精品解析：山东省济南市历城区2025-2026学年度第二学期期末质量检测八年级数学试题

2025-2026学年度第二学期期末质量检测 八年级数学试题 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 汉服承载着中华千年服饰文化，其纹样更是蕴含着丰富的文化寓意．下列汉服纹样中，属于中心对称图形的是（ ） A. 如意纹 B. 凤纹 C. 龙纹 D. 忍冬纹 【答案】A 【解析】 【详解】在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．根据定义只有A选项符合． 2. 下列等式从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据因式分解的定义，即把一个多项式化为几个整式的积的形式，逐一判断各选项即可． 【详解】解：A．属于整式乘法，结果为和的形式，不符合因式分解定义， C．结果不是整式乘积的形式，不符合定义， D．属于整式乘法，结果为和的形式，不符合定义， B．将多项式变形为两个整式与的乘积，符合因式分解的定义． ∴答案选B． 3. 若分式的值为0，则x的值为（　　）． A. 0 B. 1 C. ﹣1 D. ±1 【答案】B 【解析】 【分析】根据分式值为0的条件，分子为0分母不为0,列式进行计算即可得. 【详解】解：∵分式的值为零， ∴， 解得：x=1， 故选B． 【点睛】本题考查了分式值为0的条件，熟知分式值为0的条件是分子为0分母不为0是解题的关键. 4. 如图，左、右托盘中黑球的质量分别为a，b，白球的质量为c，图中体现的数学原理可表示为（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查不等式的性质，熟记不等式性质是解决问题的关键．根据不等式的性质即可解答． 【详解】解：由作图可知：，由右图可知：，即A选项符合题意． 故选：A． 5. 直线与直线在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，关键是掌握利用图象获取信息的能力．根据图象利用一次函数与一元一次不等式的关系即可求解． 【详解】解：由图象知：时，直线在直线的上方， ∴的不等式的解为：， 故选：D． 6. 如图，在中，，，将绕点B逆时针旋转得到，当点C的对应点恰好落在边上时，的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由旋转的性质可知：，然后可得，问题可求解． 【详解】解：由旋转的性质可知：， ∴ 7. 如图，有一张长方形桌子的桌面长，宽．有一块长方形台布的面积是桌面面积的2倍，并且铺在桌面上时，各边垂下的长度相等．设台布各边垂下的长度为，则根据题意所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．根据各边之间的关系，可得出台布的长为，宽为，利用台布的面积是桌面面积的2倍，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：∵垂下的长度为， ∴台布的长为，宽为， 又∵台布的面积是桌面面积的2倍， ∴． 故选：D． 8. 在中，以A为圆心，长为半径画弧交边于点E，再分别以B，E为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点F，连接并延长交于点G，若，，过点A作交于点M，则长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接，设交于点O，由作图过程可知，，，可得证明可得，进而可得四边形为菱形，则，可得，利用菱形的面积可求解题目． 【详解】解：连接，设交于点O， 由作图过程可知， ，， ， 四边形为平行四边形， ∴， ，， ， ， 四边形为平行四边形． ， 四边形为菱形， ， ， ∵， ∴， ． 9. 如图，在中，，边在x轴上，顶点A，B的坐标分别为和，F为的中点，将平行四边形沿x轴向右平移．当点D落在上时，点E的坐标为（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质、坐标与图形变化-平移，熟练掌握以上知识点是关键．利用平行四边形性质，根据中位线定理求出点E坐标，再求出平移距离，继而得到平移后点E的坐标． 【详解】解：如图， 顶点A，B的坐标分别为和， ，， ，， ， ， 为的中点，四边形是平行四边形， 是的中位线， ，， 由平移的性质可知：， 向右平移距离的距离为， 平移后点E的坐标为： 故选：D 10. 济南依山傍水，夜幕降临，山体灯光秀以光影绘山色．不同颜色的光束投影在山体表面交错重叠，绘就泉城别样夜色．如图，点A为山顶的射灯装置，射出的绿色光线形成且，射出的红色光线形成且，点B，D，C，E在同一条直线上．若，，则两片光束重叠部分即的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】在上取点，使，得，从而可得，，再利用三角形外角性质及已知条件推导出 ，得出是等边三角形，过点点作，垂足为，结合勾股定理求出  的长，进而根据即可求解 ． 【详解】解：在上取点，连接，使，则 ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴是等边三角形，即， 过点作，垂足为， ∴，， ∵，   ． 二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分．直接填写答案． 11. 分解因式：_____． 【答案】 【解析】 【分析】直接根据平方差公式进行因式分解即可. 【详解】， 故填 【点睛】本题考查利用平方差公式进行因式分解，解题关键在于熟练掌握平方差公式. 12. 如图，在正五边形中，以为边作等边，则的度数为_____． 【答案】##48度 【解析】 【分析】根据五边形内角和为，得到，结合是等边三角形，计算即可得解． 【详解】解：∵正五边形中，以为边作等边， ∴，， ∴． 13. 如图，在中，，，的垂直平分线分别交，于点，，若，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，由垂直平分线性质可得，所以，然后求出，最后通过直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵的垂直平分线分别交，于点，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 14. 李志明、张斌、王大为三个同学毕业后选择了不同的职业，三人中只有一个当了记者．一次有人问起他们的职业，李志明说：“我是记者．”张斌说：“我不是记者．”王大为说：“李志明说了假话．”如果他们三人的话中只有一句是真的，那么___________是记者． 【答案】张斌 【解析】 【分析】本题主要考查逻辑推理问题，掌握此知识点是做题的关键 ．通过假设每个人的话为真，检验是否满足只有一句真话的条件，最终得出张斌是记者的结论． 【详解】解：假设李志明说真话，则李志明是记者，因为只有一人是记者，所以张斌不是记者，那么张斌也是真话，故矛盾； 假设张斌说真话，那么李志明说的应为假话，王大为说李志明说了假话，那么王大为说了真话，也矛盾； 假设王大为的话为真，则李志明说了假话，故李志明不是记者；因只有一句真话，故张斌的话为假，故张斌是记者；此时李志明不是记者，张斌是记者，则王大为不是记者，且只有王大为的话为真，李志明和张斌的话均为假，符合条件， 故张斌是记者． 故答案为：张斌． 15. 如图，，，，，，连接，，分别取，的中点，，连接，则线段的长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，过点作，交的延长线于，可得四边形为平行四边形，得，，得到，进而由勾股定理得，再根据三角形中位线的性质得到即可． 【详解】解：如图，连接，过点作，交的延长线于， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∵点，分别为，的中点， ∴为的中位线， ∴． 三、解答题：本题共10小题，共90分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 解不等式组：，并写出它的所有整数解． 【答案】，整数解为和 【解析】 【分析】分别解出两个不等式的解集，再根据解集的规律：大小小大中间找确定不等式组的解集，然后再确定所有整数解，即可解题． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ． ∴整数解为和． 17. 先化简，然后从，0，1，3中选一个合适的数代入求值． 【答案】，． 【解析】 【分析】先计算括号内的分式减法，再计算分式的除法，然后选一个使得分式有意义的x的值代入求值即可． 【详解】原式 分式的分母不能为0 解得：m不能为，0，3 则选代入得：原式． 【点睛】本题考查了分式的减法与除法、分式有意义的条件等知识点，掌握分式的运算法则是解题关键． 18. 如图，在菱形中，点E，F分别在边上，连接，若．求证：． 【答案】 证明：∵四边形是菱形， ∴， ∵，且， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】根据菱形的性质得到，再证明，则可证明，推出． 【详解】略 19. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【小问1详解】 解：， 方程两边同时乘以得，， 移项并合并同类项得， 解得， 检验：当时，， 故是原分式方程的解； 【小问2详解】 解：， ， ， ， 解得，． 20. 某中学为了让学生体验农耕劳动，开辟了一处耕种园，现需要采购一批劳动工具开展种植活动．据了解，市场上型劳动工具的单价比型劳动工具的单价低5元，用400元购买型劳动工具的数量和用500元购买型劳动工具的数量相同． （1）求，两种型号劳动工具的单价各是多少元？ （2）学校计划购买，两种型号的劳动工具共100把，且型劳动工具的购买数量不超过型劳动工具的购买数量的两倍，则如何购买花费最少？最少费用是多少？ 【答案】（1）A型劳动工具单价为20元，B型劳动工具单价为25元 （2）购买A型号的劳动工具66把，B种型号的劳动工具34把，最少费用是2170 【解析】 【分析】本题考查的是分式方程和一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程及函数关系式． （1）设B型劳动工具单价为x元，则A型劳动工具单价为元，由用400元购买A型劳动工具的数量和用500元购买B型劳动工具的数量相同，再建立分式方程求解即可； （２）确定，再根据函数的增减性即可求解． 【小问1详解】 解：设B型劳动工具单价为x元，则A型劳动工具单价为元， ， 整理得，， 解得， 经检验：是原分式方程的解， ， 答：A型劳动工具单价为20元，B型劳动工具单价为25元； 【小问2详解】 解：设购买A型劳动工具m把，则购买B型劳动工具把，购买花费为w元， 根据题意得：， 解得， 所以m得最大值为66， ， ∵ ∴w随m增大而减小 ∴时，w取得最小值2170元，此时A工具66把，B工具34把． 答：购买A型号的劳动工具66把，B种型号的劳动工具34把，最少费用是2170． 21. 如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，线段的两个端点均为格点（网格线的交点），点在线段上，且． （1）线段的长度为______________． （2）将线段绕点逆时针旋转，得到线段． ①在图中画出线段（其中为的对应点）， ②四边形的面积是______________． （3）在图中的网格内存在______________个格点，到两边所在直线的距离相等． 【答案】（1） （2）①如图，为所求②22.5 （3）4 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理求解即可； （2）①确定点A、B的对应点，连接即可； ②运用分割法求解即可； （3）画出角平分线即可解答． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：①略 ②四边形的面积 【小问3详解】 解：如图，在图中的网格内存在4个格点，到两边所在直线的距离相等． 22. 已知关于的方程． （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若该方程的两个实数根为，，求代数式的值． 【答案】（1） 证明：方程中，，， 所以，该方程总有两个实数根． （2） 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式可得，所以方程一定有两个实数根； （2）根据一元二次方程根与系数的关系，可得：，，把展开后整体代入即可求出结果． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由题意得：，， ． 23. 生活中，我们常常用运动的眼光观察世界，这让我们在数学学习中有不一样的发现．当图形里的“点、线、面”活泼地“动”起来，解题思路便别有“动”天．请运用平移转化的思想观察并解决以下几个问题： 【观察思考】 政府准备在一块长米，宽米的长方形空地上铺草地并修建小路，现有两种方案： 方案一（图1），小路为宽度米的竖直长方形通道，贯穿整个长方形； 方案二（图2），小路为曲折形状，其中小路的左边线向右平移米恰好与右边线重合． （1）分别设方案一和方案二的草地面积为，，则： ①=________（用含，的代数式表示）， ②_________（填“”、“”或“”）． 【类比思考】 （2）如图3，在中，，，，．涂色三角形的面积是________． （3）如图4，大正方形的边长是，梯形的面积是，求涂色正方形的面积是多少平方厘米？ 【答案】（1）①，② （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据长方形的面积公式可得平方米，由平移可知，方案二草地的面积是平方米，从而可知； （2）连接，可得，根据三角形的面积公式求出结果即可； （3）设正方形的边长是，根据梯形的面积公式可得，整理可得：即为阴影正方形的面积． 【小问1详解】 解：长方形的长为米，宽为米，小路的宽度为米， 方案一草地的面积是平方米， 由平移可知，方案二草地的面积是平方米， ； 【小问2详解】 解：如下图所示，连接， ， ， ， ； 【小问3详解】 解：设正方形的边长是，则，梯形的高为， ， 解得：， 正方形的面积是 24. 阅读材料，并解决问题． 【文化欣赏】 三国时期的数学家赵爽所著的《勾股圆方图注》中记载了一种图解一元二次方程的方法．以解方程为例：将原方程整理可得：，可视为一个矩形的面积为35，构造如图1所示的图形，此时大正方形的面积是，同时它又等于四个矩形的面积加中间小正方形的面积的和．所以，由此得原方程的一个正根为． 【类比迁移】 （1）小颖根据以上解法解方程，请将其解答过程补充完整： 第一步：将原方程变形为，即（ ）； 第二步：利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形； 第三步：根据大正方形的面积可得新的方程 ，解得原方程的一个正根为 ； 【拓展应用】 （2）一般地，对于形如（，）的一元二次方程可以构造图2来解．已知图2是由四个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4，请用上面的方法求此方程的正根． 【思维提升】 （3）小明用此方法解关于的方程，其中，他以和作为矩形的两邻边构造出如图2同样的图形，已知小正方形的面积为4，则的值为_________． 【答案】（1）；； （2）1或3 （3）6 【解析】 【分析】（1）与题干思路一致，画出图形更容易得解； （2）先因式分解变形得，再根据题干条件分析，，进而分类讨论求解即可； （3）先画出图形，根据小正方形的面积为4，得到①，根据大正方形的面积可得新的方程：，则②，解方程即可． 【小问1详解】 解：， 第一步：将原方程变为，即； 第二步：如图，利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形； 第三步：根据大正方形的面积可得新的方程：； 解得原方程的一个正根为； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴四个小矩形的面积各为b，大正方形的面积是，其中它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即， ∵图②是由4个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4， ∴，， 解得：，， 当时，， ∴， 解得， ∴方程的一个正根为1； 当时，， ∴，，方程的一个正根为3； 综上所述，方程的一个正根为1或3； 【小问3详解】 解：如图，利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形， ∵小正方形的面积为4，， ∴，①， ∵， ∴根据大正方形的面积可得新的方程：， ∴②， ②①得， 解得， 将代入①得， 解得． 25. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点位于坐标原点，点在轴上，对角线，且，两条对角线交于点，动点在轴正半轴上运动，连接，把沿翻折，点的对应点为点，连接． （1）求点的坐标； （2）当点在第四象限时（如图1），求证：； （3）是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点的坐标． 【答案】（1） （2）证明：由翻折得，， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）存在点E，使得以D，E，F，B为顶点的四边形是平行四边形，点E的坐标为或 【解析】 【分析】（1）利用平行四边形性质可得，过点D作于G，运用勾股定理即可求得点D的坐标； （2）由翻折得，，，再结合平行四边形性质即可证得，根据平行线的判定即可证得结论； （3）分两种情况：当四边形为平行四边形时，当四边形为平行四边形时，分别求得点E的坐标即可． 【小问1详解】 解：∵四边形是平行四边形，对角线长是8个单位长度， ∴， 过点D作于G，如图， 则， ∵， ∴， ∴， ∴点D的坐标为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：存在点E，使得以D，E，F，B为顶点的四边形是平行四边形； 理由如下：当四边形为平行四边形时，如图， ∴，且， ∵，， ∴ ， ∵，且，D是的中点， ∴， 当四边形是平行四边形时，， 由翻折得：， ∴， ∴； 当四边形为平行四边形时，如图，设与交于点M， 则， 由翻折得：， ∴， ∵，且为的中点， 设，由中点公式知： ， 解得， ∴， ∵为中点，由中点公式知： ， ∴， 设， ∵， ∴同理由中点公式知， ∵， ∴， 解得， ∴； 综上所述，存在点E，使得以D，E，F，B为顶点的四边形是平行四边形，点E的坐标为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第二学期期末质量检测 八年级数学试题 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 汉服承载着中华千年服饰文化，其纹样更是蕴含着丰富的文化寓意．下列汉服纹样中，属于中心对称图形的是（ ） A. 如意纹 B. 凤纹 C. 龙纹 D. 忍冬纹 2. 下列等式从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 3. 若分式的值为0，则x的值为（　　）． A. 0 B. 1 C. ﹣1 D. ±1 4. 如图，左、右托盘中黑球的质量分别为a，b，白球的质量为c，图中体现的数学原理可表示为（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 5. 直线与直线在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，，，将绕点B逆时针旋转得到，当点C的对应点恰好落在边上时，的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，有一张长方形桌子的桌面长，宽．有一块长方形台布的面积是桌面面积的2倍，并且铺在桌面上时，各边垂下的长度相等．设台布各边垂下的长度为，则根据题意所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 在中，以A为圆心，长为半径画弧交边于点E，再分别以B，E为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点F，连接并延长交于点G，若，，过点A作交于点M，则长为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，边在x轴上，顶点A，B的坐标分别为和，F为的中点，将平行四边形沿x轴向右平移．当点D落在上时，点E的坐标为（    ） A. B. C. D. 10. 济南依山傍水，夜幕降临，山体灯光秀以光影绘山色．不同颜色的光束投影在山体表面交错重叠，绘就泉城别样夜色．如图，点A为山顶的射灯装置，射出的绿色光线形成且，射出的红色光线形成且，点B，D，C，E在同一条直线上．若，，则两片光束重叠部分即的面积为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分．直接填写答案． 11. 分解因式：_____． 12. 如图，在正五边形中，以为边作等边，则的度数为_____． 13. 如图，在中，，，的垂直平分线分别交，于点，，若，则的长为______． 14. 李志明、张斌、王大为三个同学毕业后选择了不同的职业，三人中只有一个当了记者．一次有人问起他们的职业，李志明说：“我是记者．”张斌说：“我不是记者．”王大为说：“李志明说了假话．”如果他们三人的话中只有一句是真的，那么___________是记者． 15. 如图，，，，，，连接，，分别取，的中点，，连接，则线段的长为__________． 三、解答题：本题共10小题，共90分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 解不等式组：，并写出它的所有整数解． 17. 先化简，然后从，0，1，3中选一个合适的数代入求值． 18. 如图，在菱形中，点E，F分别在边上，连接，若．求证：． 19. 解方程： （1）； （2）． 20. 某中学为了让学生体验农耕劳动，开辟了一处耕种园，现需要采购一批劳动工具开展种植活动．据了解，市场上型劳动工具的单价比型劳动工具的单价低5元，用400元购买型劳动工具的数量和用500元购买型劳动工具的数量相同． （1）求，两种型号劳动工具的单价各是多少元？ （2）学校计划购买，两种型号的劳动工具共100把，且型劳动工具的购买数量不超过型劳动工具的购买数量的两倍，则如何购买花费最少？最少费用是多少？ 21. 如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，线段的两个端点均为格点（网格线的交点），点在线段上，且． （1）线段的长度为______________． （2）将线段绕点逆时针旋转，得到线段． ①在图中画出线段（其中为的对应点）， ②四边形的面积是______________． （3）在图中的网格内存在______________个格点，到两边所在直线的距离相等． 22. 已知关于的方程． （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若该方程的两个实数根为，，求代数式的值． 23. 生活中，我们常常用运动的眼光观察世界，这让我们在数学学习中有不一样的发现．当图形里的“点、线、面”活泼地“动”起来，解题思路便别有“动”天．请运用平移转化的思想观察并解决以下几个问题： 【观察思考】 政府准备在一块长米，宽米的长方形空地上铺草地并修建小路，现有两种方案： 方案一（图1），小路为宽度米的竖直长方形通道，贯穿整个长方形； 方案二（图2），小路为曲折形状，其中小路的左边线向右平移米恰好与右边线重合． （1）分别设方案一和方案二的草地面积为，，则： ①=________（用含，的代数式表示）， ②_________（填“”、“”或“”）． 【类比思考】 （2）如图3，在中，，，，．涂色三角形的面积是________． （3）如图4，大正方形的边长是，梯形的面积是，求涂色正方形的面积是多少平方厘米？ 24. 阅读材料，并解决问题． 【文化欣赏】 三国时期的数学家赵爽所著的《勾股圆方图注》中记载了一种图解一元二次方程的方法．以解方程为例：将原方程整理可得：，可视为一个矩形的面积为35，构造如图1所示的图形，此时大正方形的面积是，同时它又等于四个矩形的面积加中间小正方形的面积的和．所以，由此得原方程的一个正根为． 【类比迁移】 （1）小颖根据以上解法解方程，请将其解答过程补充完整： 第一步：将原方程变形为，即（ ）； 第二步：利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形； 第三步：根据大正方形的面积可得新的方程 ，解得原方程的一个正根为 ； 【拓展应用】 （2）一般地，对于形如（，）的一元二次方程可以构造图2来解．已知图2是由四个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4，请用上面的方法求此方程的正根． 【思维提升】 （3）小明用此方法解关于的方程，其中，他以和作为矩形的两邻边构造出如图2同样的图形，已知小正方形的面积为4，则的值为_________． 25. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点位于坐标原点，点在轴上，对角线，且，两条对角线交于点，动点在轴正半轴上运动，连接，把沿翻折，点的对应点为点，连接． （1）求点的坐标； （2）当点在第四象限时（如图1），求证：； （3）是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $