第四单元 比和比例（单元举一反三讲义）六年级上册数学苏教版（新教材）

该小学数学第四单元“比和比例”讲义通过分点梳理与对比分析构建知识体系，涵盖比的意义、基本性质、比例应用三大核心知识点，用对应关系表呈现比与除法、分数的联系，通过方法分类突出化简比（整数比、小数比、分数比）等重难点，形成清晰知识脉络。 讲义亮点在于分层练习设计，从基础例题（如化简4.2∶3/5）到跟踪训练再到培优题（如圆的周长面积比、连比计算），结合生活情境（蜂蜜水配比、酸梅汤调制）引导学生用数学眼光观察现实，通过归一法与分数法培养数学思维，助力不同层次学生提升，为教师精准教学和学生自主复习提供有力支持。

第四单元 比和比例 单元举一反三讲义 【知识点精讲+例题讲解+跟踪训练+培优练习】 知识点精讲 知识点1：比的意义与比值计算 1. 比的定义：两个数相除又叫做两个数的比，用来表示两个数量的倍比关系。比的后项不能为0（与除法除数、分数分母不为0原理一致）。 2. 各部分名称：在 a∶b 中，a是前项，∶是比号，b是后项；前项÷后项所得的商叫做比值。 3. 比值特点：比值是一个数，可以是整数、小数、分数，没有单位。 4. 比、除法、分数对应关系：前项对应被除数、分子；比号对应除号、分数线；后项对应除数、分母；比值对应商、分数值。 5. 易错点拨：写比时要分清前后顺序，甲比乙≠乙比甲，顺序颠倒数值完全改变。 知识点2：比的基本性质与化简比（单元重难点） 1. 比的基本性质：比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变，是化简比的唯一依据。 2. 最简整数比：比的前项和后项都是整数，且公因数只有1（前后项互质）。 3. 三类比化简方法 整数比：前后项同时除以最大公因数； 小数比：先转化为整数比，再化简； 分数比：前后项同时乘分母最小公倍数，化为整数比再化简。 4. 核心区分（高频易错）：化简比结果是一个比（带比号）；求比值结果是一个数。 知识点3：比例初步与按比分配应用题 1. 比例的含义：表示两个比相等的式子叫做比例，用来判断两组数量的倍比关系是否一致。 2. 按比分配核心题型：把一个总数量，按照一定的比分成若干份，是本单元必考应用题。 3. 两种通用解题方法 归一法：总份数=各部分份数和→每份数量=总量÷总份数→各部分数量=每份数量×对应份数； 分数法：先求出各部分占总量的几分之几，再用总量×对应分率求出各部分数量。 4. 适用场景：物品分配、溶液配比、图形边长分配、工程分工、物资分配等生活问题。 例题讲解+跟踪训练 【例题讲解】 化简下列各比并求比值。 4.2∶         ∶        20分钟∶小时       0.5吨∶300千克 【答案】12∶5；；2∶3；；1∶2；；5∶3； 【分析】比的基本性质：比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变。 如果比的前项和后项的单位不统一，先根据进率换算单位，再利用“比的基本性质”把比化简成最简单的整数比。 用比的前项除以比的后项所得的商，叫做比值。根据比值的意义，用最简比的前项除以比的后项即得比值。 【详解】4.2∶ ＝∶ ＝（×20）∶（×20） ＝84∶35 ＝（84÷7）∶（35÷7） ＝12∶5 12∶5＝12÷5＝ ∶ ＝（×16）∶（×16） ＝10∶15 ＝（10÷5）∶（15÷5） ＝2∶3 2∶3＝2÷3＝ 20分钟∶小时 ＝20分钟∶（×60）分钟 ＝20∶40 ＝（20÷20）∶（40÷20） ＝1∶2 1∶2＝1÷2＝ 0.5吨∶300千克 ＝（0.5×1000）千克∶300千克 ＝500∶300 ＝（500÷100）∶（300÷100） ＝5∶3 5∶3＝5÷3＝ 【跟踪训练】 化简下面各比并求比值。                             0.125∶0.8            48∶28 【答案】24∶7，；3∶5，；5∶32，；12∶7， 【分析】化简比根据比的基本性质，即比的前项和后项同时乘或除以一个数（0除外），比值不变；求比值用最简比的前项除以后项即可。 【详解】（1）∶ ＝（×30）∶（×30） ＝24∶7 24÷7＝ （2）0.25∶ ＝∶ ＝（×12）∶（×12） ＝3∶5 3÷5＝ （3）0.125∶0.8 ＝（0.125×1000）∶（0.8×1000） ＝125∶800 ＝（125÷25）∶（800÷25） ＝5∶32 5÷32＝ （4）48∶28 ＝（48÷4）∶（28÷4） ＝12∶7 12÷7＝ 【例题讲解】 解方程或比例。 ①        ②       ③ 【答案】①；②；③ 【分析】①根据等式的性质，先给方程的两边同时除以7，再同时加上4.5，求出方程的解； ②先根据比例的基本性质（两外项之积等于两内项之积）将比例转化成方程的形式，再根据等式的性质，给方程的两边同时除以，求出方程的解； ③先根据比例的基本性质（两外项之积等于两内项之积）将比例转化成方程的形式，再根据等式的性质，给方程的两边同时除以25，求出方程的解。 【详解】① 解： ② 解： ③ 解： 【跟踪训练】 求未知数。                       【答案】；； 【分析】，根据等式的性质1和2，两边同时－2.1，再同时÷6即可； ，根据比例的基本性质，先写成的形式，两边同时÷即可； ，根据比例的基本性质，先写成的形式，两边同时÷1.5即可。 【详解】 解： 解： 解： 【例题讲解】 六（2）班有学生48人，其中男生人数是女生人数的。六（2）班男生和女生各有多少人？ 【答案】 男生18人，女生30人 【分析】男生人数是女生人数的，可推出男生人数与女生人数的比是3∶5，共3＋5＝8份，用总人数除以8求出每份的人数，再用每份的人数分别乘3、乘5即可求出男生人数和女生人数。 【详解】48÷（3＋5） ＝48÷8 ＝6（人） 6×3＝18（人） 6×5＝30（人） 答：六（2）班男生有18人，女生有30人。 【跟踪训练】 奇恩用30毫升蜂蜜和210毫升水调制了一杯蜂蜜水。按照这个体积比再配制一杯蜂蜜水，200毫升水中应加蜂蜜多少毫升？ 【答案】毫升 【分析】根据题意，蜂蜜水的调制体积比是固定的，即蜂蜜体积与水体积的比值不变。首先根据第一次调制的蜂蜜和水的体积求出蜂蜜与水的体积比，然后根据第二次配制时水的体积，利用乘法求出应加蜂蜜的体积。 【详解】蜂蜜与水的体积比为：30∶210＝1∶7，即蜂蜜体积是水体积的。 当水的体积为200毫升时，应加蜂蜜的体积为：（毫升） 答：200毫升水中应加蜂蜜毫升。 【例题讲解】 夏天酸酸甜甜的酸梅汤深受大家喜欢，乐乐用210毫升的酸梅原汁和一些水调制了525毫升的酸梅汤，妈妈说：“当酸梅原汁与水的比是3∶8时口感最佳。乐乐应该再往酸梅汤里加什么？加多少毫升？（用比例解答） 【答案】 加水；245毫升 【分析】先用现有酸梅汤的总体积减去酸梅原汁的体积，计算出当前已加入的水的体积。 设口感最佳时需要的水的体积为未知数，酸梅原汁的量不变，根据酸梅原汁与水的最佳比例3∶8，列出比例式求解需要的水的总体积 将计算出的最佳需水量和现有水量对比，如果最佳需水量大于现有水量，那么需要加水，两者差值就是加水量；如果最佳需水量小于现有水量，那么需要加酸梅原汁，再根据比例计算需要加的酸梅原汁量 【详解】（毫升） 解：设口感最佳时一共需要毫升水。 ，因此需要加水； （毫升） 答：乐乐应该再往酸梅汤里加水，加245毫升。 【跟踪训练】 手机积分是通过消费话费金额来获得的，某通信公司为了回馈广大用户，开展了手机积分兑换话费的活动。600积分可换10元话费。王阿姨共有3000积分，可兑换多少元话费？ 【答案】50元 【分析】根据题意，积分数量与可兑换的话费金额的比值是固定的（即每元话费需要的积分一定），因此积分与可兑换的话费金额成正比例关系。设可兑换的话费金额为未知数，利用正比例关系列出方程进行求解。 【详解】解：设可兑换元话费。 ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ 答：可兑换 50 元话费。 培优练习 一、填空题 1．大圆的半径是8cm，小圆的直径是6cm，则大圆与小圆的周长比是( )∶( )，小圆与大圆的面积比是( )∶( )。 【答案】 8 3 9 64 【分析】求大圆与小圆的周长比是多少，根据圆的周长＝πd，分别求出大圆和小圆的周长，然后再相比，根据比的基本性质，化成最简整数比即可； 求大圆与小圆的面积比是多少，根据圆的面积＝π，分别求出大圆和小圆的面积，然后再相比，根据比的基本性质，化成最简整数比即可。 【详解】大圆的周长：2×8×π＝16π 小圆的周长：6π 大圆与小圆的周长比：16π∶6π＝8∶3 大圆的面积：π×＝64π 小圆的面积：π× ＝π× ＝9π 小圆与大圆的面积比：9π∶64π＝9∶64 大圆的半径是8cm，小圆的直径是6cm，则大圆与小圆的周长比是8∶3，小圆与大圆的面积比是9∶64。 2．已知甲、乙、丙三个数，甲与乙的比为，乙与丙的比为，且甲比乙、丙的总和少55，则甲、乙、丙三个数的和为( )。 【答案】385 【分析】两个比中乙的份数分别为4和3，取4和3的最小公倍数12，将两个比中乙的份数统一为12，统一甲、乙、丙的连比；再求出连比中乙和丙的份数和与甲的份数的差值，对应数值为55，据此可以求出一份量，再分别乘连比中甲、乙、丙的份数和，求出三个数的和。 【详解】甲∶乙＝5∶4＝（5×3）∶（4×3）＝15∶12 乙∶丙＝3∶2＝（3×4）∶（2×4）＝12∶8 因此甲∶乙∶丙＝15∶12∶8 份数差： 12＋8－15 ＝20－15 ＝5（份） 一份量：55÷5＝11 三个数的和： 11×（15＋12＋8） ＝11×35 ＝385 3．奶茶店调配一种蜂蜜柠檬水，蜂蜜、柠檬和水的质量比为2∶3∶11，54克柠檬需要搭配蜂蜜( )克，所调配出来的蜂蜜柠檬水一共( )克。 【答案】 36 288 【分析】已知蜂蜜、柠檬、水的质量比为2∶3∶11，蜂蜜对应2份，水对应11份，柠檬对应3份，质量是54克，先算出1份的质量，1份的量乘蜂蜜的份数得出需要蜂蜜的质量，1份量×总份数＝蜂蜜柠檬水的质量。 【详解】54÷3＝18（克） 蜂蜜∶18×2＝36（克） 蜂蜜柠檬水∶ 18×（2＋3＋11） ＝18×16 ＝288（克） 4．水是由氢元素和氧元素按的质量比化合而成的，180克水中，含氧元素( )克。 【答案】 160 【分析】将氢元素看作1份，氧元素看作8份，求和计算出总份数；每一份的质量＝水的总质量÷总份数；氧元素的质量＝每一份的质量×对应份数。 【详解】180÷（1＋8）×8 ＝180÷9×8 ＝20×8 ＝160（克） 5．在一个比例中，两个外项互为倒数，其中一个内项是最小的合数，另一个内项是( )，如果其中一个外项是0.6，那么这个比例可能是( )。 【答案】 /0.25 【分析】根据比例的基本性质，内项积等于外项积。两个外项互为倒数，两个外项积是1，那么内项积也是1。一个内项是最小的合数（4），用1除以4，算出另一个内项。如果其中一个外项是0.6，因为外项互为倒数，外项积是1。用1除以0.6，算出另一个外项。再写出比例。 【详解】1÷4＝ 1÷0.6＝1÷＝1×＝ 在一个比例中，两个外项互为倒数，其中一个内项是最小的合数，另一个内项是（0.25），如果其中一个外项是0.6，那么这个比例可能是。 6．在比例中，如果将第一个比的后项增加16，那么第二个比的后项应增加( )才能使该比例成立。 【答案】10 【分析】先求出第一个比的后项增加16后的结果，即，再将第二个比增加后的后项设为，就可以得到一个新的比例：，根据比例的基本性质解出x后，用的值减去5求出第二个比的后项增加的数值。 【详解】 解：设第二个比增加后的后项为。 求第二个比的后项增加的数值： 7．、互为倒数，，则( )；如果（、均不为0），则( )。 【答案】 【分析】根据比例的基本性质直接解比例，因为乘积是1的两个数互为倒数，将ab的积替换成1，求出的值即可。 ，根据比例的基本性质，写成比的形式，并求出比值。 【详解】解：12＝ab 12＝1 12÷12＝1÷12 ＝ ，根据比例的基本性质，1∶＝1÷＝1×＝ 8．如果一个分数的分子加1，分母减1，则分子与分母的比是1∶3，如果分子减1，分母加1，则分子与分母的比是1∶4。则原分数是( )。 【答案】 【分析】原分数的分子和分母经过两次变化，可以根据比的关系设未知数列方程求解。 第一次变化：分子加1，分母减1，新分子与新分母的比是1∶3。设新分子为1份，新分母为3份。 第二次变化：分子减1，分母加1，新分子与新分母的比是1∶4。设新分子为1份，新分母为4份。 原分数的分子和分母是固定的，用两种变化找到原分子和原分母的表达式，建立等量关系求解。 【详解】解：设原分数分子为x，分母为y。 第一次变化：分子加1，分母减1。 （x＋1）∶（y－1）＝1∶3 3（x＋1）＝（y－1） 3x＋3＝y－1 y＝3x＋4 第二次变化：分子减1，分母加1。 （x－1）∶（y＋1）＝1∶4 4（x－1）＝（y＋1） 4x－4＝y＋1 y＝4x－5 两个y相等：3x＋4＝4x－5 3x＋4＝4x－5 4＋5＝4x－3x 9＝x x＝9 因此y＝3×9＋4 y＝27＋4 y＝31 原分数： 二、选择题 9．如果＝，（a、b均不为0），那么a∶b（    ）。 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】假设＝＝1，分别求出a和b的值，再把它们的比进行化简。据此解答。 【详解】假设＝＝1 a＝1÷＝1×＝ b＝1÷＝1×＝ ∶ ＝（）∶（） ＝3∶5 所以a∶b＝3∶5。 10．哥哥和弟弟倒了两杯同样多的糖水，哥哥那杯糖水中糖和水的比是1∶9，弟弟那杯糖水中糖和水的比是3∶7。哥哥和弟弟都喝了糖水的一半，他们把剩余的糖水倒在一起，这时剩下糖水中糖和水的比是（    ）。 A．1∶4 B．1∶2 C．1∶32 D．其他答案 【答案】A 【分析】根据题意，哥哥和弟弟都喝了各自糖水的一半，但各自糖水中糖和水的比不变，把剩余的糖水倒在一起，求剩下糖水中糖和水的比，就是求混合后原来糖水中糖和水的比； 已知哥哥那杯糖水中糖和水的比是1∶9，则糖占糖水的，水占糖水的； 已知弟弟那杯糖水中糖和水的比是3∶7，则糖占糖水的，水占糖水的； 分别把两人杯中糖的量、水的量相加，求出混合后糖的总量和水的总量，再根据比的意义得出混合后糖和水的比，并化简比。 【详解】（＋）∶（＋） ＝（＋）∶（＋） ＝∶ ＝（×5）∶（×5） ＝2∶8 ＝（2÷2）∶（8÷2） ＝1∶4 11．如果把4∶7的前项加上8，要使比值不变，后项应（    ）。 A．加上8 B．减去3 C．乘3 D．除以3 【答案】C 【分析】比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变。解题时先计算前项加上8后的数值，确定前项扩大到原来的几倍，再根据比的基本性质推断后项应进行的运算。 【详解】（4＋8）÷4 ＝12÷4 ＝3 即前项乘3，后项也应乘3。 12．等底等高的一个平行四边形和一个三角形，如果它们的面积之和是36平方厘米，它们的底都是10厘米，那么它们的高都是（    ）厘米。 A．1.2 B．2.4 C．3.6 D．4.8 【答案】B 【分析】三角形的面积＝×底×高，平行四边形的面积＝底×高，若三角形和平行四边形等底等高，则平行四边形的面积是三角形的面积的2倍，即平行四边形的面积∶三角形的面积＝2∶1，把二者的面积之和看作单位“1”，则三角形的面积占面积和的。用36乘求出三角形的面积，三角形的面积乘2除以10，算出高即可。 【详解】36××2÷10 ＝24÷10 ＝2.4（厘米） 那么，它们的高都是2.4厘米。 13．下列各组中的两个比，能组成比例的是（    ）。 A．3∶5和5∶15 B．4∶5和2.5∶2 C．0.2∶0.3和10∶15 D．8∶5和2∶0.8 【答案】C 【分析】根据比例的意义，表示两个比相等的式子叫做比例。判断两个比能否组成比例，可以分别求出两个比的比值，若比值相等，则能组成比例；若比值不相等，则不能组成比例。据此逐项解答。 【详解】A．3∶5＝3÷5＝；5∶15＝5÷15＝，≠，不能组成比例； B．4∶5＝4÷5＝；2.5∶2＝2.5÷2＝25÷20＝，≠，不能组成比例； C．0.2∶0.3＝0.2÷0.3＝2÷3＝；10∶15＝10÷15＝，＝，能组成比例； D．8∶5＝8÷5＝；2∶0.8＝2÷0.8＝20÷8＝，≠，不能组成比例。 14．一个比例中，两个外项的积是6的最大因数，其中一个内项是10以内最大的奇数，另一个内项是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据“一个数的最大因数是这个数的本身”确定外项积；根据“个位数字是1、3、5、7、9的数是奇数”确定其中一个内项；再根据比例的基本性质可知：另一个内项＝外项积÷其中一个内项。 【详解】6的最大因数是6，即两个外项积是6； 10以内最大的奇数是9； 所以另一个内项是。 15．我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒。这批米内夹谷约为（    ）。（石为古代容量单位，1石＝100升） A．122石 B．169石 C．338石 D．500石 【答案】B 【分析】利用抽样中谷所占抽样取米的分率估算整批米中谷的数量；抽样的一把米中，共有254粒，其中夹谷28粒，那么夹谷与抽样比为28∶254，已知送来的米总量为1534石，因为抽样中谷的比例与整批米中谷的比例相同，设未知数，列出比例解答即可。 【详解】解：设这批米内夹谷约x石。 x∶1534＝28∶254 254x＝1534×28 254x＝42952 254x÷254＝42952÷254 x＝42952÷254 x169 16．一款“瑞豹”牌变速自行车，前齿轮有48齿、36齿两种；后齿轮有24齿、18齿、12齿三种。其中脚蹬转一圈行驶最远的组合是（    ）。 A．48∶24 B．48∶12 C．36∶24 D．36∶12 【答案】B 【分析】脚蹬转一圈，前齿轮齿数÷后齿轮齿数的数值越大，后轮转动圈数越多，行驶距离越远。只需算出四个选项的数值，对比找出最大值对应的组合。 【详解】A．48÷24＝2 B．48÷12＝4 C．36÷24＝1.5 D．36÷12＝3 4＞3＞2＞1.5 所以48齿前齿轮搭配12齿后齿轮行驶最远。 三、判断题 17．12∶9也可以写成，仍读作“12比9”。( ) 【答案】√ 【分析】根据分数与比的关系，两个数的比可以写成分数形式，比的前项作为分子，后项作为分母，读法仍然按照比的读法，读作几比几。 【详解】“12∶9”按照分数与比的关系，可以写成分数形式，仍读作“12比9”。因此该说法正确。 故答案为：√ 18．给4∶5的后项加上15，要使比值不变，前项应该加上12。( ) 【答案】√ 【分析】比的基本性质，比的前项和后项同时乘或除以一个不为0的数，比值不变。 【详解】给4∶5的后项加上15，5＋15＝20，20÷5＝4，则后项5乘4得到20。 要使比值不变，则前项也需要乘4，4×4＝16，16－4＝12，则前项加上12。 故答案为：√ 19．四个连续的自然数不可能组成比例。( ) 【答案】√ 【分析】用赋值法，随便取一组四个连续自然数，依据比例两外项积等于两内项积验证。 【详解】取1、2、3、4，1×4＝4，2×3＝6，4≠6，不能组成比例； 再取3、4、5、6，3×6＝18，4×5＝20，18≠20，不能组成比例； 四个连续的自然数不可能组成比例，这句话正确。 故答案为：√ 20．甲数的等于乙数的，则甲乙两数的最简整数比为2∶3，（甲乙均不为0）。( ) 【答案】√ 【分析】根据题意列出乘法等式，利用比例的基本性质将等式改写成比例式，再化简比即可判断。 【详解】由题意可知：甲×＝乙× 根据比例的基本性质，可得： 甲∶乙＝∶ ＝（×12）∶（×12） ＝2∶3 所以甲乙两数的最简整数比为2∶3，原题说法正确。 故答案为：√ 21．甲乙两个数的比是，乙数是36，那么甲数是60。( ) 【答案】√ 【分析】设甲数是x，根据题意，列出比例式，再根据比例的性质解出x的值即可进行判断。 【详解】设甲是x，由题意得： 即甲是60，所以这句话是正确的。 故答案为：√ 【点睛】本题重点考查比例的应用相关知识。 四、计算题 22．先化简比，再求比值。 65∶52        30分∶0.25时    0.48∶2 【答案】，；，；2∶1，2；6∶25， 【分析】化简比时，根据比的基本性质：比的前项、后项同时乘或除以一个数（0除外），比值不变。 当比的前项、后项单位不同时，需要将单位统一，再化简比得出答案。 【详解】65∶52 ＝（65÷13）∶（52 ÷13） ＝5∶4 比值为：5÷4＝ 比值为：6÷5＝ 30分∶0.25时 ＝30分∶（0.25×60）分 ＝30∶15 ＝（30÷15）∶（15÷15） ＝2∶1 比值为：2÷1＝2 0.48∶2 ＝（0.48×12.5）∶（2×12.5） ＝6∶25 比值为：6÷25＝ 23．求未知数的值。          【答案】 ；； 【分析】根据比例的基本性质为两内项之积等于两外项之积，化为方程计算后，再根据等式的性质2，两边同时除以5计算。 根据比例的基本性质为两内项之积等于两外项之积，化为方程计算后，再根据等式的性质2，两边同时除以计算。 先计算方程左边，再根据等式的性质2，两边同时除以计算。 【详解】 解： ​ 解： ​ 解： ​ 五、解答题 24．甲、乙两地相距600千米，一辆客车和一辆货车同时从两地相向开出，4小时后相遇。已知客车和货车的速度比是3∶2，两车的速度各是多少千米/时？ 【答案】客车：90千米/时；货车：60千米/时 【分析】先根据“速度和＝路程÷相遇时间”求出两车的速度之和，再根据客车和货车的速度比是，利用按比例分配的方法，求出两车各自的速度。 【详解】两车的速度和：（千米/时） 客车的速度：（千米/时） 货车的速度：（千米/时） 答：客车的速度是90千米/时，货车的速度是60千米/时。 25．玩具厂一车间接到一个加急订单，为尽快完成任务，从二车间调12人到一车间，原来一车间与二车间的人数比是2∶3，而此时一、二车间的人数比是7∶3，两个车间一共有多少人？ 【答案】40人 【分析】两个车间的总人数在调动过程中保持不变这一不变量。可以将总人数看作单位“1”，原来一车间人数占总人数的，调动后一车间人数占总人数的。一车间增加的12人对应的分率即为后来与原来占总人数分率的差，根据“量÷对应的分率＝单位‘1'的量”即可求出总人数。 【详解】原来一车间人数占总人数的分率： 后来一车间人数占总人数的分率： 两个车间的总人数： （人） 答：两个车间一共有40人。 26．阳光小学体育功能室原有足球和篮球的数量比为4∶7。“体育节”开展前，学校新购进足球和篮球各55个，这时足球和篮球的数量比为5∶6。原来足球和篮球各有多少个？（用比例知识解答） 【答案】足球原来有20个，篮球有35个。 【分析】设原来足球4x个，篮球7x个，根据后来足球、篮球的比，列出比例式：（4x＋55）∶（7x＋55）＝5∶6，据此求出x的值，进而求出原来足球和篮球个数。 【详解】解：设原来足球4x个，篮球7x个。 （4x＋55）∶（7x＋55）＝5∶6 6（4x＋55）＝5（7x＋55） 24x＋330＝35x＋275 35x－24x＝330－275 11x＝55 x＝5 足球：4×5＝20（个） 篮球：7×5＝35（个） 答：足球原来有20个，篮球有35个。 27．赴九天，问苍穹！这是独属于中国人的宇宙级浪漫。我国载人空间站“天宫”飞行76.8千米仅需10秒，“天宫”内的航天员们大约每1.5时就要经历一次日出与日落。若以这样的速度飞行，“天宫”飞行384千米需要多长时间？（用比例知识解答） 【答案】50秒 【分析】速度＝路程÷时间，分析题目，设“天宫”飞行384千米需要x秒，根据速度不变列出方程76.8∶10＝384∶x，最后解出方程即可。 【详解】解：设“天宫”飞行384千米需要x秒。 76.8∶10＝384∶x 76.8x＝384×10 76.8x＝3840 76.8x÷76.8＝3840÷76.8 x＝50 答：“天宫”飞行384千米需要50秒。 28．乐乐所在小组的同学想测量校园内一棵树的高度，下午某一时刻，他们测得乐乐的影子长0.6米，树的影子长1.8米。已知乐乐的身高是1.6米，则这棵树的高度是多少米？（用比例解） 【答案】 米 【分析】在同一时刻，太阳光线下物体的高度与影长的比值是一定的，因此物体的高度与影长成正比例关系。根据正比例的意义，设这棵树的高度是米，乐乐的身高与影长的比等于树的高度与影长的比，据此列出比例式求解。 【详解】解：设这棵树的高度是米。 答：这棵树的高度是米。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四单元 比和比例 单元举一反三讲义 【知识点精讲+例题讲解+跟踪训练+培优练习】 知识点精讲 知识点1：比的意义与比值计算 1. 比的定义：两个数相除又叫做两个数的比，用来表示两个数量的倍比关系。比的后项不能为0（与除法除数、分数分母不为0原理一致）。 2. 各部分名称：在 a∶b 中，a是前项，∶是比号，b是后项；前项÷后项所得的商叫做比值。 3. 比值特点：比值是一个数，可以是整数、小数、分数，没有单位。 4. 比、除法、分数对应关系：前项对应被除数、分子；比号对应除号、分数线；后项对应除数、分母；比值对应商、分数值。 5. 易错点拨：写比时要分清前后顺序，甲比乙≠乙比甲，顺序颠倒数值完全改变。 知识点2：比的基本性质与化简比（单元重难点） 1. 比的基本性质：比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变，是化简比的唯一依据。 2. 最简整数比：比的前项和后项都是整数，且公因数只有1（前后项互质）。 3. 三类比化简方法 整数比：前后项同时除以最大公因数； 小数比：先转化为整数比，再化简； 分数比：前后项同时乘分母最小公倍数，化为整数比再化简。 4. 核心区分（高频易错）：化简比结果是一个比（带比号）；求比值结果是一个数。 知识点3：比例初步与按比分配应用题 1. 比例的含义：表示两个比相等的式子叫做比例，用来判断两组数量的倍比关系是否一致。 2. 按比分配核心题型：把一个总数量，按照一定的比分成若干份，是本单元必考应用题。 3. 两种通用解题方法 归一法：总份数=各部分份数和→每份数量=总量÷总份数→各部分数量=每份数量×对应份数； 分数法：先求出各部分占总量的几分之几，再用总量×对应分率求出各部分数量。 4. 适用场景：物品分配、溶液配比、图形边长分配、工程分工、物资分配等生活问题。 例题讲解+跟踪训练 【例题讲解】 化简下列各比并求比值。 4.2∶         ∶        20分钟∶小时       0.5吨∶300千克 【跟踪训练】 化简下面各比并求比值。                             0.125∶0.8            48∶28 【例题讲解】 解方程或比例。 ①        ②       ③ 【跟踪训练】 求未知数。                       【例题讲解】 六（2）班有学生48人，其中男生人数是女生人数的。六（2）班男生和女生各有多少人？ 【跟踪训练】 奇恩用30毫升蜂蜜和210毫升水调制了一杯蜂蜜水。按照这个体积比再配制一杯蜂蜜水，200毫升水中应加蜂蜜多少毫升？ 【例题讲解】 夏天酸酸甜甜的酸梅汤深受大家喜欢，乐乐用210毫升的酸梅原汁和一些水调制了525毫升的酸梅汤，妈妈说：“当酸梅原汁与水的比是3∶8时口感最佳。乐乐应该再往酸梅汤里加什么？加多少毫升？（用比例解答） 【跟踪训练】 手机积分是通过消费话费金额来获得的，某通信公司为了回馈广大用户，开展了手机积分兑换话费的活动。600积分可换10元话费。王阿姨共有3000积分，可兑换多少元话费？ 培优练习 一、填空题 1．大圆的半径是8cm，小圆的直径是6cm，则大圆与小圆的周长比是( )∶( )，小圆与大圆的面积比是( )∶( )。 2．已知甲、乙、丙三个数，甲与乙的比为，乙与丙的比为，且甲比乙、丙的总和少55，则甲、乙、丙三个数的和为( )。 3．奶茶店调配一种蜂蜜柠檬水，蜂蜜、柠檬和水的质量比为2∶3∶11，54克柠檬需要搭配蜂蜜( )克，所调配出来的蜂蜜柠檬水一共( )克。 4．水是由氢元素和氧元素按的质量比化合而成的，180克水中，含氧元素( )克。 5．在一个比例中，两个外项互为倒数，其中一个内项是最小的合数，另一个内项是( )，如果其中一个外项是0.6，那么这个比例可能是( )。 6．在比例中，如果将第一个比的后项增加16，那么第二个比的后项应增加( )才能使该比例成立。 7．、互为倒数，，则( )；如果（、均不为0），则( )。 8．如果一个分数的分子加1，分母减1，则分子与分母的比是1∶3，如果分子减1，分母加1，则分子与分母的比是1∶4。则原分数是( )。 二、选择题 9．如果＝，（a、b均不为0），那么a∶b（    ）。 A． B． C． D． 10．哥哥和弟弟倒了两杯同样多的糖水，哥哥那杯糖水中糖和水的比是1∶9，弟弟那杯糖水中糖和水的比是3∶7。哥哥和弟弟都喝了糖水的一半，他们把剩余的糖水倒在一起，这时剩下糖水中糖和水的比是（    ）。 A．1∶4 B．1∶2 C．1∶32 D．其他答案 11．如果把4∶7的前项加上8，要使比值不变，后项应（    ）。 A．加上8 B．减去3 C．乘3 D．除以3 12．等底等高的一个平行四边形和一个三角形，如果它们的面积之和是36平方厘米，它们的底都是10厘米，那么它们的高都是（    ）厘米。 A．1.2 B．2.4 C．3.6 D．4.8 13．下列各组中的两个比，能组成比例的是（    ）。 A．3∶5和5∶15 B．4∶5和2.5∶2 C．0.2∶0.3和10∶15 D．8∶5和2∶0.8 14．一个比例中，两个外项的积是6的最大因数，其中一个内项是10以内最大的奇数，另一个内项是（    ）。 A． B． C． D． 15．我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒。这批米内夹谷约为（    ）。（石为古代容量单位，1石＝100升） A．122石 B．169石 C．338石 D．500石 16．一款“瑞豹”牌变速自行车，前齿轮有48齿、36齿两种；后齿轮有24齿、18齿、12齿三种。其中脚蹬转一圈行驶最远的组合是（    ）。 A．48∶24 B．48∶12 C．36∶24 D．36∶12 三、判断题 17．12∶9也可以写成，仍读作“12比9”。( ) 18．给4∶5的后项加上15，要使比值不变，前项应该加上12。( ) 19．四个连续的自然数不可能组成比例。( ) 20．甲数的等于乙数的，则甲乙两数的最简整数比为2∶3，（甲乙均不为0）。( ) 21．甲乙两个数的比是，乙数是36，那么甲数是60。( ) 四、计算题 22．先化简比，再求比值。 65∶52        30分∶0.25时    0.48∶2 23．求未知数的值。          五、解答题 24．甲、乙两地相距600千米，一辆客车和一辆货车同时从两地相向开出，4小时后相遇。已知客车和货车的速度比是3∶2，两车的速度各是多少千米/时？ 25．玩具厂一车间接到一个加急订单，为尽快完成任务，从二车间调12人到一车间，原来一车间与二车间的人数比是2∶3，而此时一、二车间的人数比是7∶3，两个车间一共有多少人？ 26．阳光小学体育功能室原有足球和篮球的数量比为4∶7。“体育节”开展前，学校新购进足球和篮球各55个，这时足球和篮球的数量比为5∶6。原来足球和篮球各有多少个？（用比例知识解答） 27．赴九天，问苍穹！这是独属于中国人的宇宙级浪漫。我国载人空间站“天宫”飞行76.8千米仅需10秒，“天宫”内的航天员们大约每1.5时就要经历一次日出与日落。若以这样的速度飞行，“天宫”飞行384千米需要多长时间？（用比例知识解答） 28．乐乐所在小组的同学想测量校园内一棵树的高度，下午某一时刻，他们测得乐乐的影子长0.6米，树的影子长1.8米。已知乐乐的身高是1.6米，则这棵树的高度是多少米？（用比例解） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $