1.6 第一课时 一元二次不等式的解法(教师用书Word)-【高考领航】2027年高考数学大一轮复习学案

该高中数学讲义围绕一元二次方程与不等式高考核心考点，系统整合不等式解法（含参数）、三个“二次”关系及分式、绝对值不等式等内容，落实课标从实际情境抽象问题、结合函数图象解题的要求。通过知识点梳理构建逻辑体系，方法指导突破分类讨论难点，真题改编训练强化应用，形成系统性复习路径。 讲义注重数学思维与数学眼光的培养，如借助二次函数图象分析三个“二次”关系，引导学生从形的角度理解解集；设计含参不等式“系数分类—根的比较—解集确定”递进训练，发展逻辑推理能力。设置基础辨析、中档例题、高考改编题三级练习，配合即时反馈，助力教师把控节奏，提升学生解题效率与应考能力。

1．6　一元二次方程与不等式 [课标解读] 1．会从实际情境中抽象出一元二次不等式．　2.结合二次函数图象，会判断一元二次方程的根的个数，以及解一元二次不等式．　3.了解简单的分式、绝对值不等式的解法．　4.会解决一元二次不等式的恒(能)成立问题．　5.会解决一元二次方程根的分布问题． 1．一元二次不等式 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式． 一元二次不等式的一般形式是ax2＋bx＋c＞0或ax2＋bx＋c＜0，其中a，b，c均为常数，a≠0. 2．三个“二次”间的关系 判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2) 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有 实数根 ax2＋bx＋c>0 (a>0)的解集 {x ax2＋bx＋c<0 (a>0)的解集 x1<x<x2} ∅ ∅ 3.分式不等式与整式不等式 (1)>0(<0)⇔f(x)g(x)>0(<0)； (2)≥0(≤0)⇔f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0． 4．简单的绝对值不等式 |x|>a(a>0)的解集为(－∞，－a)∪(a，＋∞)，|x|<a(a>0)的解集为(－a，a)． 1．思考辨析(在括号内打“ √”或“×”) (1)≥0等价于(x－a)(x－b)≥0.(　　) (2)若不等式ax2＋bx＋c<0的解集为(x1，x2)，则必有a>0.(　　) (3)不等式x2≤a的解集为[， ].(　　) (4)若方程ax2＋bx＋c＝0(a<0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c>0(a<0)的解集为R.(　　) 答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)× 2．(人A必修一P53T1改编)不等式－6x2＋x≤0的解集是_________． 解析：由－6x2＋x≤0，可得6x2－x≥0，即x(6x－1)≥0，令x(6x－1)＝0，解得x1＝0，x2＝，所以不等式x(6x－1)≥0的解集为{x|x≤0或x≥}，即不等式－6x2＋x≤0的解集为{x|x≤0或x≥}． 答案：{x|x≤0或x≥} 3．(北师大必修一P41习题BT1改编)若不等式x2＋ax＋b>0的解集为(－∞，－1)∪(2，＋∞)，则a＋b＝________. 解析：由题意可得－a＝－1＋2，b＝(－1)×2，即a＝－1，b＝－2，故a＋b＝－3. 答案：－3 4．(人A必修一P55练习T2改编)要在长为800 m，宽为600 m的一块长方形地面上进行绿化，要求四周种花卉(花卉的宽度相同)，中间种草皮．要求草皮的面积不少于总面积的一半，则花卉宽度的范围是__________． 解析：设花卉宽度为x m，显然x<300，则草皮面积为S＝(800－2x)(600－2x)，由(800－2x)(600－2x)≥×800×600，得(x－100)(x－600)≥0，又0<x<300，解得0<x≤100. 答案：(0，100] 第一课时　一元二次不等式的解法 考点一　不含参数的一元二次不等式的解法 例1　(多选)下列选项中，正确的是(　　) A．不等式x2＋x－2>0的解集为{x|x<－2或x>1} B．不等式≤1的解集为{x|－3≤x<2} C．不等式|x－2|≥1的解集为{x|1≤x≤3} D．设x∈R，则“<0”的充分不必要条件 解析：ABD　因为方程x2＋x－2＝(x－1)(x＋2)＝0，解得x1＝1，x2＝－2，所以不等式x2＋x－2>0的解集为{x|x<－2或x>1}，故A正确； 因为－1≤0，即≤0，即(x＋3)(x－2)≤0(x－2≠0)，解得－3≤x<2，所以不等式的解集为{x|－3≤x<2}，故B正确； 由|x－2|≥1，可得x－2≤－1或x－2≥1， 解得x≤1或x≥3，所以不等式的解集为{x|x≤1或x≥3}，故C错误； 由<0，可得－4<x<5，因此，“<0”的充分不必要条件，故D正确．故选ABD. 1．解不含参数的一元二次不等式时，首先应观察是否可以因式分解，若可以因式分解，则因式分解求一元二次方程的根，并结合一元二次函数的图象，求解x的取值范围；若不可以因式分解，则应采用求一元二次不等式的解集的通法，即判别式法． 2．解分式不等式要等价转化为一元二次不等式求解． 跟踪训练1　(1)不等式－x2＋x＋2>0的解集为(　　) A．{x|－1<x<2} B．{x|－2<x<1} C．{x|x<－1或x>2} D．{x|x<－2或x>1} 解析：A　－x2＋x＋2>0可化为x2－x－2<0，即(x－2)(x＋1)<0，解得－1<x<2，所以不等式－x2＋x＋2>0的解集为{x|－1<x<2}，故选A. (2)不等式≥2的解集为____________． 解析：因为≥2，则≥0，等价于(1－2x)(x＋2)≥0(x≠－2)，解得－2<x≤，即不等式≥2的解集为{x|－2<x≤}． 答案：{x|－2<x≤} 考点二　含参数的一元二次不等式的解法 例2　解关于x的不等式ax2＋(2a＋3)x＋6>0(a∈R)． 解：原不等式可化为(ax＋3)(x＋2)>0， ①当a＝0时，原不等式化为3x＋6>0，解得x>－2. ②当a>0时，原不等式化为(x＋2)>0， 当＝2即a＝时，原不等式解集为(－∞，－2)∪(－2，＋∞)， 当>2即0<a<时，原不等式解集为∪(－2，＋∞)， 当<2，即a>时，原不等式解集为(－∞，－2)∪. ③当a<0时，原不等式化为(x＋2)<0. 原不等式解集为. 综上，当a＝0时，不等式的解集为(－2，＋∞)； 当a<0时，不等式解集为； 当0<a<时，不等式解集为∪(－2，＋∞)； 当a＝时，不等式解集为(－∞，－2)∪(－2，＋∞)； 当a>时，不等式解集为(－∞，－2)∪. 解含参数的一元二次不等式的一般步骤 跟踪训练2　解关于x的不等式2mx2－mx－1<0. 解：当m＝0时，－1<0恒成立，则x∈R； 当m>0时，Δ＝m2＋8m>0，解得<x<； 当m<0时，若－8<m<0，则Δ＝m2＋8m<0，x∈R；若m＝－8，则Δ＝m2＋8m＝0，x∈R且x≠；若m<－8，则Δ＝m2＋8m>0，x<或x>. 所以当－8<m≤0时，原不等式的解集为R； 当m>0时，原不等式的解集为 {x<x<}； 当m＝－8时，原不等式的解集为{x∈R}； 当m<－8时，原不等式的解集为{x或x>}． 考点三　三个“二次”之间的关系 例3　(多选)已知关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为(－∞，－2)∪(3，＋∞)，则(　　) A．a>0 B．a＋b＋c>0 C．不等式bx＋c>0的解集是{x|x<－6} D．不等式cx2－bx＋a<0的解集为∪ 解析：ACD　因为关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为(－∞，－2)∪(3，＋∞)，所以a>0，故A正确；－2和3是关于x的方程ax2＋bx＋c＝0的两根，由根与系数的关系得则所以a＋b＋c＝－6a<0，故B错误；不等式bx＋c>0可化为－ax－6a>0，得x<－6，故C正确；不等式或x>，故D正确．故选ACD. 1．一元二次方程的根就是相应一元二次函数的零点，也是相应一元二次不等式解集的端点值． 2．给出一元二次不等式的解集，相当于知道了相应一元二次函数图象的开口方向及与x轴的交点，可以利用代入根或根与系数的关系求待定系数． 跟踪训练3　(1)(2026·重庆九龙坡期中)已知不等式>1的解集为{x≥0的解集为(　　) A．{x≤x≤1} B．{x|－1≤x<1} C．{x|－6≤x<－} D．{x|－6≤x<－4} 解析：C　不等式>1，即－1>0，即>0，可转化为[(a－1)x－b＋1](x＋b)>0，因为不等式x<－1或x>4}，所以a>1且关于x的方程[(a－1)x－b＋1](x＋b)＝0的两个根为x1＝－1，x2＝4，所以 或解得或(舍去)，所以不等式≥0，即≥0，即解得－6≤x<－.所以不等式≥0的解集为{x|－6≤x<－}．故选C. (2)不等式x2－ax－b<0的解集是{x|2<x<3}，则不等式bx2－ax－1>0的解集为(　　) A．{x<x<－} B．{x<x<} C．∅ D．{x|－3<x<－2} 解析：A　设x1，x2是方程x2－ax－b＝0的两个根，由题意知，解得所以不等式bx2－ax－1>0可变为<x<－.所以不等式bx2－ax－1>0的解集为{x<x<－}．故选A. 学科网（北京）股份有限公司 $