1.2 常用逻辑用语(教师用书Word)-【高考领航】2027年高考数学大一轮复习学案

该高中数学讲义聚焦常用逻辑用语，覆盖充分必要条件判断与应用、全称量词与存在量词命题等高考核心考点，以概念表格梳理条件关系，结合集合关系深化内在联系，通过考点分析、方法指导、真题训练的教学流程，帮助学生系统突破逻辑推理难点。 讲义采用“概念-方法-应用”分层设计，如用“小充分大必要”策略解决条件判断，通过命题否定训练逻辑表达，培养学生数学思维与语言能力。设置基础辨析、改编题、高考真题分层练习，配合即时反馈，助力学生高效提升应考能力，为教师把控复习节奏提供清晰指导。

1．2　常用逻辑用语 [课标解读] 1．理解充分条件、必要条件、充要条件的意义；理解判定定理与充分条件、性质定理与必要条件、数学定义与充要条件的关系．　2.理解全称量词和存在量词的意义，能正确对两种命题进行否定． 1．充分条件、必要条件与充要条件的概念 若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件 p是q的充分不必要条件 p⇒q且q⇏p p是q的必要不充分条件 p⇏q且q⇒p p是q的充要条件 p⇔q p是q的既不充分也不必要条件 p⇏q且q⇏p 2.全称量词命题与存在量词命题 常用结论 充分、必要条件与对应集合之间的关系 设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}． (1)若p是q的充分条件，则A⊆B； (2)若p是q的充分不必要条件，则AB；(应用见例1(1)) (3)若p是q的必要不充分条件，则BA； (4)若p是q的充要条件，则A＝B； (5)若p是q的既不充分又不必要条件，则A⊈B且B⊈A. 1．思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)至少有一个三角形的内角和为π是全称量词命题．(　　) (2)写全称量词命题的否定时，全称量词变为存在量词．(　　) (3)当p是q的充分条件时，q是p的必要条件．(　　) (4)若已知p：x>1和q：x≥1，则p是q的充分不必要条件．(　　) 答案：(1)×　(2)√　(3)√　(4)√ 2．(人A必修一P20T2改编)“a2是有理数”是“a是有理数”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：B　若a是有理数，则a2是有理数，若a2是有理数，如2＝3，此时a＝不为有理数，故“a2是有理数”是“a是有理数”的必要不充分条件．故选B. 3．(人B必修一P31T2改编)写出命题“∃x∈R，x＋3≥0”的否定：_______________． 解析：命题“∃x∈R，x＋3≥0”的否定为“∀x∈R，x＋3<0”． 答案：∀x∈R，x＋3<0 4．(人A必修一P30例4改编)若命题“∃x>2025，x<a”是假命题，则实数a的取值范围是__________． 解析：命题“∃x>2025，x<a”是假命题，则命题的否定“∀x>2025，x≥a”是真命题，所以a≤2025，实数a的取值范围是(－∞，2025]. 答案：(－∞，2025] 考点一　充分、必要条件的判断 例1　(1)(2025·天津卷T2)设x∈R，则“x＝0”是“sin 2x＝0”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：A　法一：由x＝0⇒sin 2x＝sin 0＝0，则“x＝0”是“sin 2x＝0”的充分条件；又当x＝π时，sin 2x＝sin 2π＝0，可知sin 2x＝0⇏⇒x＝0，故“x＝0”不是“sin 2x＝0”的必要条件，综上可知，“x＝0”是“sin 2x＝0”的充分不必要条件．故选A. 法二：解方程sin 2x＝0，可得x＝x＝kπ，k∈Z}，所以“x＝0”是“sin 2x＝0”的充分不必要条件．故选A. (2)(多选)“－<x<2”的一个必要不充分条件可以是(　　) A．－4<x<3　　　　 B．0<x<1 C．－<x< D．x<2 解析：AD　由题意可知：{x<x<2}是选项中对应集合的真子集，结合选项可知{x<x<2}是{xx<2}的真子集，故选项AD符合．故选AD. 判断充分、必要条件的两种方法 (1)定义法 (2)集合法 基本思路 根据p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断 适用范围 多适用于命题中涉及字母取值范围的推断问题 解题技巧 抓住“以小推大”的技巧，即小范围推得大范围，简记为“小充分，大必要” 跟踪训练1　(1)(2026·天津滨海期中)对于实数x，“x≠5”是“|x－3|≠2”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：B　由|x－3|≠2得x≠5且x≠1，则“x≠5”是“|x－3|≠2”的必要不充分条件．故选B. (2)已知a，b∈R，则“a2>b2”是“a3>b3”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：D　由a2>b2得|a|>|b|，由a3>b3得a>b，当a＝－2，b＝1时，满足|a|>|b|，但不满足a>b；当a＝－2，b＝－3时，满足a>b，但不满足|a|>|b|.故“a2>b2”是“a3>b3”的既不充分也不必要条件．故选D. 考点二　充分、必要条件的应用 例2　(2025·河北秦皇岛一模)已知λ>0，集合A＝{x|x2－5x－6<0}，B＝{x|(x－λ)(x－2λ)<0}，若x∈A是x∈B的必要不充分条件，则λ的取值范围为(　　) A．(0，3)　　　　　　 B．(0，3] C．(0，2) D．(0，2] 解析：B　A＝{x|x2－5x－6<0}＝{x|－1<x<6}，B＝{x|(x－λ)(x－2λ)<0}＝{x|λ<x<2λ}，因为x∈A是x∈B的必要不充分条件，所以B是A的真子集，可得等号不同时成立，结合λ>0，解得0<λ≤3，所以λ的取值范围为(0，3].故选B. 由充分、必要条件求参数范围的策略 巧用转化 求参数 把充分、必要条件或充要条件转化为集合的包含、相等关系，然后根据集合之间的关系列出有关参数的不等式(组)求解，注意条件的等价变形 端点值 慎取舍 在求参数范围时，要注意区间端点值的检验，从而确定取舍 跟踪训练2　已知命题p：2<x<3，命题q：|2x－a|<2，若命题¬q是命题¬p的充分不必要条件，则实数a的取值范围是_________． 解析：由<x<，由于命题¬q是命题¬p的充分不必要条件，故命题p是命题q的充分不必要条件，故{x<x<}，所以(等号不能同时成立)，可得4≤a≤6，即实数a的取值范围是[4，6]. 答案：[4，6] 考点三　全称量词与存在量词 角度1　含量词命题的否定 例3　(2025·湖南邵阳二模)命题“∀x>1，ex－2>0”的否定为(　　) A．∀x≤1，ex－2>0　 B．∀x>1，ex－2≤0 C．∃x≤1，ex－2>0 D．∃x>1，ex－2≤0 解析：D　命题“∀x>1，ex－2>0”是全称量词命题，写命题的否定时需要改量词否定结论．所以命题“∀x>1，ex－2>0”的否定为“∃x>1，ex－2≤0”．故选D. 角度2　含量词命题的真假判断 例4　(2025·湖北宜昌二模)已知命题p：∀x∈R，|1－x|≤1，命题q：∃x>0，x2>2x，则(　　) A．p和q都是真命题 B．¬p和q都是真命题 C．p和¬q都是真命题 D．¬p和¬q都是真命题 解析：B　对于命题p，不妨取x＝3，则|1－3|>1，则命题p为假命题，对于命题q，不妨取x＝3，则9>8，则命题q为真命题，因此，¬p和q都是真命题．故选B. 角度3　由含量词命题的真假求参数 例5　已知命题“∃x∈R，ax2－ax＋1≤0”为假命题，则实数a的取值范围是________. 解析：由题意得不等式ax2－ax＋1>0对∀x∈R恒成立．①当a＝0时，不等式1>0在R上恒成立，符合题意；②当a≠0时，若不等式ax2－ax＋1>0对∀x∈R恒成立，则解得0<a<4.综上，实数a的取值范围是[0，4)． 答案：[0，4) 1．写出全称量词命题与存在量词命题的否定的步骤 2．判断全称量词命题、存在量词命题真假的思路 3．由命题真假求参数的范围，一是直接由命题的含义，利用函数的最值求参数的范围；二是利用等价命题，即p与¬p的关系，转化成¬p的真假求参数的范围． 跟踪训练3　(1)命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是(　　) A．任意一个有理数，它的平方是有理数 B．任意一个无理数，它的平方不是有理数 C．存在一个有理数，它的平方是有理数 D．存在一个无理数，它的平方不是有理数 解析：B　根据存在量词命题的否定为全称量词命题，需先将存在量词改为全称量词，然后否定结论，故该命题的否定为“任意一个无理数，它的平方不是有理数”．故选B. (2)(多选)下列命题是真命题的有(　　) A．∃x∈R，x－2> B．“∀x∈R，x2>0”的否定 C．“至少有一个x使x2＋2x＋1＝0成立”是全称量词命题 D．命题“∃x∈R，1<y≤2”的否定是“∀x∈R，y≤1或y>2” 解析：ABD　对于A，当x＝9时，x－2＝7>＝3，是真命题，故A正确；对于B，显然“∀x∈R，x2>0”是假命题，所以其否定是真命题，故B正确；对于C，“至少有一个”是存在量词，命题为存在量词命题，故C错误；对于D，命题“∃x∈R，1<y≤2”的否定为“∀x∈R，y≤1或y>2”，故D正确．故选ABD. (3)若命题“∃x∈R，x2＋2x＋m＝0”是真命题，则实数m的取值范围是__________． 解析：若命题“∃x∈R，x2＋2x＋m＝0”是真命 题，则Δ＝4－4m≥0，解得m≤1，所以实数m的取值范围是(－∞，1]. 答案：(－∞，1] 学科网（北京）股份有限公司 $