第1章 第2讲 常用逻辑用语(Word教师用书)-【金版新学案】2027年高考数学高三总复习大一轮复习（广东专版）

该高中数学讲义聚焦常用逻辑用语高考核心考点，涵盖充分必要条件判断、充要条件应用及全称与存在量词命题等内容，通过概念表格梳理、微提醒点睛、常用结论归纳构建知识体系。采用自测诊断夯实基础，分考点（判断、探求应用、量词命题）开展自主练透、师生共研与多维探究，结合真题讲解与变式训练，帮助学生系统突破逻辑推理难点。 资料突出数学思维与语言素养培养，如用集合法、等价转化法分析条件关系，通过“一题多解”“变式探究”引导学生严谨推理。设置分层练习（自测、对点练）适配不同学情，真题溯源教材强化应用意识，助力学生短时间提升逻辑判断与命题应用能力，为教师精准把控复习节奏提供清晰教学路径。

第2讲　常用逻辑用语 【课程标准】　1.理解充分条件、必要条件与充要条件的意义；理解判定定理与充分条件的关系、性质定理与必要条件的关系、数学定义与充要条件的关系.　2.通过已知的数学实例，理解全称量词与存在量词的意义；能正确地对全称量词命题和存在量词命题进行否定. 1.充分条件、必要条件与充要条件的概念 命题真假 “若p，则q”为真命题 “若p，则q”为假命题 “若p，则q”和“若q，则p”都是真命题 推出关系 p⇒q p⇒/ q p⇔q 条件关系 p是q的充分条件，q是p的必要条件 p不是q的充分条件，q不是p的必要条件 p是q的充分必要条件，简称充要条件 [微提醒]　(1)A是B的充分不必要条件⇔A⇒B且B⇒/ A；(2)A的充分不必要条件是B⇔B⇒A且A⇒/ B. 2.全称量词与存在量词 [微提醒]　(1)含有一个量词的命题的否定规律是“改量词，否结论”.(2)命题p和﹁p的真假性相反，若判断一个命题的真假有困难时，可先判断此命题的否定的真假. 【常用结论】 1.充分、必要条件与对应集合之间的关系 设A＝{x｜p(x)}，B＝{x｜q(x)}. (1)若p是q的充分条件，则A⊆B； (2)若p是q的充分不必要条件，则A⫋B； (3)若p是q的必要不充分条件，则B⫋A； (4)若p是q的充要条件，则A＝B； (5)若p是q的既不充分又不必要条件，则A⊈B且B⊈A. 2.三个转化：(1)p是q的充分不必要条件⇔﹁q是﹁p的充分不必要条件. (2)p是q的必要不充分条件⇔﹁q是﹁p的必要不充分条件. (3)p是q的充要条件⇔﹁q是﹁p的充要条件. 【自测诊断】 1.(多选)下列结论正确的是(　　) A.p是q的充分不必要条件等价于q是p的必要不充分条件 B.“三角形的内角和为180°”是全称量词命题 C.已知集合A，B，A∪B＝A∩B的充要条件是A＝B D.命题“∃x∈R，sin2＋cos2＝”是真命题 答案：ABC 2.(多选)(链接人教A必修一P34T5)对任意实数a，b，c，给出下列命题，其中真命题是(　　) A.“a＝b”是“ac＝bc”的充要条件 B.“a＞b”是“a2＞b2”的充分条件 C.“a＜5”是“a＜3”的必要条件 D.“a＋5是无理数”是“a是无理数”的充分不必要条件 答案：C 3.(链接人教A必修一P31T3)命题“∀x∈R，x2＋x－2 026≥0”的否定是　　　　　　　　　　. 答案：∃x0∈R，＋x0－2 026＜0 解析：由全称量词命题的否定是存在量词命题并且先改量词再否定结论知，命题“∀x∈R，x2＋x－2 026≥0”的否定是∃x0∈R，＋x0－2 026＜0. 4.若命题“∀x∈R，x2＋1＞m”是真命题，则实数m的取值范围是　　　　. 答案：(－∞，1) 解析：命题“∀x∈R，x2＋1＞m”是真命题，即x2＞m－1，所以m－1＜0，故m＜1. 学生用书⬇第6页 考点一　充分、必要条件的判断 自主练透 1.(2025·天津卷)设x∈R，则“x＝0”是“sin 2x＝0”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案：A 解析：由x＝0得sin 2x＝0，所以充分性成立；由sin 2x＝0得x＝(k∈Z)，所以必要性不成立.故“x＝0”是“sin 2x＝0”的充分不必要条件.故选A. 2.(2025·浙江台州一模)已知集合A＝，B＝，则“x∈A”是“x∈B”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案：A 解析：因为A＝，B＝，所以A⊆B，所以“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件.故选A. 3.(一题多解)对于实数x，“x≠5”是“｜x－3｜≠2”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案：B 解析：法一：因为“p是q的必要不充分条件⇔﹁q是﹁p的必要不充分条件”，所以由｜x－3｜＝2得x＝1，或x＝5，所以{x｜x＝5}是{x｜x＝1，或x＝5}的真子集，所以“x＝1或x＝5”是“x＝5”的必要不充分条件即等价于“x≠5”是“｜x－3｜≠2”的必要不充分条件.故选B. 法二：因为｜x－3｜≠2，等价于x≠1且x≠5，且(－∞，1)∪(1，5)∪(5，＋∞)是(－∞，5)∪(5，＋∞)的真子集，所以“x≠5”是“｜x－3｜≠2”的必要不充分条件.故选B. 4.(2024·全国甲卷理)设向量a＝(x＋1，x)，b＝(x，2)，则(　　) A.x＝－3 是a⊥b的必要条件 B.x＝－3是a∥b的必要条件 C.x＝0是a⊥b的充分条件 D.x＝－1＋是a∥b的充分条件 答案：C 解析：a⊥b⇔x2＋x＋2x＝0⇔x＝0或x＝－3，所以x＝－3是a⊥b的充分条件，x＝0是a⊥b的充分条件，故A错误，C正确.a∥b⇔2x＋2＝x2⇔x2－2x－2＝0⇔x＝1±，故B，D错误.故选C. 判断充分条件、必要条件及充要条件的三种方法 　　判断充分、必要条件即判断“谁推谁”，尽管多为基础题，但不同的主题内容都可作为呈现的载体，体现综合性，解决方法一般有三种：一是定义法：直接判断“若p，则q”以及“若q，则p”的真假，这是最根本方法.适用于定义、定理判断性问题(T1、4)；二是集合法：即利用集合的包含关系判断.多适用于条件中涉及参数范围的推断问题(T2)；三是等价转化法：对所给题目的条件进行一系列的等价转化，直到转化成容易判断充分、必要条件是否成立为止(T3). 考点二　充分、必要条件的探求与应用 师生共研 (1)(多选)若p：≤1，则p成立的一个充分不必要条件是(　　) A.1≤x≤3 B.2＜x＜3 C.1＜x＜3 D.0≤x≤4 (2)(一题多变)已知P＝{x｜x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x｜1－m≤x≤1＋m}.若x∈P是x∈S的必要条件，则实数m的取值范围是　　　　　　. 答案：(1)BC　(2)[0，3] 解析：(1)设≤1对应的集合为A，使p成立的一个充分不必要条件对应的集合为B，由≤1解得1≤x≤3，故A＝.因为要求使p成立的一个充分不必要条件，所以B⊆A且B≠A，满足上述条件的选项有B、C. 故选BC. (2)由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，所以P＝{x｜－2≤x≤10}.因为x∈P是x∈S的必要条件，则S⊆P.又S≠⌀，所以解得0≤m≤3，故实数m的取值范围是[0，3]. [变式探究](数智赋能辅助) 1.(变条件)本例(2)中条件“若x∈P是x∈S的必要条件”变为“﹁P是﹁S的必要不充分条件”，其他条件不变，则实数m的取值范围是　　　　. 答案：[9，＋∞) 解析：由例题知P＝{x｜－2≤x≤10}.因为﹁P是﹁S的必要不充分条件，所以P是S的充分不必要条件，所以P⇒S且S⇒/ P.所以[－2，10]⫋[1－m，1＋m].所以所以m≥9，则实数m的取值范围是[9，＋∞). 2.(变设问)本例(2)条件不变，问是否存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件？并说明理由. 解：不存在m，理由如下：由例题知P＝{x｜－2≤x≤10}. 若x∈P是x∈S的充要条件，则P＝S， 所以 这样的m不存在. 根据充分、必要条件求解参数范围的方法及注意点 1.把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解. 2.要注意区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象. 对点练1.设a，b∈R，则“ab－a－b＋1＝0”的充要条件是(　　) A.a，b中至少有一个为1 B.a，b都不为0 C.a，b都为1 D.a，b不都为1 答案：A 解析：由题意ab－a－b＋1＝0⇔＝0，则a－1和b－1中至少有一个为0，即a，b中至少有一个为1，所以“ab－a－b＋1＝0”的充要条件是“a，b中至少有一个为1”.故选A. 对点练2.(双空题)设条件p： ｜x｜≤m(m＞0)，q： －1≤x≤4，若p是q的充分条件，则m的最大值为　　　　　　　， 若p是q的必要条件，则m的最小值为　　　　　　　. 答案：1 　4 解析：因为｜x｜≤m(m＞0)，所以－m≤x≤m.①由p是q的充分条件，得解得0＜m≤1，所以m的最大值为1. ②由p是q的必要条件，得解得m≥4，所以m的最小值为4. 学生用书⬇第7页 考点三　全称量词命题与存在量词命题 多维探究 角度1　含量词命题的否定 已知命题p：∀x≥0，ln(1＋x)≥x－，则命题p的否定为(　　) A.∀x≥0，ln＜x－ B.∃x≥0，ln＜x－ C.∀x＜0，ln＜x－ D.∃x＜0，ln＜x－ 答案：B 解析：根据全称量词命题的否定为存在量词命题可知，命题p：∀x≥0，ln≥x－，则命题p的否定为∃x≥0，ln＜x－.故选B. 角度2　含量词命题的真假判断 (2024·新课标Ⅱ卷)已知命题p：∀x∈R，｜x＋1｜＞1；命题q：∃x＞0，x3＝x.则(　　) A.p和q都是真命题 B.﹁p和q都是真命题 C.p和﹁q都是真命题 D.﹁p和﹁q都是真命题 答案：B 解析：因为∀x∈R，｜x＋1｜≥0，所以命题p为假命题，所以﹁p为真命题.因为x3＝x，所以x3－x＝0，所以x＝0，即x(x＋1)(x－1)＝0，解得x＝－1或x＝0或x＝1，所以∃x＞0，使得x3＝x，所以命题q为真命题，所以﹁q为假命题，所以﹁p和q都是真命题.故选B. 【溯源教材2】 溯源 (人教A必修一P35T7)写出下列命题的否定，并判断它们的真假： (1)∀a∈R，一元二次方程x2－ax－1＝0有实根； (2)每个正方形都是平行四边形； (3)∃m∈N，∈N； (4)存在一个四边形ABCD，其内角和不等于360°. 透视 该高考试题主要考查全称量词命题、存在量词命题的否定及真假判断，与教材习题命题角度完全相同 预测 已知命题p：∀x∈{x｜x是无理数}，x3是无理数；命题q：∃n∈Z，使得n2＋n是奇数，则(　　) A.p和q都是真命题 B.﹁p和q都是真命题 C.p和﹁q都是真命题 D.﹁p和﹁q都是真命题 答案：D 解析：对于命题p，若x＝是无理数，但是x3＝＝2是有理数，所以命题p是假命题，则﹁p是真命题.对于命题q：由n2＋n＝n，因为n和n＋1是两个连续的整数，则n必是偶数，故命题q是假命题，则﹁q为真命题.故选D. 角度3　含量词命题的应用 (1)已知p：∀x∈[－1，2]，x2－2x＋a＜0；q：∃x∈R，x2－4x＋a＝0.若p为假命题，q为真命题，则实数a的取值范围是(　　) A.[－3，4] B.(－3，4] C.(－∞，－3) D.[4，＋∞) (2)已知函数f(x)＝x2－2x＋3，g(x)＝log2x＋m，若对任意x1，x2∈[1，4]，f(x1)＞g(x2)恒成立，则实数m的取值范围是　　　　. 答案：(1)A　(2) (－∞，0) 解析：(1)由题意知，p：∀x∈[－1，2]，x2－2x＋a＜0为假命题，则﹁p：∃x∈[－1，2]，x2－2x＋a≥0为真命题，当x∈[－1，2]时，y＝x2－2x＋a的图象的对称轴方程为x＝1，此时其最大值为(－1)2＋2＋a＝3＋a，则3＋a≥0，解得a≥－3.又q：∃x∈R，x2－4x＋a＝0为真命题，则Δ＝16－4a≥0，解得a≤4.综上，实数a的取值范围是[－3，4].故选A. (2)f(x)＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，当x∈[1，4]时，f(x)min＝f(1)＝2，g(x)max＝g(4)＝2＋m.由题知f(x)min＞g(x)max，即2＞2＋m，解得m＜0，故实数m的取值范围是(－∞，0). 含量词命题的解题策略 1.真假判断：一是直接判断；二是通过否定命题真假推导判断. 2.参数范围：一是直接由命题的真假求；二是可利用等价命题(p与﹁p的等价关系)求.无论哪种解题策略一般都是将命题的真假转化为不等式恒成立或不等式有解、方程有解或无解、函数最值问题等. 3.双量词问题：(1)∀x1，x2∈D，f(x1)≤g(x2)恒成立⇔≤g(x2)min. (2)∀x1∈D1，∃x2∈D2，使得f(x1)≥g(x2)⇔f(x1)min≥g(x2)min. (3)∃x1∈D1，∃x2∈D2，使得f(x1)＝g(x2)⇔f(x1)的值域与g(x2)的值域的交集非空. (4)∀x1∈D1，∃x2∈D2，使得f(x1)＝g(x2)⇔f(x1)的值域是g(x2)的值域的子集. 对点练3.(多选)已知命题p：∀x∈[0，1]，不等式2x－2≥m2－3m恒成立，命题q：∃x∈[1，3]，不等式x2－ax＋4≤0，则下列说法正确的是(　　) A.命题p的否定是“∃x∈[0，1]，不等式2x－2＜m2－3m” B.命题q的否定是“∀x∈[1，3]，不等式x2－ax＋4≥0” C.当命题p为真命题时，1≤m≤2 D.当命题q为假命题时，a＜4 答案：ACD 解析：对于A，命题p的否定是“∃x∈[0，1]，不等式2x－2＜m2－3m”，故A正确；对于B，命题q的否定是“∀x∈[1，3]，不等式x2－ax＋4＞0”，故B错误；对于C，若命题p为真命题，则当x∈[0，1]时，(2x－2)min≥m2－3m，即m2－3m＋2≤0，解得1≤m≤2，故C正确；对于D，若命题q为假命题，则∀x∈[1，3]，不等式x2－ax＋4＞0为真命题，即a＜x＋在x∈[1，3]时恒成立.因为x＋≥2＝4，当且仅当x＝，即x＝2时取等号，所以a＜4，故D正确.故选ACD. 对点练4.已知f(x)＝x2，g(x)＝－m，若∀x1∈[－1，3]，∃x2∈[0，2]，f(x1)≥g(x2)，则实数m的取值范围是　　　　. 答案： 解析：因为对∀x1∈[－1，3]，∃x2∈[0，2]，f(x1)≥g(x2)，所以f(x1)min≥g(x2)min.因为f(x)＝x2，x∈[－1，3]，所以f(x)min＝f(0)＝0.因为g(x)＝－m，x∈[0，2]，所以g(x)min＝g(2)＝－m.由0≥－m，得m≥. 【教师备选】　已知函数f(x)＝x＋，g(x)＝2x＋a，若∀x1∈［，1］，∃x2∈[2，3]，使得f(x1)≤g(x2)，则实数a的取值范围是　　　　. 答案：［，＋∞) 解析：依题意知f(x1)max≤g(x2)max.因为f(x)＝x＋在［，1］上单调递减，所以f(x)max＝f()＝.又g(x)＝2x＋a在[2，3]上单调递增，所以g(x)max＝8＋a，因此≤8＋a，则a≥. 学科网（北京）股份有限公司 $