精品解析：山东省东营市东营区2025-2026学年第二学期教学质量反馈八年级数学试题

2025-2026学年第二学期教学质量反馈八年级数学试题 （总分120分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷为选择题，30分；第Ⅱ卷为非选择题，90分；本试题共8页． 2．数学试题答题卡共4页，答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座号等填写在试题和答题卡上，考试结束，试题和答题卡一并收回． 3．第Ⅰ卷每题选出答案后，都必须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号【ABCD】涂黑．如需改动，先用橡皮擦干净，再改涂其它答案．第Ⅱ卷按要求用0.5mm碳素笔答在答题卡的相应位置上． 第Ⅰ卷（选择题共30分） 一、选择题：本大题共10小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来．每小题选对得3分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分． 1. 下列二次根式中与是同类二次根式的是（　 　） A. B. C. D. 2. 已知，则等于（　　） A. B. C. 2 D. 3 3. 若反比例函数的图像过点，则不在这个反比例函数图像上的点是（ ） A. B. C. D. 4. 一元二次方程的根是（ ） A. B. C. D. 5. 用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则的值为（ ） A. B. C. 0 D. 3 6. 如图，函数与（）在同一平面直角坐标系中的图像大致（ ） A. B. C. D. 7. 为丰富职工文化生活，东营区举办职工篮球友谊赛，每两支参赛队伍之间都要进行一场比赛，累计比赛36场．设共有x个队参加比赛，则下列方程符合题意的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图是一个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现．如图是该台灯的电流与电阻成反比例关系的图象，该图象经过点．根据图象可知，下列说法正确的是（ ） A. 当时， B. 与的函数关系式是 C. 当时， D. 当时，的取值范围是 9. 如图，在中，，，以点为圆心，以的长为半径作弧，交于点，再分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点，连接，以下结论不正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，点、分别为正方形的边、上一点，、交于点，且，，分别交对角线于点，，则有以下结论：；；；．以上结论中，正确的个数有（ ）个． A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题共90分） 二、填空题：本大题共8小题，其中11-14题每小题3分，15-18题每小题4分，共28分．只要求填写最后结果． 11. 要使有意义的取值范围是___________． 12. 已知反比例函数y=的图象在第一、三象限内，则k的值可以是__．(写出满足条件的一个k的值即可) 13. 黄河入海，万鸟齐飞．东营黄河口湿地作为“鸟类国际机场”，秋冬观鸟热潮持续升温，东方白鹳主题文创销量节节攀升．某文创店月“东方白鹳”挂件销量为万件，月销量达万件．若每月的增长率相同，则这款挂件销量的月平均增长率为________． 14. 如图，在中，D，E，F分别是，，上的点，且，，，，则______cm． 15. 如果关于x的一元二次方程有两个实数根，那么k的取值范围是 _________． 16. 数学中，把这个比例称为黄金分割比例．鹦鹉螺曲线的每个半径和后一个半径的比都是黄金比例，是自然界最美的鬼斧神工．如图，P是的黄金分割点（），若线段的长为，则的长为______cm． 17. 如图，点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，连接．当于点，时，______． 18. 如图，在平面直角坐标系中，已知直线和双曲线，在直线上取一点，记为，过作轴的垂线交双曲线于点，过作轴的垂线交直线于点，过作轴的垂线交双曲线于点，过作轴的垂线交直线于点，，依次进行下去，记点的横坐标为，若，则________． 三、解答题：本大题共7小题，共62分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 19. 计算和解方程 （1）； （2）． 20. 已知：平行四边形的两边的长是关于的方程的两个实数根． （1）试说明：无论取何值方程总有两个实数根； （2）当为何值时，四边形是菱形？求出这时菱形的边长． 21. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A(1，-2)、B(4，-1)、C(3，-3)． （1）画出将△ABC向左平移5个单位，再向上平移3个单位后的△A1B1C1，并写出点B的对应点B1的坐标____________； （2）以原点O为位似中心，在位似中心的同侧画出△A1B1C1的一个位似△A2B2C2，使它与△A1B1C1的相似比为2∶1，并写出点B1的对应点B2的坐标____________； （3）若△A1B1C1内部任意一点P1 的坐标为(a-5，b+3)，直接写出经过（2）的变化后点P1的对应点P2的坐标（用含a、b的代数式表示）．P2的坐标是____________． 22. 阅读材料、完成探究． 数学活动：测量树的高度． 在数学课上我们学过利用三角形的相似测高，在物理课我们学过光的反射定律．数学综合实践小组想利用光的反射定律测量河流对岸一棵树的高度AB，测量的部分步骤和数据如下： ①如下图，在地面上的点C处放置了一块平面镜，小华站在的延长线上，当小华从平面镜中刚好看到树的顶点A时，测得小华到平面镜的距离米，小华的眼睛E到地面的距离米； ②将平面镜从点C沿的延长线移动10米到点F处，小华向后移动到点H处时，小华的眼睛G又刚好在平面镜中看到树的顶点A，这时测得小华到平面镜的距离米，小华的眼睛G到地面的距离米； ③已知A，点B，C，D，F，H在同一直线上． （1）∵， ∴， ∴，…… 可得______；（写比值） （2）利用以上信息，继续使用图形相似等有关知识计算树的高度． 23. 如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于，两点． （1）求一次函数的解析式及的面积； （2）根据图象直接写出不等式的解集； 24. 根据以下素材，完成探索任务． 探索果园土地规划和销售利润问题 素材1 某农户承包了一块长方形果园，图1是果园的平面图，其中米，米．准备在它的四周铺设道路，上下两条横向道路的宽度都为米，左右两条纵向道路的宽度都为x米，中间部分种植水果． 出于货车通行等因素的考虑，道路宽度x不超过12米，且不小于5米． 素材2 该农户发现某一种草莓销售前景比较不错，经市场调查，草莓培育一年可产果．若每平方米的草莓销售平均利润为100元，每月可销售5000平方米的草莓；受天气原因，农户为了快速将草莓出手，决定降价，若每平方米草莓平均利润每下调1元，每月可多销售125平方米草莓，果园每月的承包费为2万元． 问题解决 （1）解决果园中路面宽度的设计对种植面积的影响．若中间种植的面积是，则路面设置的宽度是否符合要求． （2）解决果园种植的预期利润问题．若农户预期一个月的总利润为55.2万元，则从购买草莓客户的角度考虑，每平方米草莓平均利润应该降价多少元？（总利润=销售利润-承包费） 25. 问题背景： 一次数学综合实践活动课上，小慧发现并证明了关于三角形角平分线的一个结论．如图1，已知是的角平分线，可证小慧的证明思路是：如图2，过点C作，交的延长线于点E，构造相似三角形来证明． （1）尝试证明：请参照小慧提供的思路，利用图2证明； （2）基础训练：如图3，在中，，D是边上一点．连接，将沿所在直线折叠，点C恰好落在边上的E点处．若，，求的长； （3）拓展升华：如图4，中， ，，为的角平分线，的中垂线交延长线于F，当时，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期教学质量反馈八年级数学试题 （总分120分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷为选择题，30分；第Ⅱ卷为非选择题，90分；本试题共8页． 2．数学试题答题卡共4页，答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座号等填写在试题和答题卡上，考试结束，试题和答题卡一并收回． 3．第Ⅰ卷每题选出答案后，都必须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号【ABCD】涂黑．如需改动，先用橡皮擦干净，再改涂其它答案．第Ⅱ卷按要求用0.5mm碳素笔答在答题卡的相应位置上． 第Ⅰ卷（选择题共30分） 一、选择题：本大题共10小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来．每小题选对得3分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分． 1. 下列二次根式中与是同类二次根式的是（　 　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：A、，与的被开方数不同，不是同类二次根式，故A选项错误； B、，与的被开方数不同，不是同类二次根式，故B选项错误； C、，与的被开方数不同，不是同类二次根式，故C选项错误； D、，与的被开方数相同，是同类二次根式，故D选项正确． 故选：D． 2. 已知，则等于（　　） A. B. C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】由题干可得y＝2x，代入计算即可求解． 【详解】∵， ∴y＝2x， ∴， 故选A． 【点睛】本题考查了比例的基本性质：两内项之积等于两外项之积．即若，则ad＝bc，比较简单． 3. 若反比例函数的图像过点，则不在这个反比例函数图像上的点是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意，点在反比例函数的图像上，代入坐标得出k的值，再进行选择即可． 【详解】解：∵反比例函数y=的图像过点（1，）， ∴， ∵点A、B、C的横纵坐标之积都等于， ∴点A、B、C都在这个反比例函数图像上． 故选：D． 【点睛】本题考查了反比例函数图像上点的坐标特征以及用待定系数法求反比例函数的解析式． 4. 一元二次方程的根是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，掌握求解的方法是解题的关键； 原方程变形后，利用因式分解法求解即可． 【详解】解：方程可变形为：， 即为， ∴或， ∴． 故选：C． 5. 用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则的值为（ ） A. B. C. 0 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查配方法的应用，已知字母的值，求代数式的值．通过配方法将方程化为完全平方形式，确定和的值，即可得的值． 【详解】解：∵ , ∴, ∴, ∴， ∴， ∴． 故选：D． 6. 如图，函数与（）在同一平面直角坐标系中的图像大致（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分k＞0和k＜0两种情况分类讨论即可确定正确的选项． 【详解】解：当k＞0时，函数的图象经过一、二、三象限，反比例函数的图象分布在二、四象限，没有选项符合题意； 当时，函数的图象经过一、二、四象限，反比例函数的图象分布在一、三象限，B选项正确， 故选：B. 【点睛】考查了反比例函数和一次函数的性质，解题的关键是能够分类讨论，难度不大． 7. 为丰富职工文化生活，东营区举办职工篮球友谊赛，每两支参赛队伍之间都要进行一场比赛，累计比赛36场．设共有x个队参加比赛，则下列方程符合题意的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据单循环比赛的规则，计算总比赛场数列方程，用到的是计数去重的思路，即可得到符合题意的方程． 【详解】解：依题意，共有个队参赛，每两支队伍之间赛一场，每支队伍需要和除自身外的支队伍比赛， 又∵ 两队之间进行一场比赛， ∴ 实际总比赛场数为， 已知总比赛为36场， 因此列方程得，符合题意的为选项A. 8. 如图是一个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现．如图是该台灯的电流与电阻成反比例关系的图象，该图象经过点．根据图象可知，下列说法正确的是（ ） A. 当时， B. 与的函数关系式是 C. 当时， D. 当时，的取值范围是 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了实际问题与反比例函数，利用反比例函数图像得出函数解析式，进而利用反比例函数的性质逐一分析即可，正确得出函数解析式是解题的关键． 【详解】解：、由图像可知：当时，，该选项错误，不符合题意； 、设与的函数关系式是， 把代入得：，解得：， ∴与的函数关系式是，该选项错误，不符合题意； 、由图像可知：当时，， ∴当时，，该选项错误，不符合题意； 、由上得与的函数关系式是， 当时，；当时，， ∴当时，的取值范围是，该选项正确，符合题意； 故选：． 9. 如图，在中，，，以点为圆心，以的长为半径作弧，交于点，再分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点，连接，以下结论不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定和性质，角平分线的作图及性质，解一元二次方程，根据作图可知，为的角平分线，根据等腰三角形的性质求出的度数可判定A正确；进而得出，可得，根据等腰三角形的性质及外角性质得出，可得，由，推出，即可判定D正确；根据，为公共角证明，根据相似三角形的性质可判定B错误,C正确；熟练掌握相关性质及判定定理是解题的关键． 【详解】解：，， ，由作图可知：，为的角平分线， ，故A正确， ， ， ， ， ， ， ，故D正确， ，， ， ，即， 整理得：， ， ， ，故B错误， ，， ， ， ， ，，， ，故C正确． 故选：B． 10. 如图，点、分别为正方形的边、上一点，、交于点，且，，分别交对角线于点，，则有以下结论：；；；．以上结论中，正确的个数有（ ）个． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由四边形是正方形，则，所以，可判断；把绕点顺时针旋转得到由旋转的性质得，，，，证明，然后根据性质可判断；证明，则，从而判断，由四边形是正方形，，，，，证明，通过相似三角形性质可判断． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故正确； 如图， 把绕点顺时针旋转得到由旋转的性质得，，，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴，即，故正确； ∵，， ∴， ∴， ∴，故正确； ∵四边形是正方形， ∴，，，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴，故错误； 综上可知：正确，共个， 故选：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，掌握知识点的应用是解题的关键． 第Ⅱ卷（非选择题共90分） 二、填空题：本大题共8小题，其中11-14题每小题3分，15-18题每小题4分，共28分．只要求填写最后结果． 11. 要使有意义的取值范围是___________． 【答案】且 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，被开方数非负，分母不为，列不等式组求解即可． 【详解】若使有意义，则， 解不等式得， 解不等式得， 因此的取值范围是且． 12. 已知反比例函数y=的图象在第一、三象限内，则k的值可以是__．(写出满足条件的一个k的值即可) 【答案】1 【解析】 【分析】在本题中已知“反比例函数的图像在第一、三象限内,”从而得到2-k＞0,顺利求解k的值. 【详解】反比例函数的图像在第一、三象限内可得，2-k＞0 解得:k＜2 不妨取k=1,可得已知反比例函数,即可满足的图像在第一、三象限内. 【点睛】熟练掌握反比例函数的性质是本题的解题关键. 13. 黄河入海，万鸟齐飞．东营黄河口湿地作为“鸟类国际机场”，秋冬观鸟热潮持续升温，东方白鹳主题文创销量节节攀升．某文创店月“东方白鹳”挂件销量为万件，月销量达万件．若每月的增长率相同，则这款挂件销量的月平均增长率为________． 【答案】 【解析】 【分析】设月平均增长率为，根据月和月的销量关系列一元二次方程，舍去不符合题意的负根即可得到结果． 【详解】设这款挂件销量的月平均增长率为， 根据题意列方程得：， ∴， 解得，（舍去）， ∴这款挂件销量的月平均增长率为． 14. 如图，在中，D，E，F分别是，，上的点，且，，，，则______cm． 【答案】8 【解析】 【分析】首先根据平行四边形的判定证明四边形是平行四边形，则，然后根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 故的长为． 故答案为：8 【点睛】本题主要考查平行四边形的判定及性质，相似三角形的判定与性质，掌握这些性质及判定是解题的关键． 15. 如果关于x的一元二次方程有两个实数根，那么k的取值范围是 _________． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，解决本题的关键是能正确计算根的判别式，并注意本题易忽略二次项系数不为0的情况． 因为一元二次方程有两个不等实数根，所以且，求解即可． 【详解】解：由题意得，， 解得：， ∵该方程为一元二次方程， ∴， 故答案为：且． 16. 数学中，把这个比例称为黄金分割比例．鹦鹉螺曲线的每个半径和后一个半径的比都是黄金比例，是自然界最美的鬼斧神工．如图，P是的黄金分割点（），若线段的长为，则的长为______cm． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割．根据黄金分割的定义进行计算即可解答． 【详解】解：点是的黄金分割点，线段的长为， ， ， 故答案为：． 17. 如图，点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，连接．当于点，时，______． 【答案】 【解析】 【分析】过点作轴于点，过点作轴于点，可证，得，设，则，，即得，，得到，再利用待定系数法解答即可求解． 【详解】解：如图，过点作轴于点，过点作轴于点，则， ∴， ∵于点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点在反比例函数的图象上， 设，则，， ∴，， ∴， ∵点在反比例函数的图象上， ∴． 18. 如图，在平面直角坐标系中，已知直线和双曲线，在直线上取一点，记为，过作轴的垂线交双曲线于点，过作轴的垂线交直线于点，过作轴的垂线交双曲线于点，过作轴的垂线交直线于点，，依次进行下去，记点的横坐标为，若，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据反比例函数与一次函数图象上点的坐标特征分别求出、、、、、的横纵坐标，从而得到每次变化为一个循环组依次循环，用除以，根据商的情况确定出即可． 【详解】当时，的横坐标与的横坐标相等为， 的纵坐标和的纵坐标相同为， 的横坐标和的横坐标相同为， 的纵坐标和的纵坐标相同为， 的横坐标和的横坐标相同为， 的纵坐标和的纵坐标相同为， 的横坐标和的横坐标相同为， ， 由上可知，，，，，，，个为一组依次循环， ∵， ∴． 三、解答题：本大题共7小题，共62分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 19. 计算和解方程 （1）； （2）． 【答案】（1）1 （2）， 【解析】 【分析】（1）先化简二次根式，计算绝对值，负整数指数幂，二次根式的乘法，再计算二次根式的除法，最后合并即可． （2）利用因式分解的方法解方程即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原方程可变形为， ， ∴或， 解得，． 20. 已知：平行四边形的两边的长是关于的方程的两个实数根． （1）试说明：无论取何值方程总有两个实数根； （2）当为何值时，四边形是菱形？求出这时菱形的边长． 【答案】（1）证明见解析 （2）2 【解析】 【分析】此题主要考查了一元二次方程的解法以及菱形的性质和根的判别式等知识，得出的值是解题关键． （1）利用根的判别式求出的符号进而得出答案； （2）利用菱形的性质以及一元二次方程的解法得出答案． 【小问1详解】 证明：方程， ， 无论取何值方程总有两个实数根； 【小问2详解】 解：四边形是菱形， ， ， ， 方程为， ， 即菱形的边长为2． 21. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A(1，-2)、B(4，-1)、C(3，-3)． （1）画出将△ABC向左平移5个单位，再向上平移3个单位后的△A1B1C1，并写出点B的对应点B1的坐标____________； （2）以原点O为位似中心，在位似中心的同侧画出△A1B1C1的一个位似△A2B2C2，使它与△A1B1C1的相似比为2∶1，并写出点B1的对应点B2的坐标____________； （3）若△A1B1C1内部任意一点P1 的坐标为(a-5，b+3)，直接写出经过（2）的变化后点P1的对应点P2的坐标（用含a、b的代数式表示）．P2的坐标是____________． 【答案】（1）B1(-1，2) （2）B2(-2，4) （3）P2(2a -10，2b+6) 【解析】 【分析】（1）先按要求画出平移后所得△A1B1C1，再对照图形写出点B1的坐标即可； （2）连接OA1，并延长到点A2，使OA2=2OA1可得点A2，用同样的方法画出点B2、C2，再顺次连接三点即可得到△A2B2C2，对照图形写出点B2的坐标即可； （3）由△A2B2C2∽△A1B1C1，且相似比为2：1可知点P2的坐标是点P1坐标的2倍，由此可得到点P2的坐标； 【小问1详解】 如下图所示，△A1B1C1为所求三角形，B1的坐标为：(-1，2)； 【小问2详解】 如下图所示，△A2B2C2为所求三角形，B2的坐标为：(-2，4)； 【小问3详解】 由题意可知△A2B2C2∽△A1B1C1，且相似比为2：1 ∴当点P1的坐标为(a-5，b+3)时，对应点P2的坐标为：(2a -10，2b+6)． 22. 阅读材料、完成探究． 数学活动：测量树的高度． 在数学课上我们学过利用三角形的相似测高，在物理课我们学过光的反射定律．数学综合实践小组想利用光的反射定律测量河流对岸一棵树的高度AB，测量的部分步骤和数据如下： ①如下图，在地面上的点C处放置了一块平面镜，小华站在的延长线上，当小华从平面镜中刚好看到树的顶点A时，测得小华到平面镜的距离米，小华的眼睛E到地面的距离米； ②将平面镜从点C沿的延长线移动10米到点F处，小华向后移动到点H处时，小华的眼睛G又刚好在平面镜中看到树的顶点A，这时测得小华到平面镜的距离米，小华的眼睛G到地面的距离米； ③已知A，点B，C，D，F，H在同一直线上． （1）∵， ∴， ∴，…… 可得______；（写比值） （2）利用以上信息，继续使用图形相似等有关知识计算树的高度． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的实际应用，解题的关键是学会设未知数，构建方程组解决问题 （1）根据相似三角形的性质得到，据此代入的值即可得到答案； （2）设米，米，证明得到，即，再由（1）所求得到，解方程求出y的值，进而求出x的值即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴，， ∴， 故答案为： 【小问2详解】 解：设米，米， 由（1）得， ∵， ∴． ∴， ∴． ∴， 解得， ∴ 答：树的高度为． 23. 如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于，两点． （1）求一次函数的解析式及的面积； （2）根据图象直接写出不等式的解集； 【答案】（1），4 （2）或 【解析】 【分析】（1）将点A的坐标代入反比例函数的解析式求得m的值，将点B的坐标代入反比例函数的解析式，即可求得n的值，然后利用待定系数法即可求得一次函数的解析式； （2）由函数图象知不等式的解集为反比例函数图象在一次函数图象上方时，自变量x的取值范围，结合两点的坐标即可解答． 【小问1详解】 解：∵反比例函数的图象与一次函数的图象交于，两点， ∴， 解得：，， ∴，， ∴， 解得：， ∴一次函数为． 如图，记与轴的交点为， ∴， ∵，， ∴的面积为． 【小问2详解】 解：∵，， 结合图象可得不等式的解集为：或． 24. 根据以下素材，完成探索任务． 探索果园土地规划和销售利润问题 素材1 某农户承包了一块长方形果园，图1是果园的平面图，其中米，米．准备在它的四周铺设道路，上下两条横向道路的宽度都为米，左右两条纵向道路的宽度都为x米，中间部分种植水果． 出于货车通行等因素的考虑，道路宽度x不超过12米，且不小于5米． 素材2 该农户发现某一种草莓销售前景比较不错，经市场调查，草莓培育一年可产果．若每平方米的草莓销售平均利润为100元，每月可销售5000平方米的草莓；受天气原因，农户为了快速将草莓出手，决定降价，若每平方米草莓平均利润每下调1元，每月可多销售125平方米草莓，果园每月的承包费为2万元． 问题解决 （1）解决果园中路面宽度的设计对种植面积的影响．若中间种植的面积是，则路面设置的宽度是否符合要求． （2）解决果园种植的预期利润问题．若农户预期一个月的总利润为55.2万元，则从购买草莓客户的角度考虑，每平方米草莓平均利润应该降价多少元？（总利润=销售利润-承包费） 【答案】（1）符合要求 （2）下调48元 【解析】 【分析】（1）由果园的长、宽及四周道路的宽度，可得出中间种植部分是长为米、宽为米的长方形，根据中间种植的面积是，可列出关于的一元二次方程，解之可得出的值，取其符合题意的值，再对照（1）中的取值范围，即可得出结论； （2）设每平方米草莓平均利润下调元，则每平方米草莓平均利润为元，每月可售出平方米草莓，利用总利润销售利润承包费，可列出关于的一元二次方程，解之可得出的值，再结合要让利于顾客，即可确定结论． 【小问1详解】 解：根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去） ∵， ∴路面设置的宽度符合要求； 【小问2详解】 解：设每平方米草莓平均利润下调y元， ， 整理得：． 解得：，， 又∵要让利于顾客， ∴． 答：每平方米草莓平均利润下调48元． 25. 问题背景： 一次数学综合实践活动课上，小慧发现并证明了关于三角形角平分线的一个结论．如图1，已知是的角平分线，可证小慧的证明思路是：如图2，过点C作，交的延长线于点E，构造相似三角形来证明． （1）尝试证明：请参照小慧提供的思路，利用图2证明； （2）基础训练：如图3，在中，，D是边上一点．连接，将沿所在直线折叠，点C恰好落在边上的E点处．若，，求的长； （3）拓展升华：如图4，中， ，，为的角平分线，的中垂线交延长线于F，当时，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） （3）6 【解析】 【分析】（1）根据平行线的性质易证，根据相似三角形的性质及角平分线的概念可得出，再根据等角对等边得出，最后根据等量代换即可得证； （2）由折叠的性质得出，，由（1）知，，由勾股定理求出的值即可得出答案； （3）根据可得，从而求得，再根据中垂线、三角形外角以及等量代换可知，然后可得出，最后根据相似三角形的性质及线段的和差即可得出答案． 【小问1详解】 证明： ， 是的角平分线 又， 【小问2详解】 将沿所在直线折叠，点C恰好落在边上的E点处 ， 由（1）知， ， 【小问3详解】 为的角平分线， ， ，， 的中垂线交延长线于F， ， 又 ． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定及性质、角平分线、中垂线、等腰三角形的性质以及勾股定理，熟练掌握性质定理是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $