1.4 基本不等式(教师用书Word)-【高考领航】2027年高考数学大一轮复习学案

该高中数学讲义聚焦基本不等式核心考点，涵盖定义及利用其解决最值问题的考查要求，按直接法、配凑法、常数代换法、消元法分层梳理考点，通过知识梳理、典例精讲、跟踪训练环节，帮助学生构建解题框架，突破应用难点，体现复习的系统性与针对性。 资料突出数学思维与应用意识培养，如配凑法中变形“3x(1-3x)”构造积定模型，常数代换法结合“a+b=2”转化目标式，设置思考辨析、改编题等分层练习，提升学生运算推理与模型构建能力，为教师把控复习节奏、学生高效备考提供有力支撑。

1．4　基本不等式 [课标解读] 1．掌握基本不等式．　2.能用基本不等式解决简单的最值问题． 1．基本不等式： 2．利用基本不等式求最值问题 已知x＞0，y＞0，则 (1)如果积xy是定值P，那么当且仅当x＝y时，和x＋y有最小值2(简记：积定和最小)． (2)如果和x＋y是定值S，那么当且仅当x＝y时，积xy有最大值(简记：和定积最大)． 常用结论 灵活应用两个基本不等式的变形公式 (1)≥2(a，b同号，当且仅当a＝b时，等号成立)．(应用见例1(1)) (2)若a>0，b>0，则，当且仅当a＝b时，等号成立．(应用见限时规范训练T2) 1．思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)不等式ab≤2与≥ 成立的条件是相同的．(　　) (2)函数y＝x＋的最小值是2.(　　) (3)函数y＝sin x＋，x∈的最小值是4.(　　) (4)“x>0且y>0”是“≥2”的充要条件．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 2．(人A必修一P49T5改编)已知x>0，则1－2x－的最大值为__________． 解析：因为x>0，所以2x＋＝8，当且仅当2x＝，即x＝2时等号成立，所以1－2x－＝1－≤1－8＝－7，即1－2x－的最大值为－7. 答案：－7 3．(人A必修一P58T5改编)已知a>0，b>0，若ab＝a＋b＋1，则ab的最小值为__________． 解析：由a>0，b>0，得ab＝a＋b＋1≥2＋1，且ab>1，当a＝b＝1＋时取等号，则2－2－1≥0，解得，即的最小值为1＋，所以ab的最小值为3＋2. 答案：3＋2 4．(人A必修一P46例3改编)用一段长为16 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长10 m，则能围成的菜园面积的最大值为________m2. 解析：设矩形菜园的长为x m(0<x≤10)，宽为y m，可得x＋2y＝16，则围成的菜园的面积S ＝xy＝·2＝×64＝32，当且仅当x＝2y即x＝8，y＝4时等号成立，所以围成菜园的最大面积为32 m2. 答案：32 考点一　直接法求最值 例1　(1)x∈R，且下列式子有意义，则下列代数式中最小值为2的是(　　) A．x＋　　　　　 B．2x＋2－x C．x2＋ D． 解析：B　对于A，当x<0时，x＋<0，故A错误；对于B，易知2x>0，因为2x＋2－x＝2x＋＝2，当且仅当2x＝，即x＝0时取等号，故B正确；对于C，易知x≠0，所以x2>0，则x2＋＝4，当且仅当x2＝，即x＝±时取等号，故C错误；对于D，易知，又＝2，当且仅当时取等号，但无解，所以>2，故D错误．故选B. (2)若正实数x，y满足xy＋x＋y＝3，则x＋y的最小值为(　　) A．1　　　　　　　　 B．2 C．3 D．4 解析：B　因为正实数x，y满足xy＋x＋y＝3，又xy≤2，则xy＝3－(x＋y)≤，当且仅当x＝y时取等号，设x＋y＝t，则t>0，代入整理可得t2＋4t－12≥0，解得t≤－6或t≥2，又t>0，故t≥2，故当x＝y＝1时，x＋y取得最小值为2.故选B. 利用基本不等式求最值时要注意三点 (1)各项均为正． (2)寻求定值，求和式最小值时应使积为定值，求积式最大值时应使和为定值(恰当变形，合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧)． (3)考虑等号成立的条件是否具备． 跟踪训练1　(1)已知－3<x<0，则y＝x的最小值为(　　) A．－ B． C．－ D．不存在 解析：A　由于－3<x<0，则9－x2>0，故y＝x，当且仅当x2＝9－x2，即x＝－时取等号，即y＝x的最小值为－.故选A. (2)若实数x，y满足xy＝1，则x2＋2y2的最小值为________． 解析：因为xy＝1，所以x2＋2y2≥2，当且仅当x2＝2y2，且xy＝1时，等号成立． 答案：2 考点二　配凑法求最值 例2　(1)已知0<x<，则函数y＝x(1－3x)的最大值为(　　) A．　　　　　 B． C． D． 解析：A　当0<x<时，y＝x(1－3x)＝·3x·(1－3x)≤·2＝，当且仅当3x＝1－3x，即x＝时等号成立，所以当0<x<时，y＝x(1－3x)的最大值为.故选A. (2)函数y＝(x<－1)的最大值为(　　) A．3 B．2 C．1 D．－1 解析：D　因为y＝ ＝ ＝－＋1 ≤－2＋1＝－1，当且仅当x＋1＝＝－1，即x＝－2时等号成立．故选D. 利用配凑法求最值，主要解决形如“cx＋d＋或ax(c－bx)的最值”问题，配凑成“积为常数”或“和为常数”的形式． 跟踪训练2　(1)已知0<x<2，求 的最大值为(　　) A． B． C． D． 解析：B　因为0<x<2，所以x>0，1－>0，所以，当且仅当，即x＝1时等号成立，因此的最大值为.故选B. (2)已知x>1，y>0，x＋y＝2，则(x－1)·y的最大值是________． 解析：因为x>1，y>0，x＋y＝2，所以x－1>0，(x－1)＋y＝1，可得(x－1)·y≤，当且仅当x－1＝y，即x＝时，等号成立，所以(x－1)·y的最大值是. 答案： 考点三　常数代换法求最值 例3　(1)(2026·河北石家庄月考)已知a>0，b>0，且a＋b＝2，则的最小值是(　　) A．4＋1 B．4 C．5 D．4 解析：C　因为a＋b＝2，所以＋1＝5，当且仅当，即b＝2a＝时，等号成立．故选C. (2)(2025·山西吕梁一模)正数x，y满足x＋y＝xy，则x＋9y的最小值是__________． 解析：由正数x，y满足x＋y＝xy，得＝1，则x＋9y＝(x＋9y)＝10＋＝16，当且仅当，即x＝3y＝4时取等号，所以x＋9y的最小值是16. 答案：16 常数代换法，主要解决形如“已知x＋y＝t(t为常数)，求的最值”的问题，先将转化为·，再用基本不等式求最值． 跟踪训练3　(1)设m，n∈(0，＋∞)，且m＋2n＝1，则的最小值为(　　) A．10 B．9 C．8 D．7 解析：B　因为m，n∈(0，＋∞)，且m＋2n＝1，所以＝(m＋2n)＝5＋＝9，当且仅当，即m＝n＝时取等号，所以的最小值为9.故选B. (2)已知m，n∈(0，＋∞)，＋n＝4，则m＋的最小值为(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 解析：B　∀m，n∈(0，＋∞)，m＋＝＝4，当且仅当mn＝，且＋n＝4，即m＝1，n＝3时等号成立，则m＋的最小值为4.故选B. 考点四　消元法求最值 例4　(苏教必修一P61习题T2改编)已知a>0，b>0，且ab＝1，则的最小值是________． 解析：法一：由ab＝1可得b＝，所以≥ 2＝4，当且仅当a＋，即a＝1，b＝1时，等号成立，故min＝4. 法二：由题意，＝4，当且仅当a＋b＝，即a＝b＝1时，等号成立，所以min＝4. 答案：4 当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”的形式，然后利用基本不等式求最值． 跟踪训练4　关于x的方程x2－ax＋b－1＝0有两个相等的正根，则 A．有最大值　　　　 B．有最大值 C．有最小值 D．有最小值 解析：B　因为关于x的方程x2－ax＋b－1＝0有两个相等的正根， 所以所以b＝＋1，a>0，所以，当且仅当a＝b＝2时取等号，所以有最大值.故选B. 学科网（北京）股份有限公司 $