异面直线所成的角06——高一数学人教A版必修二立体几何初步暑假专项作业（解析版+原卷版）

**基本信息** 聚焦异面直线所成角，构建"定义-定理-步骤-方法"四层方法体系，通过教材典例与梯度训练实现空间观念与推理能力的专项突破。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |知识梳理|2定理+2方法|作角（平移/补体）→证角→求角（锐角/补角判定）|以基本事实4和等角定理为逻辑起点，通过定义构建空间角量化模型，形成"理论-操作-应用"完整链条| |回归教材|2例题+2练习|取点优化策略（异面直线上取点简化计算）|精选正方体、长方体模型，渗透"降维转化"思想，强化几何直观| |跟踪训练|19题（选择8+填空5+解答6）|几何体类型适配法（正棱锥用平移法，圆台用补体法）|覆盖正棱锥、三棱柱等8类几何体，从基础计算到动态探究，分层培养数学思维与表达能力|

高一数学人教A版必修二立体几何初步暑期专项作业06 测试范围：异面直线所成的角 知识梳理： 1．基本事实4和等角定理 基本事实4：平行于同一条直线的两条直线互相平行． 等角定理：如果空间中两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补． 2．异面直线所成的角 (1)定义：已知a，b是两条异面直线，经过空间任意一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的角叫作异面直线a与b所成的角(或夹角)． (2)范围：（0，]. 3、求异面直线所成角的步骤 (1)作：通过作平行线得到相交直线． (2)证：证明所作角为异面直线所成的角(或其补角)． (3)求：解三角形，求出所作的角，如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角；如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角． 4、求异面直线所成角的方法： (1)平移法：将异面直线中的某一条直线平移，使其与另一条相交，一般采用图中已有的平行线或者作平行线， 形成三角形求解． (2)补体法：在该几何体的某侧补接上一个同样的几何体，在这两个几何体中找异面直线相应的位置，形成三角形求解． 提醒：两异面直线所成的角归结到一个三角形的内角时，容易忽视这个三角形的内角可能等于两异面直线所成的角，也可能等于其补角． 回归教材： 【人教A版必修二第8.6.1节例1】如左图，已知正方体. （1）哪些棱所在的直线与直线垂直？ （2）求直线与所成的角的大小. （3）求直线与所成的角的大小. 【人教A版必修二第8.6.1节例2】如图(1),在正方体中,为底面的中心.求证：. （1） (2) 点评：从例1与例2的解答可以看到,为了简便,求异面直线所成的角时,点常取在两条异面直线中的一条上.例如取在直线上,然后经过点作直线,那么与所成的角就是异面直线与所成的角(如下图）. 【人教A版必修二第8.6.1节练习第3题】如图，已知长方体中，，，. （1）和所成的角是多少度？ （2）和所成的角是多少度？ 【人教A版必修二第8.6.1节练习第4题】如图，在正三棱柱中，D为棱的中点，，求证. 跟踪训练： 一、单选题 1．在棱长均相等的正四棱锥中，点为棱的中点，则异面直线，所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 2.在正三棱柱中,,则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 3．如图,三棱锥的所有棱都相等,是棱的中点,则异面直线和所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 4．在四面体ABCD中，，，E为CD的中点，则异面直线BE与AD所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 5．在正方体中，为线段的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D．0 6．（人教A版必修二复习参考题8综合运用第11题改编）如图，在四面体中，平面，M是的中点，P是的中点，点Q在线段上，且．若三角形为边长为2的正三角形，，则异面直线和所成角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 7、在四面体ABCD中，BD＝AC＝2，AB＝BC＝CD＝DA＝，E，F分别为AD，BC的中点，则异面直线EF与AC所成的角为(　 ) A. B. C. D. 8.如图，圆台OO1的上底面半径为O1A1＝1，下底面半径为OA＝2，母线长AA1＝2，过OA的中点B作OA的垂线交圆O于点C，则异面直线OO1与A1C所成角的大小为(　 ) A．30°　　 B．45°　　　C．60°　　　D．90° 9．如图,在正四棱柱中,是棱的中点,则直线与BE所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 10．已知空间四边形，连接和，且，点是线段的中点，则异面直线和所成的角的余弦值是______． 11．如图是一个正方体的表面展开图，A、B、D均为棱的中点，C为顶点，在该正方体中，异面直线AB和CD所成角的余弦值为______． 12．在三棱柱中，，，，，则异面直线与所成角的余弦值为______. 13．在空间四边形ABCD中，AB＝CD，且异面直线AB与CD所成的角为60°，E，F分别为边BC和AD的中点，则异面直线EF和AB所成的角为________． 14.在正四棱台中,分别是棱的中点,若正四棱台的侧面积为,则异面直线与EF所成角的余弦值是______． 三、解答题 15.如图,在底面为等边三角形的直三棱柱中,分别为棱的中点,为棱上的动点,且线段的长度最小值为,求异面直线与所成角的余弦值。 16．如图,α∥β,A,C∈α,B,D∈β,AC与BD为异面直线,AC=6,BD=8,AB=CD=10,AB与CD成60°的角,求异面直线AC与BD夹角的大小 17.在正四棱台中,,高为1,求直线与AC所成角的余弦值。 18．（1）如图所示，AB是圆O的直径，点C是弧AB的中点，D、E分别是VB、VC的中点，求异面直线DE与AB所成的角. （2）如图，已知空间四边形ABCD的四条边及对角线的长均为1，M､N分别是BC与AD的中点，设AM和CN所成角为，求。 19．如图，在四面体中，平面，M是的中点，P是的中点，点Q在线段上，且． (1)求证：平面． (2)若三角形为边长为2的正三角形，，求异面直线和所成角的余弦值 ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学人教A版必修二立体几何初步暑期专项作业06 测试范围：异面直线所成的角 知识梳理： 1．基本事实4和等角定理 基本事实4：平行于同一条直线的两条直线互相平行． 等角定理：如果空间中两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补． 2．异面直线所成的角 (1)定义：已知a，b是两条异面直线，经过空间任意一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的角叫作异面直线a与b所成的角(或夹角)． (2)范围：（0，]. 3、求异面直线所成角的步骤 (1)作：通过作平行线得到相交直线． (2)证：证明所作角为异面直线所成的角(或其补角)． (3)求：解三角形，求出所作的角，如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角；如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角． 4、求异面直线所成角的方法： (1)平移法：将异面直线中的某一条直线平移，使其与另一条相交，一般采用图中已有的平行线或者作平行线， 形成三角形求解． (2)补体法：在该几何体的某侧补接上一个同样的几何体，在这两个几何体中找异面直线相应的位置，形成三角形求解． 提醒：两异面直线所成的角归结到一个三角形的内角时，容易忽视这个三角形的内角可能等于两异面直线所成的角，也可能等于其补角． 回归教材： 【人教A版必修二第8.6.1节例1】如左图，已知正方体. （1）哪些棱所在的直线与直线垂直？ （2）求直线与所成的角的大小. （3）求直线与所成的角的大小. 解：（1）棱，，，，，，，所在直线分别与直线垂直. （2）因为是正方体，所以，因此为直线与所成的角.又因为，所以直线与所成的角等于45°. （3）如右图，连接.因为是正方体，所以.从而四边形是平行四边形，所以.于是为异面直线与所成的角.连接，易知是等边三角形，所以.从而异面直线与所成的角等于60°. 【人教A版必修二第8.6.1节例2】如图(1),在正方体中,为底面的中心.求证. （1） (2) 证明：如图(2),连接.是正方体, .四边形是平行四边形.. 直线与所成的角即为直线与所成的角. 连接,易证.又为底面的中心， 为的中点,.. 点评：从例1与例2的解答可以看到,为了简便,求异面直线所成的角时,点常取在两条异面直线中的一条上.例如取在直线上,然后经过点作直线,那么与所成的角就是异面直线与所成的角(如下图）. 【人教A版必修二第8.6.1节练习第3题】如图，已知长方体中，，，. （1）和所成的角是多少度？ （2）和所成的角是多少度？ 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据可知所求角为，由中的长度关系可求得结果； （2）根据可知所求角为，由中的长度关系可求得结果. 【详解】（1）连接， ，异面直线和所成角即为直线和所成角，即，在中，，，，，即异面直线和所成角为； （2）连接， ，异面直线和所成角即为直线和所成角，即，在中，，，，，即异面直线和所成角为. 【点睛】本题考查立体几何中异面直线所成角的求解问题，关键是能够通过平行关系将异面直线所成角转化为相交直线所成角的求解问题. 【人教A版必修二第8.6.1节练习第4题】如图，在正三棱柱中，D为棱的中点，，求证. 【答案】见解析 【分析】如图，取中点、为E，连接，就是异面直线所成的角，利用勾股定理计算得到证明。 【详解】如图，取中点、为E，连接.为的中点，， 就是异面直线所成的角.∵在正三棱柱中，， ，，，，， ，即，. 【点睛】本题考查了线线垂直，转化为异面直线夹角是解题的关键。 跟踪训练： 一、单选题 1．在棱长均相等的正四棱锥中，点为棱的中点，则异面直线，所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】不妨设棱长为1，取中点为， 由为的中位线知，，所以是异面直线，所成角的平面角， 在中，，，. 2.在正三棱柱中,,则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】在正三棱柱中,,则（或其补角）为异面直线与所成的角． 设,在中,,, 由余弦定理得故选D. 3．如图,三棱锥的所有棱都相等,是棱的中点,则异面直线和所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】取的中点,连接,,则,即为异面直线和所成的角或其补角．不妨设,则,,在中,由余弦定理,得．故选A． 4．在四面体ABCD中，，，E为CD的中点，则异面直线BE与AD所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作出异面直线与所成角，利用余弦定理求得所成角的余弦值. 【详解】由于，所以，设分别是的中点， 连接，则，所以异面直线BE与AD所成角为（或其补角），在中，，所以， 所以异面直线BE与AD所成角的余弦值为. 5．在正方体中，为线段的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D．0 【答案】C 【分析】连接，易证，只需解三角形，求出的余弦值即可得解. 【详解】 如图，正方体中，为线段的中点，连接，， 因为，，所以四边形是平行四边形，， 异面直线与所成角，即直线与所成角，为或其补角， 设正方体的棱长为2，则，， 在中，，， 即是直角三角形，，即异面直线与所成角的余弦值为. 6．（人教A版必修二复习参考题8综合运用第11题改编）如图，在四面体中，平面，M是的中点，P是的中点，点Q在线段上，且．若三角形为边长为2的正三角形，，则异面直线和所成角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】取的中点E，将异面直线化为共面直线，解三角形即可. 【详解】取的中点E，连接，易知，则或其补角为异面直线和所成的角，因为平面，平面，所以， 即，显然，所以为直角三角形，通过解三角形可得，即异面直线和所成角的余弦值为． 7、在四面体ABCD中，BD＝AC＝2，AB＝BC＝CD＝DA＝，E，F分别为AD，BC的中点，则异面直线EF与AC所成的角为(　 ) A. B. C. D. 【解析】如图，把四面体ABCD补成一个长、宽、高分别为，，1的长方体，取AB的中点G，连接GE，GF.因为G，F分别是AB，BC的中点，所以GF∥AC，GF＝AC＝1，同理GE∥BD，GE＝BD＝1.因为AC⊥BD，所以GE⊥GF，所以△GEF是等腰直角三角形，则∠EFG＝，即异面直线EF与AC所成的角为. 8.如图，圆台OO1的上底面半径为O1A1＝1，下底面半径为OA＝2，母线长AA1＝2，过OA的中点B作OA的垂线交圆O于点C，则异面直线OO1与A1C所成角的大小为(　 ) A．30°　　 B．45°　　　C．60°　　　D．90° 解析：选B　在直角梯形OO1A1A中，∵B为OA的中点，OA＝2，∴O1A1＝OB＝AB＝1，连接A1B，易知四边形OO1A1B为矩形，∴OO1∥A1B，∴∠BA1C为异面直线OO1与A1C所成的角， 在Rt△AA1B中，AA1＝2，AB＝1，∴A1B＝；连接OC，在Rt△OBC中，由OB＝1，OC＝2得BC＝；在Rt△A1BC中，BC＝A1B，∴∠BA1C＝45°. 9．如图,在正四棱柱中,是棱的中点,则直线与BE所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】如图,连接,在正四棱柱中,设,, 则,又是棱的中点,所以,所以, 又在正四棱柱中,,所以四边形为平行四边形,则, 所以（或其补角）即为直线与BE所成的角,由,则, 又,在中,由余弦定理得 .故选D. 二、填空题 10．已知空间四边形，连接和，且，点是线段的中点，则异面直线和所成的角的余弦值是______． 【答案】 【分析】取中点，连接，，则异面直线和所成角为或其补角，在中使用余弦定理求解即可. 【详解】 如图，取中点，连接，，∵，分别为，中点，∴，且，∴异面直线和所成角为或其补角，在等边和等边中，，∴在中，由余弦定理，有，∴异面直线和所成的角的余弦值为. 11．如图是一个正方体的表面展开图，A、B、D均为棱的中点，C为顶点，在该正方体中，异面直线AB和CD所成角的余弦值为______． 【答案】 【详解】将正方体的表面展开图还原成正方体，如图：连接、，因为A、B均为棱的中点，所以所以是异面直线AB和CD所成角（或补角），设正方体的棱长为，在中，，,， 12．在三棱柱中，，，，，则异面直线与所成角的余弦值为______. 【答案】/ 【详解】在三棱柱中，， 所以异面直线与所成的角即或其补角，因为，，所以， 因为，，，平面，平面， 所以平面，又，所以平面，因为平面，所以， 因为，，所以， 因为异面直线所成角的范围是，所以异面直线与所成角的余弦值为. 13．在空间四边形ABCD中，AB＝CD，且异面直线AB与CD所成的角为60°，E，F分别为边BC和AD的中点，则异面直线EF和AB所成的角为________． 答案：30°或60° 解析：如图，设G是AC的中点，连接EG，GF，由已知得EG綉AB，FG綉CD，∴∠EGF或其补角是AB和CD所成的角，∠GEF或其补角是AB和EF所成的角． ∵AB＝CD，∴EG＝GF，∴∠GEF＝∠GFE.当∠EGF＝60°时，AB和EF所成的角为∠GEF＝60°；当∠EGF＝120°时，AB和EF所成的角为∠GEF＝30°. 14.在正四棱台中,分别是棱的中点,若正四棱台的侧面积为,则异面直线与EF所成角的余弦值是______． 【答案】 【解析】取棱AB的中点H,连接,易证四边形为平行四边形,则, 因为E,F分别是棱的中点,所以,则是异面直线与EF所成的角或其补角．作,垂足为G,则,因为正四棱台的侧面积为,所以,所以,则, 因为,所以,即所求值为． 三、解答题 15.如图,在底面为等边三角形的直三棱柱中,分别为棱的中点,为棱上的动点,且线段的长度最小值为,求异面直线与所成角的余弦值。 【答案】 【解析】由于三棱柱为直三棱柱,所以底面, 底面,所以, 故,故当时,此时最小,线段的长度最小值, 由于线段的最小值为,故此时,为中点,故,连接,则,故为其补角即为异面直线与所成角,, ,故异面直线与所成角的余弦值为. 16．如图,α∥β,A,C∈α,B,D∈β,AC与BD为异面直线,AC=6,BD=8,AB=CD=10,AB与CD成60°的角,求异面直线AC与BD夹角的大小 【答案】90° 【解析】过点作的平行线交平面于点,连接,.,平面,平面,四边形为平行四边形,又与成60°的角,故或,当时,又为等边三角形,故当时,,又,不合题意；综上,在中,,所以（或其补角）为异面直线与所成的角,故异面直线与所成的角为. 17.在正四棱台中,,高为1,求直线与AC所成角的余弦值。 【答案】 【解析】在正四棱台中,,所以,又高为, 所以,过点作的垂线,垂足为,可得, 所以,同理可得,因为,所以为直线与所成角或补角,在中,,由余弦定理得,即直线与AC所成角的余弦值为. 18．（1）如图所示，AB是圆O的直径，点C是弧AB的中点，D、E分别是VB、VC的中点，求异面直线DE与AB所成的角. （2）如图，已知空间四边形ABCD的四条边及对角线的长均为1，M､N分别是BC与AD的中点，设AM和CN所成角为，求。 【答案】（1）45°；(2). 【详解】（1）因为D、E分别是VB、VC的中点，所以BC∥DE，因此∠ABC是异面直线DE与AB所成的角，又因为AB是圆O的直径，点C是弧AB的中点，所以△ABC是以∠ACB为直角的等腰直角三角形，于是∠ABC＝45°，故异面直线DE与AB所成的角为45°. （2）如图，连接MD，设O为MD的中点，连接ON､OC，则且. 所以为异面直线AM与CN所成的角（或补角）.由题意，可得，所以，，. 在中，由余弦定理，可得：，即. 19．如图，在四面体中，平面，M是的中点，P是的中点，点Q在线段上，且． (1)求证：平面． (2)若三角形为边长为2的正三角形，，求异面直线和所成角的余弦值 ． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）取中点O，靠近C的四等分点H，利用平行线分线段成比例判定线线平行即可证明线面平行； （2）取的中点E，将异面直线化为共面直线，解三角形即可. 【详解】（1）如图所示，取中点O，且P是中点， ∴ ，取的四等分点H，使，且， ∴ ，∴，∴ 四边形为平行四边形， ∴ ，在平面外，且平面，∴ 平面． （2） 取的中点E，连接，易知，则或其补角为异面直线和所成的角， 因为平面，平面，所以，即， 显然，所以为直角三角形，通过解三角形可得， 即异面直线和所成角的余弦值为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $