精品解析：山东省东营市东营区2024-2025学年八年级下学期7月期末考试数学试题

2024-2025学年第二学期教学质量反馈 八年级数学试题 （总分120分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．本试题分第I卷和第II卷两部分，第I卷为选择题，30分；第II卷为非选择题，90分；本试题共8页． 2．数学试题答题卡共4页，答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座号等填写在试题和答题卡上，考试结束，试题和答题卡一并收回． 3．第I卷每题选出答案后，都必须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号【ABCD】涂黑．如需改动，先用橡皮擦干净，再改涂其它答案．第II卷按要求用0.5mm碳素笔答在答题卡的相应位置上． 第I卷（选择题共30分） 一、选择题：本大题共10小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来．每小题选对得3分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分． 1. 下列各式中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 一元二次方程的解是（ ） A. B. C. D. 4. 如图是机器狗的实物图，机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，其最快移动速度是载重后总质量的反比例函数．已知一款机器狗载重后总质量时，它的最快移动速度；当其载重后总质量时，它的最快移动速度是（　　） A. 2 B. C. 3 D. 5. 用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则的值为（ ） A. B. C. 2 D. 6. 对于反比例函数，下列结论不正确的是（ ） A. 图象必经过点 B. y随x的增大而增大 C. 图象在第二、四象限内 D. 图象关于坐标原点中心对称 7. 凸透镜成像的原理如图所示，．若焦点 到物体 的距离与到凸透镜的中心 的距离之比为 ，若物体 ，则其像 的长为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，点D在AB上，，交AC于E，下列结论中不正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，中，A、B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是（1，0），以点C为位似中心，在x轴的下方作的位似图形，并把的边长放大到原来的2倍，设点B的横坐标是a，则点B的对应点的横坐标是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在平行四边形中，，，过点作边的垂线交的延长线于点，点是垂足，连接、，交于点．则下列结论：①四边形是正方形；②；③；④，正确的个数是（　　） A. B. C. D. 第II卷（非选择题共90分） 二、填空题：本大题共8小题，其中11-14题每小题3分，15-18题每小题4分，共28分．只要求填写最后结果． 11. 若式子有意义，则x的取值范围是___． 12. 已知m是关于x的方程的一个根，则＝______． 13. 若，则的平方根是______ 14. 若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围为______． 15. 如图，四边形OABC是平行四边形，点O是坐标原点，点C在y轴上，点B在反比例函数y=（x＞0）的图象上，点A在反比例函数y=（x＞0）的图象上，若平行四边形OABC的面积是7，则k=______． 16. 如图，中，在，上分别截取，，使，分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点，作射线，交于点，过点作，垂足为点，若，，，则的长为____． 17. 如图，在中，，，点D为中点，点E在上，当为 ______________________时，与以点A、D、E为顶点的三角形相似． 18. 如图，已知在中，，，在内作第一个内接正方形：然后取的中点，连接，在内作第二个内接正方形；再取线段的中点，在内作第三个内接正方形…依次进行下去，则第2025个内接正方形的边长为_______． 三、解答题：本大题共7小题，共62分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 19. （1）计算：； （2）解方程：． 20. 已知关于的一元二次方程 （1）求证：无论取任何实数，方程总有实数根． （2）若等腰三角形的一边长为4，另两边长恰好是这个方程的两个根，求的值． 21. 小明在解决问题：已知，求的值．他是这样分析与解答的： 因为，所以 所以，即，所以． 所以． 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： （1）计算：___________； （2）计算：； （3）若，求的值． 22. 综合与实践 【主题】测量旗杆的高度． 【工具】伸缩杆，平面镜，卷尺． 【步骤】步骤1：小明在旗杆前的处放置了一根垂直于地面的伸缩杆，将伸缩杆的高度调整为2米，这时地面上的点、伸缩杆的顶端和旗杆的顶端正好在同一直线上，测得米； 步骤2：小明从点出发沿着方向前进9米，到达点： 步骤3：小明在点处放置一平面镜，小亮站在处时，恰好在平面镜中看到旗杆的顶端的像，此时测得小亮的眼睛到地面的距离为1.5米，米． 【问题解决】已知点与旗杆的底端在同一直线上，， ，请你根据以上测量过程与数据（平面镜大小忽略不计）． （1）求证：； （2）求该旗杆的高度． 23. 随着“绿色出行，低碳生活”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．新能源汽车多数采用电能作为动力来源，不需要燃烧汽油，这样就减少二氧化碳气体的排放，从而达到保护环境的目的．在国家积极政策的鼓励下，新能源汽车的市场需求逐年上升． （1）某品牌新能源汽车1月份销售量为3万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐月递增，3月份的销售量达到5.07万辆车．求从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率； （2）某汽车销售公司抢占先机，购进一批新能源汽车进行销售，该公司选择一款进价为15万元/辆的新能源汽车，经销一段时间后发现；当该款汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆；售价每降低0.5万元，平均每周多售出1辆，若该店计划下调售价使平均每周的销售利润为96万元．为了推广新能源汽车，此次销售尽量让利于顾客，求下调后每辆汽车的售价． 24. 如图，直线y1=﹣x+4，y2=x+b都与双曲线y=交于点A（1，m），这两条直线分别与x轴交于B，C两点． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）直接写出当x＞0时，不等式x+b＞的解集； （3）若点P在x轴上，连接AP把△ABC的面积分成1：3两部分，求此时点P的坐标． 25. 矩形中，、交于点O，（k为常数）．作，、分别与、边相交于点E、F，连接， （1）发现问题：如图1，若，猜想：______； （2）类比探究：如图2，，探究线段，之间的数量关系，并说明理由； （3）拓展运用：如图3，在（2）的条件下，若，，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第二学期教学质量反馈 八年级数学试题 （总分120分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．本试题分第I卷和第II卷两部分，第I卷为选择题，30分；第II卷为非选择题，90分；本试题共8页． 2．数学试题答题卡共4页，答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座号等填写在试题和答题卡上，考试结束，试题和答题卡一并收回． 3．第I卷每题选出答案后，都必须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号【ABCD】涂黑．如需改动，先用橡皮擦干净，再改涂其它答案．第II卷按要求用0.5mm碳素笔答在答题卡的相应位置上． 第I卷（选择题共30分） 一、选择题：本大题共10小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来．每小题选对得3分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分． 1. 下列各式中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据最简二次根式的定义逐项判断即可． 【详解】A．是最简二次根式，此项符合题意； B．是三次根式，此项不符题意； C．，不是最简二次根式，此项不符题意； D．，不是最简二次根式，此项不符题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了最简二次根式的定义，熟记定义是解题关键． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的加减乘除运算，解题的关键是掌握二次根式的运算法则，包括同类二次根式的判断以及乘除运算法则． 分别对每个选项中的二次根式运算进行分析，根据相应运算法则判断其正确性． 【详解】A、，与不是同类二次根式，不能直接相加，所以，该选项错误； B、，则，并不等于，该选项错误； C、根据二次根式乘法法则，该选项正确； D、根据二次根式除法法则，该选项错误． 故选：C． 3. 一元二次方程的解是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用配方法解方程即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， 故选D． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键． 4. 如图是机器狗的实物图，机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，其最快移动速度是载重后总质量的反比例函数．已知一款机器狗载重后总质量时，它的最快移动速度；当其载重后总质量时，它的最快移动速度是（　　） A. 2 B. C. 3 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的实际应用，根据机器狗最快移动速度是载重后总质量的反比例函数，设，由一款机器狗载重后总质量时，它的最快移动速度可得其表达式为，将代入即可得到答案．读懂题意，利用待定系数法求解是解决问题的关键． 【详解】解：由题意，可设， 由一款机器狗载重后总质量时，它的最快移动速度可得，， ， 当其载重后总质量时，它的最快移动速度是， 故选：C． 5. 用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则的值为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，继而得出答案． 【详解】解：∵， ∴，， 则，即， ∴，， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，能够正确配方是解此题的关键． 6. 对于反比例函数，下列结论不正确的是（ ） A. 图象必经过点 B. y随x的增大而增大 C. 图象在第二、四象限内 D. 图象关于坐标原点中心对称 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，根据反比例函数的性质，利用排除法求解即可． 【详解】解：A、把代入解析式得，所以点在函数图象上，故本选项正确，不符合题意； B、，∴在每一个象限内，y随x的增大而增大，故本选项错误，符合题意； C、，∴函数图象在二、四象限内，故本选项正确，不符合题意； D、反比例函数的图象关于原点中心对称，故本选项正确，不符合题意． 故选：B． 7. 凸透镜成像的原理如图所示，．若焦点 到物体 的距离与到凸透镜的中心 的距离之比为 ，若物体 ，则其像 的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，连接，先证出四边形为矩形，得到，再根据，求出，代入数据计算即可． 【详解】解：连接，如图， ∵ ∴四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵物体到焦点的距离与焦点到凸透镜中心线的距离之比为， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 8. 如图，在中，点D在AB上，，交AC于E，下列结论中不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】在中，得，，即可证明，B选项正确；接着根据，就可以证明，A选项正确；紧接着就可以证明，C选项正确；最后设中边上的高为，中边上的高为，有 ，得出，D选项错误． 【详解】根据题意得， 在中， ， ，B选项正确； ， ， ， ， ，A选项正确； ， ，， ，C选项正确； ，， 设中边上的高为，中边上的高为， ， ，D选项错误． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是：熟记相似三角形对应边之比等于相似比；相似三角形面积之比等于相似比的平方． 9. 如图，中，A、B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是（1，0），以点C为位似中心，在x轴的下方作的位似图形，并把的边长放大到原来的2倍，设点B的横坐标是a，则点B的对应点的横坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设点的横坐标为，然后表示出、的横坐标的距离，再根据位似比列式计算即可得解. 【详解】设点的横坐标为， 则、间的横坐标的差为，、间的横坐标的差为， 放大到原来的倍得到， ， 解得：. 故选：A. 【点睛】本题考查了位似变换，坐标与图形的性质，根据位似比的定义，利用两点间的横坐标的距离等于对应边的比列出方程是解题的关键. 10. 如图，在平行四边形中，，，过点作边的垂线交的延长线于点，点是垂足，连接、，交于点．则下列结论：①四边形是正方形；②；③；④，正确的个数是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】①先证明△ABF≌△ECF，得AB=EC，再得四边形ABEC为平行四边形，进而由∠BAC=90°，得四边形ABCD是正方形，便可判断正误； ②由△OCF∽△OAD，得OC：OA=1：2，进而得OC：BE的值，便可判断正误； ③根据BC= AB，DE=2AB进行推理说明便可； ④由△OCF与△OAD的面积关系和△OCF与△AOF的面积关系，便可得四边形OCEF的面积与△AOD的面积关系． 【详解】①，， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是正方形，故此题结论正确； ②， ， ， ，， ，故此小题结论正确； ③∵AB＝CD＝EC， ， ， ， ， ，故此小题结论正确； ④， ∴， ∴， ， ， ， ，故此小题结论正确． 故选D． 【点睛】此题考查全等三角形的判定与性质，正方形的判定，三角形相似的性质，解题关键在于掌握各性质定义的运用 第II卷（非选择题共90分） 二、填空题：本大题共8小题，其中11-14题每小题3分，15-18题每小题4分，共28分．只要求填写最后结果． 11. 若式子有意义，则x的取值范围是___． 【答案】且 【解析】 【详解】∵式子在实数范围内有意义， ∴x+1≥0，且x≠0， 解得：x≥-1且x≠0， 故答案为x≥-1且x≠0． 12. 已知m是关于x的方程的一个根，则＝______． 【答案】6 【解析】 【详解】解：∵m是关于x的方程的一个根， ∴， ∴， ∴=6， 故答案为6． 13. 若，则的平方根是______ 【答案】 【解析】 【分析】由算术平方根有意义的条件，可确定参数a的值，进而确定参数b的值，根据平方根定义，得解． 【详解】解：由题意，，且，解得，． ∴． ∴． ∴的平方根是． 故答案为：． 【点睛】本题考查算术平方根有意义的条件，平方根定义；注意一个正数的平方根有两个，互为相反数． 14. 若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围为______． 【答案】且 【解析】 【分析】根据二次项系数非零及根的判别式△，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围． 【详解】解：关于的方程有两个实数根， ， 解得：， ， ， 的取值范围为且， 故答案为：且． 【点睛】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，根据二次项系数非零及根的判别式，列出关于的一元一次不等式组是解题的关键． 15. 如图，四边形OABC是平行四边形，点O是坐标原点，点C在y轴上，点B在反比例函数y=（x＞0）的图象上，点A在反比例函数y=（x＞0）的图象上，若平行四边形OABC的面积是7，则k=______． 【答案】-4 【解析】 【分析】连接OB，根据反比例函数系数k的几何意义得到|k|+3=7，进而即可求得k的值． 【详解】解：连接OB， ∵四边形OABC是平行四边形， ∴AB∥OC， ∴AB⊥x轴， ∴S△AOD=|k|，S△BOD==， ∴S△AOB=S△AOD+S△BOD=|k|+， ∴S平行四边形OABC=2S△AOB=|k|+3， ∵平行四边形OABC的面积是7， ∴|k|=4， ∵在第四象限， ∴k=-4， 故答案为：-4． 【点评】本题考查了反比例系数k的几何意义、平行四边形的面积，熟知在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是|k|是解答此题的关键． 16. 如图，中，在，上分别截取，，使，分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点，作射线，交于点，过点作，垂足为点，若，，，则的长为____． 【答案】 【解析】 【分析】由线段垂直平分线的性质定理得到，因此，由角平分线定义推出，又，推出，得到，代入有关数据，即可求出的长． 【详解】由题中作图可知：平分， ∴， ∵， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】此题考查了尺规作图，角平分线定义，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是证明，得到 ，从而求出的长， 17. 如图，在中，，，点D为中点，点E在上，当为 ______________________时，与以点A、D、E为顶点的三角形相似． 【答案】3或 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是分或两种情况运用相似三角形的判定定理解题即可． 【详解】解：当时， ∵， ∴， ∴， 当时， ∵， ∴， ∴， 综上，或， 故答案为：3或． 18. 如图，已知在中，，，在内作第一个内接正方形：然后取的中点，连接，在内作第二个内接正方形；再取线段的中点，在内作第三个内接正方形…依次进行下去，则第2025个内接正方形的边长为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，规律型—图形的变化类，等腰直角三角形；熟练掌握正方形的性质，以及相似三角形的判定与性质是解决本题的关键．根据已知可得，再根据正方形的性质可得，然后利用正方形的性质证明，从而可得，由 ，，最后找规律，即可解答． 【详解】解：∵在中，， ∴，， ∵在内作第一个内接正方形， ∴， ∴， ∴， ∵取的中点P，连接，在内作第二个内接正方形；再取线段的中点Q，在内作第三个内接正方形…依次进行下去， ∴， ∴ 又∵， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， ……， 同理可得第n个内接正方形的边长为：， ∴则第2025个内接正方形的边长为． 故答案为：． 三、解答题：本大题共7小题，共62分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 19. （1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1）；（2），． 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，解一元二次方程，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）将二次根式进行化简后，再合并同类二次根式即可； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】解：（1） ； （2）∵， ∴， ∴或 解得，． 20. 已知关于的一元二次方程 （1）求证：无论取任何实数，方程总有实数根． （2）若等腰三角形的一边长为4，另两边长恰好是这个方程的两个根，求的值． 【答案】（1）见解析 （2）或4． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式：①当，方程有两个不相等的实数根；②当，方程有两个相等的实数根；③当，方程没有实数根，也考查了三角形三边的关系以及等腰三角形的性质． （1）先计算出，然后根据非负数的性质和根的判别式的意义判断方程根的情况； （2）通过解方程求得该三角形的另两边的长度，然后由三角形的三边关系和三角形的周长公式进行解答． 【小问1详解】 证明：， ∵，即， ∴无论m取任何实数值，方程总有实数根； 【小问2详解】 解：由，得： ， 解得，， ∵等腰三角形的一边长为4，另两边长为3和， ∴分两种情况讨论： （1）当4为腰长时，另一腰长也为4，则．此时三角形三边长为4，4，3．∵，∴能构成三角形． （2）当4为底边长时，两腰长相等，则．此时三角形三边长为4，3，3．∵，∴能构成三角形． 综上所述，的值为3或4． 21. 小明在解决问题：已知，求的值．他是这样分析与解答的： 因为，所以 所以，即，所以． 所以． 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： （1）计算：___________； （2）计算：； （3）若，求的值． 【答案】（1） （2）9 （3）5 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的运算和求值，熟练掌握分母有理化的方法、弄清题干中提供的求值方法是解题的关键； （1）根据分母有理化的方法求解即可； （2）先将式子中的每一项都分母有理化，再计算加减即可； （3）仿照题干中的方法进行计算即可． 【小问1详解】 解：； 故答案为： 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解：∵， ∴ ∴，即 ∴． 22. 综合与实践 【主题】测量旗杆的高度． 【工具】伸缩杆，平面镜，卷尺． 【步骤】步骤1：小明在旗杆前的处放置了一根垂直于地面的伸缩杆，将伸缩杆的高度调整为2米，这时地面上的点、伸缩杆的顶端和旗杆的顶端正好在同一直线上，测得米； 步骤2：小明从点出发沿着方向前进9米，到达点： 步骤3：小明在点处放置一平面镜，小亮站在处时，恰好在平面镜中看到旗杆的顶端的像，此时测得小亮的眼睛到地面的距离为1.5米，米． 【问题解决】已知点与旗杆的底端在同一直线上，， ，请你根据以上测量过程与数据（平面镜大小忽略不计）． （1）求证：； （2）求该旗杆的高度． 【答案】（1）见解析 （2）米 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． （）根据两角对应相等的两个三角形相似证明即可； （）设米，得米，由得，即得，由得，即得，进而即可求解． 【小问1详解】 ∵，， ∴， 又∵， ∴， 【小问2详解】 证明：∵，， ∴， ∴ 设米， ∵米， ∴米， ∵， ∴， ∵米，米， ∴， ∴米 又∵， ∴， ∴， 解得， ∴米， 答：旗杆的高度为米． 23. 随着“绿色出行，低碳生活”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．新能源汽车多数采用电能作为动力来源，不需要燃烧汽油，这样就减少二氧化碳气体的排放，从而达到保护环境的目的．在国家积极政策的鼓励下，新能源汽车的市场需求逐年上升． （1）某品牌新能源汽车1月份销售量为3万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐月递增，3月份的销售量达到5.07万辆车．求从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率； （2）某汽车销售公司抢占先机，购进一批新能源汽车进行销售，该公司选择一款进价为15万元/辆的新能源汽车，经销一段时间后发现；当该款汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆；售价每降低0.5万元，平均每周多售出1辆，若该店计划下调售价使平均每周的销售利润为96万元．为了推广新能源汽车，此次销售尽量让利于顾客，求下调后每辆汽车的售价． 【答案】（1） （2）21万元 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，理解题意，找出数量关系是解题的关键． （1）从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为，由题意易得，进而求解即可； （2）设下调后每辆汽车的售价为万元，由题意易得，进而求解即可． 【小问1详解】 解：设从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为，由题意得： ， 解得：（舍去）， 答：从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为． 【小问2详解】 解：设下调后每辆汽车的售价为万元，由题意得： ， 整理得：， 解得：， ∵要尽量让利于顾客， ∴； 答：下调后每辆汽车的售价为万元． 24. 如图，直线y1=﹣x+4，y2=x+b都与双曲线y=交于点A（1，m），这两条直线分别与x轴交于B，C两点． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）直接写出当x＞0时，不等式x+b＞的解集； （3）若点P在x轴上，连接AP把△ABC的面积分成1：3两部分，求此时点P的坐标． 【答案】（1）；（2）x＞1；（3）P（﹣，0）或（，0） 【解析】 【详解】分析：（1）求得A（1，3），把A（1，3）代入双曲线y=，可得y与x之间的函数关系式； （2）依据A（1，3），可得当x＞0时，不等式x+b＞的解集为x＞1； （3）分两种情况进行讨论，AP把△ABC的面积分成1：3两部分，则CP=BC=，或BP=BC=，即可得到OP=3﹣=，或OP=4﹣=，进而得出点P的坐标． 详解：（1）把A（1，m）代入y1=﹣x+4，可得m=﹣1+4=3， ∴A（1，3）， 把A（1，3）代入双曲线y=，可得k=1×3=3， ∴y与x之间的函数关系式为：y=； （2）∵A（1，3）， ∴当x＞0时，不等式x+b＞的解集为：x＞1； （3）y1=﹣x+4，令y=0，则x=4， ∴点B的坐标为（4，0）， 把A（1，3）代入y2=x+b，可得3=+b， ∴b=， ∴y2=x+， 令y2=0，则x=﹣3，即C（﹣3，0）， ∴BC=7， ∵AP把△ABC的面积分成1：3两部分， ∴CP=BC=，或BP=BC= ∴OP=3﹣=，或OP=4﹣=， ∴P（﹣，0）或（，0）． 点睛：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点． 25. 矩形中，、交于点O，（k为常数）．作，、分别与、边相交于点E、F，连接， （1）发现问题：如图1，若，猜想：______； （2）类比探究：如图2，，探究线段，之间的数量关系，并说明理由； （3）拓展运用：如图3，在（2）的条件下，若，，，求的长． 【答案】（1）1 （2）当k≠1时，OE＝k•OF． 理由：过点O作OM⊥AB于点M，ON⊥BC于点N． ∴∠OME＝∠ONF＝∠ONB＝90° ∵∠MBN＝90° ∴四边形BMON是矩形 ∴∠MON＝∠EOF＝90° ∴∠MON-∠EON=∠EOF-∠EON 即∠MOE＝∠NOF 又∵∠OME＝∠ONF ∴△OME∽△ONF ∴ ∵AO＝OC，OM∥BC ∴AM＝MB ∴OM=BC，同法可证ON=AB ∴ ∴OE＝k•OF； （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意可知，此时四边形ABCD为正方形，然后证明△OEB≌△OFC，从而得出结论即可； （2）过O作OM⊥AB于点M，作ON⊥BC于点N，利用相似三角形的判定与性质证明即可； （3）过点O作OM⊥AB于点M，ON⊥BC于点N．由，BC＝k•ABAB，根据四边形ABCD是矩形，则∠ABC＝90°，根据矩形的性质可知OA＝OC＝OD＝OB＝，则AB2+5AB2＝96，则可得AB＝，由此可知BC，CF＝OF，OB＝OC，进而可得角相等，由相等的角可证△COF∽△CBO，则，可得CF＝，则OF＝CF＝，因为OEOF，则可知OE＝，由勾股定理求解即可． 【小问1详解】 解：若k=1，则BC=AB，即四边形ABCD为正方形， ∴OB=OC，∠OBE=∠OCF=45°，∠BOC=90°， ∵∠EOF=∠BOC=90°， ∴∠EOB=∠FOC， ∴△OEB≌△OFC， ∴OE=OF， ∴， 故答案为：1； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 如图，过点O作OM⊥AB于点M，ON⊥BC于点N． ∵，BC＝k•ABAB ∵四边形ABCD是矩形 ∴∠ABC＝90°，OA＝OC＝OD＝OB＝ ∴AB2+5AB2＝96 ∴AB＝ ∴BC ∵CF＝OF，OB＝OC ∴∠FOC＝∠FCO＝∠OBC 又∵∠OCF＝∠BCO ∴△COF∽△CBO ∴ ∴ ∴CF＝ ∴OF＝CF＝ ∵OEOF， ∴OE＝， ∴． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，矩形的性质，勾股定理等，灵活根据题意构造相似三角形，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $