1.6 第一课时 一元二次不等式的解法(课件PPT)-【高考领航】2027年高考数学大一轮复习学案

该高中数学高考复习课件聚焦“一元二次方程与不等式”专题，依据高考评价体系梳理课标要求的解法、三个“二次”关系、分式与绝对值不等式等核心考点，分析含参数不等式、恒成立问题等高频考点权重，归纳选择、填空、解答题等常考题型，体现备考针对性。 课件亮点是高考真题改编训练与分层突破策略，如例3用韦达定理解析三个“二次”关系培养数学思维，跟踪训练2通过含参数不等式分类讨论步骤强化逻辑推理，帮助学生掌握解题技巧，教师可据此精准教学，提升复习效率。

1．6　一元二次方程与不等式 返回 ‹#› 1．会从实际情境中抽象出一元二次不等式．　2.结合二次函数图象，会判断一元二次方程的根的个数，以及解一元二次不等式．　3.了解简单的分式、绝对值不等式的解法．　4.会解决一元二次不等式的恒(能)成立问题．　5.会解决一元二次方程根的分布问题． [课标解读] 返回 ‹#› 1 聚焦·必备知识 3 限时规范训练　 栏 目 导 引 2 突破·核心考点 返回 ‹#› 聚焦 ·必备知识 1．一元二次不等式 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式． 一元二次不等式的一般形式是ax2＋bx＋c＞0或ax2＋bx＋c＜0，其中a，b，c均为常数，a≠0. 返回 ‹#› 2．三个“二次”间的关系 判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2) 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有 实数根 返回 ‹#› 判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 ax2＋bx＋c>0 (a>0)的解集 ___________________ __________________ ax2＋bx＋c<0 (a>0)的解集 ____________ ___ ___ {x x1<x<x2} ∅ ∅ 返回 ‹#› 3.分式不等式与整式不等式 (1)>0(<0)⇔________________； (2)≥0(≤0)⇔__________________________． 4．简单的绝对值不等式 |x|>a(a>0)的解集为___________________________，|x|<a(a>0)的解集为____________． f(x)g(x)>0(<0) f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0 (－∞，－a)∪(a，＋∞) (－a，a) 返回 ‹#› 1．思考辨析(在括号内打“ √”或“×”) (1)≥0等价于(x－a)(x－b)≥0.(　　) (2)若不等式ax2＋bx＋c<0的解集为(x1，x2)，则必有a>0.(　　) (3)不等式x2≤a的解集为[， ].(　　) (4)若方程ax2＋bx＋c＝0(a<0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c>0(a<0)的解集为R.(　　) × √ × × 返回 ‹#› 2．(人A必修一P53T1改编)不等式－6x2＋x≤0的解集是_________． 解析：由－6x2＋x≤0，可得6x2－x≥0，即x(6x－1)≥0，令x(6x－1)＝0，解得x1＝0，x2＝，所以不等式x(6x－1)≥0的解集为{x|x≤0或x≥}，即不等式－6x2＋x≤0的解集为{x|x≤0或x≥}． 答案：{x|x≤0或x≥} 返回 ‹#› 3．(北师大必修一P41习题BT1改编)若不等式x2＋ax＋b>0的解集为(－∞，－1)∪(2，＋∞)，则a＋b＝________. 解析：由题意可得－a＝－1＋2，b＝(－1)×2，即a＝－1，b＝－2，故a＋b＝－3. 答案：－3 返回 ‹#› 4．(人A必修一P55练习T2改编)要在长为800 m，宽为600 m的一块长方形地面上进行绿化，要求四周种花卉(花卉的宽度相同)，中间种草皮．要求草皮的面积不少于总面积的一半，则花卉宽度的范围是__________． 解析：设花卉宽度为x m，显然x<300，则草皮面积为S＝(800－2x)(600－2x)，由(800－2x)(600－2x)≥×800×600，得(x－100)(x－600)≥0，又0<x<300，解得0<x≤100. 答案：(0，100] 返回 ‹#› 第一课时　一元二次不等式的解法 返回 ‹#› 例1　(多选)下列选项中，正确的是(　 　) A．不等式x2＋x－2>0的解集为{x|x<－2或x>1} B．不等式≤1的解集为{x|－3≤x<2} C．不等式|x－2|≥1的解集为{x|1≤x≤3} D．设x∈R，则“<0”的充分不必要条件 突破 ·核心考点 考点一 不含参数的一元二次不等式的解法 ABD 返回 ‹#› 解析：ABD　因为方程x2＋x－2＝(x－1)(x＋2)＝0，解得x1＝1，x2＝－2，所以不等式x2＋x－2>0的解集为{x|x<－2或x>1}，故A正确； 因为－1≤0，即≤0，即(x＋3)(x－2)≤0(x－2≠0)，解得－3≤x<2，所以不等式的解集为{x|－3≤x<2}，故B正确； 由|x－2|≥1，可得x－2≤－1或x－2≥1， 解得x≤1或x≥3，所以不等式的解集为{x|x≤1或x≥3}，故C错误； 由<0，可得－4<x<5，因此，“<0”的充分不必要条件，故D正确．故选ABD. 返回 ‹#› 1．解不含参数的一元二次不等式时，首先应观察是否可以因式分解，若可以因式分解，则因式分解求一元二次方程的根，并结合一元二次函数的图象，求解x的取值范围；若不可以因式分解，则应采用求一元二次不等式的解集的通法，即判别式法． 2．解分式不等式要等价转化为一元二次不等式求解． 返回 ‹#› 跟踪训练1　(1)不等式－x2＋x＋2>0的解集为(　　) A．{x|－1<x<2} B．{x|－2<x<1} C．{x|x<－1或x>2} D．{x|x<－2或x>1} 解析：A　－x2＋x＋2>0可化为x2－x－2<0，即(x－2)(x＋1)<0，解得－1<x<2，所以不等式－x2＋x＋2>0的解集为{x|－1<x<2}，故选A. A 返回 ‹#› (2)不等式≥2的解集为____________． 解析：因为≥2，则≥0，等价于(1－2x)(x＋2)≥0(x≠－2)，解得－2<x≤，即不等式≥2的解集为{x|－2<x≤}． 答案：{x|－2<x≤} 返回 ‹#› 例2　解关于x的不等式ax2＋(2a＋3)x＋6>0(a∈R)． 解：原不等式可化为(ax＋3)(x＋2)>0， ①当a＝0时，原不等式化为3x＋6>0，解得x>－2. ②当a>0时，原不等式化为(x＋2)>0， 当＝2即a＝时，原不等式解集为(－∞，－2)∪(－2，＋∞)， 当>2即0<a<时，原不等式解集为∪(－2，＋∞)， 当<2，即a>时，原不等式解集为(－∞，－2)∪. 考点二 含参数的一元二次不等式的解法 返回 ‹#› ③当a<0时，原不等式化为(x＋2)<0. 原不等式解集为. 综上，当a＝0时，不等式的解集为(－2，＋∞)； 当a<0时，不等式解集为； 当0<a<时，不等式解集为∪(－2，＋∞)； 当a＝时，不等式解集为(－∞，－2)∪(－2，＋∞)； 当a>时，不等式解集为(－∞，－2)∪. 返回 ‹#› 解含参数的一元二次不等式的一般步骤 返回 ‹#› 跟踪训练2　解关于x的不等式2mx2－mx－1<0. 解：当m＝0时，－1<0恒成立，则x∈R； 当m>0时，Δ＝m2＋8m>0，解得<x<； 当m<0时，若－8<m<0，则Δ＝m2＋8m<0，x∈R；若m＝－8，则Δ＝m2＋8m＝0，x∈R且x≠；若m<－8，则Δ＝m2＋8m>0，x<或x>. 所以当－8<m≤0时，原不等式的解集为R； 返回 ‹#› 当m>0时，原不等式的解集为 {x<x<}； 当m＝－8时，原不等式的解集为{x∈R}； 当m<－8时，原不等式的解集为{x或x>}． 返回 ‹#› 例3　(多选)已知关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为(－∞，－2)∪(3，＋∞)，则(　　 ) A．a>0 B．a＋b＋c>0 C．不等式bx＋c>0的解集是{x|x<－6} D．不等式cx2－bx＋a<0的解集为∪ 考点三 三个“二次”之间的关系 ACD 返回 ‹#› 解析：ACD　因为关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为(－∞，－2)∪(3，＋∞)，所以a>0，故A正确；－2和3是关于x的方程ax2＋bx＋c＝0的两根，由根与系数的关系得则所以a＋b＋c＝－6a<0，故B错误；不等式bx＋c>0可化为－ax－6a>0，得x<－6，故C正确；不等式或x>，故D正确．故选ACD. 返回 ‹#› 1．一元二次方程的根就是相应一元二次函数的零点，也是相应一元二次不等式解集的端点值． 2．给出一元二次不等式的解集，相当于知道了相应一元二次函数图象的开口方向及与x轴的交点，可以利用代入根或根与系数的关系求待定系数． 返回 ‹#› 跟踪训练3　(1)(2026·重庆九龙坡期中)已知不等式>1的解集为{x≥0的解集为(　　) A．{x≤x≤1} B．{x|－1≤x<1} C．{x|－6≤x<－} D．{x|－6≤x<－4} C 返回 ‹#› 解析：C　不等式>1，即－1>0，即>0，可转化为[(a－1)x－b＋1](x＋b)>0，因为不等式x<－1或x>4}，所以a>1且关于x的方程[(a－1)x－b＋1](x＋b)＝0的两个根为x1＝－1，x2＝4，所以 或解得或(舍去)，所以不等式≥0，即≥0，即解得－6≤x<－.所以不等式≥0的解集为{x|－6≤x<－}．故选C. 返回 ‹#› (2)不等式x2－ax－b<0的解集是{x|2<x<3}，则不等式bx2－ax－1>0的解集为(　　) A．{x<x<－} B．{x<x<} C．∅ D．{x|－3<x<－2} A 返回 ‹#› 解析：A　设x1，x2是方程x2－ax－b＝0的两个根，由题意知，解得所以不等式bx2－ax－1>0可变为<x<－.所以不等式bx2－ax－1>0的解集为{x<x<－}．故选A. 返回 ‹#› 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 11 1 2 (建议用时：60分钟　分值：99分)   1．(2026·江苏常州期中)不等式x2－x－2<0的解集为(　　) A．{x|－2<x<1} B．{x|－1<x<2} C．{x|x<－2或x>1} D．{x|x<－1或x>2} 解析：B　由x2－x－2＝(x＋1)(x－2)<0，可得－1<x<2，故不等式的解集为{x|－1<x<2}．故选B. 限时规范 训练6　一元二次不等式的解法 14 B 返回 ‹#› 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 11 2．(2025·全国二卷T4)不等式≥2的解集是(　　) A．{x|－2≤x≤1}　　　 B．{x|x≤－2} C．{x|－2≤x<1} D．{x|x>1} 解析：C　因为≥2，所以－2≥0，故有≥0，即≤0，等价于解得－2≤x<1，故原不等式的解集是{x|－2≤x<1}．故选C. 14 C 返回 ‹#› 2 3 1 4 5 6 7 8 9 10 12 13 11 3．下列不等式中，与|x－2|<3的解集相同的是(　　) A．x2－4x－5<0 B．≤0 C．(5－x)(x＋1)<0 D．x2＋4x－5<0 解析：A　由|x－2|<3，则－3<x－2<3，解得－1<x<5.对于A，由x2－4x－5<0，则(x－5)(x＋1)<0，解得－1<x<5；对于B，由≤0，则解得－1≤x<5；对于C，由(5－x)(x＋1)<0，则(x－5)(x＋1)>0，解得x<－1或x>5；对于D，由x2＋4x－5<0，则(x＋5)(x－1)<0，解得－5<x<1.故选A. 14 A 返回 ‹#› 2 3 4 1 5 6 7 8 9 10 12 13 11 4．若a<0，则关于x的不等式a(x＋2)<0的解集为(　　) A．{x<x<2} B．{x} C．{x或x<－2} D．{x} 解析：C　因为a<0，a(x＋2)<0，所以(x＋2)>0，又－>0，所以不等式的解集为{x}．故选C. 14 C 返回 ‹#› 2 3 4 5 1 6 7 8 9 10 12 13 11 5．(多选)(2025·甘肃兰州诊断)下列说法正确的是(　　) A．不等式4x2－5x＋1>0的解集是{x<x<1} B．不等式2x2－x－6≤0的解集是{x|x≤－或x≥2} C．若不等式ax2＋8ax＋21<0恒成立，则a的取值范围是∅ D．若关于x的不等式2x2＋px－3<0的解集是(q，1)，则p＋q的值为－ 14 CD 返回 ‹#› 2 3 4 5 1 6 7 8 9 10 12 13 11 解析：CD　对于A，4x2－5x＋1>0，即(x－1)(4x－1)>0，解得x<或x>1，故A错误；对于B，2x2－x－6≤0，即(x－2)(2x＋3)≤0，解得－≤x≤2，故B错误；对于C，若不等式ax2＋8ax＋21<0恒成立，当a＝0时，21<0是不可能成立的，所以只能而该不等式组无解，故C正确；对于D，由题意得q，1是一元二次方程2x2＋px－3＝0的两根， 从而解得 而当p＝1时，一元二次不等式为2x2＋x－3<0，即(x－1)(2x＋3)<0，解得－<x<1满足题意，所以p＋q的值为－，故D正确．故选CD. 14 返回 ‹#› 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 12 13 11 6．(多选)关于x的不等式(ax－1)(x＋2a－1)＞0的解集中恰有3个整数，则a的值可以为(　　) A．－ B．1 C．－1 D．－2 14 AC 返回 ‹#› 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 12 13 11 解析：AC　由题意知a＜0，则排除B；对于A，当a＝－时，(x－2)＞0，即(x＋2)(x－2)＜0，解得－2＜x＜2，解集中恰有3个整数，符合题意；对于C，当a＝－1时，(－x－1)(x－3)＞0，即(x＋1)(x－3)＜0，解得－1＜x＜3，解集中恰有3个整数，符合题意；对于D，当a＝－2时，(－2x－1)(x－5)＞0，即(2x＋1)(x－5)＜0，解得－＜x＜5，解集中有5个整数，不符合题意．故选AC. 14 返回 ‹#› 7 8 9 10 12 13 11 1 3 4 5 6 2 7．(5分)若关于x的不等式|x2＋mx＋n|>0的解集为{x|x≠1且x≠2}，则m＝________，n＝________． 解析：由已知可得1，2为方程x2＋mx＋n＝0的根，由根与系数的关系可得：解得 答案：－3　2 14 返回 ‹#› 8 9 10 12 13 11 1 3 4 5 6 7 2 8．(5分)不等式x4＋3x2－10<0的解集是______． 解析：不等式x4＋3x2－10<0可化为(x2)2＋3x2－10<0，令t＝x2(t≥0)，则不等式可化为t2＋3t－10<0，解得－5<t<2，因为t≥0，所以0≤t<2，即0≤x2<2，则－<x<.故原不等式的解集为. 答案： 14 返回 ‹#› 9 10 12 13 11 1 3 4 5 6 7 8 2 9．(5分)在R上定义运算a※b＝(a＋1)b，若对任意x∈[1，2]，不等式(m－x)※(m＋x)<2恒成立，则实数m的取值范围为________． 解析：由题意(m－x)※(m＋x)＝(m－x＋1)(m＋x)＝m2－x2＋m＋x<2在[1，2]上恒成立，所以m2＋m<x2－x＋2在[1，2]上恒成立，当x∈[1，2]时，(x2－x＋2)min＝2，所以m2＋m<2，解得m∈(－2，1)． 答案：(－2，1) 14 返回 ‹#› 10 12 13 11 1 3 4 5 6 7 8 9 2 10．(13分)解下列不等式： (1)(5－x)(x＋4)≥18；(2)>－3. 解：(1)因为(5－x)(x＋4)≥18，所以－x2＋x＋2≥0，即x2－x－2≤0， 此时有(x－2)(x＋1)≤0，解得－1≤x≤2. 所以原不等式的解集为{x|－1≤x≤2}． (2)因为>－3，所以＋3>0⇔>0⇔>0. 此不等式等价于(5x＋22)(x＋7)>0，解得x<－7或x>－. 所以原不等式的解集为{x}． 14 返回 ‹#› 11 12 13 1 3 4 5 6 7 8 9 10 2 11．(13分)已知不等式ax2－3x＋2>0的解集为{x|x<1或x>b}． (1)求a，b的值； (2)解不等式ax2－(am＋b)x＋bm<0. 解：(1)因为不等式ax2－3x＋2>0的解集为{x|x<1或x>b}， 所以x1＝1，x2＝b是方程ax2－3x＋2＝0的两个根，所以解得 14 返回 ‹#› 11 12 13 1 3 4 5 6 7 8 9 10 2 (2)由(1)知原不等式为x2－(m＋2)x＋2m<0，即(x－m)(x－2)<0， 当m>2时，不等式解集为{x|2<x<m}； 当m＝2时，不等式解集为∅； 当m<2时，不等式解集为{x|m<x<2}． 14 返回 ‹#› 12 13 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 2 12．(2025·湖北襄阳一模)函数y＝[x]在数学上称为高斯函数，也叫取整函数，其中[x]表示不大于x的最大整数，如[1.5]＝1，[－2.3]＝－3，[3]＝3，那么不等式4[x]2－16[x]＋7≤0成立的充分不必要条件是(　　) A．[x]∈{0，1} B．[x]∈{1，3} C．[x]∈{1，4} D．[x]∈{1，2，3} 解析：B　不等式4[x]2－16[x]＋7≤0，即为(2[x]－1)(2[x]－7)≤0，解得≤[x]≤，故[x]∈{1，2，3}，只有{1，3}是其真子集．故选B. 14 B 返回 ‹#› 13 1 3 4 5 6 7 8 9 10 12 11 2 13．(多选)已知k∈Z，若关于x的不等式x2－x<k(x－1)只有一个整数解，则k的可能取值为(　　) A．－1 B．1 C．2 D．3 解析：AD　关于x的不等式x2－x<k(x－1)，即x2－(k＋1)x＋k<0，即(x－1)(x－k)<0，当k＝1时，(x－1)(x－k)<0即(x－1)2<0，解集为空集，不符合题意；当k>1时，(x－1)(x－k)<0的解满足1<x<k，要使得关于x的不等式x2－x<k(x－1)只有一个整数解，需2<k≤3，由于k∈Z，故k＝3；当k<1时，(x－1)(x－k)<0的解满足k<x<1，要使得关于x的不等式x2－x<k(x－1)只有一个整数解，需－1≤k<0，由于k∈Z，故k＝－1，综上，k的可能取值为－1，3.故选AD. 14 AD 返回 ‹#› 14 1 3 4 5 6 7 8 9 10 12 11 2 14．(15分)解关于x的不等式ax2－2≥2x－ax(a∈R)． 解：原不等式可化为ax2＋(a－2)x－2≥0，即(ax－2)(x＋1)≥0. ①当a＝0时，原不等式化为x＋1≤0，解得x≤－1. ②当a>0时，原不等式化为(x＋1)≥0，解得x≥或x≤－1. ③当a<0时，原不等式化为(x＋1)≤0.当>－1，即a<－2时，解得－1≤x≤； 当＝－1，即a＝－2时，解得x＝－1满足题意； 当<－1，即－2<a<0时，解得≤x≤－1. 13 返回 ‹#› 14 1 3 4 5 6 7 8 9 10 12 11 2 13 综上所述，当a＝0时，原不等式的解集为{x|x≤－1}； 当a>0时，原不等式的解集为{x|x≥或x≤－1}； 当－2<a<0时，原不等式的解集为{x≤x≤－1}； 当a＝－2时，原不等式的解集为{－1}； 当a<－2时，原不等式的解集为{x|－1≤x≤}． 返回 ‹#› 第一课时　一元二次不等式的解法 点击进入WORD文档 按ESC键退出全屏播放 返回 ‹#› $