第六单元 放大与缩小（单元举一反三讲义）六年级上册数学苏教版（新教材）

该小学数学“放大与缩小”单元复习讲义通过知识框架图系统梳理四大核心知识点，涵盖图形缩放意义判断、方格纸画图方法、边长周长面积变化规律及比例尺应用，用对比表格归纳缩放比判断规则与面积变化规律，清晰呈现重难点及内在逻辑联系。 讲义亮点在于分层练习设计，例题结合精密零件绘图、地图距离计算等生活情境，跟踪训练巩固基础画图与计算，培优练习通过填空、判断、解答题提升综合应用能力，培养量感与应用意识。方法指导如“三步画图法”“面积是边长比平方”等技巧，助力不同层次学生掌握，支持教师实施精准复习教学。

第六单元 放大与缩小 单元举一反三讲义 【知识点精讲+例题讲解+跟踪训练+培优练习】 知识点精讲 知识点1：图形放大与缩小的意义及判断 1. 核心特征：图形放大或缩小后，形状不变，大小改变，新图形与原图形是相似图形，对应角的大小完全相等，对应边的比相等。 2. 缩放比的含义（必考）：缩放比是变化后图形边长∶原图形边长。比的前项对应新图形，后项对应原图形。 3.放大与缩小判断规则 比值＞1（前项＞后项）：图形放大，如 2∶1、3∶2； 比值＜1（前项＜后项）：图形缩小，如 1∶2、2∶3； 比值=1：图形大小、形状均不变。 4. 易错点拨：缩放必须保证图形每条边都按相同的比变化，若各边缩放比例不同，图形形状会改变，不属于规范的放大或缩小。 知识点2：方格纸上图形放大与缩小的画图方法 1. 通用三步画图法 第一步：数出原图形每条边在方格纸上所占的格数； 第二步：根据给定缩放比，计算出放大或缩小后各边对应的格数； 第三步：按照计算后的边长，依次画出新图形，保证图形角度不变、形状一致。 2. 常见图形画图要点 长方形、正方形：只需缩放长和宽，直角保持不变； 三角形：底和高同时按相同比缩放，顶角、底角大小不变。 3. 核心原则：所有对应边统一比例缩放，角度不发生任何改变。 知识点3：图形缩放的边长、周长、面积变化规律（重难点） 1. 边长与周长规律：图形按 的比放大或缩小，新图形与原图形的边长、周长比均为 。 2. 面积变化规律（高频考点）：图形按 的比放大或缩小，面积比为对应比的平方，即 。 3. 举例记忆 按2∶1放大：边长、周长扩大到原来的2倍，面积扩大到原来的4倍； 按1∶2缩小：边长、周长缩小为原来的，面积缩小为原来的。 4. 易错总结：学生易混淆面积变化倍数，切记面积倍数是边长倍数的平方。 知识点4：比例尺的意义与应用 1. 比例尺定义：一幅图的图上距离和实际距离的比，叫做这幅图的比例尺。比例尺本质是图形缩小/放大的专属比，只改变图形大小，不改变形状。 2. 核心公式（必考） 比例尺 = 图上距离 ∶ 实际距离 图上距离 = 实际距离 × 比例尺 实际距离 = 图上距离 ÷ 比例尺 3. 比例尺两大分类 缩小比例尺：图上距离＜实际距离，比值＜1，日常地图常用（如1∶1000）； 放大比例尺：图上距离＞实际距离，比值＞1，精密零件图纸常用（如10∶1）。 4. 关键规则与易错点 比例尺是长度比，不是面积比；计算时图上距离与实际距离单位必须统一； 比例尺不带单位；数值比例尺前项或后项一般化简为1。 5. 单位换算核心：常用单位 1米=100厘米，1千米=100000厘米，比例尺计算必须统一为厘米再运算。 例题讲解+跟踪训练 【例题讲解】 按要求作图。 （1）把图中的三角形绕点O顺时针旋转90°，画出旋转后的图形。 （2）按1∶2的比画出梯形缩小后的图形。 【跟踪训练】 按要求在方格纸上画图。 (1)将长方形放大，使放大后的图形与原图形对应线段长的比为2∶1。 (2)画出长方形绕点O顺时针旋转90度后的图形。 【例题讲解】 按1∶1的比例画一个长是5厘米、宽是3厘米的长方形。 【跟踪训练】 一个精密零件的表面是长方形，长是5毫米，宽是2毫米。按10∶1的比例尺画出这个零件表面的示意图。 【例题讲解】 在比例尺是1∶4000000的地图上，量得甲、乙两地相距9.5厘米，客车和货车同时分别从甲、乙两地相对开出，货车每小时行40千米，客车每小时行60千米，两车几小时后相遇？ 【跟踪训练】 在一幅比例尺1∶6000000的中国地图上，量得北京与南京之间的距离为15厘米。一辆大客车和一辆小轿车同时从北京和南京相对开出，大客车每小时行70千米，小轿车每小时行110千米。两车几小时后相遇？ 培优练习 一、填空题 1．在一幅比例尺为1∶30000的地图上，甲、乙两地的直线距离大约是30厘米，则它们两地的实际直线距离大约是( )千米。 2．在一幅图上用3cm长的线段表示实际距离150km，这幅图的比例尺是( )。 3．比例尺是( )的比。要在美术本上画黑板的示例图，选( )比较合适。（填比例尺1∶100、比例尺100∶1） 4．一幅地图的比例尺是：，改成数字比例尺是( )。临海到杭州的实际距离是220千米，在这幅地图上的距离是( )厘米。 5．“天下大事必作于细”，工匠精神是中国制造砥砺前行的精神源泉。某精密零件长2.5mm，宽0.8mm，为保证精准，画在图纸上长5cm。这幅图纸的比例尺为( )。 6．一个等腰三角形的底边长是10cm，底角是50°，把它按5∶1缩小后，底边长( )cm，底角是( )°。 7．把一张照片按5∶1的比例尺放大，放大后的照片各边的长度是原照片对应边长度的( )倍，放大后的照片的面积是原照片面积的( )倍。 8．如图中，三角形A按( )∶( )放大后得到三角形B，它的周长扩大到原来的( )倍，面积扩大到原来的( )倍。 二、判断题 9．一幅零件图纸的比例尺是20∶1，图纸上的尺寸比零件实际尺寸小。( ) 10．如图 线段比例尺，表示图上距离和实际距离的比是1∶40。( ) 11．同一建筑物分别画在比例尺是1∶2000和1∶1000的图纸上，选用1∶2000的比例尺画出来的平面图要大一些。( ) 12．把一个图形先按2∶1的比放大，再把放大后的图形按1∶3的比缩小，最后得到的图形与原图形相比，缩小了。( ) 13．将一个长方体的长、宽、高按放大，放大后与放大前长方体体积比为。( ) 三、选择题 14．在比例尺是的地图上，量得甲、乙两地距离是3cm，实际距离是（    ）。 A．15km B．150km C．1500km D．15000km 15．5月19日，正在河南考察的习近平总书记来到洛阳龙门石窟，察看石窟整体布局风貌和代表性窟龛、造像，同现场的文物保护工作者亲切交流。洛阳市某小学开展以“保护历史文化遗产”为主题的绘画竞赛，获得第一名的绘画作品长45cm，宽20cm。校方要将第一名作品的照片按的比放大进行展示，则放大后的长和宽分别是。（    ） A．450cm和200cm B．4.5m和2m C．9m和4m D．900m和400m 16．“图形的放大和缩小”要求图形的形状相同，但大小不同。下面符合“图形的放大和缩小”要求的两个三角形是（    ）。 A．①和② B．①和③ C．②和④ D．③和④ 17．一幢教学楼的底面长60m，画在图纸上它的长是20cm，这幅图的比例尺是（    ）。 A．1∶30 B．1∶300 C．1∶3000 D．1∶30000 18．学校操场长50米，宽30米，要把它按一定的比例画在作业本上，下面的比例中适宜的是（    ）。 A．1∶10 B．1∶100 C．1∶1000 D．1∶10000 19．赵阿姨想将一幅画按4∶1放大挂在客厅里，放大后面积与放大前面积比是（    ）。 A．4∶1 B．8∶1 C．16∶1 D．20∶1 20．在六年级毕业活动中，拍下了珍贵的一幕。洗出的6寸照片长15.2厘米、宽10.2厘米，小明觉得尺寸有点小，便让摄像师按2∶1重新洗印，放大后照片面积是（    ）平方厘米。 A．155.04 B．310.08 C．620.16 D．1240.32 21．把一个三角形按1∶3的比放大后，“面积”“边的长度”“角的度数”“对应边长的比值”保持不变的有（    ）个。 A．1 B．2 C．3 D．4 四、作图题 22． (1)将三角形绕A点逆时针旋转90°。 (2)将原三角形按的比画出三角形放大后的图形。 23．宁波至慈溪市城际铁路正在加速建设，此线起于江北孔浦站，止于慈溪高铁站，共设13个车站。孔浦站在慈溪高铁站东偏南方向45km处，请在下图中标出孔浦站的位置。 五、解答题 24．武冈机场的飞行等级按4C标准设计，能够满足年旅客吞吐量25万人次和货邮吞吐量500吨的需求。机场主跑道长度为2800米，在设计图纸上量得的图上距离是7厘米，这幅图的比例尺是多少？如果设计规划在1∶50000的图纸上，跑道长应画多少厘米？ 25．哪吒绘制陈塘关地图。 陈塘关实际南北长2.4千米，东西宽1.8千米。哪吒用比例尺 1∶60000 绘制地图。 (1)地图上陈塘关的长和宽各是多少厘米？ (2)地图上关隘位置到李靖府的图上距离为3厘米，实际距离是多少米？ (3)若哪吒想让地图上东西宽变为9厘米，需改用什么比例尺？新地图的面积是原地图的几倍？ 26．在比例尺为1∶3000000的地图上，量得甲、乙两地之间的高速公路全长6cm。这段高速公路最高限速是120km/h，王叔叔开小汽车在这段公路上行驶的平均速度是90km/h。王叔叔从甲地到乙地要用多少小时？ 27．在比例尺为1∶20000000的地图上，量得甲、乙两地相距3.6cm。一辆客车和一辆货车同时分别从甲、乙两地相对开出，客车每小时行驶80km，货车每小时行驶70km。经过多长时间两车相遇？ 28．古代绘制地图时有以“一分为十里，一寸为百里”为标准的。如果设定一分＝cm，十里＝5000m，换算成现在的比例尺是多少？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第六单元 放大与缩小 单元举一反三讲义 【知识点精讲+例题讲解+跟踪训练+培优练习】 知识点精讲 知识点1：图形放大与缩小的意义及判断 1. 核心特征：图形放大或缩小后，形状不变，大小改变，新图形与原图形是相似图形，对应角的大小完全相等，对应边的比相等。 2. 缩放比的含义（必考）：缩放比是变化后图形边长∶原图形边长。比的前项对应新图形，后项对应原图形。 3.放大与缩小判断规则 比值＞1（前项＞后项）：图形放大，如 2∶1、3∶2； 比值＜1（前项＜后项）：图形缩小，如 1∶2、2∶3； 比值=1：图形大小、形状均不变。 4. 易错点拨：缩放必须保证图形每条边都按相同的比变化，若各边缩放比例不同，图形形状会改变，不属于规范的放大或缩小。 知识点2：方格纸上图形放大与缩小的画图方法 1. 通用三步画图法 第一步：数出原图形每条边在方格纸上所占的格数； 第二步：根据给定缩放比，计算出放大或缩小后各边对应的格数； 第三步：按照计算后的边长，依次画出新图形，保证图形角度不变、形状一致。 2. 常见图形画图要点 长方形、正方形：只需缩放长和宽，直角保持不变； 三角形：底和高同时按相同比缩放，顶角、底角大小不变。 3. 核心原则：所有对应边统一比例缩放，角度不发生任何改变。 知识点3：图形缩放的边长、周长、面积变化规律（重难点） 1. 边长与周长规律：图形按 的比放大或缩小，新图形与原图形的边长、周长比均为 。 2. 面积变化规律（高频考点）：图形按 的比放大或缩小，面积比为对应比的平方，即 。 3. 举例记忆 按2∶1放大：边长、周长扩大到原来的2倍，面积扩大到原来的4倍； 按1∶2缩小：边长、周长缩小为原来的，面积缩小为原来的。 4. 易错总结：学生易混淆面积变化倍数，切记面积倍数是边长倍数的平方。 知识点4：比例尺的意义与应用 1. 比例尺定义：一幅图的图上距离和实际距离的比，叫做这幅图的比例尺。比例尺本质是图形缩小/放大的专属比，只改变图形大小，不改变形状。 2. 核心公式（必考） 比例尺 = 图上距离 ∶ 实际距离 图上距离 = 实际距离 × 比例尺 实际距离 = 图上距离 ÷ 比例尺 3. 比例尺两大分类 缩小比例尺：图上距离＜实际距离，比值＜1，日常地图常用（如1∶1000）； 放大比例尺：图上距离＞实际距离，比值＞1，精密零件图纸常用（如10∶1）。 4. 关键规则与易错点 比例尺是长度比，不是面积比；计算时图上距离与实际距离单位必须统一； 比例尺不带单位；数值比例尺前项或后项一般化简为1。 5. 单位换算核心：常用单位 1米=100厘米，1千米=100000厘米，比例尺计算必须统一为厘米再运算。 例题讲解+跟踪训练 【例题讲解】 按要求作图。 （1）把图中的三角形绕点O顺时针旋转90°，画出旋转后的图形。 （2）按1∶2的比画出梯形缩小后的图形。 【答案】（1） （2） 【分析】（1）根据旋转的特征，图中三角形绕点O顺时针旋转90°，点O的位置不动，这个图形的各部分均绕此点按相同方向旋转相同的度数即可画出旋转后的图形。 （2）由图可知，原来梯形上底是2格，下底是4格，高是4格。