1.5 基本不等式的综合应用(教师用书Word)-【高考领航】2027年高考数学大一轮复习学案

该高中数学讲义聚焦基本不等式综合应用，覆盖恒成立问题、实际应用等高考核心考点，按“参数范围求解—实际问题建模—不等式链拓展”逻辑架构知识点，通过考点梳理、方法指导、真题训练环节，帮助学生构建解题框架，突破难点。 资料以“数学眼光观察现实、数学思维分析问题”为特色，如结合苹果种植、育苗区设计情境抽象数量关系，恒成立问题通过推理确定参数范围培养逻辑思维。设置分层练习配合即时反馈，高效提升学生应考能力，为教师把控复习节奏提供清晰路径。

1．5　基本不等式的综合应用 [课标解读] 1．会求与基本不等式有关的恒(能)成立问题．　2.理解基本不等式在实际问题中的应用． 考点一　利用基本不等式求参数的值或取值范围 例1　(1)(2025·江西南昌模拟)若不等式＋3≥x(a＋b)对任意正数a，b恒成立，则实数x的最大值为(　　) A．　　　　　　　　 B．2 C． D．1 解析：C　由题意不等式＋3≥x(a＋b)对任意正数a，b恒成立，即x≤恒成立，又a2＋b2≥2ab，所以a2＋b2≥，当且仅当a＝b时，等号成立，则≥2 ，当且仅当a＝b＝时，等号成立，故x≤，即实数x的最大值为.故选C. (2)(2026·江西赣州月考)已知不等式4x＋m＋>0(x>－1)恒成立，则实数m的取值范围是(　　) A．(－∞，0) B．(－4，＋∞) C．(0，＋∞) D．(－∞，4) 解析：C　不等式4x＋m＋>0(x>－1)恒成立，即m>－，因为x>－1，则x＋1>0，则4x＋＝4(x＋1)＋－4＝0，当且仅当4(x＋1)＝，即x＝－时，等号成立，则－≤0，故m>0.故选C. 利用基本不等式求参数的值或范围时，要观察题目的特点，先确定是恒成立问题还是有解问题，再利用基本不等式确定等号成立的条件，最后通过解不等式(组)得到参数的值或范围． 跟踪训练1　(1)若命题“∀x，y>0，都有(x＋y)·≥9”为真命题，则正实数a的最小值是(　　) A．2 B．4 C．6 D．8 解析：B　因为a>0，由(x＋y)＝1＋a＋，当且仅当y＝x时取等号．因为命题“∀x，y>0，都有(x＋y)≥9”为真命题，故只需a＋1＋2≥9成立，即a＋2－8≥0，解得≥2，即a≥4，故正实数a的最小值是4.故选B. (2)已知x>0，y>0，且＝1.若2x＋y<m2－8m有解，则实数m的取值范围为(　　) A．(－∞，－1)∪(9，＋∞) B．(－∞，－1]∪[9，＋∞) C．(－9，－1) D．[－9，1] 解析：A　因为x>0，y>0，且＝1，所以2x＋y＝(2x＋y)＝5＋＝9，当且仅当，且＝1，即x＝y＝3时取等号，此时2x＋y取得最小值9，若2x＋y<m2－8m有解，则9<m2－8m，解得m>9或m<－1，即实数m的取值范围为(－∞，－1)∪(9，＋∞)．故选A. 考点二　基本不等式的实际应用 例2　“宁城苹果”已经发展成当地重要富民产业，苹果飘香引客来，呈现一片繁荣景象．某采摘园内有一块场地，如图所示，当地的设计公司欲在△ACD，△ABD，△BDE三块区域种植不同的花草供游客欣赏，已知AC＝BE，∠ACB＝∠AEB＝90°，CA＋CB＝4，设BC＝x(单位：km)． (1)请用x表示CD； (2)当x取何值时，△ACD的面积最大，并求最大值． 解：(1)因为∠ACB＝∠AEB＝90°，AC＝BE＝4－BC＝4－x， 所以Rt△ACD≌Rt△BED⇒CD＝DE， 在Rt△BDE中，BD2＝ED2＋EB2，所以(x－CD)2＝CD2＋(4－x)2， 整理得CD＝4－(0<x<4)． (2)由(1)得△ACD的面积为 S△ACD＝(4－x)＝12－≤12－2， 当且仅当2x＝，即x＝2时等号成立， 所以当x＝2时，△ACD的面积最大，最大值为 km2. 利用基本不等式解决实际应用问题的技巧 跟踪训练2　如图，为了开展劳动教育，某校在“一米农庄”内计划用篱笆围成一个一边靠墙(墙足够长)的矩形育苗区．设育苗区的长为x米，宽为y米． (1)若育苗区面积为8平方米，则x，y为何值时，所用篱笆总长最小； (2)若使用的篱笆总长为10米，求的最小值． 解：(1)依题意，xy＝8，所用篱笆总长为x＋2y，而x＋2y≥2＝8， 当且仅当x＝2y，即x＝4，y＝2时取等号， 所以育苗区的长为4米，宽为2米时，所用篱笆总长最小． (2)依题意，x＋2y＝10， (x＋2y)＝＝， 当且仅当，即x＝y＝时取等号， 所以的最小值为. 基本不等式链： ∀a>0，b>0，有≤ ，当且仅当a＝b时取等号，其中和 分别叫做a和b的调和平均数、平方平均数．上述不等式链中比较常用的是后三项的大小关系，且常以平方形式ab≤2≤出现，此时a，b可以为任意实数． 证明：首先，要证≤ ，只要证≤ ，即要证≥ ，即要证a＋b≥2.因为a－2＋b＝2≥0， 所以a＋b≥2，当且仅当a＝b时等号成立，所以原式得证． 要证≤ ，即证2≤. 因为－2＝≥0， 所以≤ ，当且仅当a＝b时等号成立． 综上，≤ ≤ ，其中a，b都是正数，当且仅当a＝b时等号成立． 典例　(多选)甲、乙、丙三名短跑运动员同时参加了一次百米赛跑，所用时间分别为t1，t2，t3.甲有一半的时间以速度v1米/秒奔跑，另一半的时间以速度v2米/秒奔跑；乙全程以速度米/秒奔跑；丙有一半的路程以速度v1米/秒奔跑，另一半的路程以速度v2米/秒奔跑，其中v1>0，v2>0.则下列结论一定成立的是(　　) A．t1≤t2≤t3　　　　　 B．t1≥t2≥t3 C．t1t3＝ D． 解析：AC　由题意知t1v2＝100， t2， 所以t1＝，由基本不等式可得，所以，所以>0，故t1≤t2≤t3，当且仅当v1＝v2时等号全部成立．故A中结论成立，B中结论不成立； 又＝2， 所以t1t3＝，故C中结论成立； ， 取v1＝1，v2＝2，此时≠，所以D中结论不一定成立．故选AC. 尝试训练　(多选)若a>0，b>0，a＋b＝4，则下列不等式中对一切满足条件的a，b恒成立的是(　　) A．ab≤4　　　　 B． C．a2＋b2≤8 D．≥1 解析：ABD　法一：由a>0，b>0，，a＋b＝4，则≤2，即ab≤4，当且仅当a＝b＝2时取等号，A正确；由a>0，b>0，，a＋b＝4，可得，即，当且仅当a＝b＝2时取等号，B正确；由a>0，b>0，≤ ，a＋b＝4，可得2≤ ，即a2＋b2≥8，当且仅当a＝b＝2时取等号，C错误；由a>0，b>0，，a＋b＝4，可得≤2，即≥1，当且仅当a＝b＝2时取等号，D正确．故选ABD. 法二：因为a>0，b>0，a＋b＝4，则ab≤2＝4，当且仅当a＝b＝2时取等号，A正确；＝ ，当且仅当a＝b＝2时取等号，B正确；a2＋b2＝(a＋b)2＝8，当且仅当a＝b＝2时取等号，C错误；(a＋b)＝＝1，当且仅当a＝b＝2时取等号，D正确．故选ABD. 学科网（北京）股份有限公司 $