第1章 第2讲 常用逻辑用语(Word教师用书)-【金版新学案】2027年高考数学高三总复习大一轮复习（北师大版）

第2讲　 常用逻辑用语

【课程标准】　1.理解充分条件、必要条件、充要条件的含义．　2.理解判定定理与充分条件的关系、性质定理与必要条件的关系、数学定义与充要条件的关系．　3.理解全称量词与存在量词的意义，能正确对全称量词命题和存在量词命题进行否定．

1.必要条件、充分条件与充要条件

条件类型	逻辑关系(p与q)	集合关系(A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)})
充分不必要条件	p⇒q且qp	A⫋B(A是B的真子集)
必要不充分条件	pq且q⇒p	B⫋A(B是A的真子集)
充要条件	p⇔q(p⇒q且q⇒p)	A＝B(集合相等)
既不充分也不必要条件	pq且qp	无包含关系，A、B互不为子集

2.全称量词命题和存在量词命题

名称	全称量词命题		存在量词命题
常见量词	所有、每一个、任意、任何、一切		有些、有一个、存在等
学生用书⬇第5页
量词符号	∀	∃
结构	对M中的任意一个x，有p(x)成立	存在M中的元素x，p(x)成立
符号表示	∀x∈M，p(x)	∃x∈M，p(x)
否定形式	∃x∈M，¬p(x)	∀x∈M，¬p(x)

［微提醒］　(1)含有一个量词的命题的否定规律是“改量词，否结论”．(2)命题p和¬p的真假性相反，若一个命题的真假不易判断时，可先判断此命题的否定的真假．

［常用结论］

1.一个区别：会区别A是B的充分不必要条件(A⇒B且BA)，与A的充分不必要条件是B(B⇒A且AB)两者的不同．

2.三个转化：(1)p是q的充分不必要条件⇔¬q是¬p的充分不必要条件．

(2)p是q的必要不充分条件⇔¬q是¬p的必要不充分条件．

(3)p是q的充要条件⇔¬q是¬p的充要条件．

【自测诊断】

1.(多选)下列说法正确的是(　　)

A．命题“两个三角形是等边三角形”是命题“两个三角形相似”的充分不必要条件

B．“三角形的内角和为180°”是全称量词命题

C．命题“所有素数都是奇数”的否定是“所有素数都不是奇数”

D．命题“∃x∈R，sin2 ＋cos2 ＝”是真命题

答案：AB

2.(链接北师必修一P23A组T3)命题“∀x∈R，ex－1≥x”的否定是(　　)

A．∃x∈R，ex－1≥x B．∀x∈R，ex－1≤x

C．∃x∈R，ex－1＜x D．∀x∈R，ex－1＜x

答案：C

解析：依题意，得命题“∀x∈R，ex－1≥x”的否定是“∃x∈R，ex－1＜x”．故选C．

3.(多选)(链接北师必修一P22A组T1)对任意实数a，b，c，给出下列命题，其中假命题是(　　)

A．“a＝b”是“ac＝bc”的充要条件

B．“a＞b”是“a2＞b2”的充分条件

C．“a＜5”是“a＜3”的必要条件

D．“a＋5是无理数”是“a是无理数”的充分不必要条件

答案：ABD

4.(链接北师必修一P23B组T1)“m＜”是“一元二次方程x2＋x＋m＝0有实数解”的　　　　条件．(选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)

答案：充分不必要

解析：若一元二次方程x2＋x＋m＝0有实数解，则Δ＝1－4m≥0，解得m≤，所以“m＜”是“一元二次方程x2＋x＋m＝0有实数解”的充分不必要条件．

考点一　必要、充分条件的判定                                                                                自主练透

1.(2024·天津卷)设a，b∈R，则“a3＝b3”是“3a＝3b”的(　　)

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

答案：C

解析：由函数y＝x3单调递增可知，若a3＝b3，则a＝b；由函数y＝3x单调递增可知，若3a＝3b，则a＝b．故“a3＝b3”是“3a＝3b”的充要条件．故选C．

2.(2025·天津卷)设x∈R，则“x＝0”是“sin 2x＝0”的(　　)

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

答案：A

解析：由x＝0⇒sin 2x＝sin 0＝0，则“x＝0”是“sin 2x＝0”的充分条件；又当x＝π时，sin 2x＝sin 2π＝0，可知sin 2x＝0x＝0，故“x＝0”不是“sin 2x＝0”的必要条件．综上可知，“x＝0”是“sin 2x＝0”的充分不必要条件．故选A．

【溯源教材2】