根据图形缩小的意义，把图中梯形的上、下底及高均缩小到原来的，对应角大小不变，所得到的图形就是原图形按1∶2缩小后的图形。 【详解】（1）图略 （2）2÷2＝1（格） 4÷2＝2（格） 图略 【跟踪训练】 按要求在方格纸上画图。 (1)将长方形放大，使放大后的图形与原图形对应线段长的比为2∶1。 (2)画出长方形绕点O顺时针旋转90度后的图形。 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】（1）因2∶1＝2÷1＝2，将长方形的长和宽扩大到原长方形长和宽的2倍即可；由图可知，原来长方形的长占4格，宽占2格，先计算出放大后的图形长和宽所占格数，保持图形形状不变，以放大后的长和宽画出图形。 （2）根据图形旋转的性质，以点O为旋转中心，将长方形的各个顶点绕点O顺时针旋转90°，确定旋转后各顶点的位置，然后依次连接顶点得到旋转后的长方形。 【详解】（1）长：4×2＝8（格） 宽：2×2＝4（格） 画出放大后的图形如下： （2）根据旋转的特性，画出旋转后的图形如下： 【例题讲解】 按1∶1的比例画一个长是5厘米、宽是3厘米的长方形。 【答案】见详解 【分析】按1∶1的比例，即图上距离等于实际距离，画一个长是5厘米、宽是3厘米的长方形即可。 【详解】如图： 【跟踪训练】 一个精密零件的表面是长方形，长是5毫米，宽是2毫米。按10∶1的比例尺画出这个零件表面的示意图。 【答案】见详解 【分析】根据图上距离＝实际距离×比例尺，换算出图上长和宽，作图即可。 【详解】5×10＝50（毫米）＝5（厘米） 2×10＝20（毫米）＝2（厘米） 【例题讲解】 在比例尺是1∶4000000的地图上，量得甲、乙两地相距9.5厘米，客车和货车同时分别从甲、乙两地相对开出，货车每小时行40千米，客车每小时行60千米，两车几小时后相遇？ 【答案】3.8小时 【分析】根据比例尺的含义，实际距离等于图上距离除以比例尺；两车相对开出，相遇时间等于总路程除以两车的速度和，代入数据即可求解。 【详解】 ＝9.5×4000000 ＝38000000（厘米） 38000000厘米＝380千米 380÷（40＋60） ＝380÷10 ＝3.8（小时） 答：两车3.8小时后相遇。 【跟踪训练】 在一幅比例尺1∶6000000的中国地图上，量得北京与南京之间的距离为15厘米。一辆大客车和一辆小轿车同时从北京和南京相对开出，大客车每小时行70千米，小轿车每小时行110千米。两车几小时后相遇？ 【答案】 5小时 【分析】先根据比例尺的定义，计算北京到南京的实际距离，比例尺图上距离实际距离，可以通过已知的图上距离和比例尺换算出实际距离，注意统一单位为千米。 两车是相对行驶的相遇问题，先计算两车的速度和，用相遇问题的基本数量关系：相遇时间总路程速度和。 将第一步算出的实际总路程和第二步得到的速度和代入上述公式，即可求出相遇时间。 【详解】北京与南京的实际距离为：（厘米） 1千米100000厘米，厘米千米 相遇时间总路程速度和 （小时） 答：两车小时后相遇。 培优练习 一、填空题 1．在一幅比例尺为1∶30000的地图上，甲、乙两地的直线距离大约是30厘米，则它们两地的实际直线距离大约是( )千米。 【答案】9 【分析】根据实际距离＝图上距离÷比例尺，1千米＝1000米，1米＝100厘米进行解答。 【详解】（厘米） 厘米＝9000米＝9千米。 2．在一幅图上用3cm长的线段表示实际距离150km，这幅图的比例尺是( )。 【答案】1∶5000000/ 【分析】先根据1km＝100000cm换算长度单位；再根据“比例尺＝图上距离∶实际距离”写出比例尺，利用比的基本性质化成最简整数比。 【详解】150km＝15000000cm 3∶15000000 ＝（3÷3）∶（15000000÷3） ＝1∶5000000 3．比例尺是( )的比。要在美术本上画黑板的示例图，选( )比较合适。（填比例尺1∶100、比例尺100∶1） 【答案】 图上距离与实际距离 比例尺1∶100 【分析】比例尺的定义是图上距离与实际距离的比。画黑板示例图时，黑板实际尺寸较大，而美术本较小，需要将实际尺寸缩小，因此应选择缩小的比例尺。比例尺1∶100表示图上1个单位代表实际100个单位，是缩小；比例尺100∶1表示图上100个单位代表实际1个单位，是放大，适用于微小物体。 【详解】根据分析： 比例尺是图上距离与实际距离的比。 要在美术本上画黑板的示例图，由于黑板实际较大，需要缩小画在纸上，所以选比例尺1∶100比较合适。 4．一幅地图的比例尺是：，改成数字比例尺是( )。临海到杭州的实际距离是220千米，在这幅地图上的距离是( )厘米。 【答案】 1∶4000000/ 5.5// 【分析】（1）线段比例尺表示图上1厘米代表实际距离40千米。先根据1千米＝100000厘米，将千米换算成厘米，再根据比例尺＝图上距离∶实际距离，写出数字比例尺； （2）先将实际距离换算成厘米，再根据图上距离＝实际距离×比例尺，求出图上距离。 【详解】（1）40千米＝4000000厘米 比例尺＝图上距离∶实际距离 ＝1∶4000000 （2）220千米＝22000000厘米 22000000×＝5.5（厘米） 5．“天下大事必作于细”，工匠精神是中国制造砥砺前行的精神源泉。某精密零件长2.5mm，宽0.8mm，为保证精准，画在图纸上长5cm。这幅图纸的比例尺为( )。 【答案】 【分析】比例尺＝图上距离：实际距离；1cm＝10mm，注意统一单位。 【详解】 6．一个等腰三角形的底边长是10cm，底角是50°，把它按5∶1缩小后，底边长( )cm，底角是( )°。 【答案】 2 50 【分析】图形的放大和缩小是生活中常见的现象，把一个图形放大或缩小后所得到的图形与原图形相比，形状相同，大小不同，即等腰三角形的底边长是10cm，底角是50°，把它按5∶1缩小后，底边长变为原来的，底角不变。据此解答。 【详解】10÷5＝2（厘米） 把它按5∶1缩小后，底边长2cm，底角是50°。 7．把一张照片按5∶1的比例尺放大，放大后的照片各边的长度是原照片对应边长度的( )倍，放大后的照片的面积是原照片面积的( )倍。 【答案】 5 25 【分析】比例尺5∶1是放大比例尺，含义是放大后长度∶原长度＝5∶1，用放大后照片的边长除以原对应边长得到边长放大的倍数。面积是边长的乘积，边长扩大为原来的倍，面积就扩大为原来的倍。 【详解】 放大后的照片各边的长度是原照片对应边长度的5倍，放大后的照片的面积是原照片面积的25倍。 8．如图中，三角形A按( )∶( )放大后得到三角形B，它的周长扩大到原来的( )倍，面积扩大到原来的( )倍。 【答案】 2 1 2 4 【分析】根据图形放大与缩小的意义，图形放大与缩小是指对应边放大与缩小，分别数出放大前后三角形的两条直角边所占的格数即可得到放大的比例； 图形放大时，放大几倍，它的周长就扩大到原来的几倍； 根据三角形的面积计算公式：底×高÷2，分别求出放大前后三角形的面积，再用放大后的面积除以放大前三角形的面积即可。 【详解】三角形A的两条直角边分别为3格和4格，放大后的三角形B的两边直角边分别为6格和8格； 6÷3＝2 8÷4＝2 因此，三角形A按2∶1放大后得到三角形B； 因为三角形A放大2倍得到三角形B，所以周长扩大到原来的2倍； 三角形A的面积：3×4÷2 ＝12÷2 ＝6 三角形B的面积：6×8÷2 ＝48÷2 ＝24 24÷6＝4 所以，面积扩大到原来的4倍。 二、判断题 9．一幅零件图纸的比例尺是20∶1，图纸上的尺寸比零件实际尺寸小。( ) 【答案】 × 【分析】根据比例尺的意义，比例尺图上距离实际距离。比例尺表示图上距离是实际距离的倍，属于放大比例尺，即可判断图上尺寸和实际尺寸的大小关系。 【详解】由题意可知，比例尺为，表示图上距离实际距离。 因为，所以图上距离实际距离。 即图纸上的尺寸比零件实际尺寸大。 故答案为：× 10．如图 线段比例尺，表示图上距离和实际距离的比是1∶40。( ) 【答案】× 【分析】根据比例尺的意义：比例尺＝图上距离∶实际距离；求图上距离和实际距离的比；实际就是把线段比例尺改写成数字比例尺，据此解答。 【详解】40千米＝4000000厘米 比例尺：1∶4000000 如图 线段比例尺，表示图上距离和实际距离的比是1∶4000000。 原题干说法错误。 故答案为：× 【点睛】本题考查比例尺的意义，注意线段比例尺和数值比例尺的转换，单位名数的统一。 11．同一建筑物分别画在比例尺是1∶2000和1∶1000的图纸上，选用1∶2000的比例尺画出来的平面图要大一些。( ) 【答案】× 【分析】根据比例尺的意义，比例尺＝图上距离∶实际距离。在实际距离相同的情况下，比例尺越大，图上距离越大，画出的图形就越大。通过比较两个比例尺分数值的大小，即可判断平面图的大小。 【详解】 所以选用 1∶1000 的比例尺画出来的平面图要大一些，选用 1∶2000 的比例尺画出来的平面图要小一些。原题说法错误。 故答案为：× 12．把一个图形先按2∶1的比放大，再把放大后的图形按1∶3的比缩小，最后得到的图形与原图形相比，缩小了。( ) 【答案】√ 【分析】根据图形放大与缩小的意义，按的比放大，就是把图形的各边长扩大到原来的倍；按的比缩小，就是把图形的各边长缩小为原来的。可以通过假设原图形边长为单位“1”，计算变化后的边长与原边长进行比较，若结果小于则说明缩小了。 【详解】设原图形的一条边长为。 先按的比放大，边长变为： 再把放大后的图形按的比缩小，边长变为： 因为，所以最后得到的图形与原图形相比，缩小了。 故答案为：√ 13．将一个长方体的长、宽、高按放大，放大后与放大前长方体体积比为。( ) 【答案】× 【分析】长方体体积长宽高，按 放大是指长、宽、高都扩大到原来的 倍。根据积的变化规律，三个因数都扩大到原来的 倍，积应扩大到原来的 倍，体积比应为 。 【详解】设原来长方体的长、宽、高分别为 、、。 原来的体积为： 按 放大后，长、宽、高分别扩大到原来的倍，即 、、。 放大后的体积为： 放大后与放大前长方体体积比为：，所以原题干中说法错误。 故答案为：× 三、选择题 14．在比例尺是的地图上，量得甲、乙两地距离是3cm，实际距离是（    ）。 A．15km B．150km C．1500km D．15000km 【答案】B 【分析】已知比例尺和图上距离，求实际距离。根据关系式“实际距离 ＝ 图上距离÷比例尺”列式计算，计算出结果后进行单位换算，，将厘米换算成千米。 【详解】（cm） 在比例尺是的地图上，量得甲、乙两地距离是3cm，实际距离是150km。 15．5月19日，正在河南考察的习近平总书记来到洛阳龙门石窟，察看石窟整体布局风貌和代表性窟龛、造像，同现场的文物保护工作者亲切交流。洛阳市某小学开展以“保护历史文化遗产”为主题的绘画竞赛，获得第一名的绘画作品长45cm，宽20cm。校方要将第一名作品的照片按的比放大进行展示，则放大后的长和宽分别是。（    ） A．450cm和200cm B．4.5m和2m C．9m和4m D．900m和400m 【答案】C 【分析】已知原绘画作品的长和宽，以及放大比例为，即放大后的尺寸是原尺寸的倍。先根据乘法计算出放大后的长和宽（单位为），再将单位换算为，最后与选项进行对比。需注意单位换算进率，以及表述应为“扩大到原来的几倍”。 【详解】放大后的长：（） 放大后的宽：（） 所以放大后的长和宽分别是和。 16．“图形的放大和缩小”要求图形的形状相同，但大小不同。下面符合“图形的放大和缩小”要求的两个三角形是（    ）。 A．①和② B．①和③ C．②和④ D．③和④ 【答案】C 【分析】图形放大与缩小要求图形的形状相同，大小不同，也就是对应边要成比例。逐项进行分析。 【详解】A．①和②形状不同，所以选项错误。 B．①和③对应边的比值：5.2∶3≈1.7，5.6∶3.1≈1.8。对应边不成比例，所以选项错误。 C．②和④对应边的比值：5.2∶2.6＝2，5.6∶2.8＝2。对应边成比例，形状相同，所以选项正确。 D．③和④对应边的比值：3∶2.6≈1.15，3.1∶2.8≈1.11。对应边不成比例，所以选项错误。 17．一幢教学楼的底面长60m，画在图纸上它的长是20cm，这幅图的比例尺是（    ）。 A．1∶30 B．1∶300 C．1∶3000 D．1∶30000 【答案】B 【分析】根据比例尺的意义：比例尺图上距离∶实际距离。在计算比例尺时，首先要统一单位，1m＝100cm，先将实际距离换算成厘米，再写出比，并化简为最简整数比。 【详解】60×100＝6000（cm） 20∶6000 ＝（20÷20）∶（6000÷20） ＝1∶300 18．学校操场长50米，宽30米，要把它按一定的比例画在作业本上，下面的比例中适宜的是（    ）。 A．1∶10 B．1∶100 C．1∶1000 D．1∶10000 【答案】C 【分析】根据题意，1米＝100厘米，先将实际距离的单位换算成厘米，根据图上距离＝实际距离×比例尺。然后分别计算出四个选项对应的图上距离，结合生活实际中作业本的大小，判断哪个比例尺画出的图形大小适宜。 【详解】50米＝5000厘米，30米＝3000厘米。 A．长为5000×＝500（厘米），宽为 （厘米），图上距离过大，不适宜画在作业本上，此选项错误。 B．长为5000×＝50（厘米），宽为3000× （厘米），图上距离过大，不适宜画在作业本上，此选项错误。 C．长为 （厘米），宽为 （厘米），图上距离大小适宜，可以画在作业本上，此选项正确。 D．长为 （厘米），宽为 （厘米），图上距离过小，不适宜画在作业本上，此选项错误。 19．赵阿姨想将一幅画按4∶1放大挂在客厅里，放大后面积与放大前面积比是（    ）。 A．4∶1 B．8∶1 C．16∶1 D．20∶1 【答案】C 【分析】图形按4：1放大时，对应边的长度扩大到原来的4倍；图形面积的比等于对应边长平方的比，据此计算放大后与放大前的面积比。 【详解】按4∶1放大，放大后面积与放大前面积的比为42∶1＝16∶1。 20．在六年级毕业活动中，拍下了珍贵的一幕。洗出的6寸照片长15.2厘米、宽10.2厘米，小明觉得尺寸有点小，便让摄像师按2∶1重新洗印，放大后照片面积是（    ）平方厘米。 A．155.04 B．310.08 C．620.16 D．1240.32 【答案】C 【分析】比例尺即放大后的图形对应边长是原图形对应边长的倍。先根据放大比例求出放大后的长和宽，再利用长方形面积公式计算出放大后的面积，最后与选项进行比对。 【详解】照片按重新洗印，即放大后的长和宽都扩大到原来的倍。 放大后的长：（厘米） 放大后的宽：（厘米） 放大后的面积：（平方厘米） 21．把一个三角形按1∶3的比放大后，“面积”“边的长度”“角的度数”“对应边长的比值”保持不变的有（    ）个。 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】图形按一定比例放大时，边的长度会按照该比例变化，角的度数不变，面积会按照比例的平方变化，而对应边长的比值是固定的。分析题目里提到的四个量在三角形按1∶3的比放大后的变化情况，从而确定保持不变的量的个数，据此解答。 【详解】（3a×3h÷2）÷（ah÷2） ＝ah÷ah ＝9 把一个三角形按1∶3的比放大，所有边的长度都变为原来的3倍。三角形面积公式：S＝ah÷2，放大后底和高都变为原来的3倍，面积变为原来的9倍，所以面积发生变化。 把一个三角形按1∶3的比放大，意味着每条边的长度都变为原来的3倍。例如，原三角形的一条边长度为a，放大后这条边的长度就变为3a，所以边的长度发生了变化。 把一个三角形按1∶3的比放大，所有内角的度数都保持不变。 设原三角形中的某两条边的长度为a和b，这两条边的比值为a∶b。三角形按1∶3的比放大，放大后这两条边的长度为3a和3b，新的比值为3a∶3b＝a∶b，与原比值相等，所以对应边长的比值不变。 因此，保持不变的有2个。 四、作图题 22． (1)将三角形绕A点逆时针旋转90°。 (2)将原三角形按的比画出三角形放大后的图形。 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据旋转的特征，这个图形绕点A逆时针旋转90°后，点A位置不动，其余各部分均绕A点逆时针旋转90°，依次连接各旋转后的点画出旋转后的图形即可； （2）按2∶1放大表示所有边长扩大为原来的2倍：原直角边AC长3格，放大后长3×2＝6格；原直角边AB长2格，放大后长2×2＝4格；以A为直角顶点，水平向右画6格得放大后的C点，竖直向下画4格得放大后的B点，连接三个端点，就得到放大后的三角形。 【详解】（1）略 （2）略 23．宁波至慈溪市城际铁路正在加速建设，此线起于江北孔浦站，止于慈溪高铁站，共设13个车站。孔浦站在慈溪高铁站东偏南方向45km处，请在下图中标出孔浦站的位置。 【答案】 【分析】先统一单位，根据1千米＝100000厘米，可得45千米＝4500000厘米； 已知图上的比例尺为1∶900000，根据图上距离＝实际距离×比例尺，利用乘法计算出图上的距离，4500000×＝5（厘米）； 以慈溪高铁站为观测基点，正东为基准向南偏转30°，沿着这个30°的方向，从慈溪高铁站出发画一条长5厘米的线段，线段的终点就是孔浦站的位置。 【详解】略 五、解答题 24．武冈机场的飞行等级按4C标准设计，能够满足年旅客吞吐量25万人次和货邮吞吐量500吨的需求。机场主跑道长度为2800米，在设计图纸上量得的图上距离是7厘米，这幅图的比例尺是多少？如果设计规划在1∶50000的图纸上，跑道长应画多少厘米？ 【答案】1∶40000；5.6厘米 【分析】根据比例尺＝图上距离∶实际距离，统一单位，代入数据计算即可求出比例尺；先把2800米化成280000厘米，再根据图上距离＝实际距离×比例尺，代入数据解答即可。 【详解】7厘米∶2800米 ＝7厘米∶280000厘米 ＝7∶280000 ＝1∶40000 2800米＝280000厘米 280000×＝5.6（厘米） 答：在设计图纸上量得的图上距离是7厘米，这幅图的比例尺是1∶40000，如果设计规划在1∶50000的图纸上，跑道长应画5.6厘米。 25．哪吒绘制陈塘关地图。 陈塘关实际南北长2.4千米，东西宽1.8千米。哪吒用比例尺 1∶60000 绘制地图。 (1)地图上陈塘关的长和宽各是多少厘米？ (2)地图上关隘位置到李靖府的图上距离为3厘米，实际距离是多少米？ (3)若哪吒想让地图上东西宽变为9厘米，需改用什么比例尺？新地图的面积是原地图的几倍？ 【答案】(1) 长是厘米，宽是厘米 (2)1800米 (3)1∶20000；9倍 【分析】图上距离、实际距离与比例尺之间的关系：，，。 （1）需先将实际距离的单位千米换算为厘米，再乘比例尺求图上距离。 （2）已知图上距离和比例尺，用图上距离除以比例尺求实际距离，注意结果单位换算为米。 （3）根据新的图上宽和实际宽求新比例尺；根据新旧地图对应边长的倍数关系，利用面积比等于边长比的平方求面积倍数关系，或分别计算面积后求比值。 【详解】（1）千米厘米 厘米 千米厘米 厘米 答：地图上陈塘关的长是厘米，宽是厘米。 （2）厘米 厘米米 答：实际距离是米。 （3）千米厘米 原地图宽厘米，新地图宽厘米， 边长扩大到原来的： 面积扩大到原来的： 答：需改用比例尺，新地图的面积是原地图的倍。 26．在比例尺为1∶3000000的地图上，量得甲、乙两地之间的高速公路全长6cm。这段高速公路最高限速是120km/h，王叔叔开小汽车在这段公路上行驶的平均速度是90km/h。王叔叔从甲地到乙地要用多少小时？ 【答案】 2 小时 【分析】根据比例尺的定义，实际距离等于图上距离除以比例尺。首先利用图上距离和比例尺求出甲、乙两地的实际距离，并将单位从厘米换算为千米。 然后根据行程问题中的数量关系“时间＝路程÷速度”，利用实际距离和王叔叔的平均速度求出行驶时间。题中给出的最高限速计算时无需使用。 【详解】 （厘米） 厘米千米 （小时） 答：王叔叔从甲地到乙地要用2小时。 27．在比例尺为1∶20000000的地图上，量得甲、乙两地相距3.6cm。一辆客车和一辆货车同时分别从甲、乙两地相对开出，客车每小时行驶80km，货车每小时行驶70km。经过多长时间两车相遇？ 【答案】 小时 【分析】根据比例尺的意义，利用关系式“实际距离图上距离比例尺”求出甲、乙两地的实际距离，并将单位换算成千米；再根据相遇问题的数量关系“相遇时间总路程速度和”列式计算即可。 【详解】 （厘米） 厘米千米 （小时） 答：经过小时两车相遇。 28．古代绘制地图时有以“一分为十里，一寸为百里”为标准的。如果设定一分＝cm，十里＝5000m，换算成现在的比例尺是多少？ 【答案】1∶1500000 【分析】比例尺是指图上距离与实际距离的比。根据题意，“一分为十里”表示图上距离1分对应实际距离10里。题目已知1分等于厘米，10里等于5000米。计算时，首先需要将实际距离的单位换算成与图上距离相同的单位（厘米），1m＝100cm，然后依据比例尺公式写出比，最后化简为前项是1的最简整数比。 【详解】实际距离换算：5000×100＝500000（cm） 根据比例尺公式： 比例尺图上距离∶实际距离 答：换算成现在的比例尺是1∶1500000。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $