第2章 第6讲 函数的概念与表示法(Word教师用书)-【金版新学案】2027年高考数学高三总复习大一轮复习（北师大版）

该高中数学高考复习讲义聚焦函数概念与表示法核心考点，涵盖定义域、解析式、分段函数等高考高频内容，按“概念-方法-应用”逻辑构建知识网络。通过知识梳理、规律总结、真题演练教学环节，帮助学生突破定义域求解、解析式求法等难点，体现系统复习与针对性突破。 讲义融合数学抽象与直观想象素养，如用换元法、待定系数法推导函数解析式，结合分段函数求值与方程不等式应用实例。设置自测诊断与分层对点练，即时反馈学情，助力教师精准把控复习节奏，有效提升学生数学运算与问题解决能力。

金版开篇——27备考导航　备课授课＋素材资源 【知识构建】 【命题趋势】 　　函数模块作为高中数学内容的一条主线，是高考核心考查内容之一，主要以基本初等函数或者基本初等函数组成的复合函数为载体，考查定义域、值域、性质(单调性、奇偶性、对称性、周期性)［2025全国一卷T5］、性质应用［2025全国一卷T8］、图象、零点等相关知识，常与导数、不等式、方程等必备知识结合，在知识网络的交汇点设计题目，强调融会贯通，增强同一主题必修模块与选择性必修模块间的联系、增强不同主题之间的联系［2025全国二卷T10］．考查数形结合、分类讨论、函数与方程等数学思想，难度中等． 1.题型设置：常以两个小题的形式呈现． 2.内容考查：本章高考考查频率非常高，近年来有逐渐加强的趋势，常考查函数的图象与性质． 3.能力考查：高考题凸显对数学抽象能力、模型构建能力、直观想象能力、数学运算能力的考查． 【备考策略】 1.明晰重要概念，注重回归数学本质的复习：熟练掌握常见基本初等函数的图象与性质：定义域、值域、最值、单调性、奇偶性、周期性、零点等概念是解决函数问题的基础，应明确；二次函数、幂函数、指数函数、对数函数的图象和性质贯穿在解决函数问题的全过程，应熟练掌握． 2.注重数学运算能力的提升：首先重视幂的运算性质、对数的运算性质及其应用，其次关注代数推理、变形化简、数值计算，这些都是影响解题成败的关键因素，因此在复习中应重视运算能力的训练与提升． 3.注重研究教材：回归数学本质，重视教材是备考根源，教材是高考命题的发源地，是高考题的源和流．尤其在函数的复习过程中，要善于运用教材中函数性质深化拓展得出的结论，快速、简洁地解决相关问题． 4.强化数学思想方法的训练：(1)数形结合思想：函数的图象为解决与函数有关的问题提供了有力的图形保障，研究函数的性质、函数的零点、方程的根的个数、不等式的解集等问题，往往用到数形结合思想． (2)转化与化归思想：通过构造函数，将方程问题、不等式问题转化为函数的单调性、最值等问题． (3)数学建模思想：一方面在解决抽象函数问题时，应注意寻找函数原型帮助分析和解决问题；另一方面在解决函数应用问题时，需要在复杂的问题情境中对数学内容进行抽象、转化、表达，从而运用或建立适当的函数模型解决问题． 第6讲　函数的概念与表示法 【课程标准】　1.了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域．　2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法等)表示函数．　3.通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用． 1.函数的有关概念 (1)函数的概念 (2)同一个函数 如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，即相同的自变量对应的函数值也相同，那么这两个函数是同一个函数． ［微提醒］　判断两个函数是同一个函数的依据是两个函数的定义域和对应关系完全一致．若解析式可以化简，则要注意化简过程的等价性． 2.分段函数 (1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数． (2)可转化为分段函数的函数 ①含有绝对值的函数：形如y＝|x|，y＝|x－2|等，有时也称“V型函数”． ②取整函数：y＝［x］． ③狄利克雷函数： f(x)＝ ④最值函数：设min{a，b}＝max{a，b}＝直观上来说min{a，b}用来表示a，b的最小值，我们将其称为最小值函数，同样，max{a，b}用来表示a，b的最大值，称作最大值函数． (注：关于“取整函数、狄利克雷函数和最值函数的有关图象与性质”详见第10讲) ［常用结论］ 1.直线x＝a与函数y＝f(x)的图象至多有1个交点． 2.分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数的值域的并集． 【自测诊断】 1.(多选)下列结论错误的是(　　) A．若两个函数的定义域和值域相同，则这两个函数是同一个函数 B．y＝x0与y＝1是同一个函数 C．若A＝R，B＝{x|x＞0}，f：x→y＝|x|，其对应是从A到B的函数 D．函数f(x)＝的定义域是R 答案：ABC 2.(链接北师必修一P57思考交流)若函数y＝f(x)的定义域是，值域为，则函数y＝f(x)的图象可能是(　　) 答案：D 解析：对于A，定义域是［0，1］，值域为［0，1］，与条件矛盾，故A错误；对于B，定义域是［－1，1］，值域为［0，1］，与条件矛盾，故B错误；对于C，存在一个自变量对应两个函数值，不是函数，与条件矛盾，故C错误；对于D，定义域是［－1，0］，值域为［－1，1］，与条件吻合，故D正确．故选D． 学生用书⬇第21页 3.(多选)(链接北师必修一P54例1)下列各组中的两个函数是同一个函数的为(　　) A．y＝2x，n＝2m(m≥0) B．y＝x，v＝ C．f(x)＝|x|，g(x)＝ D．f(x)＝x，h(x)＝()2 答案：BC 解析：对于A，y＝2x的定义域是R，n＝2m(m≥0)的定义域是[0，＋∞)，定义域不同，不是同一个函数，故A错误；对于B，v＝＝u，两个函数的定义域相同，对应关系相同，是同一个函数，故B正确；对于C，g(x)＝＝｜x｜＝f(x)，两者是同一个函数，故C正确；对于D，f(x)＝x的定义域是R，h(x)＝()2的定义域是[0，＋∞)，不是同一个函数，故D错误.故选BC. 4.已知函数f(x)＝则f的值为(　　) A.1 B.0 C．e D.2 答案：A 解析：由函数f(x)＝可知f＝0，所以f＝f＝1.故选A. 考点一　函数的概念 自主练透 1.(多选)下列选项中正确的是(　　) A．函数f(x)＝－的定义域是［0，＋∞) B．函数y＝f(x)的图象与直线x＝2 026至多有一个交点 C．函数v(x)＝与u(x)＝表示同一个函数 D．对于任何一个函数，如果因变量y的值不同，则自变量x的值一定不同 答案：ABD 解析：对于A，依题意解得x≥0，故A正确；对于B，由函数的定义知，函数图象至多与直线x＝2 026有一个交点，故B正确；对于C，v(x)＝＝因为两函数的定义域不相同，故不是同一个函数，故C错误；对于D，函数中一个x值只能对应一个y值，如果y值不同，则x的值一定不同，故D正确.故选ABD. 2.(2026·江苏无锡模拟)已知函数f(x)的定义域是，则函数g(x)＝的定义域是(　　) A． B． C． D． 答案：D 解析：因为函数f(x)的定义域是，所以g(x)＝的定义域需满足解得1＜x＜2.故选D. 3.(2026·福建福州模拟)若函数f(x)＝的定义域和值域的交集为空集，则实数a的取值范围是(　　) A． B． C． D． 答案：B 解析：依题意，可得函数的定义域是.当x≤0时，f(x)＝2x＋3∈，要使得定义域和值域的交集为空集，则0＜a≤3.又0＜x≤a时，f(x)＝，若a≥2，则f＝0，此时显然不满足题意，若0＜a＜2，则f(x)在上单调递减，f(x)∈，故f(x)∈∪，所以解得0＜a＜1.故选B. 1.已知函数的解析式，定义域是使解析式有意义，列出不等式(组)求解；实际问题需结合实际意义． 2.若函数f(x)的定义域是［a，b］，f(g(x))的定义域由a≤g(x)≤b求解． 3.若函数f(g(x))的定义域是［a，b］，则f(x)的定义域是g(x)在x∈［a，b］上的值域． 考点二　函数的解析式 师生共研 (1)已知f(1－sin x)＝cos2x，求f(x)的解析式． (2)已知f＝x4＋，求f(x)的解析式． (3)已知二次函数f(x)满足f(2x)＋f(x－1)＝10x2－7x＋5，求f(f(1))． (4)若对任意实数x，均有f(x)－2f(－x)＝9x＋2，求f(x)的解析式． 解：(1)(换元法)：设1－sin x＝t，t∈［0，2］，则sin x＝1－t． 因为f(1－sin x)＝cos2x＝1－sin2x， 所以f(t)＝1－(1－t)2＝2t－t2，t∈［0，2］． 即f(x)＝2x－x2(0≤x≤2)． (2)(配凑法)：f＝x4＋＝－2.又x2＋≥2＝2， 当且仅当x2＝，即x＝±1时等号成立.设t＝x2＋，则t≥2，所以f(t)＝t2－2(t≥2)， 所以f(x)＝x2－2(x≥2). (3)(待定系数法)：设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)， 因为f(2x)＋f(x－1)＝10x2－7x＋5， 所以4ax2＋2bx＋c＋a(x－1)2＋b(x－1)＋c ＝5ax2＋(3b－2a)x＋a－b＋2c＝10x2－7x＋5， 所以 所以f(x)＝2x2－x＋1，所以f(1)＝2－1＋1＝2， 所以f(f(1))＝f(2)＝2×4－2＋1＝7. (4)(解方程组法)：因为f(x)－2f(－x)＝9x＋2　①， 所以f(－x)－2f(x)＝9(－x)＋2　②， 由①＋2×②得－3f(x)＝－9x＋6， 所以f(x)＝3x－2(x∈R)． 学生用书⬇第22页 函数解析式的求法 1.配凑法：由f(g(x))＝F(x)，将F(x)表示为g(x)的式子，再以x代g(x)． 2.待定系数法：已知函数类型(如一次、二次函数)时采用． 3.换元法：已知f(g(x))解析式时换元，注意新元取值范围． 4.方程思想：已知f(x)与f或f(－x)等表达式时，构造方程组求解． 对点练1.(一题多解)已知f(＋1)＝x＋2，则f(x)的解析式为　　　　　　　　． 答案：f(x)＝x2－1(x≥1) 解析：法一(换元法)：令＋1＝t，则x＝(t－1)2，t≥1，所以f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－1(t≥1)，所以函数f(x)的解析式为f(x)＝x2－1(x≥1)． 法二(配凑法)：f(＋1)＝x＋2＝x＋2＋1－1＝(＋1)2－1.因为＋1≥1，所以函数f(x)的解析式为f(x)＝x2－1(x≥1)． 对点练2.已知函数f(x)对定义域{x|x≠0}内的任意实数x满足f(2x)－2f＝4x，则f(x)＝　　． 答案：－x－ 解析：由f(2x)－2f＝4x，得f(2x)－2f＝2·(2x)，即f(x)－2f＝2x①，将x换为，得f－2f(x)＝2×②．由①＋2×②，得－3f(x)＝2x＋，故f(x)＝－x－． 考点三　分段函数 多维探究 角度1　分段函数求值 (一题多变)(1)(2026·山东潍坊模拟)已知函数f(x)＝则f＝(　　) A.0 B.1 C.2 D.3 (2)已知函数f(x)＝则f＝　　　　． 答案：(1)B　(2)－ 解析：(1)将x＝－1代入，得到f(－1)＝2＋＝0，所以f(f(－1))＝f(0)，将x＝0代入，得到f(0)＝e0＋ln 1＝1.因此，f(f(－1))＝f(0)＝1.故选B． (2)当x≥0时，有f(x)＝f(x－4)成立，所以4为函数f(x)的一个周期，所以f＝f(2 024＋2)＝f(2)＝f(－2)＝cos(－)＝－cos＝－. ［变式探究］ 1.(变条件，变设问)本例(1)条件变为：已知函数f(x)＝若f＝4，则a的值为　　． 答案：0或 解析：若1－a≥0，即a≤1，可得f＝41－a＝4，解得a＝0，符合；若1－a＜0，即a＞1，可得f＝22a－1＝4，解得a＝，符合；综上可知a的值为0或. 2.(变条件，变设问)本例(2)条件变为：已知函数f(x)＝则f＝　　　　． 答案：256 解析：依题意得，f＝2f＝22f(－)＝23f＝…＝210f［(－2)10×］＝210f＝1 024×＝256. 角度2　分段函数与方程、不等式 (一题多变)(1)(2026·天津红桥模拟)已知函数f(x)＝当f(a)－6＝0时，实数a的值为　　　　． (2)(2026·辽宁大连模拟)已知函数f(x)＝则不等式f(x)≤1的解集为(　　) A． B． C． D． 答案：(1)2或　(2)C 解析：(1)当a＞1时，因为f(a)＝6，得到2a＋2＝6⇒2a＝4，解得a＝2，符合题意．当a≤1时，由f(a)＝6，得到4a＋3＝6⇒4a＝3，解得a＝，符合题意．综上，实数a的值为2或． (2)由题意可知当x≤0时，0＜2x≤1，故f(x)＝1－2x＜1，满足题意；当x＞0时，令log3≤1，即0＜x＋1≤3，解得－1＜x≤2，所以0＜x≤2.综上，x≤2．故选C． ［变式探究］数智赋能辅助 1.(变条件)本例(1)已知条件不变，若f(a)＝5－a，则实数a的值为　　　　． 答案： 解析：当a＞1时，因为f(a)＝5－a，得到2a＋2＝5－a⇒2a＋a＝3，解得a＝1，舍去；当a≤1时，由f(a)＝5－a，得到4a＋3＝5－a⇒5a＝2，解得a＝． 2.(变条件)本例(2)已知函数变为f(x)＝若对于任意的x∈R，都有f＞f(x)，那么实数a的取值范围是　　． 答案： 解析：若x＋2≤1，即x≤－1，此时f－f(x)＝4x＋8－4a－4x＋4a＝8＞0，满足要求；若x＞1，则x＋2＞3，此时f－f(x)＝－2a＋3－x2＋2ax－3＝4x＋4－4a＞0，故a＜x＋1恒成立，其中x＋1＞2，故a≤2；若x＋2＞1且x≤1，即－1＜x≤1，此时g(x)＝f－f(x)＝－2a＋3－4x＋4a＝x2－2ax＋7＝＋7－a2，对称轴为x＝a.若a≤－1，此时g(x)＝＋7－a2在x∈(－1，1]上单调递增，故只需g≥0，即2a＋8≥0，解得a≥－4，故－4≤a≤－1；若－1＜a＜1，此时g(x)＝＋7－a2在x∈上单调递减，在x∈上单调递增，故g(x)min＝g(a)＝7－a2，令7－a2＞0，解得－＜a＜，所以－1＜a＜1；若1≤a≤2，此时g(x)＝＋7－a2在x∈(－1，1]上单调递减，故只需g＞0，即－2a＋8＞0，解得a＜4，解得1≤a≤2.综上，实数a的取值范围是. 1.复合求值：定区间、选解析式分层递推，从内向外代入对应区间解析式． 2.求自变量：分段列方程，检验解是否符合对应区间． 3.方程、不等式：分段结合解析式与区间列条件求解，或借图象分析． 学科网（北京）股份有限公司 $