，f(x)=x2+1在(-∞，0)上单调递减，在(0，1)上单调递增，所以f(x)在x=0时取得最小值，即f(x)min=1.综上，f(x)的最小值为2-3. 考点三　函数单调性的应用多维探究 角度1　比较函数值的大小 (2023·全国甲卷)已知函数f(x)=.记a=f，b=f，c=f，则(　　) A．b>c>a B．b>a>c C．c>b>a D．c>a>b 答案：A 解析：令g(x)=-(x-1)2，则g(x)开口向下，对称轴为x=1，因为-1-=-，而(+)2-42=9+6-16=6-7>0，所以-1-=->0，即-1>1-，由二次函数的性质知g<g，因为-1-=-，而(+)2-42=8+4-16=4-8=4(-2)<0，即-1<1-，所以g>g，综上，g<g<g，又y=ex为增函数，故a<c<b，即b>c>a.故选A． 利用单调性比较函数值大小的方法 比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，则要利用函数的性质，将自变量的值转化到同一个单调区间上进行比较，或采用插值法比较大小. 角度2　利用单调性解不等式 已知函数f(x)=ln x+2x，若f(x2-4)<2，则实数x的取值范围是　　　　.  答案：(-，-2)∪(2，) 解析：因为函数f(x)=ln x+2x在定义域(0，+∞)上单调递增，且f(1)=ln 1+2=2，所以由f(x2-4)<2，得f(x2-4)<f(1)，所以0<x2-4<1，解得-<x<-2或2<x<. 利用单调性解不等式应注意四点 1.准确判断函数的单调性. 2.不等式的一边没有“f”而是常数时应将其化为函数值f(x0)的形式. 3.注意利用函数性质(奇偶性、对称性)对函数值进行转化. 4.勿忘定义域对变量的限制. 角度3　求参数的取值(范围) (高考超重点) (1) (2023·新课标Ⅰ卷)设函数f(x)＝2x(x－a)在区间(0，1)单调递减，则实数a的取值范围是(　　) A．(-∞，-2] B．[-2，0) C．(0，2] D．[2，+∞) (2)已知函数f(x)=是R上的增函数，则实数a的取值范围是(　　) A． B． C．(0，1) D．(0，1] 答案：(1)D　(2)B 解析：(1)函数y=2x在R上单调递增，而函数f(x)=2x(x-a)在区间(0，1)上单调递减，则有函数y=x(x-a)=-在区间(0，1)上单调递减，因此≥1，解得a≥2，所以a的取值范围是[2，+∞).故选D． (2)因为函数f(x)=是定义在R上的增函数，所以解得0<a≤，所以实数a的取值范围为.故选B． 利用函数的单调性求参数的方法 1.根据其单调性直接构建参数满足的方程(组)(不等式(组))或先得到其图象的升降，再结合图象求解. 2.对于分段函数，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值. 对点练4.若函数f(x)=在(a，+∞)上单调递增，则实数a的取值范围为　　　　.  答案：[1，2) 解析：f(x)===1+，因为f(x)在(a，+∞)上单调递增，所以⇒1≤a<2. 学生用书⬇第23页 [真题再现]　(2024·新课标Ⅰ卷)已知函数f(x)=在R上单调递增，则实数a的取值范围是(　　) A．(-∞，0] B．[-1，0] C．[-1，1] D．[0，+∞) 答案：B 解析：因为f在R上单调递增，且x≥0时，f(x)=ex+ln单调递增，则需满足解得-1≤a≤0，即实数a的范围是[-1，0].故选B． [教材呈现]　(湘教版必修一P92T16)若函数f(x)=2x+在区间(0，2]上是减函数，求实数m的取值范围. 点评：该高考题主要考查已知函数的单调性求参数，与教材习题角度相同，只不过将函数换为分段函数，源于教材而高于教材. 学科网（北京）股份有限公司 $