1.3 等式性质与不等式性质(教师用书Word)-【高考领航】2027年高考数学大一轮复习学案

该高中数学高考复习讲义聚焦等式与不等式性质核心考点，涵盖比较大小方法、等式性质、不等式性质及常用结论，按“基础梳理-性质应用-综合提升”逻辑架构知识体系。通过考点梳理（表格归纳性质）、方法指导（作差作商法）、真题训练（改编题与例题精讲）等环节，帮助学生构建知识网络，突破性质应用难点，体现复习的系统性与针对性。 讲义采用分层教学策略，设计思考辨析、跟踪训练等环节，创新运用特殊值验证与实例对比方法，如例2通过具体数值辨析不等式性质，培养学生数学思维与推理能力。设置基础巩固到综合应用的分层练习，配合即时反馈，确保高效突破考点，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支持。

1．3　等式性质与不等式性质 [课标解读] 1．梳理等式的性质．　2.会比较两个数的大小．　3.理解不等式的性质，并能简单应用． 1．两个实数比较大小的方法 2．等式的性质 性质 内容 注意 性质1 (对称性) 如果a＝b，那么b＝a 可逆 性质2 (传递性) 如果a＝b，b＝c，那么a＝c 单向 性质3 (可加(减)性) 如果a＝b，那么a±c＝b±c 可逆 性质4 (可乘性) 如果a＝b，那么ac＝bc 单向 性质5 (可除性) 如果a＝b，c≠0，那么 可逆 3.不等式的性质 性质 性质内容 注意 对称性 a＞b⇔b＜a 可逆 传递性 a＞b，b＞c⇒a＞c 同向 可加性 a＞b⇔a＋c＞b＋c 可逆 可乘性 a＞b，c＞0⇒ac＞bc； a＞b，c＜0⇒ac＜bc c的 正负 同向 可加性 a＞b，c＞d⇒a＋c＞b＋d 同向 同向同正 可乘性 a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd 同向， 同正 可乘方性 a＞b＞0⇒an＞bn(n∈N，n≥2) 同正 可开方性 a＞b＞0⇒＞(n∈N，n≥2) 同正 常用结论 1．倒数性质 (1)若ab＞0，且a＞b⇔＜； (2)若ab＜0，且a＞b⇔＞； (3)若a＞b＞0，d>c>0⇒＞.(应用见跟踪训练2(1)) 2．有关分数的性质 若b＞a＞0，m＞0，则 (1)＜＜(a－m＞0)(真分数越加越大，越减越小)； (2)＜＜(a－m＞0)(假分数越加越小，越减越大)．(应用见跟踪训练2(2)) 1．思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)a>b⇔ac3>bc3.(　　) (2)a＝b⇔ac＝bc.(　　) (3)若>1，则a>b.(　　) (4)a<x<b<0⇒<<.(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2．(人A必修一P43T8改编)若a>b，则下列正确的是(　　) A．b－c<a－c　　　　　　 B．a2>b2 C．ac>bc D．< 解析：A　由a>b，两边同时减去c，得a－c>b－c，故A正确；当a＝1，b＝－2时，a2>b2不成立，故B错误；当c<0时，由a>b得ac<bc，故C错误；当a＝1，b＝－2时，<不成立，故D错误．故选A. 3．(人A必修一P43T3(4)改编)设a＝x2＋1与b＝2x，则a与b的大小关系为________． 解析：由题可知a－b＝x2＋1－2x＝(x－1)2，因为(x－1)2≥0，所以a－b≥0，即a≥b. 答案：a≥b 4．(人A必修一P43T5改编)若1≤x≤3，－2≤y≤1，则x－y的取值范围为______． 解析：由－2≤y≤1⇒－1≤－y≤2，而1≤x≤3，所以0≤x－y≤5，因此x－y的取值范围为[0，5]. 答案：[0，5] 考点一　比较数(式子)的大小 例1　(1)互不相等的实数a，b，c满足：c－b＝4－4a＋a2且a＋b2＋1＝0，则下列关系成立的是(　　) A．b>a>c　　　　 B．b>c>a C．c>a>b D．c>b>a 解析：D　因为c－b＝4－4a＋a2＝(a－2)2≥0，又因为实数a，b，c互不相等，故c－b>0，即c>b；又因为a＋b2＋1＝0，所以a＝－1－b2，即b－a＝b2＋b＋1＝2＋>0，故b>a.综上：c>b>a.故选D. (2)若a>0，b>0，则p＝与q＝abba的大小关系是(　　) A．p≥q B．p≤q C．p>q D．p<q 解析：A　，若a>b>0，则>1，a－b>0，所以>1；若0<a<b，则0<<1，a－b<0，所以>1，若a＝b，则＝1，所以p≥q.故选A. 比较大小的常用方法 (1)作差法：①作差；②变形；③定号；④得出结论． (2)作商法：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④得出结论． 跟踪训练1　(1)若M＝x2－2x＋3，N＝2x2＋5，则M与N的大小关系是(　　) A．M<N B．M＝N C．M>N D．不确定的 解析：A　M－N＝x2－2x＋3－2x2－5＝－x2－2x－2＝－(x＋1)2－1<0，故M<N.故选A. (2)设p＝(a2＋a＋1)-1，q＝a2－a＋1，则(　　) A．p>q B．p<q C．p≥q D．p≤q 解析：D　p＝(a2＋a＋1)-1＝>0，q＝a2－a＋1＝2＋>0，则＝(a2－a＋1)(a2＋a＋1)＝(a2＋1)2－a2＝(a2)2＋a2＋1≥1.故p≤q，当且仅当a＝0时，取等号．故选D. 考点二　不等式的基本性质 例2　(1)(多选)(2025·山东聊城二模)已知实数a，b满足ab>0，则(　　) A．a＋b<ab B．≥2 C．若a>b，则< D．若a<b，m>0，则<(b＋m≠0) 解析：BC　对于A，当a＝b＝2时，a＋b＝ab＝4，故A错误；对于B，因为ab>0，则>0，>0，则＝2，当且仅当a2＝b2时，等号成立，故B正确；对于C，因为a>b且ab>0，则<0，则<，故C正确；对于D，若a＝－2，b＝－1，m＝2，则＝2>＝0，故D错误．故选BC. (2)(多选)(2025·山东济南二模)已知实数a，b满足a>|b＋1|，则下列不等关系一定成立的是(　　) A．2a>2b+1 B．a2>4b C．a2>b2＋1 D．a2>b|b＋1| 解析：ABD　因为a>|b＋1|≥b＋1，所以a>b＋1，所以2a>2b+1，故A正确；因为(b＋1)2－4b＝(b－1)2≥0，所以(b＋1)2≥4b，由a>|b＋1|≥0，所以a2>(b＋1)2≥4b，故B正确；若a＝2，b＝－2，满足a>|b＋1|，显然a2>b2＋1不成立，故C错误；当b＋1≤1，则b≤0，必有a2>0≥b|b＋1|，当b＋1>1，则b>0，故a>b＋1>b>0，必有a2>b|b＋1|，故D正确．故选ABD. 判断不等式的常用方法 (1)利用不等式的性质逐个验证． (2)利用特殊值法排除错误选项． (3)作差法． (4)构造函数，利用函数的单调性． 跟踪训练2　(1)(多选)(人A必修一P43T8改编)已知b>a>0，则下列不等式一定成立的是(　　) A．b2>a2 B．ab>a2 C．－<－ D．－1>0 解析：ABD　因为b>a>0，所以b2>a2，ab>a·a＝a2，A，B正确；由b>a>0可知<，两边同乘以－1，得－>－，C错误；由b>a>0，得>1，则－1>0，D正确．故选ABD. (2)(多选)若实数a，b，c满足a>b>0>c，则下列不等式成立的有(　　) A．ac>bc B．a＋c>b＋c C．b－c＋≥4 D．< 解析：BCD　因为实数a，b，c满足a>b>0>c，对于A，因为a>b>0，c<0，所以ac<bc，所以A错误；对于B，由不等式的性质，可得a＋c>b＋c，所以B正确；对于C，由b－c>0，可得>0，所以b－c＋＝4，当且仅当b－c＝时，即b－c＝2时，等号成立，所以C正确；对于D，由<0，所以<，所以D正确．故选BCD. 考点三　不等式性质的应用 例3　已知6<a<60，15<b<18，则下列结论正确的是(　　) A．<<　　　 B．21<a＋2b<78 C．－12<a－b<45 D．－24<a－2b<24 解析：C　因为15<b<18，所以<<，又6<a<60，所以<<4，所以A错误；因为6<a<60，15<b<18，所以36<a＋2b<96，所以B错误；因为15<b<18，所以－18<－b<－15，又6<a<60，所以－12<a－b<45，所以C正确；因为6<a<60，15<b<18，所以30<2b<36，－36<－26<－30，所以－30<a－2b<30，所以D错误．故选C. 利用不等式的性质求代数式取值范围的注意点 跟踪训练3　(2026·河北邯郸期中)已知2<a<3，－2<b<－1，则的取值范围是(　　) A． B． C．(－3，－1) D．(1，3) 解析：D　因为－2<b<－1，所以1<<<1，又因为2<a<3，所以1<<3.故选D. 学科网（北京）股份有限公司 $