第1章 第3讲 不等式的性质(Word教师用书)-【金版新学案】2027年高考数学高三总复习大一轮复习（北师大版）

第3讲　 不等式的性质 【课程标准】　1.梳理等式的性质，理解不等式的概念，掌握不等式的性质．　2.理解用作差法比较两个实数的大小的理论依据．　3.能够利用不等式的性质解决有关问题． 1.两个实数比较大小的方法 2.不等式的性质 性质1　传递性：a＞b，b＞c⇒a＞c； 性质2　可加性：a＞b⇔a＋c＞b＋c； 性质3　可乘性：a＞b，c＞0⇒ac＞bc；a＞b，c＜0⇒ac＜bc； 性质4　同向可加性：a＞b，c＞d⇒a＋c＞b＋d； 性质5　(1)同向同正可乘性：a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd； (2)a＞b＞0，c＜d＜0⇒ac＜bd； (3)同正可乘方性：a＞b＞0⇒an＞bn(n∈N＋，n≥2)； 性质6　同正可开方性：a＞b＞0⇒＞(n∈N＋，n≥2)． ［常用结论］ 有关分数的性质 (1)若ab＞0，则a＞b⇔． (2)若b＞a＞0，m＞0，则 ①(a－m＞0)(真分数越加越大，越减越小)； ②(a－m＞0)(假分数越加越小，越减越大)． 【自测诊断】 1.(多选)下列说法正确的是(　　) A．两个实数a，b之间，有且只有a＞b，a＝b，a＜b三种关系中的一种 B．若＞1，则a＞b C．同向不等式具有可加性和可乘性 D．两个数的比值大于1，则分子不一定大于分母 答案：AD 2.(多选)(链接北师必修一P30A组T1)下列命题为真命题的是(　　) A．若ac2＞bc2，则a＞b B．若a＞b＞0，则a2＞b2 C．若a＜b＜0，则a2＜ab＜b2 D．若a＜b＜0，则＞ 答案：ABD 解析：C中，若a＝－2，b＝－1，则a2＞ab＞b2.故C错误． 3.(链接北师必修一P26T2)如图两种广告牌，其中图①是由两个等腰直角三角形构成的，图②是一个矩 学生用书⬇第8页 形，从图形上确定这两个广告牌面积的大小关系，并将这种关系用含字母a，b的不等式表示出来(　　) A．＞ab B．＜ab C．≥ab D．≤ab 答案：A 解析：图①是由两个等腰直角三角形构成的，面积S1＝b2.图②是一个矩形，面积S2＝ab．可得(a2＋b2)＞ab(a≠b)．故选A． 4.(链接北师必修一P25例1)设M＝x2＋y2＋1，N＝2(x＋y－1)，则M与N的大小关系为　　　　． 答案：M＞N 解析：M－N＝x2＋y2＋1－2x－2y＋2＝(x－1)2＋(y－1)2＋1＞0.故M＞N． 考点一　数(式)的大小比较 自主练透 1.设a，b∈［0，＋∞)，A＝＋，B＝，则A，B的大小关系是(　　) A．A≤B B．A≥B C．A＜B D．A＞B 答案：B 解析：根据题意得，B2－A2＝－2≤0，又A≥0，B≥0，所以A≥B．故选B． 2.(2025·浙江金华模拟)设a，b，c的平均数为M，a与b的平均数为N，N与c的平均数为P．若a＞b＞c，则(　　) A．N＜P B．P＜M C．N＜M D．M＋N＜2P 答案：B 解析：根据题意得，M＝，N＝，P＝＝＝.对于A，N－P＝－＝.因为a＞b＞c，所以a－c＞0，b－c＞0，所以a＋b－2c＞0，所以N－P＝＞0，所以N＞P，故A错误；对于B，M－P＝－＝.因为a＞b＞c，所以a－c＞0，b－c＞0，所以a＋b－2c＞0，所以M－P＝＞0，所以M＞P，故B正确；对于C，M－N＝－＝.因为a＞b＞c，所以c－a＜0，c－b＜0，所以2c－a－b＜0，所以M－N＝＜0，所以M＜N，故C错误；对于D，因为M＞P，N＞P，所以M＋N＞2P，故D错误.故选B. 3.eπ·πe与ee·ππ的大小关系为　　　　. 答案：eπ·πe＜ee·ππ 解析：＝＝.又0＜＜1，0＜π－e＜1，所以 ＜1，即＜1，即eπ·πe＜ee·ππ. 数(式)比较大小的常用方法 1.作差法：作差→变形→定号→结论． 2.作商法：作商→变形→比商与1→结论． 3.构造函数法：构造函数，用单调性比较． 考点二　不等式的性质 师生共研 (1)(多选)(2026·浙江温州模拟)已知实数a，b满足a＞|b|＞0，则(　　) A．a＞b B．a＞－b C．a2＞b2 D．＞ (2)(多选)(2026·山东聊城模拟)已知实数a，b满足ab＞0，则(　　) A．a＋b＜ab B．＋≥2 C．若a＞b，则＜ D．若a＜b，m＞0，则＜(b＋m≠0) 答案：(1)ABC　(2)BC 解析：(1)由a＞|b|＞0可知a＞b，a＞－b，故A、B正确；由于a＞|b|＞0，故a2＞b2，故C正确；a＝2，b＝1时，故D错误．故选ABC． (2)对于A，当a＝b＝2时，a＋b＝ab＝4，故A错误；对于B，因为ab＞0，则＞0，＞0，则＋≥2＝2，等号成立时a2＝b2，故B正确；对于C，因为a＞b且ab＞0，则－＝＜0，则＜，故C正确；对于D，若a＝－2，b＝－1，m＝2，则＝2＞＝0，故D错误.故选BC. 判断不等式的常用方法 1.利用不等式的性质逐个验证． 2.利用特殊值法排除错误选项． 3.作差法． 4.构造函数，利用函数的单调性验证． 对点练1.(2026·四川南充模拟)若a＞b＞0，c＞d，则下列结论正确的是(　　) A．a－b＜0 B．ac＞bd C．ac2＞bc2 D．＞ 答案：D 解析：因为a＞b＞0，c＞d．对于A，a－b＞0，故A错误；对于B，不妨取a＝2，b＝1，c＝－1，d＝－2，则ac＝－2＝bd，故B错误；对于C，取c＝0，则ac2＝0＝bc2，故C错误；对于D，根据题意可知，c2＋1＞0，由不等式的基本性质可得，故D正确．故选D． 对点练2.(多选)(2026·海南模拟)已知a＞b＞0＞c，则下列各选项正确的是(　　) A．ac＜bc B．＞ C．＞ D．a＋＞b＋ 答案：AC 解析：对于A，a＞b，c＜0，故f(x)＝xc单调递减，所以ac＜bc，故A正确；对于B，取a＝2，b＝1，c＝－3，满足a＞b＞0＞c，而＝－1＜－，故B错误；对于C，由a＞b＞0＞c，得a－c＞b－c＞0，则＞0，因此，故C正确；对于D，取a＝2，b＝1，c＝－3，满足a＞b＞0＞c，而a＋＝－1＜－＝b＋，故D错误．故选AC． 考点三　不等式性质的应用 师生共研 (1)(多选)已知a∈(1，3)，b∈(2，3)，则下面判断正确的是(　　) A．3＜a＋b＜6 B．－4＜a－2b＜－1 C．2＜ab＜9 D．＜＜ (2)(2026·江苏无锡模拟)已知2＜x＋2y＜3，－2＜x－y＜－1，则x＋y的取值范围为(　　) A．＜x＋y＜ B．0＜x＋y＜ C．＜x＋y＜ D．0＜x＋y＜ 答案：(1)ACD　(2)C 解析：(1)因为1＜a＜3，2＜b＜3，所以－3＜－b＜－2，－6＜－2b＜－4，＜＜.根据不等式的同向可加性得3＜a＋b＜6，－2＜a－b＜1，－5＜a－2b＜－1，根据同向正值不等式可乘性得2＜ab＜9，＜＜.综上，a＋b∈(3，6)，a－b∈(－2，1)，a－2b∈(－5，－1)，ab∈(2，9)，∈.故选ACD. (2)设x＋y＝m(x＋2y)＋n(x－y)，则x＋y＝(m＋n)x＋(2m－n)y，所以⇒x＋y＝(x＋2y)＋(x－y).因为2＜x＋2y＜3，－2＜x－y＜－1，所以＜(x＋2y)＜2，－＜＜－，所以＜(x＋2y)＋(x－y)＜，即＜x＋y＜.故选C. 学生用书⬇第9页 根据不等式的性质求代数式取值范围的策略 1.已知a，b的取值范围，求解由ma，nb(mn≠0)通过加、减、乘、除构成的运算式子的范围时，可直接利用不等式的性质求解，但要严格运用不等式的性质，并注意其成立的条件． 2.已知m1a＋n1b，m2a＋n2b的取值范围，求解形如或可化为m3a＋n3b(mini≠0，i＝1，2，3)的范围时，可利用待定系数法与整体代换法一次性运用不等式的性质求得取值范围．注意：此时不可直接利用不等式的性质求解，因为同向不等式在两边相加时，如果在解题过程中多次使用这种转化，就会扩大其取值范围． 对点练3.(2026·广东汕尾期末)已知3＜a＋b＜4，1＜a－b＜2，则2ab的取值范围是(　　) A． B． C． D． 答案：D 解析：因为 即 则5＜4ab＜15，所以．故选D． 对点练4.(多选)(2026·陕西渭南模拟)已知实数a，b满足－3＜a＋2b＜2，－1＜2a－b＜4，则(　　) A．－1＜a＜2 B．－2＜b＜1 C．－2＜a＋b＜0 D．0＜a－b＜4 答案：AB 解析：对于A，－3＜a＋2b＜2，－2＜4a－2b＜8，相加得－5＜5a＜10，故－1＜a＜2，故A正确；对于B，－6＜2a＋4b＜4，－4＜－2a＋b＜1，相加得－10＜5b＜5，故－2＜b＜1，故B正确；对于C，设a＋b＝m＋n＝a＋b，故解得所以a＋b＝＋，故－＜＜，－＜＜，相加得－2＜＋(2a－b)＜2，即－2＜a＋b＜2，故C错误；对于D，设a－b＝x＋y＝a＋b，故解得故a－b＝－(a＋2b)＋，－＜－＜，－＜＜，相加得－1＜－＋(2a－b)＜3，－1＜a－b＜3，故D错误.故选AB. 学科网（北京）股份有限公司 $