第五单元 圆 （单元举一反三讲义）六年级上册数学苏教版（新教材）

该小学数学“圆”单元复习讲义通过知识框架图系统梳理了圆的认识、周长、面积三大核心知识点，将圆心半径关系、圆周率应用、面积推导等要点按“概念-公式-应用”逻辑分层呈现，突出半圆周长计算、圆环面积等重难点的内在联系。 讲义亮点在于“例题-跟踪-培优”三级练习体系，如结合独轮车滚动距离、环形小路面积等实际问题，培养数学眼光和应用意识。通过对比半圆与圆周长差异、半径变化对面积影响等题型，发展推理思维，分层练习满足不同学生需求，助力教师精准教学。

第五单元 圆 单元举一反三讲义 【知识点精讲+例题讲解+跟踪训练+培优练习】 知识点精讲 知识点1：圆的认识与基本特征 1. 圆的定义：圆是由一条光滑曲线围成的封闭平面图形，没有顶点和边，区别于长方形、正方形等直线图形。 2. 各部分名称及作用 圆心（O）：圆中心的点，决定圆的位置； 半径（r）：连接圆心和圆上任意一点的线段，决定圆的大小，圆规两脚间距就是半径； 直径（d）：通过圆心且两端都在圆上的线段，是圆内最长的线段。 3. 半径与直径关系（同圆或等圆中）：直径=半径×2，半径=直径÷2，字母公式：、。 4. 圆的对称性：圆是轴对称图形，直径所在的直线是圆的对称轴，圆有无数条对称轴；半圆只有1条对称轴。 5. 基础规律：同圆或等圆中，有无数条半径、无数条直径，所有半径相等，所有直径相等。 知识点2：圆的周长（单元重难点） 1. 周长定义：围成圆的曲线的长度，叫做圆的周长，用字母C表示。 2. 圆周率（π）：圆的周长总是直径的固定倍数，这个固定数叫做圆周率，是无限不循环小数，日常计算取近似值π≈3.14。 3. 周长核心公式 已知直径： 已知半径： 4. 高频易错：半圆周长 圆周长的一半：（仅曲线长度）； 半圆周长：（曲线+一条直径，必须加直径长度，考试必考易错点）。 5. 公式逆用：，。 知识点3：圆的面积、圆环面积与综合应用 1. 圆的面积推导：把圆平均分成若干份，拼接成近似长方形，长方形的长是圆周长的一半（），宽是圆的半径（r），由长方形面积推导出圆的面积公式。 2. 圆的面积公式：（注意：是半径的平方，不是半径×2）。 3. 圆环面积公式：圆环是两个同心圆的面积差，（R为外圆半径，r为内圆半径）。 4. 常见规律：半径扩大n倍，直径、周长扩大n倍，面积扩大n²倍。 5. 实际应用场景：车轮滚动、圆形花坛、圆桌、光盘、环形跑道、镂空图形面积计算等。 例题讲解+跟踪训练 【例题讲解】 计算下图中涂色部分的面积。 【答案】7.74cm2 【分析】观察图形可知，涂色部分的面积是一个边长为6cm的正方形的面积减去一个直径为6cm的圆的面积。根据正方形的面积公式＝边长×边长，圆的面积公式＝πr2，代入数据计算即可。 【详解】6×6－3.14×（6÷2）2 ＝36－3.14×32 ＝36－3.14×9 ＝36－28.26 ＝7.74（cm2） 【跟踪训练】 求阴影部分的面积。 【答案】12.56cm2；6.28cm2 【分析】（1）两个扇形圆心角的和＝180°－90°＝90°，且两个扇形的半径都是4cm，所以阴影部分的面积等于半径是4cm的圆面积的，再根据圆的面积计算公式进行计算即可； （2）阴影部分面积等于直径是4cm的圆的面积的一半，圆的面积＝πr，据此计算即可。 【详解】（1）3.14×4× ＝3.14×16× ＝12.56（cm2） （2）3.14×（4÷2）÷2 ＝3.14×2÷2 ＝3.14×4÷2 ＝12.56÷2 ＝6.28（cm2） 【例题讲解】 在下面的长方形中画一个最大的圆，再画出这个组合图形的1条对称轴。（保留作图痕迹） 【答案】见详解 【分析】在长方形中画一个最大的圆，那么圆的直径等于长方形的宽。连接长方形的两条对角线，以交点为圆心，以长方形宽的一半为半径画出这个最大的圆，再画出这个组合图形的1条对称轴。 一个图形沿一条直线对折后，折痕两旁的部分能够完全重合，这样的图形就是轴对称图形，这条直线就是对称轴。 【详解】如图： （对称轴画法不唯一） 【跟踪训练】 下图是一个长方形，长是宽的2倍。 （1）请在长方形内画两个尽量大的圆，使它构成一个轴对称图形。 （2）画出它的所有对称轴。 【答案】见详解 【分析】（1）已知长方形的长是宽的2倍，在长方形内画两个尽量大的圆，则两个最大的圆的直径均为长方形的宽。据此并列画出两个最大的圆。 （2）长方形有2条对称轴，圆有无数条对称轴，所以长方形内接两个最大的圆的对称轴与长方形的对称轴一致，有2条。 【详解】如图： 【例题讲解】 杂技演员表演“独轮车走钢丝”，车轮的直径是40厘米。 (1)车轮滚动一周的距离是多少厘米？ (2)如果给车轮加一个宽5厘米的轮胎保护圈（相当于半径增加5厘米），那么保护圈外沿滚动一周的距离比原来增加了多少厘米？ 【答案】(1)125.6厘米 (2)31.4厘米 【分析】（1）车轮滚动一周的距离就是车轮的周长，根据圆的周长公式C＝πd，π取3.14，代入数值即可。 （2）先用直径除以2求出原来车轮的半径，再用半径加5求出增加保护圈后的新半径，根据C＝2πr求出新周长，用新周长减去原周长即可求出增加的距离。 【详解】（1）3.14×40＝125.6（厘米） 答：车轮滚动一周的距离是125.6厘米。 （2）原半径：40÷2＝20（厘米） 新半径：20＋5＝25（厘米） 新周长：2×3.14×25 ＝6.28×25 ＝157（厘米） 增加的距离：157－125.6＝31.4（厘米） 答：保护圈外沿滚动一周的距离比原来增加了31.4厘米。 【跟踪训练】 一个圆形喷水池的半径是5米。现在要在喷水池周围修一条宽1米的环形石子路。 (1)修好后，石子路外边缘的圆半径是多少米？ (2)石子路外边缘的周长比喷水池的周长增加了多少米？（结果用含π的式子表示） 【答案】(1)6米 (2)2π米 【分析】（1）石子路修在喷水池周围，外边缘圆的半径等于喷水池的半径加上石子路的宽度。 （2）根据圆的周长公式，分别求出外边缘圆的周长和喷水池的周长，再相减求出增加的长度。 【详解】（1）5＋1＝6（米） 答：石子路外边缘的圆半径是6米。 （2）2×π×6＝12π（米） 2×π×5＝10π（米） 12π－10π＝2π（米） 答：石子路外边缘的周长比喷水池的周长增加了2π米。 【例题讲解】 游乐园中有一个半径6米的圆形喷水池，周围有一条2米宽的环形小路（如下图）。求这条环形小路的占地面积是多少平方米？（π取3.14） 【答案】87.92平方米 【分析】小圆半径为6米，大圆半径为小圆半径加小路的宽，小路为环形，用大圆的面积－小圆的面积，圆的面积公式：S＝πr2，可以求得小路的面积。 【详解】6＋2＝8（米） 3.14×82 ＝3.14×64 ＝200.96（平方米） 3.14×62 ＝3.14×36 ＝113.04（平方米） 200.96－113.04＝87.92（平方米） 答：这条环形小路的占地面积是87.92平方米。 【跟踪训练】 为了冬季用餐更加舒适，小明家新买了一个餐桌上的保温转盘（如下图），它的直径是10分米，为了防止使用时被烫伤，它的边上有1分米宽的区域是常温区。 (1)这个转盘加热区的面积是多少？ (2)这个转盘常温区的面积是多少？ 【答案】(1)50.24平方分米 (2)28.26平方分米 【分析】（1）已知保温转盘的直径是10分米，先根据半径＝直径除以2，求出转盘的半径。常温区在转盘边缘，宽1分米，用转盘半径减去常温区宽度，求出加热区半径。再根据圆的面积公式：S＝πr2（π取3.14），代入半径，求出加热区的面积。 （2）由图可知：常温区是转盘（外圆）和加热区（内圆）之间的环形，常温区面积＝外圆面积－内圆面积；内圆（加热区）面积已在小问1中求出；外圆（转盘）半径是5分米，代入圆的面积公式求出转盘总面积；再用转盘总面积减去加热区面积，求出常温区的面积。 【详解】（1）10÷2－1 ＝5－1 ＝4（分米） 3.14×42 ＝3.14×16 ＝50.24（平方分米） 答：这个转盘加热区的面积是50.24平方分米。 （2）3.14×52 ＝3.14×25 ＝78.5（平方分米） 78.5－50.24＝28.26（平方分米） 答：这个转盘常温区的面积是28.26平方分米。 培优练习 一、填空题 1．手工课上花花用一张长20厘米、宽16厘米的长方形卡纸，剪一个最大的圆。圆形纸片的面积是( )。 【答案】200.96平方厘米 【分析】用一张长20厘米、宽16厘米的长方形卡纸，剪一个最大的圆，剪的最大的圆的直径是16厘米，圆的面积公式：S＝πr2，代入数据计算即可。 【详解】3.14×（16÷2）2 ＝3.14×82 ＝3.14×64 ＝200.96（平方厘米） 因此，圆形纸片的面积是200.96平方厘米。 2．一个闹钟的分针长5cm，时针长3cm，分针的尖端转一圈的长度是( )cm，时针转一圈扫过的面积是( )。 【答案】 31.4 28.26 【分析】分针的尖端转一圈的长度就是以分针长度为半径的圆的周长，时针转一圈扫过的面积就是以时针长度为半径的圆的面积。根据圆的周长公式为C＝2πr，圆的面积公式为S＝πr2代入计算即可。 【详解】分针的尖端转一圈的长度： 2×3.14×5 ＝6.28×5 ＝31.4（cm） 时针转一圈扫过的面积： 3.14×32 ＝3.14×9 ＝28.26（） 3．如下图，一个圆以点A为起点，沿直线滚动半圆到点的距离是25.12厘米，这个圆的半径是( )厘米；如果这个圆从点B继续滚动一圈到点的距离是( )厘米。 【答案】 8 50.24 【分析】圆的周长公式，，。的距离是圆周长的一半，的距离是圆的周长。 【详解】圆的半径： ＝ ＝（厘米） 的距离： ＝ ＝（厘米） 4．在周长是25.12m的圆形花坛周围铺一条宽1m的小路，小路的面积是( )。 【答案】 28.26 【分析】已知圆形花坛周长，可先用求出花坛的半径即内圆半径；小路宽1米，所以外圆半径等于内圆半径加1米；小路是环形，最后根据环形面积公式，其中R为外圆半径，r为内圆半径，代入对应半径即可求出小路面积。 【详解】 小路的面积是28.26m²。 5．一个5G基站的覆盖范围近似于一个圆形，覆盖半径为0.5千米，其覆盖面的周长为( )千米，面积为( )平方千米。 【答案】 3.14 0.785 【分析】基站覆盖是圆形，半径0.5千米。先根据圆的周长公式C＝2πr，π取3.14，代入数值求出周长。再根据圆的面积公式S＝πr2，代入数值求出面积。 【详解】周长：2×3.14×0.5＝3.14（千米） 面积：3.14×0.52 ＝3.14×0.25 ＝0.785（平方千米） 6．妙妙用电脑绘制了一个组合图形（如图所示），在边长为20cm的正方形中画一个最大的半圆，请问阴影部分面积是( )cm2，周长是( )cm。 【答案】 243 91.4 【分析】已知正方形的边长为20cm，半圆在正方形内直径等于正方形的边长，根据半径等于直径的一半，可得半径为10cm。阴影部分面积等于边长为20cm的正方形面积减去直径为20cm的半圆面积。正方形面积＝边长×边长，圆的面积＝πr2，再除以2求出半圆的面积。阴影部分周长为正方形三条边的长度加上半圆的弧长。正方形边长为20cm，三条边的长度＝20×3，圆周长公式C＝πd，先求圆的周长，再除以2求出半圆弧长。 【详解】阴影部分面积： 20÷2＝10（cm） 20×20－3.14×102÷2 ＝400－3.14×100÷2 ＝400－314÷2 ＝400－157 ＝243（cm2） 阴影部分周长：20×3＋3.14×20÷2 ＝60＋62.8÷2 ＝60＋31.4 ＝91.4（cm） 7．学校有一个直径10米的圆形舞台，要给舞台包上一周的防撞条，至少需要( )米的防撞条，这个舞台的占地面积是( )平方米。 【答案】 31.4 78.5 【分析】给舞台包上一周的防撞条，求至少需要多少米的防撞条，就是求直径是10米的圆的周长，求舞台的占地面积就是求直径是10米的圆的面积，根据圆的周长＝，圆的面积＝解答即可。 【详解】3.14×10＝31.4（米） 10÷2＝5（米） 3.14× ＝3.14×25 ＝78.5（平方米） 8．从一个长6分米，宽4分米的长方形木板上锯下一个最大的半圆，这个半圆的周长是( )分米，面积是( )平方分米。 【答案】 15.42 14.13 【分析】从一个长方形木板上锯下一个最大的半圆，这个半圆的直径等于长方形的长，即圆的直径是6分米。半径是6÷2＝3分米，半圆的周长＝d÷2＋d，半圆的面积＝÷2，据此解答。 【详解】3.14×6÷2＋6 ＝18.84÷2＋6 ＝9.42＋6 ＝15.42（分米） 6÷2＝3（分米） 3.14×÷2 ＝3.14×9÷2 ＝28.26÷2 ＝14.13（平方分米） 二、判断题 9．在一个大圆里挖去一个小圆就是圆环。( ) 【答案】× 【分析】圆环是由两个同心圆组成的图形。 【详解】题干中没有说明这两个圆的圆心是否重合，如果圆心不重合，则不能称为圆环。因此题干说法错误。 故答案为：× 10．在圆、长方形和等边三角形中，圆的对称轴条数最多。( ) 【答案】√ 【分析】把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线（成轴）对称，这条直线就是它的对称轴，这个图形就是轴对称图形，据此判断各个图形对称轴的条数再比较即可解答。 【详解】圆有无数条对称轴，长方形有2条对称轴，等边三角形有3条对称轴。因为无数条大于3条和2条，所以圆的对称轴条数最多，题干说法正确。 故答案为：√ 11．圆的直径扩大到原来的3倍，面积就扩大到原来的9倍。( ) 【答案】√ 【分析】根据圆的面积S＝πr2，用举例的方法验证，算出原来圆的面积和扩大后的面积，再求出两个面积的倍数即可判断。 【详解】设圆原来的直径是4，那么扩大后的直径是12。 原来的半径：4÷2＝2 原来的面积：3.14×22＝3.14×4＝12.56 扩大后的半径：12÷2＝6 扩大后的面积：3.14×62＝3.14×36＝113.04 113.04÷12.56＝9 面积扩大到原来的9倍，原题说法正确。 故答案为：√ 12．用100厘米长的铁丝分别围成长方形、正方形和圆形，面积最大的是圆形。( ) 【答案】 √ 【分析】三种图形的周长均为100厘米，分别推导三个图形的面积。对于长方形，由周长相等的长方形，长和宽越接近，面积越大的特点，推导其面积最大值的情况；对于正方形，由周长直接算出边长，再代入正方形面积公式得到面积；对于圆形，由周长先算出半径，再代入圆的面积公式得到面积；最后将三者的面积数值进行比较，判断结论是否正确。 【详解】铁丝长度为100厘米，即三个图形的周长均为100厘米。 正方形的边长为：（厘米） 正方形的面积为：（平方厘米） 圆形的半径约为： （厘米） 圆形的面积约为： （平方厘米） 长方形的周长一定时，长和宽越接近面积越大，正方形是特殊的长方形，所以长方形的面积小于正方形的面积。 因为 ，且正方形面积大于长方形面积，所以圆形的面积最大。 故答案为：√ 13．圆有无数条对称轴，所以两个圆组成的图形也一定有无数条对称轴。( ) 【答案】× 【分析】判断两个圆组成的图形对称轴条数，关键在于两个圆的位置关系。虽然单个圆有无数条对称轴，但两个圆组合后，只有当圆心重合时才有无数条对称轴；若圆心不重合，对称轴条数会发生变化。题目中“一定”的说法过于绝对，未考虑圆心不重合的情况。 【详解】 当两个圆的圆心不重合时，如图这个图形只有一条对称轴，即经过两个圆心的直线。由于题干未说明两个圆的圆心是否重合，存在圆心不重合的可能性，此时对称轴只有一条。所以，两个圆组成的图形不一定有无数条对称轴。故原说法错误。 故答案为：× 三、选择题 14．如下图，从点A到点B有三条路，每条路都是由一个或两个半圆组成的。比较这三条路的长度，我认为（    ）。 A．线路①最短 B．线路②最短 C．线路③最短 D．三条路长度相等 【答案】D 【分析】根据圆的周长可得，半圆的弧长。设AB的长度为，则线路①的直径为。设线路②中左边半圆的直径为，右边半圆的直径为，则可得。设线路③中左边半圆的直径为，右边半圆的直径为，则可得。 【详解】线路①的长度： 线路②的长度： 线路③的长度： 综上。 即，三条线路的长度是相等的。 15．下列生活中的图形，对称轴数量最多的是（    ）。 A．正方形桌面 B．圆形餐盘 C．长方形课本 D．等边三角形路标 【答案】B 【分析】如果一条直线，能把一个图形分成完全重合的两部分，沿这条直线对折后两边能够完全重叠，这条直线就叫做这个图形的对称轴，对各选项逐一分析，再比较对称轴的条数。 【详解】A．正方形桌面看作正方形，有4条对称轴； B．圆形餐盘看作圆形，有无数条对称轴； C．长方形课本看作长方形，有2条对称轴； D．等边三角形路标看作等边三角形，有3条对称轴。 无数条＞4＞3＞2，对称轴数量最多的是圆形餐盘。 16．下图，为了美化校园环境，学校计划在一个半径是6米的圆形花坛外围修一条2米宽的环形小路，这条小路的面积是（    ）平方米。 A．4π B．28π C．36π D．64π 【答案】B 【分析】已知在半径是米的圆形花坛外围铺一条米宽的环形小路，则外圆的半径是（）米；求小路的面积，就是求圆环的面积，根据圆环的面积公式S环＝（R2r2），代入数据计算，求出小路的面积。 【详解】（米） （平方米） 所以这条小路的面积是平方米。 17．如图，长方形的长为2a，这个半圆的周长是（    ）。 A．πa B．a＋πa C．2a＋πa D．2πa 【答案】C 【分析】图中长方形的长也是半圆的直径，半圆的周长＝圆周长的一半＋直径，其中圆的周长公式C＝πd。 【详解】计算圆周长的一半：π×2a÷2＝πa 半圆的周长：2a＋πa 18．小明用假设法探究花坛周长问题，他假设花坛半径为5m，算出增加2πm；又假设半径为100m，算出增加2πm。这说明了（    ）。 A．他的计算可能出错了，应该再试一次。 B．增加的周长与花坛原来的大小无关。 C．只有当半径是5m或100m时，规律才成立。 D．半径越大，周长增加得越慢。 【答案】B 【分析】设原来圆的半径为r，根据圆的周长公式C＝2πr，分别写出原来的周长和半径增加后的周长，再用新周长减去原周长，化简算式，观察增加的周长是否受原半径影响，再辨析选项。 【详解】设花坛原来的半径为r。 原来周长：C＝2πr 半径增加后周长：C＝2π（r＋Δr） 周长增加量：2π（r＋Δr）－2πr ＝2πr＋2πΔr－2πr ＝2πΔr 式子化简后不含未知数r，说明周长增加量和原来的半径大小没有关系。 A．两次计算结果相同，计算没有错误，排除； B．增加的周长与花坛原来的大小无关，符合推导结论； C．该规律适用于所有圆，不只是这两个数值，排除； D．两次周长增加量相等，不存在增加快慢的区别，排除。 19．乐乐按照下图步骤画圆。这个圆的面积是（    ）平方厘米。 A．6.28 B．12.56 C．25.12 D．50.24 【答案】D 【分析】观察可知圆规两脚间的距离为4厘米，圆规两脚间的距离为所画圆的半径，据此代入圆的面积S＝πr2中计算即可。 【详解】3.14×42 ＝3.14×16 ＝50.24（平方厘米） 20．博物馆外宏伟的巨型钟表分针长4米。研学小组参观了45分钟，这段时间分针扫过的面积为（    ）平方米。 A．50.24 B．12.56 C．37.68 D．25.12 【答案】C 【分析】分针走一圈是60分钟，扫过的图形是一个圆。研学小组参观了45分钟，分针扫过的面积是圆面积的，即。已知分针长4米，即圆的半径为4米，利用圆的面积公式求出整圆面积，再乘即可求出分针扫过的面积。 【详解】 （平方米） 21．如图，圆沿着直尺向右滚动一周后，圆心O的位置大约在（    ）。 A．6～7之间 B．7～8之间 C．8～9之间 D．9～10之间 【答案】C 【分析】圆沿着直尺向右滚动一周后，即滚过圆的周长的长度；从图中可知，圆的直径是（3－1）厘米，根据圆的周长公式，求出圆的周长，再加上圆心O对应的起点2厘米，即可求出滚动一周后圆心O的位置，再找出与其位置相符的选项即可。 【详解】3.14×（3－1）＋2 ＝3.14×2＋2 ＝6.28＋2 ＝8.28（厘米） 8.28在8~9之间。 A．6~7之间，不符合题意； B．7~8之间，不符合题意； C．8~9之间，符合题意； D．9~10之间，不符合题意。 所以，圆心O的位置大约在8~9之间。 四、计算题 22．看图计算。 求阴影部分的面积。 【答案】 【分析】首先计算圆心角90°的扇形面积，它是整个圆面积的，用圆面积公式计算整个圆面积；再计算扇形内部的直角三角形面积，因为该三角形两条直角边均等于圆的半径，所以用直角三角形面积公式计算；最后将扇形面积减去直角三角形面积，得到阴影部分的面积。 【详解】观察图形可知，阴影部分面积＝四分之一圆的面积－等腰直角三角形的面积 四分之一圆的面积： ＝0.785×16 ＝12.56（） 等腰直角三角形的面积： ＝2×4 ＝8（） 阴影面积：） 23．计算阴影部分的面积。 【答案】12.56cm2 【分析】阴影部分的面积大半圆的面积－小圆的面积。圆的面积公式是：，大半圆的直径为厘米，先求出大半圆的半径、小半圆的半径，代入数据，求出大半圆和小圆的面积，然后求差计算。 【详解】半圆的半径为：（厘米） 小圆的半径为：（厘米） （cm2） 所以阴影部分的面积是12.56cm2。 五、作图题 24．画出下面各图形的所有对称轴。 【答案】见详解 【分析】对称轴定义：沿一条直线对折图形，折叠后两侧能完全重合，这条直线就是该图形的对称轴，两个图形的对称轴情况如下： 左图（1个大圆＋左右两个相等小圆） 一共有条对称轴： ① 经过三个圆的圆心的水平直线； ② 过中间大圆的圆心、垂直于上述水平连线的竖直直线。 右图（圆内接正方形） 一共有条对称轴： 分别是正方形对边中点连线所在的水平直线、竖直直线（都过圆心），以及正方形的两条对角线所在直线，共4条。 【详解】 25．按要求作图。 在图中，以点O为圆心，画一个半径是2厘米的圆。 【答案】 【分析】每个小方格边长表示1厘米，所以从圆心O点开始，沿水平或竖直方向数2个小方格的长度。将圆规两脚的长度取为确定好的半径长度（2格），一脚固定在圆心O点，另一脚绕圆心旋转一周画出圆。 【详解】略 六、解答题 26．街心花园有一个直径8米的圆形花圃。 (1)如果将花圃的周围围上篱笆，至少需要篱笆多少米？ (2)在花圃周围铺一条1米宽的鹅卵石小路，假如每平方米鹅卵石的单价是50元，铺完这条小路大约需要多少元？ 【答案】(1)25.12米 (2)1413元 【分析】（1）求篱笆的长，即为求圆的周长。根据C＝πd计算。 （2）根据圆环的面积＝外圆的面积－内圆的面积，圆的面积＝πr2，内圆的半径为8÷2，外圆的半径比内圆的半径多1米，计算鹅卵石小路的面积，小路的面积×50即为铺路花的钱。 【详解】（1）3.14×8＝25.12（米） 答：至少需要篱笆25.12米。 （2）8÷2＝4（米） 4＋1＝5（米） 3.14×52－3.14×42 ＝3.14×25－3.14×16 ＝3.14×（25－16） ＝3.14×9 ＝28.26（平方米） 28.26×50＝1413（元） 答：铺完这条小路大约需要1413元。 27．如图是一把半圆形真丝折扇。做这样的一把折扇扇面至少需要真丝面料（涂色部分）多少平方分米？ 【答案】12.56平方分米 【分析】求半圆环的面积，涂色部分是半径为3分米的大半圆减去半径为3－2＝1分米的小半圆的部分，利用半圆面积公式S＝πr2，π取3.14，用大半圆面积减去小半圆面积，即可求出需要的真丝面料面积。 【详解】3－2＝1（分米） ×3.14×32－×3.14×12 ＝×3.14×9－×3.14×1 ＝×3.14×（9－1） ＝×3.14×8 ＝12.56（平方分米） 答：做这样的一把折扇扇面至少需要真丝面料（涂色部分）12.56平方分米。 28．公园有一个圆形花坛，沿着花坛走一圈是62.8米。现在要在花坛周围铺一条宽1米的环形石子路，这条石子路的面积是多少平方米？ 【答案】65.94平方米 【分析】根据圆的周长公式，可推出r＝C÷π÷2，用内圆半径加上路宽得到外圆半径，用圆环面积公式，即可求出石子路的面积。 【详解】 （米） （米） （平方米） 答：这条石子路的面积是65.94平方米。 29．学校开展庆“六一”游园活动需制作一些宣传标志，用一块长3米、宽0.8米的长方形纸板，做一种直径为4分米的圆形标志。 (1)最多能从长方形纸板中裁剪出多少个圆形标志？ (2)剩下的纸板还有多少平方分米？ 【答案】(1)14个 (2)64.16平方分米 【分析】首先需统一长度单位，将米换算成分米，以便与圆形直径单位一致； （1）计算圆形标志的数量时，不能直接用长方形面积除以圆的面积，因为圆形之间会有空隙，需要分别计算长方形的长和宽各能容纳多少个圆的直径，取整数部分相乘； （2）计算剩余面积时，用长方形纸板的总面积减去所有圆形标志的面积之和即可求解。 【详解】（1）3米＝30分米 0.8米＝8分米 30÷4＝7（个）……2（分米） 8÷4＝2（个） 7×2＝14（个） 答：最多能从长方形纸板中裁剪出14个圆形标志。 （2）30×8＝240（平方分米） 4÷2＝2（分米） ＝ ＝ ＝（平方分米） （平方分米） 答：剩下的纸板还有64.16平方分米。 30．运河湾公园，有一个圆形的露天广场，半径是9米，在它的周围建成一条1米宽的环形石子小路。若沿着环形石子小路的外边缘每隔0.4米装一盏地灯，一共要装多少盏地灯？ 【答案】 157盏 【分析】地灯安装的位置是环形小路的外边缘，广场半径加上小路宽度即为外圆的半径；然后根据圆的周长公式求出外边缘的总长度；封闭线路，灯的盏数等于间隔数，用总周长除以间隔距离即可求出地灯的数量。 【详解】 （盏） 答：一共要装157盏地灯。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五单元 圆 单元举一反三讲义 【知识点精讲+例题讲解+跟踪训练+培优练习】 知识点精讲 知识点1：圆的认识与基本特征 1. 圆的定义：圆是由一条光滑曲线围成的封闭平面图形，没有顶点和边，区别于长方形、正方形等直线图形。 2. 各部分名称及作用 圆心（O）：圆中心的点，决定圆的位置； 半径（r）：连接圆心和圆上任意一点的线段，决定圆的大小，圆规两脚间距就是半径； 直径（d）：通过圆心且两端都在圆上的线段，是圆内最长的线段。 3. 半径与直径关系（同圆或等圆中）：直径=半径×2，半径=直径÷2，字母公式：、。 4. 圆的对称性：圆是轴对称图形，直径所在的直线是圆的对称轴，圆有无数条对称轴；半圆只有1条对称轴。 5. 基础规律：同圆或等圆中，有无数条半径、无数条直径，所有半径相等，所有直径相等。 知识点2：圆的周长（单元重难点） 1. 周长定义：围成圆的曲线的长度，叫做圆的周长，用字母C表示。 2. 圆周率（π）：圆的周长总是直径的固定倍数，这个固定数叫做圆周率，是无限不循环小数，日常计算取近似值π≈3.14。 3. 周长核心公式 已知直径： 已知半径： 4. 高频易错：半圆周长 圆周长的一半：（仅曲线长度）； 半圆周长：（曲线+一条直径，必须加直径长度，考试必考易错点）。 5. 公式逆用：，。 知识点3：圆的面积、圆环面积与综合应用 1. 圆的面积推导：把圆平均分成若干份，拼接成近似长方形，长方形的长是圆周长的一半（），宽是圆的半径（r），由长方形面积推导出圆的面积公式。 2. 圆的面积公式：（注意：是半径的平方，不是半径×2）。 3. 圆环面积公式：圆环是两个同心圆的面积差，（R为外圆半径，r为内圆半径）。 4. 常见规律：半径扩大n倍，直径、周长扩大n倍，面积扩大n²倍。 5. 实际应用场景：车轮滚动、圆形花坛、圆桌、光盘、环形跑道、镂空图形面积计算等。 例题讲解+跟踪训练 【例题讲解】 计算下图中涂色部分的面积。 【跟踪训练】 求阴影部分的面积。 【例题讲解】 在下面的长方形中画一个最大的圆，再画出这个组合图形的1条对称轴。（保留作图痕迹） 【跟踪训练】 下图是一个长方形，长是宽的2倍。 （1）请在长方形内画两个尽量大的圆，使它构成一个轴对称图形。 （2）画出它的所有对称轴。 【例题讲解】 杂技演员表演“独轮车走钢丝”，车轮的直径是40厘米。 (1)车轮滚动一周的距离是多少厘米？ (2)如果给车轮加一个宽5厘米的轮胎保护圈（相当于半径增加5厘米），那么保护圈外沿滚动一周的距离比原来增加了多少厘米？ 【跟踪训练】 一个圆形喷水池的半径是5米。现在要在喷水池周围修一条宽1米的环形石子路。 (1)修好后，石子路外边缘的圆半径是多少米？ (2)石子路外边缘的周长比喷水池的周长增加了多少米？（结果用含π的式子表示） 【例题讲解】 游乐园中有一个半径6米的圆形喷水池，周围有一条2米宽的环形小路（如下图）。求这条环形小路的占地面积是多少平方米？（π取3.14） 【跟踪训练】 为了冬季用餐更加舒适，小明家新买了一个餐桌上的保温转盘（如下图），它的直径是10分米，为了防止使用时被烫伤，它的边上有1分米宽的区域是常温区。 (1)这个转盘加热区的面积是多少？ (2)这个转盘常温区的面积是多少？ 培优练习 一、填空题 1．手工课上花花用一张长20厘米、宽16厘米的长方形卡纸，剪一个最大的圆。圆形纸片的面积是( )。 2．一个闹钟的分针长5cm，时针长3cm，分针的尖端转一圈的长度是( )cm，时针转一圈扫过的面积是( )。 3．如下图，一个圆以点A为起点，沿直线滚动半圆到点的距离是25.12厘米，这个圆的半径是( )厘米；如果这个圆从点B继续滚动一圈到点的距离是( )厘米。 4．在周长是25.12m的圆形花坛周围铺一条宽1m的小路，小路的面积是( )。 5．一个5G基站的覆盖范围近似于一个圆形，覆盖半径为0.5千米，其覆盖面的周长为( )千米，面积为( )平方千米。 6．妙妙用电脑绘制了一个组合图形（如图所示），在边长为20cm的正方形中画一个最大的半圆，请问阴影部分面积是( )cm2，周长是( )cm。 7．学校有一个直径10米的圆形舞台，要给舞台包上一周的防撞条，至少需要( )米的防撞条，这个舞台的占地面积是( )平方米。 8．从一个长6分米，宽4分米的长方形木板上锯下一个最大的半圆，这个半圆的周长是( )分米，面积是( )平方分米。 二、判断题 9．在一个大圆里挖去一个小圆就是圆环。( ) 10．在圆、长方形和等边三角形中，圆的对称轴条数最多。( ) 11．圆的直径扩大到原来的3倍，面积就扩大到原来的9倍。( ) 12．用100厘米长的铁丝分别围成长方形、正方形和圆形，面积最大的是圆形。( ) 13．圆有无数条对称轴，所以两个圆组成的图形也一定有无数条对称轴。( ) 三、选择题 14．如下图，从点A到点B有三条路，每条路都是由一个或两个半圆组成的。比较这三条路的长度，我认为（    ）。 A．线路①最短 B．线路②最短 C．线路③最短 D．三条路长度相等 15．下列生活中的图形，对称轴数量最多的是（    ）。 A．正方形桌面 B．圆形餐盘 C．长方形课本 D．等边三角形路标 16．下图，为了美化校园环境，学校计划在一个半径是6米的圆形花坛外围修一条2米宽的环形小路，这条小路的面积是（    ）平方米。 A．4π B．28π C．36π D．64π 17．如图，长方形的长为2a，这个半圆的周长是（    ）。 A．πa B．a＋πa C．2a＋πa D．2πa 18．小明用假设法探究花坛周长问题，他假设花坛半径为5m，算出增加2πm；又假设半径为100m，算出增加2πm。这说明了（    ）。 A．他的计算可能出错了，应该再试一次。 B．增加的周长与花坛原来的大小无关。 C．只有当半径是5m或100m时，规律才成立。 D．半径越大，周长增加得越慢。 19．乐乐按照下图步骤画圆。这个圆的面积是（    ）平方厘米。 A．6.28 B．12.56 C．25.12 D．50.24 20．博物馆外宏伟的巨型钟表分针长4米。研学小组参观了45分钟，这段时间分针扫过的面积为（    ）平方米。 A．50.24 B．12.56 C．37.68 D．25.12 21．如图，圆沿着直尺向右滚动一周后，圆心O的位置大约在（    ）。 A．6～7之间 B．7～8之间 C．8～9之间 D．9～10之间 四、计算题 22．看图计算。 求阴影部分的面积。 23．计算阴影部分的面积。 五、作图题 24．画出下面各图形的所有对称轴。 25．按要求作图。 在图中，以点O为圆心，画一个半径是2厘米的圆。 六、解答题 26．街心花园有一个直径8米的圆形花圃。 (1)如果将花圃的周围围上篱笆，至少需要篱笆多少米？ (2)在花圃周围铺一条1米宽的鹅卵石小路，假如每平方米鹅卵石的单价是50元，铺完这条小路大约需要多少元？ 27．如图是一把半圆形真丝折扇。做这样的一把折扇扇面至少需要真丝面料（涂色部分）多少平方分米？ 28．公园有一个圆形花坛，沿着花坛走一圈是62.8米。现在要在花坛周围铺一条宽1米的环形石子路，这条石子路的面积是多少平方米？ 29．学校开展庆“六一”游园活动需制作一些宣传标志，用一块长3米、宽0.8米的长方形纸板，做一种直径为4分米的圆形标志。 (1)最多能从长方形纸板中裁剪出多少个圆形标志？ (2)剩下的纸板还有多少平方分米？ 30．运河湾公园，有一个圆形的露天广场，半径是9米，在它的周围建成一条1米宽的环形石子小路。若沿着环形石子小路的外边缘每隔0.4米装一盏地灯，一共要装多少盏地灯？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $