空间中的点、线、面距离问题10——2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修二立体几何初步暑假专项作业（解析版+原卷版）

**基本信息** 以“一作二证三求”为核心方法体系，系统梳理空间点线面距离问题的解题逻辑，结合多几何体情境培养空间观念与推理能力，实现方法迁移与精准突破。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |知识梳理|核心三步+4项注意|作垂线段（利用垂直关系）、证线面垂直（判定定理）、求长度（勾股定理/等体积法）|从点面距离定义出发，通过线面垂直判定构建“作-证-求”逻辑链| |跟踪训练|20题（8选择+6填空+5解答）|正方体/折叠体/球等多情境应用|迁移至线面、面面距离，形成“定义-转化-计算”完整认知体系|

高一数学人教A版必修二立体几何初步暑期专项作业10 测试范围：空间点、线、面的距离问题 知识梳理： 求点面距离的思路与注意事项 一、解题思路（一作二证三求，核心三步） 作垂线段：过目标点作已知平面的垂线，找到垂足，连接点与垂足的线段即为所求距离； 技巧：优先借助几何体中已有垂直关系（如面面垂直、线面垂直）作垂线，或过点作面内两条相交直线的垂线，再证线面垂直。 证垂直：证明所作线段与已知平面线面垂直（紧扣线面垂直判定定理），确认该线段为点到平面的垂线段（唯一距离）。 求长度：将垂线段放入可解的直角三角形（利用几何体棱长、已知角度、面面/线面垂直性质补全边长条件），通过勾股定理、解直角三角形、等面积法计算垂线段长度，即为点到平面的距离。 二、注意事项 辅助线依托垂直性：有面面垂直时，在一个面内作交线的垂线，该线必垂直另一平面（面面垂直性质），快速得垂线段； 等面积法巧代求：若直接作垂线困难，可将点到面的距离转化为棱锥的高，利用等体积法间接求解（几何法补充技巧）； 证垂直是关键：切勿直接将斜线段当作垂线段，必须严格证明线面垂直，否则距离求解错误； 抓特殊点简化计算：优先利用中点、垂足、端点等特殊点作垂线，让三角形边长更易推导。 回归教材： 【人教A版必修二第6.6.2节例5】已知直线平面，求证：直线上任意两点到平面的距离都相等. 【答案】证明见解析 【分析】利用线面垂直的性质定理推得与确定平面，再利用线面平行的性质定理推得四边形为平行四边形，进而得到，从而得证. 【详解】在直线上任取两点A、B，过作，垂足为，过作，垂足为， 则，则与确定平面，因为直线平面，则平面，又平面，平面，所以，所以四边形为平行四边形，则，又，，即为到平面的距离，所以直线上任意两点到平面的距离都相等. 【人教A版必修二第6.6.2节练习第2题P155】已知两点在平面的同侧，且它们与的距离相等，求证：直线. 【答案】证明见解析 【分析】欲证直线，即在平面中找出一条直线平行于即可，适当构造辅助线即可得到。 【详解】证明：如图，作，，垂足分别为，则， 又，∴四边形为平行四边形.又平面，平面.. 【点睛】本题考查了线面平行的问题，要证明线面平行，必须满足两个条件，第一：线线平行；第二：直线在平面外，缺一不可。 【人教B版必修四03参考题C组第7题】已知正三棱锥ABC，点P，A，B，C都在半径为的球面上，若PA，PB，PC两两互相垂直，求球心到截面ABC的距离． 【答案】 【详解】法一：正三棱锥P-ABC可看作由正方体PADC-BEFG截得，如图所示， PF为三棱锥P-ABC的外接球的直径，且,设正方体棱长为a， 则， 由，得，所以，因为球心到平面ABC的距离为. 法二：三棱锥中两两互相垂直，所以三棱锥外接球与以为临边的正方体外接球是相同的，由半径为可得,由得P到平面的距离为，所以球心到截面的距离为 点评：本题根据三棱锥的特点将其转化到正方体上，使其容易确定球心位置 跟踪训练： 一、单选题 1．正方体中，棱长为2cm，则点与点的距离为（   ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【详解】 连接，，则．又平面，所以，所以． 2．在长方体中，，，则点到平面的距离等于（    ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【分析】借助等体积法计算即可得. 【详解】，，则， ，设点到平面的距离为，则，解得. 3．如图，在直三棱柱中，，，点P为棱的中点，则点P到直线AB的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直三棱柱条件，可判断为等腰三角形，进而可求出点P到直线的距离. 【详解】因为，，点P为棱的中点， 所以，所以，，所以为等腰三角形.设点P到直线AB的距离为h，因为，，则.故选：A. 4．在三棱锥中，，且，，平面，若，，，四点都在球的表面上，则点到平面的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知将棱锥补全为长方体，分析得到该长方体的外接球即为棱锥的外接球，结合长方体与其外接球的特征及等面积法求点面距离. 【详解】把三棱锥补成下图中的长方体，则球心在长方形上， 所以，而，则，在中，其中表示点到的距离，所以点到平面的距离就是点到的距离. 5．在边长为2的正方形中，E是AB的中点，点F是BC的中点，将分别沿折起，使A，B，C三点重合于点，则到平面的距离为（　　） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【详解】依题意，在三棱锥中，两两垂直，在中，， ，，设点到平面的距离为，由，得，即，解得， 所以点到平面EFD的距离为.答案：B 6．正方体的棱长为，则平面到平面的距离为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】证明平面，平面，等体积法求点到平面的距离和点到平面的距离，可得平面到平面的距离. 【详解】连接，正方体中，平面，平面，则， 正方形中，有，平面，，所以平面， 平面，则有，同理有，平面，， 所以平面，同理有平面，正方体棱长为，则，，设点到平面的距离为，由，    有，解得， 即点到平面的距离为2，同理点到平面的距离为2，， 则平面到平面的距离为.故选：B. 7．已知四棱锥的底面是边长为2的正方形，平面，，则到平面的距离为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，由等体积法可得到平面的距离. 【详解】连接，交于点，连接，则为的中点.因为平面，平面，所以.所以，所以.所以， 所以的面积为.因为平面，， 所以.设到平面的距离为， 由，得. 8．如图，在四面体OABC中，，，，，，，为BC的中点，则点到平面OMA的距离为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设点到平面OMA的距离为. ，，，平面； 平面，，即是直角三角形； ，，，； 为的中点，.. ，，，平面； 为的中点，平面，点到平面的距离为； ，，，. ，，即，解得. 即点到平面OMA的距离为. 二、填空题 9．已知正方体的棱长为，则直线到平面的距离为______. 【答案】1 【详解】连接交于点E， 由四边形为正方形，得，且为中点，由⊥底面，平面，得⊥，而，平面，则平面，因此AE的长即为点到平面的距离，又正方体棱长为，则，而平面，平面，则平面，故直线到平面的距离，即点到平面的距离. 10．如图，，是圆柱上、下底面圆的直径，四边形是边长为2的正方形，是底面圆周上的一点，．则点A到平面的距离为________． 【答案】 【详解】因为四边形是边长为2的正方形，且，所以，， 设点A到平面的距离为，因为，所以， 所以，所以点A到平面的距离为。 11．已知∠ACB＝90°，P为平面ABC外一点，PC＝2，点P到∠ACB两边AC，BC的距离均为，那么P到平面ABC的距离为________． 答案： 解析：如图，过点P作PO⊥平面ABC于O，则PO为P到平面ABC的距离．再过O作OE⊥AC于E，OF⊥BC于F，连接OC，PE，PF，则PE⊥AC，PF⊥BC．因为PE＝PF＝，所以OE＝OF，所以CO为∠ACB的平分线，即∠ACO＝45°．在Rt△PEC中，PC＝2，PE＝，所以CE＝1，所以OE＝1，所以PO＝＝＝． 12．“阿基米德多面体”是由边数不全相同的正多边形组成的多面体.某广场的石凳就是由6个全等的正方形和8个全等的正三角形构成的阿基米德多面体，它可以看成一个正方体截去八个一样的四面体得到，称之为截半立方体.若图中截半立方体的棱长，则异面直线AD和FP所成的角为____________，直线EB到平面PGQ的距离为____________. 【答案】 / 【详解】依题意，，则是异面直线AD和FP所成的角或其补角， 在中，，因此；将截半立方体还原成正方体，由截半立方体的结构特征知，平面平面，则直线EB到平面PGQ的距离等于平面与平面的距离， 而三棱锥都是正三棱锥，它们的高所在直线与正方体的一条体对角线重合， 设三棱锥的高等于，而侧棱长为，由，得， 即，解得，而，所以所求距离. 13．如图，等腰三角形中，，D为上一点，且，将沿翻折至平面平面，连接，则点D到平面的距离为_____. 【答案】 【详解】由已知，可得，所以．又， 所以，取的中点M，则，且． 因为平面平面，平面平面， 所以平面，所以．又因为，，平面， 所以平面，所以就是点D到平面的距离， 所以点D到平面的距离为. 14．在四棱锥中，平面，，，与平面所成角为，底面为直角梯形，，则点到平面的距离为_______. 【答案】/ 【详解】在平面中过作，垂足为， 因为平面，所以为与平面所成角，则， 又平面，所以，， 又，所以，，，因为，则， 又平面，所以平面，因为平面，所以， 又，平面，所以平面， 所以为点到平面的距离，即所求为. 三、解答题 15．在长方体中，为的中点，求直线与平面的距离． 【答案】/ 【详解】    如图， 易知为的中位线，故平面，平面， 所以平面，所以直线与平面的距离等于点到平面的距离， ， 在中，所以，即， 设点到平面的距离为，则根据， 解得，所以直线与平面的距离为， 16．如图，在棱长为2的正方体中，点是的中点，求直线到平面的距离．    【答案】 【分析】根据面面平行的性质定理及线面平行的判定定理，可证平面，即点B到平面的距离即为直线到平面的距离，求得各个长度，根据等体积法，即可求得答案. 【详解】因为正方体，所以平面平面， 因为平面平面，平面平面， 所以，因为平面，平面，所以平面， 所以点B到平面的距离即为直线到平面的距离， 连接，取中点F，连接EF，如图所示，    则，，， 所以，所以，，设B到平面的距离为h，因为， 所以，即，解得， 所以直线到平面的距离为. 17．如图，在直三棱柱中，，，求点到平面的距离. 【答案】 【详解】连接. 因为为直三棱柱，所以平面，.又平面，所以， 所以，. 因为平面，平面，，所以平面， 所以.因为，平面，所以平面， 又平面，所以，所以. 设点到平面的距离为，则，即，所以. 所以点到平面的距离为. 18．如图，在圆锥中，底面圆心为O，母线，圆锥的高，底面圆O的内接四边形为正方形. (1)证明：； (2)求四棱锥的体积； (3)求直线到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析； (2)192； (3). 【分析】（1）利用线面垂直的判定及性质，结合圆锥的结构特征推理得证. （2）利用锥体的体积公式求解即可. （3）证明平面，再利用等体积法求出距离. 【详解】（1）在圆锥中，正方形内接于圆O，则，，而平面，平面，则，又平面，因此平面，而平面，所以. （2）由（1）得，由，得，正方形的面积，而平面， 所以四棱锥的体积为. （3）由正方形，得，而平面，平面，则平面，直线到平面的距离等于点到平面的距离，在中，，则边上的高，的面积，由（2）得， 又，因此，所以直线到平面的距离为. 19．如图1，某广场上放置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样的正三棱锥得到的，它的所有棱长均相同，数学上我们称之为半正多面体（semiregular solid），亦称为阿基米德多面体，如图2，设，求平面与平面之间的距离. 【答案】 【分析】不妨记正方体为，设对角线分别交平面和平面于点，，可推出即为平面与平面的距离，结合等体积法求得，结合对称性求得即可． 【详解】如图，不妨记正方体为，，， 故四边形是平行四边形，所以，又，分别为，的中点， 所以，同理，所以，又平面，平面， 所以平面，同理平面，又，，平面，所以平面平面， 设对角线分别交平面和平面于点，， 因为平面，平面，所以，连接，因为分别为的中点，故，又，平面，， 所以平面，又平面，所以，同理， 又，，平面，所以平面，又平面平面， 所以平面，即为平面与平面的距离，则， 由正方体棱长为得，由题意得， 为等边三角形且边长为1，故， 根据，得，解得， 根据对称性知，所以，则平面与平面的距离为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学人教A版必修二立体几何初步暑期专项作业10 测试范围：空间点、线、面的距离问题 知识梳理： 求点面距离的思路与注意事项 一、解题思路（一作二证三求，核心三步） 作垂线段：过目标点作已知平面的垂线，找到垂足，连接点与垂足的线段即为所求距离； 技巧：优先借助几何体中已有垂直关系（如面面垂直、线面垂直）作垂线，或过点作面内两条相交直线的垂线，再证线面垂直。 证垂直：证明所作线段与已知平面线面垂直（紧扣线面垂直判定定理），确认该线段为点到平面的垂线段（唯一距离）。 求长度：将垂线段放入可解的直角三角形（利用几何体棱长、已知角度、面面/线面垂直性质补全边长条件），通过勾股定理、解直角三角形、等面积法计算垂线段长度，即为点到平面的距离。 二、注意事项 辅助线依托垂直性：有面面垂直时，在一个面内作交线的垂线，该线必垂直另一平面（面面垂直性质），快速得垂线段； 等面积法巧代求：若直接作垂线困难，可将点到面的距离转化为棱锥的高，利用等体积法间接求解（几何法补充技巧）； 证垂直是关键：切勿直接将斜线段当作垂线段，必须严格证明线面垂直，否则距离求解错误； 抓特殊点简化计算：优先利用中点、垂足、端点等特殊点作垂线，让三角形边长更易推导。 回归教材： 【人教A版必修二第6.6.2节例5】已知直线平面，求证：直线上任意两点到平面的距离都相等. 【人教A版必修二第6.6.2节练习第2题P155】已知两点在平面的同侧，且它们与的距离相等，求证：直线. 【人教B版必修四03参考题C组第7题】已知正三棱锥ABC，点P，A，B，C都在半径为的球面上，若PA，PB，PC两两互相垂直，求球心到截面ABC的距离． 跟踪训练： 一、单选题 1．正方体中，棱长为2cm，则点与点的距离为（   ） A． B． C．2 D． 2．在长方体中，，，则点到平面的距离等于（    ） A． B． C．1 D． 3．如图，在直三棱柱中，，，点P为棱的中点，则点P到直线AB的距离为（   ） A． B． C． D． 4．在三棱锥中，，且，，平面，若，，，四点都在球的表面上，则点到平面的距离为（   ） A． B． C． D． 5．在边长为2的正方形中，E是AB的中点，点F是BC的中点，将分别沿折起，使A，B，C三点重合于点，则到平面的距离为（　　） A．1 B． C． D．2 6．正方体的棱长为，则平面到平面的距离为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．已知四棱锥的底面是边长为2的正方形，平面，，则到平面的距离为（     ） A． B． C． D． 8．如图，在四面体OABC中，，，，，，，为BC的中点，则点到平面OMA的距离为（    ）    A． B． C． D． 二、填空题 9．已知正方体的棱长为，则直线到平面的距离为______. 10．如图，，是圆柱上、下底面圆的直径，四边形是边长为2的正方形，是底面圆周上的一点，．则点A到平面的距离为________． 11．已知∠ACB＝90°，P为平面ABC外一点，PC＝2，点P到∠ACB两边AC，BC的距离均为，那么P到平面ABC的距离为________． 12．“阿基米德多面体”是由边数不全相同的正多边形组成的多面体.某广场的石凳就是由6个全等的正方形和8个全等的正三角形构成的阿基米德多面体，它可以看成一个正方体截去八个一样的四面体得到，称之为截半立方体.若图中截半立方体的棱长，则异面直线AD和FP所成的角为____________，直线EB到平面PGQ的距离为____________. 13．如图，等腰三角形中，，D为上一点，且，将沿翻折至平面平面，连接，则点D到平面的距离为_____. 14．在四棱锥中，平面，，，与平面所成角为，底面为直角梯形，，则点到平面的距离为_______. 三、解答题 15．在长方体中，为的中点，求直线与平面的距离． 16．如图，在棱长为2的正方体中，点是的中点，求直线到平面的距离．    17．如图，在直三棱柱中，，，求点到平面的距离. 18．如图，在圆锥中，底面圆心为O，母线，圆锥的高，底面圆O的内接四边形为正方形. (1)证明：； (2)求四棱锥的体积； (3)求直线到平面的距离. 19．如图1，某广场上放置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样的正三棱锥得到的，它的所有棱长均相同，数学上我们称之为半正多面体（semiregular solid），亦称为阿基米德多面体，如图2，设，求平面与平面之间的距离. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $