精品解析：湖北武汉市东湖新技术开发区2025-2026学年第二学期期末考试八年级数学试卷

2025—2026学年度第二学期期末考试八年级数学试卷 （时间：120分钟 满分：120分） 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分，下列各题中有且只有一个正确答案，请在答题卡上将正确答案的标号涂黑） 1. 若代数式有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 下列曲线中不能表示是的函数的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列条件中，不能判断构成直角三角形的是（ ） A. ，， B. C. D. 4. 若平行四边形中两个内角的度数比为 ，则其中较小的内角是（ ） A. B. C. D. 5. 甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，每人次射击的平均成绩恰好是环，方差分别是，，，，在本次射击测试中，成绩最稳定的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 6. 已知，，是直线（为常数）上的三个点，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，点，分别在、上，下列条件中不能判断四边形是平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在菱形中，，，对角线、交于点，点、点分别为、的中点，连接，则四边形的周长为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，一次函数与的图象交于点，两图象与轴交点分别是、，则不等式组的解集是（ ） A. B. C. D. 10. 甲骑电动车，乙骑自行车从红莲湖公园门口出发沿同一路线匀速游玩，设乙行驶的时间为，甲、乙两人距出发点的路程、关于的函数图象如图1所示，甲、乙两人之间的路程差关于的函数图象如图2所示，甲、乙两人相距时，乙出发时间为（ ） A. 或 B. C. D. 或或 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分，下列各题不需要写出解答过程，请将结果直接写在答题卡指定位置） 11. 计算：________，________，________． 12. 一家汽车零售店的名销售人员月份销售的汽车数量（单位：辆）如下：、、、、、、、、，则汽车销售数量的四分位数依次是：________，________，________． 13. 在平面直角坐标系中，的顶点，，，则点的坐标为________． 14. 宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感．如图，把黄金矩形沿对角线翻折，点B落在点处，交于点E，若，则的值为______． 15. 如图，在中，已知，，点D在边上，若点E在边上，满足，则的长是__________． 16. 在平面直角坐标系中，一次函数（）的图象为直线，在下列结论中： ①无论取何值，直线一定经过某个定点； ②过点作，垂足为，则的最大值是； ③若与轴交于点，与轴交于点，为等腰三角形，则； ④若时，，则． 其中正确的是________（填写所有正确结论的序号）． 三、解答题（共8大题，共72分，下列各题需要在答题卡指定位置写出文字说明、证明过程、演算步骤或画出图形） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 如图，四边形是平行四边形，点在的延长线上，且，连接． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）连接，添加一个与有关的条件，使得四边形为矩形．（不需要证明） 19. 为了宣传“航天”知识，某校举行了A．智控重力，B．智研材料，C．智析生命，D．智诊航天，E．智造航技等共五类知识的科技展览．展览开展了一段时间后，张老师采用抽样调查的方式在全校学生中开展了“我最喜欢的展览”的问卷调查．根据调查所收集的数据进行整理，绘制了如下两幅不完整的统计图． “我最喜欢的展览”条形统计图 “我最喜欢的展览”扇形统计图 （1）本次共调查了________名同学，将条形统计图补充完整； （2）扇形统计图中，A组所对应扇形的圆心角度数为________； （3）若该校共有1800名学生，请你估计全校最喜欢“智析生命”的学生人数． 20. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，轴，垂足为点，一次函数的图象经过点，与交于点． （1）求一次函数的解析式； （2）沿轴向右平移，点的对应点恰好落在直线上，求的面积． 21. 如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，的三个顶点都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示． （1）在图（1）中，画点，使得四边形是平行四边形；连接，在上画点，使得． （2）在图（2）中，点为上一点，在上画点，使得的值最小；在上画点，使得． 22. 某科技公司销售智能跑步机和智能单车两款健身设备，每台智能跑步机的利润为元，每台智能单车的利润为元．该公司计划一次性采购这两种设备共台，且智能单车的采购量不超过智能跑步机的倍．设采购智能跑步机台，这台设备的销售总利润为元． （1）直接写出与的函数关系式； （2）该公司采购智能跑步机、智能单车各多少台，才能使销售总利润最大，最大利润是多少？ （3）实际采购时，智能跑步机的进价因芯片技术升级下调（）元，智能单车的进价不变，且限定公司最多采购智能跑步机台，若公司保持两款设备售价不变，怎样采购可使销售这台设备的总利润最大？ 23. 如图，正方形中，点是线段上的一个动点，过点作交正方形的外角的平分线于点． （1）如图（1），求证：； （2）如图（2），过点作交的延长线于点，连接，求证：； （3）如图（3），在（2）的情况下，交于点．若，，则________． 24. 如图，一次函数与轴交于点，与轴交于点，直线与 直线关于轴对称，直线与轴交于点． （1）求直线的函数解析式； （2）如图，若点是线段上一动点，过点作轴的平行线，交直线于点，若的面积为，求点的坐标； （3）若点是线段上的一个动点，过点作轴的平行线，交直线于点，连接，在点的运动过程中是否存在的情况，若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第二学期期末考试八年级数学试卷 （时间：120分钟 满分：120分） 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分，下列各题中有且只有一个正确答案，请在答题卡上将正确答案的标号涂黑） 1. 若代数式有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：要使有意义，需满足， 解得， 故选：C． 2. 下列曲线中不能表示是的函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】对于两个变量、，若对于的每一个确定的值，都有唯一的值与之对应，则是的函数，据此结合函数图象可得答案． 【详解】A、B、C三个选项中，对于的每一个确定的值，都有唯一的值与之对应，故是的函数； D选项中，当为正数时，存在某些的确定值，有个或个以上的值与之对应，故不是的函数． 3. 下列条件中，不能判断构成直角三角形的是（ ） A. ，， B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：选项A．∵，，， ∴，， ∴，是直角三角形，不符合题意； 选项B．∵，设，，（）， ∴，是直角三角形，不符合题意； 选项C．∵，且， ∴， ∴，是直角三角形，不符合题意； 选项D．∵，设，，， 由三角形内角和得， 解得， ∴最大角，不是直角三角形，符合题意． 4. 若平行四边形中两个内角的度数比为 ，则其中较小的内角是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，掌握平行四边形的性质是解题的关键． 根据平行四边形的性质可得，，由此即可求解． 【详解】解：根据题意，如图所示，四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∴较小的内角为，   故选： ． 5. 甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，每人次射击的平均成绩恰好是环，方差分别是，，，，在本次射击测试中，成绩最稳定的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查方差的意义，方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据波动越小，学生们熟练掌握即可． 根据方差的意义可作出判断． 【详解】∵，，，，且， ∴最小， 成绩最稳定． 故选：C． 6. 已知，，是直线（为常数）上的三个点，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据一次函数的系数判断随的变化规律，再比较三个点横坐标的大小，即可得到值的大小关系． 【详解】解：直线中，系数， 随的增大而减小。 三个点的横坐标满足， 对应值满足． 7. 如图，在中，点，分别在、上，下列条件中不能判断四边形是平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质和平行线的性质得到，；再根据平行四边形的判定定理和各个选项中的条件逐一判断即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，即， ∴； 添加条件，可以根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定四边形是平行四边形，故A不符合题意； 添加条件，则，则，可以根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形判定四边形是平行四边形，故B不符合题意； 添加条件无法判定四边形是平行四边形，故C符合题意； 添加条件，，可以根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形判定四边形是平行四边形，故D不符合题意； 8. 如图，在菱形中，，，对角线、交于点，点、点分别为、的中点，连接，则四边形的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由菱形的性质得到，，，证明是等边三角形，得到，则，利用勾股定理求出的长，再由线段中点的定义和三角形中位线定理求出，，的长即可得到答案． 【详解】∵在菱形中，对角线、交于点， ∴，，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∵点、点分别为、的中点， ∴，，是的中位线， ∴， ∴四边形的周长． 9. 如图，一次函数与的图象交于点，两图象与轴交点分别是、，则不等式组的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数图象确定不等式组中两个不等式的解集即可得到答案． 【详解】解：由题意得，不等式的解集为， 不等式的解集为， ∴不等式组的解集是． 10. 甲骑电动车，乙骑自行车从红莲湖公园门口出发沿同一路线匀速游玩，设乙行驶的时间为，甲、乙两人距出发点的路程、关于的函数图象如图1所示，甲、乙两人之间的路程差关于的函数图象如图2所示，甲、乙两人相距时，乙出发时间为（ ） A. 或 B. C. D. 或或 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意和函数图象中的数据可以求得甲乙的速度；结合图象可知甲乙相距有两种情况，然后分别计算两种情况下乙出发的时间即可解答本题． 【详解】解：由图可得， 甲的速度为：，乙的速度为：， ∴前，乙行驶的路程为：， 则甲、乙两人路程差为是在甲乙相遇之后， 设乙出发时，甲、乙两人路程差为， ， 解得，， ，得； 即乙出发或时，甲、乙两人路程差为． 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分，下列各题不需要写出解答过程，请将结果直接写在答题卡指定位置） 11. 计算：________，________，________． 【答案】 ①. ②. ③. 【解析】 【详解】解：，，． 12. 一家汽车零售店的名销售人员月份销售的汽车数量（单位：辆）如下：、、、、、、、、，则汽车销售数量的四分位数依次是：________，________，________． 【答案】 ①. ②. ③. 【解析】 【分析】先将给定数据从小到大排序，再根据四分位数的计算规则计算各四分位数的位置，根据位置得到对应四分位数的值． 【详解】解：将销售数量从小到大排序，得， ∵排在最中间的数为10， ∴； ∵， ∴为排序后的第3个数据，即， 为排序后的第7个数据，即， 综上所述，，． 13. 在平面直角坐标系中，的顶点，，，则点的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】先求出的长度，根据平行四边形对边平行且相等的性质，得到且，进而求出顶点的坐标． 【详解】解：，， ， 四边形是平行四边形， ，， ，，平行于轴的直线上点的纵坐标相等， 点的纵坐标为，点的横坐标为， 即． 14. 宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感．如图，把黄金矩形沿对角线翻折，点B落在点处，交于点E，若，则的值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识点，利用黄金比例表示各线段的长是解题的关键．设宽，根据比例表示长，证明，在中，利用勾股定理即可求得结果． 【详解】解：设宽为， ∵宽与长的比是， ∴长为：， 由折叠的性质可知，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 设， 在中，， 变形得：， ∴， 故答案为∶． 15. 如图，在中，已知，，点D在边上，若点E在边上，满足，则的长是__________． 【答案】7或9 【解析】 【分析】过点A作，垂足为H，过点B作，垂足为F，过点C作，垂足为G，在上取点，使，作点关于点G的对称点，连接，证明，得，得，得，求出，，得． 【详解】解：如图，过点A作，垂足为H，过点B作，垂足为F， 过点C作，垂足为G，在上取点，使， 作点关于点G的对称点，连接， 则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， 即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即或． 16. 在平面直角坐标系中，一次函数（）的图象为直线，在下列结论中： ①无论取何值，直线一定经过某个定点； ②过点作，垂足为，则的最大值是； ③若与轴交于点，与轴交于点，为等腰三角形，则； ④若时，，则． 其中正确的是________（填写所有正确结论的序号）． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】根据题意可得当时，，则直线恒过定点，故①正确；设直线恒过定点，则，由垂线段最短可知，则当点H与点P重合时，有最大值，故②正确；求出点A和点B的坐标，当为等腰三角形时，，据此建立关于m的方程，解方程可判断③错误；根据一次函数的增减性可推出时满足，据此建立不等式求解即可． 【详解】解：①∵， ∴当时，， ∴直线恒过定点，故①正确． ②设直线恒过定点， ∴ ∵，垂足为， ∴在直线上，， 由垂线段最短可知， ∴当点H与点P重合时，有最大值， ∴的最大值为，故②正确． ③在中，当时，，解得， 当时，， ∴，， ∵， ∴当为等腰三角形时，，即， 当，即时，此时，即点B与原点重合，不符合题意； 当时，则， ∴或， 当时，，，则，符合题意； 当时，，，则，符合题意；故③错误． ④当时，随的增大而减小，无限增大时，不符合题意， 当时，随的增大而增大，若时，，则时满足，代入得， 解得，故④正确． ∴正确的有①②④． 三、解答题（共8大题，共72分，下列各题需要在答题卡指定位置写出文字说明、证明过程、演算步骤或画出图形） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 如图，四边形是平行四边形，点在的延长线上，且，连接． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）连接，添加一个与有关的条件，使得四边形为矩形．（不需要证明） 【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）或 【解析】 【分析】（1）根据四边形是平行四边形，得出，，结合已知条件可得，根据一组对边平行而且相等的四边形是平行四边形即可得出结论； （2）根据等腰三角形的性质、矩形的判定进行解答即可． 【小问1详解】 证明略 【小问2详解】 解：添加：； ∵，， ∴，即， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形． 若添加， ∵四边形是平行四边形；， ∴四边形为矩形． 19. 为了宣传“航天”知识，某校举行了A．智控重力，B．智研材料，C．智析生命，D．智诊航天，E．智造航技等共五类知识的科技展览．展览开展了一段时间后，张老师采用抽样调查的方式在全校学生中开展了“我最喜欢的展览”的问卷调查．根据调查所收集的数据进行整理，绘制了如下两幅不完整的统计图． “我最喜欢的展览”条形统计图 “我最喜欢的展览”扇形统计图 （1）本次共调查了________名同学，将条形统计图补充完整； （2）扇形统计图中，A组所对应扇形的圆心角度数为________； （3）若该校共有1800名学生，请你估计全校最喜欢“智析生命”的学生人数． 【答案】（1），将条形统计图补充完整如图： （2） （3）人 【解析】 【分析】（1）首先利用“组学生人数其占比”，即可求得所调查学生人数；分别计算组和组的人数，然后补全条形统计图即可； （2）利用“组学生占比”，即可获得答案； （3）利用“该校学生总数组学生占比”，即可获得答案． 【小问1详解】 解：调查的学生人数为：（人）， ∴组的学生人数为：（人）， ∴组的人数为：（人）， 条形统计图略； 【小问2详解】 解：组所对应扇形的圆心角度数为； 【小问3详解】 解：（人）． 答：估计全校最喜欢“智析生命”的学生人数为人． 20. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，轴，垂足为点，一次函数的图象经过点，与交于点． （1）求一次函数的解析式； （2）沿轴向右平移，点的对应点恰好落在直线上，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先根据已知求出点C的坐标，再将点C的坐标代入一次函数解析式求出k，即可得解； （2）根据平移得的纵坐标为4，把代入即可求出点的坐标，即可求，利用待定系数法求出直线的解析式，再联立直线的解析式和一次函数的解析式，即可求出点的坐标，过点作，垂足为点，求出，根据三角形面积公式求解即可． 【小问1详解】 解：轴， 点， 一次函数的图象经过点， ， 解得：， ； 【小问2详解】 解：点的对应点恰好落在直线上， 的纵坐标为4， 把代入得， 点， ， ， 点， 设的解析式为， 则， 解得， ∴的解析式为， ， 解得， 点， 过点作，垂足为点， ， ， 的面积． 21. 如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，的三个顶点都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示． （1）在图（1）中，画点，使得四边形是平行四边形；连接，在上画点，使得． （2）在图（2）中，点为上一点，在上画点，使得的值最小；在上画点，使得． 【答案】（1）如图（1），点E即为所求． （2）如图（2），点F、Q即为所求； 【解析】 【分析】（1）如图：根据平行四边形的定义确定格点D，连接，即可作出平行四边形；如图取格点F，连接与的交点即为所求点E； （2）如图：作点B关于的对称点，连接交于点F，点F即为所求；如图：作点P关于的对称点，连接与的交点即为所求点Q． 【小问1详解】 解：由网格图可知：，即四边形是平行四边形； 如图：由格点可知：， ∴，即点E即为所求． 【小问2详解】 解：如图：作点B关于的对称点，连接交于点F，接， ∴， ∴，即当三点共线时，有最小值，即点F为所求； 如图：作点P关于的对称点，即， ∴， ∴， ∴点Q即为所求． 22. 某科技公司销售智能跑步机和智能单车两款健身设备，每台智能跑步机的利润为元，每台智能单车的利润为元．该公司计划一次性采购这两种设备共台，且智能单车的采购量不超过智能跑步机的倍．设采购智能跑步机台，这台设备的销售总利润为元． （1）直接写出与的函数关系式； （2）该公司采购智能跑步机、智能单车各多少台，才能使销售总利润最大，最大利润是多少？ （3）实际采购时，智能跑步机的进价因芯片技术升级下调（）元，智能单车的进价不变，且限定公司最多采购智能跑步机台，若公司保持两款设备售价不变，怎样采购可使销售这台设备的总利润最大？ 【答案】（1）（，且x为整数） （2）采购智能跑步机27台，智能单车53台时总利润最大，最大利润为58600元 （3）当时，采购智能跑步机27台，智能单车53台时总利润最大；当时，任意满足条件的采购方案总利润都相等；当时，采购智能跑步机50台，智能单车30台时总利润最大 【解析】 【分析】（1）求出智能单车的利润和智能跑步机的利润，二者求和可得对应的函数关系式，再根据智能单车的采购量不超过智能跑步机的倍，且智能单车的数量非负建立不等式组求出x的取值范围即可； （2）根据一次函数的性质求解即可； （3）同（1）列出y关于x的函数关系式，结合题意求出x的取值范围，再讨论m的取值范围，结合一次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得，， ∵智能单车的采购量不超过智能跑步机的倍， ∴， ∴，且x为整数； 【小问2详解】 解：在中，， ∴y随x的增大而减小， ∵，且x为整数， ∴当时，y有最大值，最大值为，此时， 答：采购智能跑步机27台，智能单车53台时总利润最大，最大利润为58600元； 【小问3详解】 解：由题意得，， ∵限定公司最多采购智能跑步机台， ∴由（1）可得，且x为整数， 当时，，此时y随x的增大而减小， ∴当时，y有最大值，此时； 当时，； 当时，y随x的增大而增大， ∴当时，y有最大值，此时； 综上所述，当时，采购智能跑步机27台，智能单车53台时总利润最大；当时，任意满足条件的采购方案总利润都相等；当时，采购智能跑步机50台，智能单车30台时总利润最大． 23. 如图，正方形中，点是线段上的一个动点，过点作交正方形的外角的平分线于点． （1）如图（1），求证：； （2）如图（2），过点作交的延长线于点，连接，求证：； （3）如图（3），在（2）的情况下，交于点．若，，则________． 【答案】（1）证明：在上截取，连接， ∵正方形中， ∴，， ∴，即， ∴三角形为直角等腰三角形， ∴， ∴， ∵的角平分线为， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴ ∴， 又∵，， ∴， ∴； （2）证明：∵，， ∴， ∴， ∵正方形中， ∴，，， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， 又∵由（1）可知，， ∴， ∴， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）证明，然后即可得证； （2）先证，得到，再证四边形为平行四边形，进而得到，再证明，即可得证； （3）过点作，垂足分别为，先利用等面积法求出，再利用正方形性质得到，再求出，进而得到，再利用勾股定理计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：过点作，垂足分别为， ∵，， ∴，， 由（2）可知， ∴， 又由（1）可知，由（2）可知， ∴为等腰直角三角形， ∵， ∴四边形为矩形， 又∵， ∴， ∴四边形为正方形， ∴ ∵的面积为：， 又可表示为：， ∴， ∴， ∴， ∵四边形为矩形， ∴，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴． 24. 如图，一次函数与轴交于点，与轴交于点，直线与 直线关于轴对称，直线与轴交于点． （1）求直线的函数解析式； （2）如图，若点是线段上一动点，过点作轴的平行线，交直线于点，若的面积为，求点的坐标； （3）若点是线段上的一个动点，过点作轴的平行线，交直线于点，连接，在点的运动过程中是否存在的情况，若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在，或． 【解析】 【分析】（1）求出点B和点C的坐标，利用待定系数法求出解析式即可； （2）设，其中，则，求出，根据即可求出答案； （3）分两种情况画出图形分别进行解答即可． 【小问1详解】 解：在中， 令得， 令得， ，， 直线与关于轴对称， ， 设直线的函数解析式为，将、代入得： ， 解得， 直线的函数解析式为； 【小问2详解】 解：设，其中，则， ， ， 解得， ； 【小问3详解】 解：在点的运动过程中存在的情况， 当在线段上，如图： 设，则， 直线与关于轴对称， ， ， ， ， ∵轴， ， ， ， ， ，，， ， 解得； ； 当在线段上，如图： 设，则， 直线与关于轴对称， ， ， ， ， ∵轴， ， ∵ ∴ ， ，，， ， 解得； ； 综上可知，的坐标为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $