第1章 第2讲 常用逻辑用语(Word教师用书)-【金版新学案】2027年高考数学高三总复习大一轮复习（北师大版）

第2讲　 常用逻辑用语 【课程标准】　1.理解充分条件、必要条件、充要条件的含义．　2.理解判定定理与充分条件的关系、性质定理与必要条件的关系、数学定义与充要条件的关系．　3.理解全称量词与存在量词的意义，能正确对全称量词命题和存在量词命题进行否定． 1.必要条件、充分条件与充要条件 条件类型 逻辑关系(p与q) 集合关系(A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}) 充分不必要条件 p⇒q且qp A⫋B(A是B的真子集) 必要不充分条件 pq且q⇒p B⫋A(B是A的真子集) 充要条件 p⇔q(p⇒q且q⇒p) A＝B(集合相等) 既不充分也不必要条件 pq且qp 无包含关系，A、B互不为子集 2.全称量词命题和存在量词命题 名称 全称量词命题 存在量词命题 常见量词 所有、每一个、任意、任何、一切 有些、有一个、存在等 学生用书⬇第5页 量词符号 ∀ ∃ 结构 对M中的任意一个x，有p(x)成立 存在M中的元素x，p(x)成立 符号表示 ∀x∈M，p(x) ∃x∈M，p(x) 否定形式 ∃x∈M，¬p(x) ∀x∈M，¬p(x) ［微提醒］　(1)含有一个量词的命题的否定规律是“改量词，否结论”．(2)命题p和¬p的真假性相反，若一个命题的真假不易判断时，可先判断此命题的否定的真假． ［常用结论］ 1.一个区别：会区别A是B的充分不必要条件(A⇒B且BA)，与A的充分不必要条件是B(B⇒A且AB)两者的不同． 2.三个转化：(1)p是q的充分不必要条件⇔¬q是¬p的充分不必要条件． (2)p是q的必要不充分条件⇔¬q是¬p的必要不充分条件． (3)p是q的充要条件⇔¬q是¬p的充要条件． 【自测诊断】 1.(多选)下列说法正确的是(　　) A．命题“两个三角形是等边三角形”是命题“两个三角形相似”的充分不必要条件 B．“三角形的内角和为180°”是全称量词命题 C．命题“所有素数都是奇数”的否定是“所有素数都不是奇数” D．命题“∃x∈R，sin2 ＋cos2 ＝”是真命题 答案：AB 2.(链接北师必修一P23A组T3)命题“∀x∈R，ex－1≥x”的否定是(　　) A．∃x∈R，ex－1≥x B．∀x∈R，ex－1≤x C．∃x∈R，ex－1＜x D．∀x∈R，ex－1＜x 答案：C 解析：依题意，得命题“∀x∈R，ex－1≥x”的否定是“∃x∈R，ex－1＜x”．故选C． 3.(多选)(链接北师必修一P22A组T1)对任意实数a，b，c，给出下列命题，其中假命题是(　　) A．“a＝b”是“ac＝bc”的充要条件 B．“a＞b”是“a2＞b2”的充分条件 C．“a＜5”是“a＜3”的必要条件 D．“a＋5是无理数”是“a是无理数”的充分不必要条件 答案：ABD 4.(链接北师必修一P23B组T1)“m＜”是“一元二次方程x2＋x＋m＝0有实数解”的　　　　条件．(选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”) 答案：充分不必要 解析：若一元二次方程x2＋x＋m＝0有实数解，则Δ＝1－4m≥0，解得m≤，所以“m＜”是“一元二次方程x2＋x＋m＝0有实数解”的充分不必要条件． 考点一　必要、充分条件的判定 自主练透 1.(2024·天津卷)设a，b∈R，则“a3＝b3”是“3a＝3b”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案：C 解析：由函数y＝x3单调递增可知，若a3＝b3，则a＝b；由函数y＝3x单调递增可知，若3a＝3b，则a＝b．故“a3＝b3”是“3a＝3b”的充要条件．故选C． 2.(2025·天津卷)设x∈R，则“x＝0”是“sin 2x＝0”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案：A 解析：由x＝0⇒sin 2x＝sin 0＝0，则“x＝0”是“sin 2x＝0”的充分条件；又当x＝π时，sin 2x＝sin 2π＝0，可知sin 2x＝0x＝0，故“x＝0”不是“sin 2x＝0”的必要条件．综上可知，“x＝0”是“sin 2x＝0”的充分不必要条件．故选A． 【溯源教材2】 溯源 (北师必修一P45A组T3)用“充分条件但不是必要条件”“必要条件但不是充分条件”或“充要条件”填空： (1)“a是有理数”是“a是实数”的　　　　； (2)“x2－4＝0”是“x＝－2”的　　　　； (3)“x2－4＝0”是“|x|＝2”的　　　　； (4)“A⋃B＝B”是“A＝∅”的　　　　． 续表 透视 高考题与课本习题都聚焦充分、必要条件判定这一核心考点，利用等式变形关联条件，只是载体从单一等式关系，拓展到数系、方程、集合等多知识模块，命题逻辑一致(通过分析前后语句的推出关系判断条件类型)，考查更具综合性 预测 “sin 2x＝1”的一个充分不必要条件是　　　　． 答案：x＝(答案不唯一) 解析：当x＝时，sin 2x＝1，由sin 2x＝1可得x＝＋kπ，k∈Z，故“sin 2x＝1”的一个充分不必要条件是“x＝”. 学生用书⬇第6页 3.(2024·全国甲卷)设向量a＝(x＋1，x)，b＝(x，2)，则(　　) A．x＝－3是a⊥b的必要条件 B．x＝－3是a∥b的必要条件 C．x＝0是a⊥b的充分条件 D．x＝－1＋是a∥b的充分条件 答案：C 解析：a⊥b⇔x2＋x＋2x＝0⇔x＝0或x＝－3，所以x＝－3是a⊥b的充分条件，x＝0是a⊥b的充分条件，故A错误，C正确．a∥b⇔2x＋2＝x2⇔x2－2x－2＝0⇔x＝1±，故B、D错误．故选C． 4.(2026·江西南昌期末)已知p：≤2，q：x2－2x－3＜0，则p是q的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案：B 解析：已知≤2，解得－1≤x≤3.已知x2－2x－3＜0，化简得＜0，解得－1＜x＜3，可知⫋［－1，3］，即p：≤2不能推出q：x2－2x－3＜0，q：x2－2x－3＜0可以推出p：≤2，所以p是q的必要不充分条件．故选B． 【教师备选】　(2026·山东聊城模拟)已知集合M＝，集合N＝，则“x∈N”是“x∈M⋃N”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案：C 解析：因为M⋃N＝＝N，所以x∈N⇔x∈M⋃N，故“x∈N”是“x∈M⋃N”的充要条件．故选C． 判断充分条件、必要条件及充要条件的三种方法 　　判断充分、必要条件即判断“谁推谁”，尽管多为基础题，但不同的主题内容都可作为呈现的载体，体现综合性，解决方法一般有三种． 　　一是定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断，适用于定义、定理判断性问题． 　　二是集合法：根据p，q对应的集合之间的包含关系进行判断，多适用于条件中涉及参数范围的推断问题． 　　三是等价转化法：对所给题目的条件进行一系列的等价转化，直到转化成容易判断充分、必要条件是否成立为止． 考点二　必要、充分条件的应用 师生共研 (1)(2026·湖南衡阳模拟)命题“∀x∈［1，2］，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是(　　) A．a≥4 B．a≤4 C．a＞4 D．a＜4 (2)(一题多变)已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若x∈P是x∈S的必要条件，则实数m的取值范围是　　　　． 答案：(1)C　(2)［0，3］ 解析：(1)由x2－a≤0可得a≥x2，当x∈[1，2]时，＝4，所以a≥4，则a的取值范围是A＝，满足其充分不必要条件的一个集合为B，则B⫋A，故a＞4.故选C. (2)由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，所以P＝{x|－2≤x≤10}．因为x∈P是x∈S的必要条件，则S⊆P，又S≠∅，所以解得0≤m≤3. ［变式探究］数智赋能辅助 1.(变条件)条件“若x∈P是x∈S的必要条件”变为“¬P是¬S的必要不充分条件”，其他条件不变，则实数m的取值范围是　　　　． 答案：［9，＋∞) 解析：由例题知P＝{x|－2≤x≤10}．因为¬P是¬S的必要不充分条件，所以P是S的充分不必要条件，所以P⇒S且SP，所以［－2，10］⫋［1－m，1＋m］，所以所以m≥9，则m的取值范围是［9，＋∞)． 2.(变设问)条件不变，问是否存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件？并说明理由． 解：不存在，理由如下．由例题知P＝{x|－2≤x≤10}．若x∈P是x∈S的充要条件， 则P＝S，所以这样的m不存在． 根据必要、充分条件求解参数范围的方法 1.转化：将条件关系转化为集合包含、相等关系，列参数不等式(组)． 2.检验：验证区间端点，依据集合关系判断等号能否取，防漏(增)解． 考点三　全称量词命题与存在量词命题 多维探究 角度1　含量词命题的否定 (原创题)命题：∀x∈［0，1］，x2＋x－985≤0的否定为(　　) A．∀x∈(－∞，0)⋃(1，＋∞)，x2＋x－985＞0 B．∃x∈［0，1］，x2＋x－985＞0 C．∃x∈(－∞，0)⋃(1，＋∞)，x2＋x－985＞0 D．∀x∈［0，1］，x2＋x－985＞0 答案：B 解析：命题“∀x∈，x2＋x－985≤0”的否定为“∃x∈，x2＋x－985＞0”．故选B． 角度2　含量词命题真假的判断 (2024·新课标Ⅱ卷)已知命题p：∀x∈R，|x＋1|＞1；命题q：∃x＞0，x3＝x．则(　　) A．p和q都是真命题 B．¬p和q都是真命题 C．p和¬q都是真命题 D．¬p和¬q都是真命题 答案：B 解析：因为∀x∈R，|x＋1|≥0，所以命题p为假命题，所以¬p为真命题．因为x3＝x，所以x3－x＝0，所以x＝0，即x(x＋1)(x－1)＝0，解得x＝－1或x＝0或x＝1，所以∃x＞0，使得x3＝x，所以命题q为真命题，所以¬q为假命题，所以¬p和q都是真命题．故选B． 角度3　含量词命题的应用 (1)(2026·湖北黄冈模拟)若“∀x∈R，x2－mx＋2＞0”是真命题，则实数m的取值范围是(　　) A． B． C． D． (2)已知函数f(x)＝x2－2x＋3，g(x)＝log2x＋m，若对任意x1，x2∈［1，4］，f(x1)＞g(x2)恒成立，则实数m的取值范围是　　　　． 答案：(1)A　(2)(－∞，0) 解析：(1)依题意，得Δ＝m2－8＜0，解得－2．故选A． (2)f(x)＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，当x∈［1，4］时，f(x)min＝f(1)＝2，g(x)max＝g(4)＝2＋m．由题知f(x)min＞g(x)max，即2＞2＋m，解得m＜0. 【教师备选】　(2026·上海模拟)已知集合A＝{－2，0，1}，命题p：∀x∈A，x2＋kx＋3＞0.若命题p为真命题，则实数k的取值范围是　　　　 ． 答案： 解析：命题p表示“∀x∈A，x2＋kx＋3＞0恒成立”.当且仅当同时满足以下三个不等式：当x＝－2时，(－2)2＋k·(－2)＋3＝4－2k＋3＞0，解得k＜；当x＝0时，0＋0＋3＞0恒成立；当x＝1时，1＋k＋3＞0解得k＞－4；综合条件得－4＜k＜. 含量词命题的解题策略 1.真假判定：直接判断，或通过否定命题真假推导． 2.参数范围：由命题真假直接求，或用等价命题转化求． 3.双量词问题： (1)∀x1，x2∈D，f(x1)≤g(x2)恒成立⇔f(x1)max≤g(x2)min． (2)∀x1∈D1，∃x2∈D2，使得f(x1)≥g(x2)⇔f(x1)min≥g(x2)min． (3)∃x1∈D1，∃x2∈D2，使得f(x1)＝g(x2)⇔f(x1)的值域与g(x2)的值域的交集非空． (4)∀x1∈D1，∃x2∈D2，使得f(x1)＝g(x2)⇔f(x1)的值域是g(x2)值域的子集． 学生用书⬇第7页 对点练1.(2026·江西南昌模拟)已知命题p：∀α∈R，sin＝cos，则下列结论正确的是(　　) A．p为真命题，且命题p的否定为：∀α∈R，sin≠cos B．p为真命题，且命题p的否定为：∃α∈R，sin≠cos C．p为假命题，且命题p的否定为：∀α∈R，sin≠cos D．p为假命题，且命题p的否定为：∃α∈R，sin≠cos 答案：B 解析：因为sin＝sin＝cos(＋α).所以对于任意的α∈R，sin＝cos都成立，所以命题p为真命题.命题p：∀α∈R，sin＝cos是全称量词命题，所以它的否定为∃α∈R，sin≠cos.命题p为真命题，且命题p的否定为∃α∈R，sin≠cos.故选B. 对点练2.(2026·河南南阳模拟)已知a∈R，若“∃x∈R，a＝2x＋1”为假命题，则实数a的取值范围是(　　) A． B． C． D． 答案：C 解析：命题“∃x∈R，a＝2x＋1”是存在量词命题，其否定为全称量词命题，其否定为：∀x∈R，a≠2x＋1，而函数y＝2x＋1的值域为．由“∃x∈R，a＝2x＋1”为假命题，得“∀x∈R，a≠2x＋1”为真命题，则a≤1.故选C． 对点练3.已知f(x)＝x2，g(x)＝－m，若∀x1∈[－1，3]，∃x2∈[0，2]，f(x1)≥g(x2)，则实数m的取值范围是　　　　. 答案： 解析：因为对∀x1∈[－1，3]，∃x2∈[0，2]，f(x1)≥g(x2)，所以f(x1)min≥g(x2)min.因为f(x)＝x2，x∈[－1，3]，所以f(x)min＝f(0)＝0.因为g(x)＝－m，x∈[0，2]，所以g(x)min＝g(2)＝－m.由0≥－m，得m≥. 【教师备选】　已知函数f(x)＝x＋，g(x)＝2x＋a，若∀x1∈［，1］，∃x2∈［2，3］，使得f(x1)≤g(x2)，则实数a的取值范围是　　　　． 答案：［，＋∞) 解析：依题意知f(x)max≤g(x)max.因为f(x)＝x＋在［，1］上单调递减，所以f(x)max＝f()＝.又g(x)＝2x＋a在[2，3]上单调递增，所以g(x)max＝8＋a，因此≤8＋a，则a≥. 学科网（北京）股份有限公司 $