精品解析：江西省九江市修水县2025-2026学年八年级下学期6月期末数学试题

秘密★启用前 九江市2025-2026学年度下学期期末考试 八年级数学试题卷 说明： 1．本试题卷满分120分，考试时间120分钟． 2．请按试题序号在答题卡相应位置作答，答在试题卷或其它位置无效． 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）在每小题列出的四个备选项中只有一项是最符合题目要求的，请将其代码填涂在答题卡相应位置．错选、多选或未选均不得分． 1. 下列图案中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 若，则下列不等式中不正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 4. 是一个活动框架，当时，其面积为，若将从扭动到，其面积为，则下面正确的是（ ） A. B. C. D. 不能确定 5. 在数学中用形状、大小完全相同的平面图形进行拼接，不留空隙且不重叠地铺满整个平面，称为平面图形的密铺．在现实生活中，地砖、墙砖、蜂巢等都用到了密铺的原理．下列正多边形中，不能够单独密铺平面的是（ ） A. 正三角形 B. 正方形 C. 正五边形 D. 正六边形 6. 如图①，在中，，连接、，与相交于点，点从点出发，沿以的速度匀速运动到点，图②是点运动时，线段的长随时间变化的函数关系图象，其中，分别是两段曲线的最低点，则的长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 7. 因式分解：__________． 8. 若分式有意义，则实数的取值范围是__________． 9. “m2是非负数”，用不等式表示为___________． 10. 如图，的边的垂直平分线交于点，连接．若，的周长为13，则__________． 11. 在平面直角坐标系中，已知点，点．线段是轴正半轴上的动线段且．点从点出发按的路径运动到点停止．则点运动的最短路径长是__________． 12. 将绕直角边的中点旋转，得到．且的直角顶点落在的斜边上，所在直线与所在直线交于点，如图，若是等腰三角形，则的度数为__________． 三、解答题（本大题共5个小题，每小题6分，共30分） 13. 按要求完成作答 （1）因式分解： （2）解方程： 14. 下面是一道例题及其解答过程的一部分，其中是单项式． 例题先化简，再求值：，其中． 解：原式…第一步 …第二步 …第三步 … （1）已知第一步没有出错，则单项式__________．上面的计算过程从第__________步开始出错． （2）请你写出完整的解答过程． 15. 解一元一次不等式组，并把解集在数轴上表示出来． 16. 如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫作格点，的顶点都在格点上，仅用无刻度直尺在给定的网格中画出下列两个图形： （1）在图（1）中画的角平分线； （2）在图（2）中画的角平分线． 17. 如图，在中，对角线，相交于点O，点、分别在，上，且．求证：． 四、解答题（本大题共3个小题，每小题8分，共24分） 18. 如图，一次函数的图象经过点，点，并且与一次函数的图象交于点． （1）由图可知，不等式的解集是__________； （2）若不等式的解集是． ①求点的坐标； ②求的值． 19. 在中，，，将绕点顺时针旋转（）得到，其中点，的对应点分别为点，，连接． （1）如图①，当点落在的延长线上时，求． （2）如图②，连接，交于点．当时，证明四边形是平行四边形． 20. 受到“赣超”联赛的影响，同学们对球类运动热情高涨，体育教研组决定增加篮球、足球训练时间，为此需要购进一批篮球和足球．已知篮球的单价比足球贵30元，若用440元购买篮球和用640元购买足球，则购买篮球的个数是购买足球个数的一半． （1）篮球、足球的单价各是多少元？ （2）根据学校实际需要，需一次性购买篮球和足球共100个．购买篮球的数量不少于足球数量的，为使购买的总费用最小，那么应购买篮球、足球各多少个？ 五、解答题（本大题共2个小题，每小题9分，共18分） 21. 课本再现： （1）如图①，是的中位线，延长至点，使得，连接，可以证明三角形中位线的性质．请根据上面已知条件，证明三角形中位线的性质． 课本延伸： （2）如图②，已知四边形是梯形，，、分别是线段和的中点，连接，称为梯形的中位线．已知，．求的长． 22. 已知不等式组和分式方程 （1）若不等式组无解，求的取值范围； （2）在（1）的条件下，若分式方程的解是整数，求满足条件的所有整数的值． 六、解答题（本大题12分） 23. 把平行四边形沿着它的一条对角线翻折，会发现很多有意思的结论、反思这一过程，本质上是对图形进行了一次对称变换，它提示我们：在研究几何性质时，不能仅停留在静态的边、角、对角线，还可以通过翻折等动态变换来重新审视已知图形，从而发现隐含的等量关系或特殊位置，拓宽问题解决的思路． 【发现与证明】 （1）如图①，在中，，将沿对角线翻折至，交于点，连接，下列说法正确的有__________ A．是等腰三角形 B． C． D． （2）小明认为，你觉得正确吗？请回答并说明理由． 【探究与应用】 （3）如图①，若，，，则__________，__________； （4）如图②，若，，，交于点，求的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 秘密★启用前 九江市2025-2026学年度下学期期末考试 八年级数学试题卷 说明： 1．本试题卷满分120分，考试时间120分钟． 2．请按试题序号在答题卡相应位置作答，答在试题卷或其它位置无效． 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）在每小题列出的四个备选项中只有一项是最符合题目要求的，请将其代码填涂在答题卡相应位置．错选、多选或未选均不得分． 1. 下列图案中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】轴对称图形指平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，这条直线叫做对称轴；中心对称:在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形与另一个图形重合，那么就说明这两个图形的形状关于这个点成中心对称，这个点叫做它的对称中心，结合图形判定即可求解． 【详解】解：A、没有对称轴，不是轴对称图形，有对称中心，是中心对称图形，不符合题意； B、有对称轴，是轴对称图形，没有对称中心，不是中心对称图形，符合题意； C、没有对称轴，不是轴对称图形，有对称中心，是中心对称图形，不符合题意； D、有对称轴，是轴对称图形，有对称中心，是中心对称图形，不符合题意． 2. 若，则下列不等式中不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：对于选项A，不等式两边同时减，不等号方向不变，可得，A正确，不符合题意； 对于选项B，不等式两边同时乘正数，不等号方向不变，可得，B正确，不符合题意； 对于选项C，不等式两边同时乘负数，不等号方向改变，可得，因此错误，C不正确，符合题意； 对于选项D，，，又，，D正确，不符合题意． 3. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵，， ∴． 4. 是一个活动框架，当时，其面积为，若将从扭动到，其面积为，则下面正确的是（ ） A. B. C. D. 不能确定 【答案】A 【解析】 【分析】平行四边形活动框架的边长保持不变，面积公式为底高，底不变，通过比较高的大小即可判断面积的大小关系． 【详解】解：如图， 将从扭动到，底不变，高变小， 根据平行四边形面积公式可知． 5. 在数学中用形状、大小完全相同的平面图形进行拼接，不留空隙且不重叠地铺满整个平面，称为平面图形的密铺．在现实生活中，地砖、墙砖、蜂巢等都用到了密铺的原理．下列正多边形中，不能够单独密铺平面的是（ ） A. 正三角形 B. 正方形 C. 正五边形 D. 正六边形 【答案】C 【解析】 【分析】判断正多边形能否单独密铺平面的依据是：正多边形的单个内角度数能整除时，可以单独密铺，否则不能，只需计算各选项正多边形的内角度数验证即可． 【详解】解：正边形的单个内角度数公式为， ∵正三角形，单个内角为，，是整数，∴可以单独密铺； ∵正方形，单个内角为，，是整数，∴可以单独密铺； ∵正五边形，单个内角为，，不是整数，∴不能单独密铺； ∵正六边形，单个内角为，，是整数，∴可以单独密铺； 因此不能单独密铺平面的是正五边形． 6. 如图①，在中，，连接、，与相交于点，点从点出发，沿以的速度匀速运动到点，图②是点运动时，线段的长随时间变化的函数关系图象，其中，分别是两段曲线的最低点，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由四边形是平行四边形，可得，，由图象可得，的边上的高为，的边上的高为，即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， 由图象可得，，分别是两段曲线的最低点，点的纵坐标为，点的纵坐标为， ∴的边上的高为，的边上的高为， ∴， ∴， ∴． 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 7. 因式分解：__________． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 8. 若分式有意义，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【详解】解：分式有意义， ， 解得：． 9. “m2是非负数”，用不等式表示为___________． 【答案】≥0 【解析】 【分析】根据非负数即“≥0”可得答案． 【详解】解：“m2是非负数”，用不等式表示为m2≥0， 故答案为：m2≥0． 【点睛】本题主要考查由实际问题抽象出一元一次不等式，用不等式表示不等关系时，要抓住题目中的关键词，如“大于（小于）、不超过（不低于）、是正数（负数）”“至少”、“最多”等等，正确选择不等号．因此建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵，不同的词里蕴含这不同的不等关系． 10. 如图，的边的垂直平分线交于点，连接．若，的周长为13，则__________． 【答案】 5 【解析】 【分析】根据垂直平分线的性质得到，由此得到，结合周长的计算即可求解． 【详解】解：∵边的垂直平分线交于点，连接， ∴， ∴， ∵的周长为13，即， ∴ ． 11. 在平面直角坐标系中，已知点，点．线段是轴正半轴上的动线段且．点从点出发按的路径运动到点停止．则点运动的最短路径长是__________． 【答案】12 【解析】 【分析】利用平移的性质将折线转化为直线，通过将点向右平移的长度得到点，利用平行四边形的性质将转化为，从而将求的最小值转化为求的值，最后利用勾股定理求解即可 【详解】解：如图，将点向右平移2个单位长度得到点，连接， 点的坐标为， 点的坐标为， 线段在轴上，且， 且， 四边形是平行四边形， ， 点的运动路径长， 点在轴上方，点在轴下方， 根据两点之间线段最短，当点在同一直线上时，取得最小值，最小值为线段的长度， 过点作轴于点，过点作轴于点，过点作交的延长线于点，连接， 在中，，， 由勾股定理得， 最短路径长为． 12. 将绕直角边的中点旋转，得到．且的直角顶点落在的斜边上，所在直线与所在直线交于点，如图，若是等腰三角形，则的度数为__________． 【答案】或 【解析】 【分析】先求出，，则，进而可得，，再分三种情况：①，②，③，根据等腰三角形的性质建立等式，据此求解即可． 【详解】解：∵点为直角边的中点， ∴，， 由旋转的性质得：，， ∴， ∴， ∴， ∴， ①当时，是等腰三角形， ∴，即， 解得； ②当时，是等腰三角形， ∴，即， 解得； ③当时，是等腰三角形， ∴，即， 解得，不符合题意，舍去； 综上，的度数为或． 三、解答题（本大题共5个小题，每小题6分，共30分） 13. 按要求完成作答 （1）因式分解： （2）解方程： 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：  ； 【小问2详解】 解：， ， 两边同乘，得， 解得， 检验：当时，分母， 因此是原方程的解． 14. 下面是一道例题及其解答过程的一部分，其中是单项式． 例题先化简，再求值：，其中． 解：原式…第一步 …第二步 …第三步 … （1）已知第一步没有出错，则单项式__________．上面的计算过程从第__________步开始出错． （2）请你写出完整的解答过程． 【答案】（1），三； （2）解：原式​ ， 将代入得：原式​． 【解析】 【分析】（1）对第一个分母因式分解，进而可知M的值，第三步计算分子时，去括号符号错误； （2）根据分式的运算法则化简求值即可． 【小问1详解】 解：， 已知第一步没有错误，即， 两边同乘得； 第三步计算分子时，去括号符号错误，因此第三步开始出错． 【小问2详解】 略． 15. 解一元一次不等式组，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】， 【解析】 【详解】解：， 解得：， 解得：， ∴， 在数轴上表示略． 16. 如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫作格点，的顶点都在格点上，仅用无刻度直尺在给定的网格中画出下列两个图形： （1）在图（1）中画的角平分线； （2）在图（2）中画的角平分线． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由网格可知，点是的中点，借助网格作，连接，则点是的中点，连接交于点，即为的平分线； （2）由网格可知，点是的中点，借助网格作，连接，借助网格构造矩形，根据矩形的性质找到的中点，连接并延长交于点，即为的平分线． 【小问1详解】 解：如下图所示， 由网格可知，，， ， 四边形是矩形，点是对角线、的交点， 点是的中点， ， 点、分别是两个正方形对角线的交点， 直线与的交点是网格线的中点， ， ， 是等腰三角形， 点是的中点， 平分； 【小问2详解】 解：由网格可知，，， ， 点是的中点， ， 又， ， 是等腰三角形， 以为对角线构造矩形， 由矩形的性质可知点是的中点， 是的平分线． 17. 如图，在中，对角线，相交于点O，点、分别在，上，且．求证：． 【答案】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴． 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质得，根据平行线的性质得， ，然后证明，最后根据全等三角形的性质即可得出结论． 【详解】略 四、解答题（本大题共3个小题，每小题8分，共24分） 18. 如图，一次函数的图象经过点，点，并且与一次函数的图象交于点． （1）由图可知，不等式的解集是__________； （2）若不等式的解集是． ①求点的坐标； ②求的值． 【答案】（1） （2）①；②5 【解析】 【分析】（1）根据函数图象找到一次函数的图象在x轴上方时自变量的取值范围即可得到答案； （2）①利用待定系数法求出直线的解析式，根据不等式的解集可得一次函数与一次函数的交点的横坐标为，据此可求出点B的坐标；②把点B的坐标代入中求解a即可． 【小问1详解】 解：∵一次函数的图象经过点， ∴由函数图象可知，不等式的解集是； 【小问2详解】 解：①∵一次函数的图象经过点，点， ∴， ∴， ∴直线的解析式为； ∵不等式的解集是， ∴一次函数与一次函数的交点的横坐标为， 在中，当时，， ∴； ②把点B的坐标代入得，解得． 19. 在中，，，将绕点顺时针旋转（）得到，其中点，的对应点分别为点，，连接． （1）如图①，当点落在的延长线上时，求． （2）如图②，连接，交于点．当时，证明四边形是平行四边形． 【答案】（1） （2）证明：由旋转的性质可得，， ， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． 【解析】 【分析】（1）证明得到，则，，即； （2）由旋转的性质可得，，，由等边对等角和三角形内角和定理可求出， ，则可证明，据此可证明结论． 【小问1详解】 解：∵点落在的延长线上， ∴， 由旋转的性质可得， 又∵， ∴， ∴， ∴，即； 【小问2详解】 略 20. 受到“赣超”联赛的影响，同学们对球类运动热情高涨，体育教研组决定增加篮球、足球训练时间，为此需要购进一批篮球和足球．已知篮球的单价比足球贵30元，若用440元购买篮球和用640元购买足球，则购买篮球的个数是购买足球个数的一半． （1）篮球、足球的单价各是多少元？ （2）根据学校实际需要，需一次性购买篮球和足球共100个．购买篮球的数量不少于足球数量的，为使购买的总费用最小，那么应购买篮球、足球各多少个？ 【答案】（1）篮球的单价是110元，足球的单价是80元； （2）应购买25个篮球，75个足球 【解析】 【分析】（1）设出足球单价，根据篮球与足球的单价关系表示出篮球单价，再根据“购买篮球的个数是购买足球个数的一半”列分式方程，求解检验后即可得到单价； （2）设出购买篮球的数量，根据“购买篮球的数量不少于足球数量的”求出自变量的取值范围，再列出总费用关于篮球数量的一次函数，根据一次函数的增减性即可求出总费用最小时的购买方案． 【小问1详解】 解：设足球的单价为元，则篮球的单价为元， 根据题意得， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 答：篮球的单价是110元，足球的单价是80元； 【小问2详解】 解：设购买篮球个，则购买足球个， 根据题意得， 解得，且为正整数， 设购买总费用为元，则， ， 随的增大而增大， 当时，取得最小值， 此时． 答：为使购买的总费用最小，应购买25个篮球，75个足球． 五、解答题（本大题共2个小题，每小题9分，共18分） 21. 课本再现： （1）如图①，是的中位线，延长至点，使得，连接，可以证明三角形中位线的性质．请根据上面已知条件，证明三角形中位线的性质． 课本延伸： （2）如图②，已知四边形是梯形，，、分别是线段和的中点，连接，称为梯形的中位线．已知，．求的长． 【答案】（1）证明：∵是的中位线， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，即， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，即， ∵， ∴，即， ∴，； （2）4 【解析】 【分析】（1）证明，得到，则可证明四边形是平行四边形，得到，即，由，可得； （2）连接并延长，交的延长线于点T，证明，得到，可证明是的中位线，则由（1）可得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图所示，连接并延长，交的延长线于点T， ∵， ∴， ∵点Q为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵点P是的中点， ∴是的中位线， ∴由（1）可得． 22. 已知不等式组和分式方程 （1）若不等式组无解，求的取值范围； （2）在（1）的条件下，若分式方程的解是整数，求满足条件的所有整数的值． 【答案】（1） （2）和 【解析】 【分析】（1）根据不等式组无解的判定规则得到第一问的取值范围．再解分式方程； （2）结合第一问的范围、分式方程解为整数且分式有意义的要求，筛选出符合条件的所有整数． 【小问1详解】 解：， 解不等式得， ∵不等式组无解， ∴； 【小问2详解】 解：， 方程两边同乘，得， 整理得， 由（1）知， 若，方程变为，不成立， ∴， ∴， 解得， ∵分式方程的解是整数，是整数，且， ∴是的负整数因数，且，的负整数因数为， 当时，，，符合要求， 当时，，，符合要求， 当时，，，为增根，舍去， ∴满足条件的整数为和． 六、解答题（本大题12分） 23. 把平行四边形沿着它的一条对角线翻折，会发现很多有意思的结论、反思这一过程，本质上是对图形进行了一次对称变换，它提示我们：在研究几何性质时，不能仅停留在静态的边、角、对角线，还可以通过翻折等动态变换来重新审视已知图形，从而发现隐含的等量关系或特殊位置，拓宽问题解决的思路． 【发现与证明】 （1）如图①，在中，，将沿对角线翻折至，交于点，连接，下列说法正确的有__________ A．是等腰三角形 B． C． D． （2）小明认为，你觉得正确吗？请回答并说明理由． 【探究与应用】 （3）如图①，若，，，则__________，__________； （4）如图②，若，，，交于点，求的面积． 【答案】（1）ABC （2）正确，理由如下： 由（1）知， ∴， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴； （3）45； （4） 【解析】 【分析】（1）对于A，根据平行和折叠的性质证明即可；对于B，可证明，则，即可求解；对于C，根据平行四边形和折叠的性质，结合即可证明； （2）先得到，再由等边对等角以及三角形的外角性质证明即可； （3）根据折叠以及平行线的性质即可求解的度数；过点作于点，则，为等腰直角三角形，然后根据直角三角形的性质以及勾股定理即可求解； （4）过点作于点M，过点B作于点，根据折叠以及平行四边形的性质证明，设则，再对运用勾股定理建立方程求解即可． 【小问1详解】 解：∵四边形是平行四边形， ∴ ∴ 由折叠可得， ∴ ∴，故是等腰三角形，故A正确； ∵中，， 又∵ ∴， ∴， 由折叠可得， ∴ ∴ ∴，故B正确； 由折叠可得，， ∵， ∴， ∵ ∴，故C正确； 对于D，现有条件不足以证明； 因此正确的有ABC； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由折叠可得， ∵， ∴ ∵ ∴； 过点作于点，则，为等腰直角三角形 ∴ ∴ ∴； 【小问4详解】 解：过点作于点M，过点B作于点 由折叠可得，，， ∵， ∴， ∴， ∴ ∵中， ∴ ∴ ∴， 设 则 在中，由勾股定理得， ∴ 解得 ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $