第14讲 万有引力定律及应用（高效培优讲义）2027年高考物理一轮复习高效培优系列

该高中物理高考复习讲义聚焦万有引力定律及应用专题，覆盖开普勒行星运动定律、万有引力定律及其应用、天体质量和密度计算等核心考点，按“考情分析-知识梳理-重难突破-分层集训”逻辑架构知识体系，通过考点解读明确高考要求，知识导图构建联系，技法点拨突破难点，真题演练强化应用，帮助学生系统掌握天体运动规律。 讲义突出科学思维与模型建构，如结合“天宫”空间站、“吉林一号”卫星等航天情境设计典例，引导学生用万有引力提供向心力模型分析问题，通过“黄金代换式”“天体密度计算模板”等策略固化解题方法。分层集训包含基础演练、能力进阶、真题实战，适配不同学生需求，助力教师精准把控复习节奏，有效提升学生高考应试能力。

第14讲 万有引力定律及应用（培优复习讲义） 内容导航 夯实基础·突破重难·分层提能 考情・分析解读（课标要求 考情解读 备考策略） 基础・知识梳理（专题线索 知识导图 知识梳理） 知识01 开普勒行星运动定律 知识02 万有引力定律及其应用 知识03 天体质量和密度的计算 重难・核心突破（技法点拨 典例突破 变式研析） 重难01 对开普勒行星运动定律的理解与应用 重难02 万有引力定律的应用 重难03 天体重力加速度相关问题 重难04 中心天体质量、密度的计算 拔高・分层集训（基础演练 能力进阶 真题实战） 考情·分析解读 课标要求 1．了解开普勒行星三定律，会用开普勒第三定律进行相关计算 2．理解万有引力定律，知道其内容、公式及公式的适用范围。 3．掌握计算天体质量和密度的方法。 考题统计 核心考点 2026年 2025年 2024年 考点01 开普勒行星运动定律（5年17考） 云南卷T4、 山东卷T4 云南卷T5、浙江6月T13、 高考课标卷T2、湖南卷T4、 安徽卷T9、广东卷T5、 浙江1月选考T6 山东卷T5、 浙江6月T8、 安徽卷T5、 河北卷T8 考点02 万有引力定律及其应用（5年8考） 贵州卷T2、 黑吉辽蒙卷T9 高考课标卷T2、 浙江卷6月T2 广西卷T1 考点03 中心天体质量、密度的计算（5年16考） 四川卷T4、 湖南卷T3、 浙江1月选考T5 湖南卷T4、陕晋青宁卷T2、 安徽卷T9、北京卷T7、 广东卷T5 海南卷T6、 北京卷T21、 高考新课标卷T3 考情解读 1．考查频次：高考高频必考专题，以选择题考查为主，少数地区结合计算题命题，属于天体力学板块核心考点，考查难度中等、题型固定。 2．考查要点：掌握开普勒三大行星运动定律，理解万有引力定律内涵，熟练利用万有引力提供向心力，求解天体运行参数、天体质量与密度。 3．命题情境：多以太阳系行星、人造卫星、深空探测航天器为命题载体，结合航天科技热点情境设问，侧重模型公式套用与定量计算。 备考策略 1．熟记核心定律：牢记开普勒三定律和万有引力公式，理清天体运动基本规律。 2．固化中心模型：吃透万有引力供向心力核心方程，熟练套用天体参数、密度计算模板。 3．区分两类模型：辨析自转天体与环绕天体计算差异，规避高频易错公式陷阱。 基础・知识梳理 专题线索 1．规律线：梳理开普勒行星运动三大定律，搭建天体运动理论基础。 2．公式线：归纳万有引力定律推论、天体质量密度全套计算公式。 3．应用线：整合行星、人造卫星等天体模型的题型应用逻辑。 知识导图 核心梳理 知识1 开普勒行星运动定律 1．开普勒第一定律（轨道定律）：所有行星绕太阳运动的轨道都是　　　　，太阳处在　　　　的一个焦点上。 2．开普勒第二定律（面积定律）：任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过的　　　　相等。 3．开普勒第三定律 （1）内容：所有行星轨道的半长轴的　　　　跟它的公转周期的　　　　的比都相等。 （2）公式：，k是一个与行星无关的常量。 对开普勒三定律的理解 1．由开普勒第二定律可得，，解得，即行星在两个位置的速度之比与到太阳的距离成反比，近日点速度最大，远日点速度最小。 2．k值只与中心天体的质量有关，不同的中心天体k值不同，且该定律只能用在同一中心天体的两星体之间。 知识2 万有引力定律及其应用 1．万有引力定律 （1）内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比、与它们之间距离r的　　　　成反比。 （2）公式：，G为引力常量，通常取G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，由物理学家　　　　　　首先测定。 （3）适用条件 ①公式适用于　　　　　间的相互作用，当两个物体间的距离远大于物体本身的大小时，物体可视为质点。 ②质量分布均匀的球体可视为质点，r是　　　　 间的距离。 2．万有引力与重力的关系 （1）纬度对重力的影响 如图所示，设地球的质量为M，半径为R，A处物体的质量为m，物体受到地球的万有引力为F引，方向指向地心O。 由万有引力定律公式可得。F向提供物体随地球自转需要的向心力，方向垂直于地轴；mg就是物体的重力G，产生使物体压地面的效果。 ①物体在赤道上：重力和向心力在一条直线上，有，即，所以（ω为地球自转的角速度）。 ②物体在地球两极处：物体随地球自转所需的向心力为零，所以。 ③物体在地面上其他位置：重力是万有引力的一个分力，重力的大小，重力的方向偏离地心。 综上分析可知，随着纬度的升高，物体随地球自转的向心加速度逐渐减小，重力逐渐增大。 （2）高度对重力的影响（不考虑地球自转） ①在地球表面：→地球表面的重力加速度。 ②在距地面高h处：→离地面高h处的重力加速度，高度h越大，重力加速度gh越小。 ③g和gh的关系：。 黄金代换式—— gR2＝GM 由于物体随地球自转需要的向心加速度很小,一般情况下认为重力近似等于万有引力。因此不考虑地球自转时，在地球表面及表面附近有，化简得。适用于任何天体，在某星体的质量M未知的情况下，可以用该星体的半径和表面的重力加速度表示M。 3．万有引力的“两个推论” （1）推论1：在匀质球壳空腔内的任意位置处，质点受到球壳的万有引力的合力为零，即∑F引=0。 （2）推论2：在匀质球体内部距离球心r处的质点（m）受到的万有引力等于球体内半径为r的同心球体（M'）对其的万有引力，即。 知识3 天体质量和密度的计算 1．重力加速度法：利用天体表面的重力加速度g和天体半径R。 （1）由得天体质量。 （2）天体密度。 2．天体环绕法：测出卫星绕天体做匀速圆周运动的周期T和半径r。 （1）由得天体的质量。 （2）若已知天体的半径R，则天体的密度。 （3）若卫星绕天体表面运行，可认为轨道半径r等于天体半径R，则天体密度，可见，只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T，就可估算出中心天体的密度。 重难・核心突破 重难01 对开普勒行星运动定律的理解与应用 【技法点拨】 1．开普勒第一定律为轨道定律，行星的运行轨道为椭圆，但一般都接近于圆，计算时可认为行星做匀速圆周运动，这时太阳在圆心。 2．开普勒第二定律为面积定律，如图所示，行星从a到b和从c到d都经历较短的时间Δt，行星与太阳的连线扫过的面积相等（扇形面积相等），即，故有。 3．开普勒第三定律不仅适用于行星绕太阳公转，也适用于卫星（或星体）绕其他中心天体公转的情形。若把卫星（或星体）运行轨道近似看成圆，开普勒第三定律公式为，这时k由中心天体决定，与卫星无关。 【典例突破】（2026·云南·高考真题）我国“天宫”空间站的轨道离地高度约为400km，空间站内的宇航员每24h能看到16次日出。“吉林一号”遥感卫星组网中的某颗卫星轨道离地高度约为535km。已知地球半径约为6400km，空间站与该卫星绕地球的运动均视为匀速圆周运动，则该卫星的周期约为（   ） A．1.0h B．1.5h C．2.0h D．2.4h 【变式研析】 1．（2026·海南海口·模拟预测）（多选）下列有关开普勒提出的行星运动定律的叙述正确的是（     ） A．行星绕太阳运动的周期与轨道半长轴成正比 B．开普勒第三定律只适用于太阳系行星围绕太阳的运动 C．太阳位于行星椭圆轨道的一个焦点上 D．行星近日点的运行速度大于它在远日点的运行速度 2．（2026·浙江杭州·模拟预测）太阳系各行星几乎在同一水平面内沿同一方向绕太阳做圆周运动。当地球恰好运行至某地外行星和太阳之间，且三者几乎排成一条直线的现象，天文学称为“行星冲日”。北京时间2022年9月27日，我们迎来了一次特别的木星冲日。这次冲日时，木星正好运行至近日点附近，这意味着木星距离地球更近，看起来也更大、更亮。已知地球和各地外行星绕太阳运动的轨道半径如下表所示。地球公转轨道半径在天文学上常用来作为长度单位，叫作天文单位，符号“AU”，即天文单位。根据以上信息分析下列选项，其中说法正确的是（     ） 行星 地球 火星 木星 土星 天王星 海王星 轨道半径 1.0 1.5 5.2 9.5 19 30 A．各地外行星中火星受太阳引力最大 B．木星公转周期不到11年 C．各地外行星中海王星两次冲日的时间间隔最长 D．2023年会再次出现木星冲日现象 3．（2025·江苏·模拟预测）地球沿椭圆轨道绕太阳运行所处不同位置对应的节气，设地球公转周期为T。下列说法正确的是（　　） A．地球做匀变速曲线运动 B．冬至地球公转的角速度比夏至大 C．夏至地球的加速度最大 D．从夏至开始经历地球正好位于秋分 重难02 万有引力定律的应用 【技法点拨】 1．均匀球壳对质点的万有引力的计算 （1）质点位于球壳内部：均匀球壳内部的质点受到的球壳各部分引力的合力为零。 （2）质点位于球壳外部：假设球壳半径为R，质点到球壳表面的距离为r，那么，即质点受到的万有引力为将球壳视为一位于球心处与球壳等质量的质点与壳外质点间的万有引力。 2．质量分布均匀的实心球对质点的万有引力的计算 （1）质点位于实心球体外部：假设球半径为R，质点距离球表面距离为r，那么。 （2）质点位于实心球体内部 均匀球壳内部的质点受到的球壳各部分引力的合力为零，则质点所在处以外的实心球体部分可视为均匀球壳，该部分对质点的引力为零。质点所在处以内的实心球体部分可视为一位于球心处的具有该部分球体质量的质点。 【典例突破】（2026·贵州·高考真题）月球引潮力是引起海洋潮汐的主要原因，可等效为地表某点处质量为的海水所受月球引力减去地心处相同质量的物质所受月球引力。已知地球半径为，地心与月心间距为，月球质量为，引力常量为，地表点背对月球，P、O和在同一直线上，如图所示，则点处质量为的海水所受月球引潮力大小为（     ） A． B． C． D． 【变式研析】 1．（2026·河南周口·三模）巨蟹座55（类太阳恒星系统）中，主星巨蟹座55A是一颗超富金属恒星，质量为M。巨蟹座55e为55A的一颗行星，55e的质量为m，半径为R，自转周期为T1，55e绕55A运行的轨道半径为r，公转周期为T2。引力常量为G，则55e绕55A做匀速圆周运动时，所需的向心力大小为（　　） A． B． C． D． 2．假设地球是一个半径为、质量分布均匀的球体，地表重力加速度为，已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的万有引力为零。如图所示，若在地球内部以地心为圆心、为半径挖一条圆形隧道，现使一小球在隧道内做匀速圆周运动，且不与隧道壁接触，小球可视为质点，不考虑隧道宽度与阻力。则小球在隧道中做匀速圆周运动的速度大小为（　　） A． B． C． D． 3．（多选）如图所示，在质量为M且均匀分布的半径为R的球内挖去半径为r的球，在球外两球的圆心连线上距球表面R的位置放一质量为m可视为质点的小球A，已知，两球心OO1间距离为，均匀球壳对壳内质点的引力为零，万有引力常量为G。则下列说法正确的是（    ） A．剩余部分对小球A的引力的方向在OA连线上 B．剩余部分对小球A的引力大小为 C．若将小球A放入图中的空腔内，则小球在其内的任何位置受到剩余部分对它的万有引力是相等的 D．被挖去部分的质量为 重难03 天体重力加速度相关问题 【技法点拨】 1．计算星球表面附近的重力加速度 当星球不自转或该星球的自转可以忽略时，星球对其表面处物体的引力等于物体在星球表面受到的重力，即，得。 2．计算距星球表面h高度处的重力加速度 在距星球表面h高度处，星球对该处物体的万有引力等于物体在该处的重力，即，。在星球表面附近，即h＝0处，。 【典例突破】（2026·河南南阳·模拟预测）“天链一号”卫星属于地球同步轨道卫星，被称为“天上数据中转站”，是北斗导航系统的重要组成部分。“天链一号”卫星的轨道半径约为4.24×104km，地球的半径约为6.4×103km，则地球赤道表面重力加速度与两极的重力加速度大小之比最接近下列哪个数值（　　） A．0.99 B．0.92 C．0.90 D．0.85 【变式研析】 1．（2026·重庆九龙坡·模拟预测）中国计划在2030年前实现首次载人登月。已知月球的自转周期约为27d，月球和地球均可视为均质圆球，月球半径约为地球半径的0.27倍，月球上极地与赤道的重力加速度大小之差为，地球上极地与赤道的重力加速度大小之差为。据此可以推算出，约为（　　） A． B． C．3.7×10⁻⁴ D． 2．（2026·黑龙江哈尔滨·三模）我国航天科学家在进行深空探索的过程中发现有颗星球具有和地球一样的自转特征。如图所示，假设该星球绕轴自转，所在的赤道平面将星球分为南北半球，连线与赤道平面的夹角为30°，经测定，A位置的重力加速度为g，D位置的重力加速度为，则E位置的重力加速度为（　　） A． B． C． D． 3．（2026·山东枣庄·二模）某行星的半径为，卫星贴近其表面沿圆周绕行的周期为。该行星表面的水平面上有一倾角为的斜面，如图所示，小球从斜面上一点以水平初速度抛出，之后落回斜面。若小球仅受该行星的引力作用，则小球抛出后在空中运动的时间为（　　） A． B． C． D． 重难04 中心天体质量、密度的计算 【典例突破】（2026·四川·高考真题）离地球280光年外有一恒星TOI-561。与TOI-561相距约0.01 AU（日地距离为1 AU）的行星绕其公转的周期约为地球公转周期的，该行星和地球的公转均视为匀速圆周运动。则TOI-561与太阳的质量的比值约为（     ） A．0.16 B．0.64 C．1.6 D．6.4 【变式研析】 1．（2026·湖南·高考真题）郭守敬望远镜是我国首个天文领域大科学装置，积累了大量的观测数据。分析观测数据表明，某行星绕一恒星做匀速圆周运动的周期为T，轨道半径为该恒星半径的n倍。不考虑其他星体的影响，引力常量为G，则该恒星的平均密度为（   ） A． B． C． D． 2．（2026·辽宁沈阳·三模）中国在轨地球卫星超1200颗，已建成通信、导航、遥感、气象等全领域卫星体系。低轨卫星绕地球运动均视为匀速圆周运动，卫星与地心的连线单位时间内扫过的面积S的平方与卫星的轨道半径的关系图像如图所示，图线斜率为。已知引力常量为，则地球的质量为（　　） A． B． C． D． 3．（2025·山东枣庄·二模）地球绕太阳做匀速圆周运动的轨道半径为，周期为，月球绕地球做匀速圆周运动的轨道半径为，周期为，地球表面的重力加速度为g，引力常量为G。下列说法正确的是（　　） A．地球的质量可表示为 B．地球的半径可表示为 C．太阳与地球的质量之比为 D．太阳与地球的质量之比为 4．（2026·山东烟台·一模）（多选）如图所示，某飞船沿半径为的圆轨道1绕地球做匀速圆周运动，运行周期为T。为使该飞船返回地面，宇航员在轨道1上A点启动发动机，使飞船速度瞬间改变后关闭发动机，飞船恰好能沿着以地心为焦点的椭圆轨道2运行，该椭圆轨道与地球表面B点相切。已知地球半径为R，，引力常量为G，下列说法正确的是（    ） A．地球的密度为 B．地球的密度为 C．飞船沿轨道2从A到B的时间为 D．飞船沿轨道2从A到B的时间为 拔高・分层集训 基础演练 1．如图所示，在某行星的轨道上有a、b、c、d四个对称点，若行星运动周期为，则行星（     ） A．从d经a到b的运动时间小于从b经c到d的时间 B．从b到c的运动时间等于从d到a的时间 C．从到的时间 D．从到的时间 2．如图所示，虚线为金星绕日运行的椭圆形轨道，a、c为椭圆轨道长轴端点，b、d为椭圆轨道短轴端点。金星沿图中箭头方向运行。某时刻金星位于a点，经过四分之三周期，金星位于轨道的（　　） A．c点 B．cd之间 C．d点 D．da之间 3．（2026·浙江绍兴·二模）探索行星时经常使用的飞掠器，它沿着椭圆轨道运动，近地点几乎与行星表面相切。如图所示，行星中心为，半径为，飞掠器在点时速度大小为、方向与连线的夹角为，已知两点之间距离为，飞掠器只受行星的引力，则（     ） A．飞掠器的近地点为连线上的点 B．飞掠器的近地点为延长线上的点 C．飞掠器在近地点的速度大小为 D．飞掠器在近地点的速度大小为 4．利用金星凌日可以较准确测定日地间的距离。当出现金星凌日时（如图所示），测得地球与金星最近距离为，金星和地球公转周期之比为，则日地距离约为（　　） A． B． C． D． 5．如图所示，有一质量为、半径为、密度均匀的球体，在距球心处有一质量为的质点。若以球心为中心挖去一个半径为的球体，为引力常量，则剩下部分对质点的万有引力为（     ） A． B． C． D． 6．有一质量为、半径为、密度均匀的球体，在距离球心为的地方有一质量为的质点。现从中挖去半径为的球体，如图所示，则剩余部分对的万有引力大小为（     ） A． B． C． D． 7．节气是中国古代订立的一种用来指导农事的补充历法，现行二十四节气划分是以地球和太阳的连线每扫过定为一个节气。如图为地球在公转轨道上位置对应北半球二十四个节气的示意图，则（    ） A．夏至时地球公转的线速度比冬至时大 B．从大寒到大暑的时间为半年 C．大暑时地球角速度小于大寒时的角速度 D．大寒时地球受太阳的引力比大暑时小 8．如图所示，两个质量分布均匀的球体，左侧大球的半径为2r，右侧小球的半径为r，两球心之间的距离为7r，两球之间的引力大小为F，现从大球的中心挖走一个半径为r的球，从小球的中心挖走一个半径为的球，则剩余的两球壳间的引力大小为（     ） A． B． C． D． 9．如图所示，质量为、半径为R的均匀球体A，质量为、半径为2R的均匀球体B，A、B间相距，引力常量为G，则A、B间引力大小约为（　　） A． B． C． D． 10．已知引力常量和月球半径，航天员登陆月球后，在月球表面附近某处以速度竖直向上抛出一个小球，经时间小球落回抛出点。忽略月球的自转，则月球质量的表达式为（     ） A． B． C． D． 11．（2026·安徽·模拟预测）如图所示，某卫星发射后进入椭圆轨道。测得该卫星在椭圆轨道上运动的最大速度是最小速度的3倍，运行的周期为，离地心的最近距离为，引力常量为，则地球的质量为（    ） A． B． C． D． 12．（2026·山东青岛·二模）2026年我国将要发射“嫦娥七号”探测器，对月球南极开展环境与资源勘查。探测器由轨道器、着陆器等组成。如图所示，轨道器在半径为r的圆形极月轨道上运行，运行周期为T。已知月球的半径为R，万有引力常量为G，忽略月球自转。下列说法正确的是（　　） A．月球的质量为 B．月球的质量为 C．月球表面的重力加速度为 D．月球表面的重力加速度为 13．某校科技小组利用小孔成像原理和万有引力知识估测太阳的密度。在一个晴朗的中午，科技小组成员在水平地面上将一个小孔竖直直立，并使小孔正对着太阳光，同时调节小孔后面的屏幕与小孔之间的距离，直到在屏幕上形成太阳的倒立的缩小的清晰实像。如图所示，测出小孔到屏幕的距离为D，像的长度为d，查阅资料得知，地球绕太阳的公转周期为T，引力常量为G。地球到太阳中心的距离远大于太阳的半径，当θ较小时，近似存在关系。则太阳的密度为（     ） A． B． C． D． 14．（2026·四川广元·三模）因为用长度单位去描述遥远星体的大小没有太大意义，所以我们通常描述天体的大小是以从地球上看到天体的角度大小来描述，即“角直径”（如图中，，为星体半径，为公转半径）。宇宙中某恒星质量是太阳质量的倍。设想地球也可以绕该恒星公转，同时将地球绕太阳和绕该恒星的运动均视为匀速圆周运动，通过计算地球绕该恒星的公转周期与地球绕太阳的公转周期之比为，且该恒星与太阳的角直径相等，则该恒星与太阳的平均密度之比为（　　） A． B． C． D． 15．（2026·山西·二模）牛顿在发现万有引力定律的过程中，进行了著名的“月-地检验”，其基本思路为月球绕地球做圆周运动的向心加速度，与地球表面物体的重力加速度，都遵从“与距离平方成反比”的规律，从而验证天上与地下的引力是同一种力。已知设地球质量为、月球质量为、苹果质量为，地球中心与月球中心的距离为，地球中心与苹果的距离近似为，月球绕地球运动周期为，引力常量为，地球表面重力加速度为。下列说法正确的是（　　） A．月球绕地球运动的向心加速度为 B．月-地检验只需知道和 C．月球绕地球做圆周运动的向心加速度和苹果的自由落体加速度之间的大小关系应该满足 D．根据题干内容可求得地球质量 16．如图所示，地球可看作质量分布均匀、半径为R的球体，“蛟龙号”位于地球内部的a点距地心的距离为r，“天宫号”位于地球外部的b点距地心的距离为，。已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，忽略地球的自转，则“蛟龙号”与“天宫号”的重力加速度大小之比为（　　） A． B． C． D． 17．（多选）已知月球的半径为、球心为，月球两极处重力加速度大小为，月球赤道处重力加速度大小为，质量为的物体静止在月球北纬的点。若月球可看作质量均匀分布的球体，下列说法正确的是（　　） A．月球自转角速度的大小为 B．月球自转角速度的大小为 C．物体受到月球表面作用力的大小为 D．物体受到月球表面作用力所在的方向不在连线上 18．（2026·吉林长春·模拟预测）已知地球质量为，月球质量为，引力常量为。将月球绕地球的运动看成匀速圆周运动，且月球与地球两球心之间的距离为。 （1）求月球绕地球公转的线速度的大小； （2）在牛顿的时代，已经能够比较精确地测定：月球与地球两球心之间的距离（）约为地球半径的60倍，月球绕地球公转的周期，地球表面的重力加速度取。请通过计算推理说明“使月球绕地球运动的力”与“使苹果落地的力”遵从相同的规律（可取，忽略天体的自转及空气阻力的影响）。 19．（2026·江苏徐州·一模）2024年6月，嫦娥六号探测器在人类历史上首次实现月球背面采样。采样的月壤质量为m，测得月球表面的重力加速度g。已知月球半径为r，引力常量为G。求： （1）探测器在月球表面采样月壤的重力F； （2）月球的质量M。 20．（2025·湖南湘西·一模）一火星探测器着陆火星之前，需经历动力减速、悬停避障等阶段。在动力减速阶段，探测器速度大小由324km/h减小到0，历时60s。在悬停避障阶段，探测器启用最大推力为7000N的变推力发动机，在距火星表面约百米高度处悬停，寻找着陆点。已知火星半径约为地球半径的，火星质量约为地球质量的，地球表面重力加速度大小g取，探测器在动力减速阶段的运动视为竖直向下的匀减速运动。求： （1）在动力减速阶段，探测器的加速度大小和下降距离； （2）在悬停避障阶段，能借助该变推力发动机实现悬停的探测器的最大质量。 能力进阶 1．（2026·四川泸州·二模）如图所示，卫星P和Q在同一平面内绕地球做匀速圆周运动，P在轨道I上的周期为T1、Q在轨道Ⅱ上的周期为T2，O为地球的球心。某时刻OP与QP的夹角∠OPQ达最大值θ，则（　　） A． B． C． D． 2．行星A、B绕太阳运动的轨迹为椭圆，太阳在椭圆轨道的焦点上，A、B所受的引力随时间的变化如图所示，其中，行星A、B与太阳的距离分别记为rA、rB。假设A、B只受到太阳的引力，下列叙述正确的是（　　） A．行星A、B轨道半长轴之比2：1 B．rA的最大值与rB的最大值之比为4：9 C．行星A与行星B的质量之比为81：32 D．行星B与太阳的连线在任意t2时间内扫过的面积均为整个椭圆轨道面积 3．利用三颗位置适当的地球静止卫星（通常三颗卫星在等边三角形的三个顶点），可使地球赤道上任意两点之间保持无线电通信，地球静止卫星的轨道半径约为地球半径的6.6倍，取。若地球自转周期变小为小时，依然要实现上述目的，需要等间距分布的静止卫星的数量至少为（　　） A．3颗 B．4颗 C．5颗 D．6颗 4．如图所示，假设沿地轴凿通一条贯穿地球的光滑隧道。由于隧道极窄，地球仍可视作半径为R，质量分布均匀的球体。已知质量分布均匀的球壳对其内部物体的引力为零，地心在O点，不考虑地球的自转，一小球（可视为质点）由隧道上空距地球表面高度也为R的位置由静止释放，小球运动过程中加速度与释放位置加速度相同的点到地心的距离为（     ） A． B． C． D． 5．（2026·陕西商洛·模拟预测）据报道：2026年3月7日，天问一号完成第一次轨道中途修正，继续朝火星前进。已知火星和地球近似在同一平面内绕太阳做匀速圆周运动，火星与地球之间的万有引力大小F随时间t的变化关系如图所示。火星和地球之间的万有引力远小于太阳分别对火星和地球的万有引力，地球绕太阳运动的轨道半径小于火星绕太阳运动的轨道半径，地球的公转周期为1年，。则图像中的时间T最接近（　　） A．1.5年 B．1.8年 C．2.0年 D．2.2年 6．假设地球是一个半径为、质量分布均匀的球体，已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的万有引力为零。若在地球内部，以地心为圆心、为半径挖一条圆形隧道，如图所示。现使一小球在隧道内做匀速圆周运动，且不与隧道壁接触，小球可视为质点，不考虑隧道宽度与阻力。已知地表重力加速度为g，则其在隧道中做匀速圆周运动的速度大小为（　　） A． B． C． D． 7．已知质量均匀分布的球壳对球壳内物体的引力为零．现在质量为M，半径为R，球心在O点的地球内部挖一个半径为，球心在的球形洞．现将一质量为m的小球从洞内P点由静止释放．其中地球可视为质量均匀分布．关于小球的运动，以下说法正确的是（　　） A．小球做变加速运动，最终撞到O点 B．小球在P点时的加速度方向为 C．小球在P点时的加速度大小为 D．小球在P点时所受万有引力的大小为 8．“中国天眼”发现，距地球17光年的地方有一颗“超级地球”，据科学家测算，这颗星球具有和地球一样的自转特征。如图所示，这颗星球可看成质量分布均匀的球体，该星球绕AB轴自转，CD所在的赤道平面将星球分为南、北半球，OP连线与赤道平面的夹角为60°。若A位置的重力加速度为g，D位置的重力加速度为，则质量为m的小物体静止在P位置时，所受的重力大小为（　　） A． B． C． D． 9．（多选）万有引力定律揭示了天体运行规律与地球上物体运动规律的一致性。一般可将地球看作质量分布均匀，半径为R的球体。由于地球自转的影响，在地球表面不同纬度，重力加速度会有所不同。若在地球南北极的重力加速度为，在赤道海平面处的重力加速度为，则下列说法正确的是（　　） A．地球的自转周期 B．地球的自转周期 C．在纬度为60°处的海平面处，重力加速度 D．在纬度为60°处的海平面处，重力加速度 10．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）（多选）工程上常利用“重力加速度反常”来探测矿物，原理简化为如图所示，为某地区地面附近的一点，若地下无矿物时，地下岩石的平均密度为，其正常加速度为，若在地下存在一半径为的球形的矿坑，则点的重力加速度变为， 矿物的平均密度为，矿坑的中心离点的距离为，点、点与地球球心共线。定义为“重力加速度反常值”， 已知当时，测得“重力加速度反常值”为，忽略地球自转，下列说法正确的是（　　） A．，则 B． ，则 C．若，则 D．若，则 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第14讲 万有引力定律及应用（培优复习讲义） 参考答案 基础・知识梳理 核心梳理 知识1 开普勒行星运动定律 1．椭圆 椭圆 2．面积 3．三次方 二次方 知识2 万有引力定律及其应用 1．二次方 卡文迪 质点 两球心 重难・核心突破 重难01 对开普勒行星运动定律的理解与应用 【典例突破】 B 【变式研析】1．CD 2．D 3．B 重难02 万有引力定律的应用 【典例突破】 D 【变式研析】1．A 2．D 3．AC 重难03 天体重力加速度相关问题 【典例突破】 A 【变式研析】1．C 2．C 3．A 重难04 中心天体质量、密度的计算 【典例突破】 B 【变式研析】1．C 2．B 3．D 4．BD 拔高・分层集训 基础演练 1．A 2．B 3．C 4．A 5．B 6．C 7．C 8．A 9．D 10．A 11．C 12．D 13．C 14．A 15．C 16．B 17．BD 18．（1） （2）误差允许范围内，说明两者遵从相同的规律 19．（1） （2） 20．（1），2700m （2）1750kg 能力进阶 1．C 2．B 3．D 4．B 5．D 6．C 7．D 8．D 9．AD 10．BD 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第14讲 万有引力定律及应用（培优复习讲义） 内容导航 夯实基础·突破重难·分层提能 考情・分析解读（课标要求 考情解读 备考策略） 基础・知识梳理（专题线索 知识导图 知识梳理） 知识01 开普勒行星运动定律 知识02 万有引力定律及其应用 知识03 天体质量和密度的计算 重难・核心突破（技法点拨 典例突破 变式研析） 重难01 对开普勒行星运动定律的理解与应用 重难02 万有引力定律的应用 重难03 天体重力加速度相关问题 重难04 中心天体质量、密度的计算 拔高・分层集训（基础演练 能力进阶 真题实战） 考情·分析解读 课标要求 1．了解开普勒行星三定律，会用开普勒第三定律进行相关计算 2．理解万有引力定律，知道其内容、公式及公式的适用范围。 3．掌握计算天体质量和密度的方法。 考题统计 核心考点 2026年 2025年 2024年 考点01 开普勒行星运动定律（5年17考） 云南卷T4、 山东卷T4 云南卷T5、浙江6月T13、 高考课标卷T2、湖南卷T4、 安徽卷T9、广东卷T5、 浙江1月选考T6 山东卷T5、 浙江6月T8、 安徽卷T5、 河北卷T8 考点02 万有引力定律及其应用（5年8考） 贵州卷T2、 黑吉辽蒙卷T9 高考课标卷T2、 浙江卷6月T2 广西卷T1 考点03 中心天体质量、密度的计算（5年16考） 四川卷T4、 湖南卷T3、 浙江1月选考T5 湖南卷T4、陕晋青宁卷T2、 安徽卷T9、北京卷T7、 广东卷T5 海南卷T6、 北京卷T21、 高考新课标卷T3 考情解读 1．考查频次：高考高频必考专题，以选择题考查为主，少数地区结合计算题命题，属于天体力学板块核心考点，考查难度中等、题型固定。 2．考查要点：掌握开普勒三大行星运动定律，理解万有引力定律内涵，熟练利用万有引力提供向心力，求解天体运行参数、天体质量与密度。 3．命题情境：多以太阳系行星、人造卫星、深空探测航天器为命题载体，结合航天科技热点情境设问，侧重模型公式套用与定量计算。 备考策略 1．熟记核心定律：牢记开普勒三定律和万有引力公式，理清天体运动基本规律。 2．固化中心模型：吃透万有引力供向心力核心方程，熟练套用天体参数、密度计算模板。 3．区分两类模型：辨析自转天体与环绕天体计算差异，规避高频易错公式陷阱。 基础・知识梳理 专题线索 1．规律线：梳理开普勒行星运动三大定律，搭建天体运动理论基础。 2．公式线：归纳万有引力定律推论、天体质量密度全套计算公式。 3．应用线：整合行星、人造卫星等天体模型的题型应用逻辑。 知识导图 核心梳理 知识1 开普勒行星运动定律 1．开普勒第一定律（轨道定律）：所有行星绕太阳运动的轨道都是　椭圆　，太阳处在　椭圆　的一个焦点上。 2．开普勒第二定律（面积定律）：任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过的　面积　相等。 3．开普勒第三定律 （1）内容：所有行星轨道的半长轴的　三次方　跟它的公转周期的　二次方　的比都相等。 （2）公式：，k是一个与行星无关的常量。 对开普勒三定律的理解 1．由开普勒第二定律可得，，解得，即行星在两个位置的速度之比与到太阳的距离成反比，近日点速度最大，远日点速度最小。 2．k值只与中心天体的质量有关，不同的中心天体k值不同，且该定律只能用在同一中心天体的两星体之间。 知识2 万有引力定律及其应用 1．万有引力定律 （1）内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比、与它们之间距离r的　二次方　成反比。 （2）公式：，G为引力常量，通常取G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，由物理学家__卡文迪什__首先测定。 （3）适用条件 ①公式适用于　质点　间的相互作用，当两个物体间的距离远大于物体本身的大小时，物体可视为质点。 ②质量分布均匀的球体可视为质点，r是　两球心　间的距离。 2．万有引力与重力的关系 （1）纬度对重力的影响 如图所示，设地球的质量为M，半径为R，A处物体的质量为m，物体受到地球的万有引力为F引，方向指向地心O。 由万有引力定律公式可得。F向提供物体随地球自转需要的向心力，方向垂直于地轴；mg就是物体的重力G，产生使物体压地面的效果。 ①物体在赤道上：重力和向心力在一条直线上，有，即，所以（ω为地球自转的角速度）。 ②物体在地球两极处：物体随地球自转所需的向心力为零，所以。 ③物体在地面上其他位置：重力是万有引力的一个分力，重力的大小，重力的方向偏离地心。 综上分析可知，随着纬度的升高，物体随地球自转的向心加速度逐渐减小，重力逐渐增大。 （2）高度对重力的影响（不考虑地球自转） ①在地球表面：→地球表面的重力加速度。 ②在距地面高h处：→离地面高h处的重力加速度，高度h越大，重力加速度gh越小。 ③g和gh的关系：。 黄金代换式—— gR2＝GM 由于物体随地球自转需要的向心加速度很小,一般情况下认为重力近似等于万有引力。因此不考虑地球自转时，在地球表面及表面附近有，化简得。适用于任何天体，在某星体的质量M未知的情况下，可以用该星体的半径和表面的重力加速度表示M。 3．万有引力的“两个推论” （1）推论1：在匀质球壳空腔内的任意位置处，质点受到球壳的万有引力的合力为零，即∑F引=0。 （2）推论2：在匀质球体内部距离球心r处的质点（m）受到的万有引力等于球体内半径为r的同心球体（M'）对其的万有引力，即。 知识3 天体质量和密度的计算 1．重力加速度法：利用天体表面的重力加速度g和天体半径R。 （1）由得天体质量。 （2）天体密度。 2．天体环绕法：测出卫星绕天体做匀速圆周运动的周期T和半径r。 （1）由得天体的质量。 （2）若已知天体的半径R，则天体的密度。 （3）若卫星绕天体表面运行，可认为轨道半径r等于天体半径R，则天体密度，可见，只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T，就可估算出中心天体的密度。 重难・核心突破 重难01 对开普勒行星运动定律的理解与应用 【技法点拨】 1．开普勒第一定律为轨道定律，行星的运行轨道为椭圆，但一般都接近于圆，计算时可认为行星做匀速圆周运动，这时太阳在圆心。 2．开普勒第二定律为面积定律，如图所示，行星从a到b和从c到d都经历较短的时间Δt，行星与太阳的连线扫过的面积相等（扇形面积相等），即，故有。 3．开普勒第三定律不仅适用于行星绕太阳公转，也适用于卫星（或星体）绕其他中心天体公转的情形。若把卫星（或星体）运行轨道近似看成圆，开普勒第三定律公式为，这时k由中心天体决定，与卫星无关。 【典例突破】（2026·云南·高考真题）我国“天宫”空间站的轨道离地高度约为400km，空间站内的宇航员每24h能看到16次日出。“吉林一号”遥感卫星组网中的某颗卫星轨道离地高度约为535km。已知地球半径约为6400km，空间站与该卫星绕地球的运动均视为匀速圆周运动，则该卫星的周期约为（   ） A．1.0h B．1.5h C．2.0h D．2.4h 【答案】B 【解析】由题知“天宫”空间站周期，运行半径r1 = 6800km “吉林一号”遥感卫星运行半径r2 = 6935km，根据开普勒第三定律有 解得T2 ≈ T1 = 1.5h 故选B。 【变式研析】 1．（2026·海南海口·模拟预测）（多选）下列有关开普勒提出的行星运动定律的叙述正确的是（     ） A．行星绕太阳运动的周期与轨道半长轴成正比 B．开普勒第三定律只适用于太阳系行星围绕太阳的运动 C．太阳位于行星椭圆轨道的一个焦点上 D．行星近日点的运行速度大于它在远日点的运行速度 【答案】CD 【解析】A．根据开普勒第三定律（与中心天体有关的常量），行星运动周期的平方与轨道半长轴的三次方成正比，并非周期与半长轴成正比，故A错误； B．开普勒第三定律不仅适用于太阳系行星绕太阳的运动，也适用于其他天体系统（如卫星绕行星运动、其他恒星系的行星运动），故B错误； C．开普勒第一定律指出：所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在行星椭圆轨道的一个焦点上，故C正确； D．根据开普勒第二定律，行星与太阳的连线在相等时间内扫过相等的面积，近日点行星到太阳的距离更小，因此运行速度更大，远日点运行速度更小，故D正确。 故选CD。 2．（2026·浙江杭州·模拟预测）太阳系各行星几乎在同一水平面内沿同一方向绕太阳做圆周运动。当地球恰好运行至某地外行星和太阳之间，且三者几乎排成一条直线的现象，天文学称为“行星冲日”。北京时间2022年9月27日，我们迎来了一次特别的木星冲日。这次冲日时，木星正好运行至近日点附近，这意味着木星距离地球更近，看起来也更大、更亮。已知地球和各地外行星绕太阳运动的轨道半径如下表所示。地球公转轨道半径在天文学上常用来作为长度单位，叫作天文单位，符号“AU”，即天文单位。根据以上信息分析下列选项，其中说法正确的是（     ） 行星 地球 火星 木星 土星 天王星 海王星 轨道半径 1.0 1.5 5.2 9.5 19 30 A．各地外行星中火星受太阳引力最大 B．木星公转周期不到11年 C．各地外行星中海王星两次冲日的时间间隔最长 D．2023年会再次出现木星冲日现象 【答案】D 【解析】A．太阳对行星的引力为，题目仅给出各行星轨道半径，未给出行星质量，无法判断引力大小，故A错误； B．根据开普勒第三定律，可得木星公转周期，故B错误； C．冲日时间间隔满足地球比地外行星多公转1圈，即 整理得，地外行星周期越大，越接近1年（越小）。 由开普勒第三定律可知海王星轨道半径最大，周期最大，故冲日间隔最短，故C错误； D．代入木星周期可得冲日间隔，2022年9月27日加1.09年约为2023年10月末，属于2023年，故D正确。 故选D。 3．（2025·江苏·模拟预测）地球沿椭圆轨道绕太阳运行所处不同位置对应的节气，设地球公转周期为T。下列说法正确的是（　　） A．地球做匀变速曲线运动 B．冬至地球公转的角速度比夏至大 C．夏至地球的加速度最大 D．从夏至开始经历地球正好位于秋分 【答案】B 【解析】A．地球沿椭圆轨道绕太阳运行，所受万有引力方向不断变化，加速度方向也不断变化，不是匀变速曲线运动，故 A错误； B．根据开普勒第二定律，在相等时间内，地球与太阳的连线扫过的面积相等。冬至时地球离太阳较近，夏至时离太阳较远，在相同时间内扫过相等面积，冬至时运动的弧长更长，由线速度v更大，半径r更小可知，冬至地球公转的角速度比夏至大，故 B正确； C．根据万有引力提供合外力，可得 夏至时地球离太阳远，r大，加速度小，故 C错误； D．地球绕太阳做椭圆运动，在不同轨道位置的线速度不同，从夏至开始经历，地球不是正好位于秋分，故 D错误。 故选B。 重难02 万有引力定律的应用 【技法点拨】 1．均匀球壳对质点的万有引力的计算 （1）质点位于球壳内部：均匀球壳内部的质点受到的球壳各部分引力的合力为零。 （2）质点位于球壳外部：假设球壳半径为R，质点到球壳表面的距离为r，那么，即质点受到的万有引力为将球壳视为一位于球心处与球壳等质量的质点与壳外质点间的万有引力。 2．质量分布均匀的实心球对质点的万有引力的计算 （1）质点位于实心球体外部：假设球半径为R，质点距离球表面距离为r，那么。 （2）质点位于实心球体内部 均匀球壳内部的质点受到的球壳各部分引力的合力为零，则质点所在处以外的实心球体部分可视为均匀球壳，该部分对质点的引力为零。质点所在处以内的实心球体部分可视为一位于球心处的具有该部分球体质量的质点。 【典例突破】（2026·贵州·高考真题）月球引潮力是引起海洋潮汐的主要原因，可等效为地表某点处质量为的海水所受月球引力减去地心处相同质量的物质所受月球引力。已知地球半径为，地心与月心间距为，月球质量为，引力常量为，地表点背对月球，P、O和在同一直线上，如图所示，则点处质量为的海水所受月球引潮力大小为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据题图可知P点距月心的距离为，地心与月心间距为，月球质量为，根据万有引力公式结合月球引潮力的定义可得点处质量为的海水所受月球引潮力大小为 故选D。 【变式研析】 1．（2026·河南周口·三模）巨蟹座55（类太阳恒星系统）中，主星巨蟹座55A是一颗超富金属恒星，质量为M。巨蟹座55e为55A的一颗行星，55e的质量为m，半径为R，自转周期为T1，55e绕55A运行的轨道半径为r，公转周期为T2。引力常量为G，则55e绕55A做匀速圆周运动时，所需的向心力大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】AB．55e绕55A做匀速圆周运动的向心力由二者间的万有引力提供，则 其中r为公转轨道半径，故A正确，B错误； CD．公转运动的向心力周期公式为，故CD错误。 故选A。 2．假设地球是一个半径为、质量分布均匀的球体，地表重力加速度为，已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的万有引力为零。如图所示，若在地球内部以地心为圆心、为半径挖一条圆形隧道，现使一小球在隧道内做匀速圆周运动，且不与隧道壁接触，小球可视为质点，不考虑隧道宽度与阻力。则小球在隧道中做匀速圆周运动的速度大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设地球总质量为，对地表物体，因万有引力等于重力有 可得 地球密度均匀，因此 根据题意，均匀球壳对内部物体引力为零，小球在半径的隧道内做圆周运动，只有半径以内的球体对小球有引力作用，该部分球体质量 万有引力提供小球做匀速圆周运动的向心力 整理得 代入、 解得 故选D。 3．（多选）如图所示，在质量为M且均匀分布的半径为R的球内挖去半径为r的球，在球外两球的圆心连线上距球表面R的位置放一质量为m可视为质点的小球A，已知，两球心OO1间距离为，均匀球壳对壳内质点的引力为零，万有引力常量为G。则下列说法正确的是（    ） A．剩余部分对小球A的引力的方向在OA连线上 B．剩余部分对小球A的引力大小为 C．若将小球A放入图中的空腔内，则小球在其内的任何位置受到剩余部分对它的万有引力是相等的 D．被挖去部分的质量为 【答案】AC 【解析】D．在质量为M且均匀分布的半径为R的球内挖去半径为的球，根据质量与体积成正比的关系可知被挖去部分的质量为，故D错误； AB．未挖去时的球体对A的万有引力为 挖去的球体对A的万有引力为 剩余部分对A的万有引力为 方向在OA连线上，故A正确，B错误； C．在空腔中任取一点P，令，，则P点受到的引力分解为第一步先将空腔填满的引力，第二步再减掉挖去部分的引力，如图所示 即合力为 其中， 可得 可知引力是相同的，故C正确。 故选AC。 重难03 天体重力加速度相关问题 【技法点拨】 1．计算星球表面附近的重力加速度 当星球不自转或该星球的自转可以忽略时，星球对其表面处物体的引力等于物体在星球表面受到的重力，即，得。 2．计算距星球表面h高度处的重力加速度 在距星球表面h高度处，星球对该处物体的万有引力等于物体在该处的重力，即，。在星球表面附近，即h＝0处，。 【典例突破】（2026·河南南阳·模拟预测）“天链一号”卫星属于地球同步轨道卫星，被称为“天上数据中转站”，是北斗导航系统的重要组成部分。“天链一号”卫星的轨道半径约为4.24×104km，地球的半径约为6.4×103km，则地球赤道表面重力加速度与两极的重力加速度大小之比最接近下列哪个数值（　　） A．0.99 B．0.92 C．0.90 D．0.85 【答案】A 【解析】设同步卫星轨道半径是地球半径的k倍，对同步卫星，有 对赤道上的物体，有 对两极的物体，有 联立可得地球赤道重力加速度大小与两极的重力加速度大小之比为， 解得地球赤道表面重力加速度与两极的重力加速度大小之比约为0.99。 故选A。 【变式研析】 1．（2026·重庆九龙坡·模拟预测）中国计划在2030年前实现首次载人登月。已知月球的自转周期约为27d，月球和地球均可视为均质圆球，月球半径约为地球半径的0.27倍，月球上极地与赤道的重力加速度大小之差为，地球上极地与赤道的重力加速度大小之差为。据此可以推算出，约为（　　） A． B． C．3.7×10⁻⁴ D． 【答案】C 【解析】星球极地的重力等于万有引力，赤道处万有引力的一部分用于提供自转的向心力，因此极地与赤道的重力加速度差等于赤道处自转的向心加速度，公式为 其中为星球半径，为星球自转周期。 因此两者的比值为 代入已知条件 ，月球自转周期 ，地球自转周期 可得 故选C。 2．（2026·黑龙江哈尔滨·三模）我国航天科学家在进行深空探索的过程中发现有颗星球具有和地球一样的自转特征。如图所示，假设该星球绕轴自转，所在的赤道平面将星球分为南北半球，连线与赤道平面的夹角为30°，经测定，A位置的重力加速度为g，D位置的重力加速度为，则E位置的重力加速度为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】在A点（极点），物体随星球自转的半径为0，向心加速度为0，万有引力等于重力，有 D位置的重力加速度为，有 在E点，物体做圆周运动的半径为，向心加速度 E点的重力加速度是万有引力加速度与向心加速度的矢量差，根据余弦定理有 解得 故选C。 3．（2026·山东枣庄·二模）某行星的半径为，卫星贴近其表面沿圆周绕行的周期为。该行星表面的水平面上有一倾角为的斜面，如图所示，小球从斜面上一点以水平初速度抛出，之后落回斜面。若小球仅受该行星的引力作用，则小球抛出后在空中运动的时间为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据 可得该行星表面的重力加速度 根据平抛运动的规律可知 解得，故选A。 重难04 中心天体质量、密度的计算 【典例突破】（2026·四川·高考真题）离地球280光年外有一恒星TOI-561。与TOI-561相距约0.01 AU（日地距离为1 AU）的行星绕其公转的周期约为地球公转周期的，该行星和地球的公转均视为匀速圆周运动。则TOI-561与太阳的质量的比值约为（     ） A．0.16 B．0.64 C．1.6 D．6.4 【答案】B 【解析】根据题意，由万有引力提供向心力有 可得 则有 故选B。 【变式研析】 1．（2026·湖南·高考真题）郭守敬望远镜是我国首个天文领域大科学装置，积累了大量的观测数据。分析观测数据表明，某行星绕一恒星做匀速圆周运动的周期为T，轨道半径为该恒星半径的n倍。不考虑其他星体的影响，引力常量为G，则该恒星的平均密度为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设恒星半径为R，由题意得行星轨道半径r = nR 行星绕恒星做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，有 整理得恒星质量 恒星为均匀球体，体积，平均密度，将r = nR代入得 故选C。 2．（2026·辽宁沈阳·三模）中国在轨地球卫星超1200颗，已建成通信、导航、遥感、气象等全领域卫星体系。低轨卫星绕地球运动均视为匀速圆周运动，卫星与地心的连线单位时间内扫过的面积S的平方与卫星的轨道半径的关系图像如图所示，图线斜率为。已知引力常量为，则地球的质量为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据可得 卫星与地心的连线单位时间内扫过的面积 则 则 解得地球的质量为。 故选B。 3．（2025·山东枣庄·二模）地球绕太阳做匀速圆周运动的轨道半径为，周期为，月球绕地球做匀速圆周运动的轨道半径为，周期为，地球表面的重力加速度为g，引力常量为G。下列说法正确的是（　　） A．地球的质量可表示为 B．地球的半径可表示为 C．太阳与地球的质量之比为 D．太阳与地球的质量之比为 【答案】D 【解析】A．地球表面的重力加速度为g，令地球半径为R，则有 解得 故A错误； B．月球绕地球做匀速圆周运动的轨道半径为，周期为，则有 结合上述解得 故B错误； CD．结合上述解得地球质量 地球绕太阳做匀速圆周运动的轨道半径为，周期为，则有 解得 结合上述解得 故C错误，D正确。 故选D。 4．（2026·山东烟台·一模）（多选）如图所示，某飞船沿半径为的圆轨道1绕地球做匀速圆周运动，运行周期为T。为使该飞船返回地面，宇航员在轨道1上A点启动发动机，使飞船速度瞬间改变后关闭发动机，飞船恰好能沿着以地心为焦点的椭圆轨道2运行，该椭圆轨道与地球表面B点相切。已知地球半径为R，，引力常量为G，下列说法正确的是（    ） A．地球的密度为 B．地球的密度为 C．飞船沿轨道2从A到B的时间为 D．飞船沿轨道2从A到B的时间为 【答案】BD 【解析】AB．飞船在半径为的圆轨道1绕地球做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，则有 地球的体积为 由题意可知 地球的密度 联立解得，故A错误，B正确。 CD．椭圆轨道2的半长轴 根据开普勒第三定律，可得飞船在椭圆轨道2的周期为 飞船沿轨道2从到运动时间为 联立解得，故C错误，D正确。 故选BD。 拔高・分层集训 基础演练 1．如图所示，在某行星的轨道上有a、b、c、d四个对称点，若行星运动周期为，则行星（     ） A．从d经a到b的运动时间小于从b经c到d的时间 B．从b到c的运动时间等于从d到a的时间 C．从到的时间 D．从到的时间 【答案】A 【解析】AB．根据开普勒第二定律可知行星在近日点速度最大，在远日点速度最小。行星 从d经a到b运动的平均速率大于从b经c到d的平均速率，可知从d经a到b的运动时间小于从b经c到d的时间； 由b到c运动时的平均速率小于由d到a运动时的平均速率，而弧长bc等于弧长da，故从b到c的运动时间大于从d到a的时间，故A正确，B错误； CD．在整个椭圆轨道上时间与周期的关系满足，，故CD错误。 故选A。 2．如图所示，虚线为金星绕日运行的椭圆形轨道，a、c为椭圆轨道长轴端点，b、d为椭圆轨道短轴端点。金星沿图中箭头方向运行。某时刻金星位于a点，经过四分之三周期，金星位于轨道的（　　） A．c点 B．cd之间 C．d点 D．da之间 【答案】B 【解析】根据开普勒第二定律可知，金星从a到c连线扫过面积正好是半个椭圆面积，则所用时间等于周期的二分之一，金星从a到d与中心天体连线扫过面积大于椭圆面积的四分之三，则所用时间大于周期的四分之三，故经过四分之三周期，金星位于轨道cd 之间，故B正确。 故选B。 3．（2026·浙江绍兴·二模）探索行星时经常使用的飞掠器，它沿着椭圆轨道运动，近地点几乎与行星表面相切。如图所示，行星中心为，半径为，飞掠器在点时速度大小为、方向与连线的夹角为，已知两点之间距离为，飞掠器只受行星的引力，则（     ） A．飞掠器的近地点为连线上的点 B．飞掠器的近地点为延长线上的点 C．飞掠器在近地点的速度大小为 D．飞掠器在近地点的速度大小为 【答案】C 【解析】AB．飞掠器在点时速度方向与连线的夹角为，且，说明速度既不垂直于PO也不平行于PO。即P点不是飞掠器轨道的远地点，PO所在直线与轨道的长轴不共线，所以飞掠器的近地点不在连线所在直线上，故AB错误； CD．设飞掠器在近地点的速度大小为，一段极短时间，根据开普勒第二定律有 解得，故C正确，D错误。 故选C。 4．利用金星凌日可以较准确测定日地间的距离。当出现金星凌日时（如图所示），测得地球与金星最近距离为，金星和地球公转周期之比为，则日地距离约为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设日地距离为 R，地球公转周期为 T1；日金距离为 r，金星公转周期为T2。根据开普勒第三定律有 已知金星和地球公转周期之比为 当出现金星凌日时，太阳、金星、地球在同一直线上，且金星位于太阳和地球之间，此时地球与金星距离最近，由几何关系可知 解得日地距离为 故选A。 5．如图所示，有一质量为、半径为、密度均匀的球体，在距球心处有一质量为的质点。若以球心为中心挖去一个半径为的球体，为引力常量，则剩下部分对质点的万有引力为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】质点距离大球球心的距离为，根据万有引力定律，完整大球对质点的引力​ 球体密度均匀，质量与体积成正比，体积 挖去小球半径为​，因此挖去小球的质量 挖去小球的球心也在点，到质点距离同样为，因此挖去部分对质点的引力 剩余部分引力等于原引力减去挖去部分的引力 故选B。 6．有一质量为、半径为、密度均匀的球体，在距离球心为的地方有一质量为的质点。现从中挖去半径为的球体，如图所示，则剩余部分对的万有引力大小为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】挖去的球体质量 则剩余部分对的万有引力大小为 故选C。 7．节气是中国古代订立的一种用来指导农事的补充历法，现行二十四节气划分是以地球和太阳的连线每扫过定为一个节气。如图为地球在公转轨道上位置对应北半球二十四个节气的示意图，则（    ） A．夏至时地球公转的线速度比冬至时大 B．从大寒到大暑的时间为半年 C．大暑时地球角速度小于大寒时的角速度 D．大寒时地球受太阳的引力比大暑时小 【答案】C 【解析】A．假设很小一段时间 夏至时扫过的面积为 冬至时扫过的面积为 由开普勒第二定律可知行星与太阳的连线相等时间扫过相等面积，可得 得，可知距离越远速度越小，故A错误； B．由开普勒第二定律可知行星与太阳的连线相等时间扫过相等面积，由图可知从大寒到大暑扫过的面积与从大暑到大寒扫过的面积并不相等，故B错误； C．由 得，可知距离越远角速度越小，故C正确； D．由，可知，距离越远引力越小，故D错误。 故选C 。 8．如图所示，两个质量分布均匀的球体，左侧大球的半径为2r，右侧小球的半径为r，两球心之间的距离为7r，两球之间的引力大小为F，现从大球的中心挖走一个半径为r的球，从小球的中心挖走一个半径为的球，则剩余的两球壳间的引力大小为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设两球的密度均为，挖走前，左右两侧球体的质量分别为，则 由万有引力定律得 挖走的左右两侧小球的质量分别为， 联立以上可得 则挖走后的两球壳之间的万有引力为， 整理得 则剩余部分之间的引力大小为 故选A。 9．如图所示，质量为、半径为R的均匀球体A，质量为、半径为2R的均匀球体B，A、B间相距，引力常量为G，则A、B间引力大小约为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由万有引力公式得，故选D。 10．已知引力常量和月球半径，航天员登陆月球后，在月球表面附近某处以速度竖直向上抛出一个小球，经时间小球落回抛出点。忽略月球的自转，则月球质量的表达式为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】取竖直向上为正方向，小球落回抛出点时位移为0，由匀变速直线运动位移公式 解得 忽略月球自转时，月球表面物体的万有引力等于重力，设月球质量为，物体质量为，则 解得 故选A。 11．（2026·安徽·模拟预测）如图所示，某卫星发射后进入椭圆轨道。测得该卫星在椭圆轨道上运动的最大速度是最小速度的3倍，运行的周期为，离地心的最近距离为，引力常量为，则地球的质量为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设最大速度为、最小速度为，离地心最远距离为，根据开普勒第二定律有 解得，则椭圆的半长轴 设卫星在半径为的圆轨道上运行的周期为，根据开普勒第三定律有 根据万有引力公式 解得 故选C。 12．（2026·山东青岛·二模）2026年我国将要发射“嫦娥七号”探测器，对月球南极开展环境与资源勘查。探测器由轨道器、着陆器等组成。如图所示，轨道器在半径为r的圆形极月轨道上运行，运行周期为T。已知月球的半径为R，万有引力常量为G，忽略月球自转。下列说法正确的是（　　） A．月球的质量为 B．月球的质量为 C．月球表面的重力加速度为 D．月球表面的重力加速度为 【答案】D 【解析】AB．根据万有引力提供向心力 可得，故AB错误； CD．根据万有引力与重力的关系 联立可得，故C错误，D正确。 故选D。 13．某校科技小组利用小孔成像原理和万有引力知识估测太阳的密度。在一个晴朗的中午，科技小组成员在水平地面上将一个小孔竖直直立，并使小孔正对着太阳光，同时调节小孔后面的屏幕与小孔之间的距离，直到在屏幕上形成太阳的倒立的缩小的清晰实像。如图所示，测出小孔到屏幕的距离为D，像的长度为d，查阅资料得知，地球绕太阳的公转周期为T，引力常量为G。地球到太阳中心的距离远大于太阳的半径，当θ较小时，近似存在关系。则太阳的密度为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设太阳半径为，日地距离为。由相似三角形，小角度近似，则 整理得 地球绕太阳公转，万有引力充当向心力 解得太阳质量 太阳视为球体，体积，密度 联立求得太阳密度 故选C。 14．（2026·四川广元·三模）因为用长度单位去描述遥远星体的大小没有太大意义，所以我们通常描述天体的大小是以从地球上看到天体的角度大小来描述，即“角直径”（如图中，，为星体半径，为公转半径）。宇宙中某恒星质量是太阳质量的倍。设想地球也可以绕该恒星公转，同时将地球绕太阳和绕该恒星的运动均视为匀速圆周运动，通过计算地球绕该恒星的公转周期与地球绕太阳的公转周期之比为，且该恒星与太阳的角直径相等，则该恒星与太阳的平均密度之比为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据 可得 平均密度为 作辅助线如图 几何关系可知 联立，解得 可得该恒星与太阳的平均密度之比为 故选A。 15．（2026·山西·二模）牛顿在发现万有引力定律的过程中，进行了著名的“月-地检验”，其基本思路为月球绕地球做圆周运动的向心加速度，与地球表面物体的重力加速度，都遵从“与距离平方成反比”的规律，从而验证天上与地下的引力是同一种力。已知设地球质量为、月球质量为、苹果质量为，地球中心与月球中心的距离为，地球中心与苹果的距离近似为，月球绕地球运动周期为，引力常量为，地球表面重力加速度为。下列说法正确的是（　　） A．月球绕地球运动的向心加速度为 B．月-地检验只需知道和 C．月球绕地球做圆周运动的向心加速度和苹果的自由落体加速度之间的大小关系应该满足 D．根据题干内容可求得地球质量 【答案】C 【解析】A．月球绕地球做圆周运动的轨道半径为地月间距，根据牛顿第二定律结合圆周运动有 又解得，选项错将月球轨道半径替换为地球半径，故A错误； B．月-地检验的核心是比较月球绕地的向心加速度与地表重力加速度，看是否满足平方反比关系，除、（用于计算）外，还需要地球半径和地表重力加速度，故B错误； C．对月球，万有引力提供向心力解得 对地表苹果，万有引力近似等于重力解得，两式相比可得，故C正确； D．由地表重力等于万有引力的推导式，解得地球质量，选项错将地球半径替换为地月间距，故D错误； 故选C。 16．如图所示，地球可看作质量分布均匀、半径为R的球体，“蛟龙号”位于地球内部的a点距地心的距离为r，“天宫号”位于地球外部的b点距地心的距离为，。已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，忽略地球的自转，则“蛟龙号”与“天宫号”的重力加速度大小之比为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设地球密度为ρ，根据题意可知a点距地心距离为r，且小于R，则只有半径为r的球体对其产生万有引力，则根据黄金代换可得 其中 解得 b点距地心的距离为2r，则根据黄金代换可得 其中 解得 则 故选B。 17．（多选）已知月球的半径为、球心为，月球两极处重力加速度大小为，月球赤道处重力加速度大小为，质量为的物体静止在月球北纬的点。若月球可看作质量均匀分布的球体，下列说法正确的是（　　） A．月球自转角速度的大小为 B．月球自转角速度的大小为 C．物体受到月球表面作用力的大小为 D．物体受到月球表面作用力所在的方向不在连线上 【答案】BD 【解析】AB．在月球两极，物体不需要自转向心力，万有引力等于重力： 在月球赤道处，万有引力一部分为重力，另一部分提供自转向心力： 联立解得 所以月球自转角速度 因此A错误，B正确； CD．北纬处，物体绕转轴做圆周运动的轨道半径 所需向心力 向心力方向指向自转轴。 万有引力沿OM指向O，大小为mg。 万有引力和月球表面对物体的作用力的合力为向心力。通过矢量运算可知月球表面对物体的作用力不在OM连线上。 表面作用力大小为 因此C错误，D正确。 故选BD。 18．（2026·吉林长春·模拟预测）已知地球质量为，月球质量为，引力常量为。将月球绕地球的运动看成匀速圆周运动，且月球与地球两球心之间的距离为。 （1）求月球绕地球公转的线速度的大小； （2）在牛顿的时代，已经能够比较精确地测定：月球与地球两球心之间的距离（）约为地球半径的60倍，月球绕地球公转的周期，地球表面的重力加速度取。请通过计算推理说明“使月球绕地球运动的力”与“使苹果落地的力”遵从相同的规律（可取，忽略天体的自转及空气阻力的影响）。 【答案】（1） （2）误差允许范围内，说明两者遵从相同的规律 【解析】（1）对月球：万有引力提供向心力有 解得月球绕地球公转的线速度大小 （2）假设两种力都遵从万有引力定律，则对地表的苹果来说，有 对月球来说，有 由以上两式可得 接下来分析实际情况：地表的苹果有 月球绕地球做匀速圆周运动，其向心加速度 代入题给数据，， 计算得， 故在误差允许范围内，由于理论比值与实际比值近似相等，说明使月球绕地球运动的力与使苹果落地的力遵从相同的规律。 19．（2026·江苏徐州·一模）2024年6月，嫦娥六号探测器在人类历史上首次实现月球背面采样。采样的月壤质量为m，测得月球表面的重力加速度g。已知月球半径为r，引力常量为G。求： （1）探测器在月球表面采样月壤的重力F； （2）月球的质量M。 【答案】（1） （2） 【解析】（1）采样的月壤质量为m，测得月球表面的重力加速度g。则月壤的重力 （2）在月球表面有 解得月球的质量为 20．（2025·湖南湘西·一模）一火星探测器着陆火星之前，需经历动力减速、悬停避障等阶段。在动力减速阶段，探测器速度大小由324km/h减小到0，历时60s。在悬停避障阶段，探测器启用最大推力为7000N的变推力发动机，在距火星表面约百米高度处悬停，寻找着陆点。已知火星半径约为地球半径的，火星质量约为地球质量的，地球表面重力加速度大小g取，探测器在动力减速阶段的运动视为竖直向下的匀减速运动。求： （1）在动力减速阶段，探测器的加速度大小和下降距离； （2）在悬停避障阶段，能借助该变推力发动机实现悬停的探测器的最大质量。 【答案】（1），2700m （2）1750kg 【解析】（1）设探测器在动力减速阶段所用时间为t，初速度大小为，末速度大小为0，加速度大小为a，由匀变速直线运动速度公式，有 代入题给数据得 设探测器下降的距离为s，由匀变速直线运动位移公式，有 可得 （2）设火星的质量、半径和表面重力加速度大小分别为、和，地球的质量、半径和表面重力加速度大小分别为、和，由牛顿运动定律和万有引力定律，对质量为m的物体有， 可得 由力的平衡条件有 可得 能力进阶 1．（2026·四川泸州·二模）如图所示，卫星P和Q在同一平面内绕地球做匀速圆周运动，P在轨道I上的周期为T1、Q在轨道Ⅱ上的周期为T2，O为地球的球心。某时刻OP与QP的夹角∠OPQ达最大值θ，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设卫星P的轨道半径为，卫星Q的轨道半径为。当PQ连线与卫星Q的轨道相切时，达到最大值，此时为直角三角形，且 由几何关系可知 根据开普勒第三定律有 整理得 将几何关系代入可得 即 故选C。 2．行星A、B绕太阳运动的轨迹为椭圆，太阳在椭圆轨道的焦点上，A、B所受的引力随时间的变化如图所示，其中，行星A、B与太阳的距离分别记为rA、rB。假设A、B只受到太阳的引力，下列叙述正确的是（　　） A．行星A、B轨道半长轴之比2：1 B．rA的最大值与rB的最大值之比为4：9 C．行星A与行星B的质量之比为81：32 D．行星B与太阳的连线在任意t2时间内扫过的面积均为整个椭圆轨道面积 【答案】B 【解析】A．由图可知，A、B周期为TA=t1，TB=2t2 又因为，所以B与A绕行周期之比 根据开普勒第三定律 可知行星B、A轨道半长轴之比，A错误； BC．由图可知，当rB最小时 当rB最大时 当rA最小时 当rA最大时 根据开普勒第三定律 联立解得， ，B正确，C错误； D．因，可知行星B与太阳的连线在任意t2时间内扫过的面积均小于整个椭圆轨道面积，D错误。 故选B。 3．利用三颗位置适当的地球静止卫星（通常三颗卫星在等边三角形的三个顶点），可使地球赤道上任意两点之间保持无线电通信，地球静止卫星的轨道半径约为地球半径的6.6倍，取。若地球自转周期变小为小时，依然要实现上述目的，需要等间距分布的静止卫星的数量至少为（　　） A．3颗 B．4颗 C．5颗 D．6颗 【答案】D 【解析】根据开普勒第三定律有 代入数据 解得 卫星覆盖的圆心角满足 解得，故 覆盖整个赤道需满足 所以，故至少需要6颗卫星等间距分布。 故选D。 4．如图所示，假设沿地轴凿通一条贯穿地球的光滑隧道。由于隧道极窄，地球仍可视作半径为R，质量分布均匀的球体。已知质量分布均匀的球壳对其内部物体的引力为零，地心在O点，不考虑地球的自转，一小球（可视为质点）由隧道上空距地球表面高度也为R的位置由静止释放，小球运动过程中加速度与释放位置加速度相同的点到地心的距离为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设地球质量为，小球质量为。小球释放位置距地球表面高度为，则距地心距离 此时小球在地球外部，根据万有引力定律，小球受到的万有引力 由牛顿第二定律得释放时的加速度 当小球运动到地球内部距地心距离为() 的位置时，根据题意“质量分布均匀的球壳对其内部物体的引力为零”，小球受到的引力仅由半径为的内部球体产生。设地球密度为，则内部球体质量 而地球总质量 故 此时小球受到的引力 加速度 题目要求找加速度与释放位置加速度相同的点，即令 有 解得 故选B。 5．（2026·陕西商洛·模拟预测）据报道：2026年3月7日，天问一号完成第一次轨道中途修正，继续朝火星前进。已知火星和地球近似在同一平面内绕太阳做匀速圆周运动，火星与地球之间的万有引力大小F随时间t的变化关系如图所示。火星和地球之间的万有引力远小于太阳分别对火星和地球的万有引力，地球绕太阳运动的轨道半径小于火星绕太阳运动的轨道半径，地球的公转周期为1年，。则图像中的时间T最接近（　　） A．1.5年 B．1.8年 C．2.0年 D．2.2年 【答案】D 【解析】设火星和地球绕太阳做匀速圆周运动的轨道半径分别为、，周期分别为、,其中年，质量分别为、，由开普勒第三定律有 由题图可知 此时火星和地球之间的万有引力 每隔时间T火星和地球之间的距离最远，此时火星和地球之间的万有引力 解得 年，故选D。 6．假设地球是一个半径为、质量分布均匀的球体，已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的万有引力为零。若在地球内部，以地心为圆心、为半径挖一条圆形隧道，如图所示。现使一小球在隧道内做匀速圆周运动，且不与隧道壁接触，小球可视为质点，不考虑隧道宽度与阻力。已知地表重力加速度为g，则其在隧道中做匀速圆周运动的速度大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】地球表面由万有引力公式得 地球体积 地球密度 半径的球体体积为 半径的球体质量 隧道内，万有引力提供向心力，有 联立推导出 故选C。 7．已知质量均匀分布的球壳对球壳内物体的引力为零．现在质量为M，半径为R，球心在O点的地球内部挖一个半径为，球心在的球形洞．现将一质量为m的小球从洞内P点由静止释放．其中地球可视为质量均匀分布．关于小球的运动，以下说法正确的是（　　） A．小球做变加速运动，最终撞到O点 B．小球在P点时的加速度方向为 C．小球在P点时的加速度大小为 D．小球在P点时所受万有引力的大小为 【答案】D 【解析】BCD．根据割补法可知，小球所受万有引力等于大球对其万有引力与挖去部分对其万有引力的矢量差值，如图所示，， 又质量均匀分布的球壳对球壳内物体的引力为零，则大球对小球的万有引力等于以OP为半径的球体对其的引力，挖去部分对其的万有引力等于以为半径的球体对其的引力，设地球密度为，则，方向为 ，方向 由于 所以根据矢量合成原则，球对其万有引力与挖去部分对其万有引力的矢量差值，即剩余部分对其产生的引力方向必平行于，即 可得小球在P点时所受万有引力的合力 可知小球在P点时的加速度大小为，故BC错误，D正确； A．小球运动中的加速度方向是不变的，不会撞到O点，故A错误。 故选D。 8．“中国天眼”发现，距地球17光年的地方有一颗“超级地球”，据科学家测算，这颗星球具有和地球一样的自转特征。如图所示，这颗星球可看成质量分布均匀的球体，该星球绕AB轴自转，CD所在的赤道平面将星球分为南、北半球，OP连线与赤道平面的夹角为60°。若A位置的重力加速度为g，D位置的重力加速度为，则质量为m的小物体静止在P位置时，所受的重力大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】质量为m的小物体在A位置的重力大小等于所受的万有引力大小，即 在D位置时，设该星球的自转周期为T，有 在P位置时，对小物体受到的万有引力进行分解，如图所示 可求得小物体需要的向心力为 物体受到的万有引力一部分充当向心力其余充当物体的重力，根据余弦定理可知 可解得 故选D。 9．（多选）万有引力定律揭示了天体运行规律与地球上物体运动规律的一致性。一般可将地球看作质量分布均匀，半径为R的球体。由于地球自转的影响，在地球表面不同纬度，重力加速度会有所不同。若在地球南北极的重力加速度为，在赤道海平面处的重力加速度为，则下列说法正确的是（　　） A．地球的自转周期 B．地球的自转周期 C．在纬度为60°处的海平面处，重力加速度 D．在纬度为60°处的海平面处，重力加速度 【答案】AD 【解析】AB．在地球的两极 在赤道处 解得，A正确，B错误； CD．在纬度为60°处的海平面处，向心力等于万有引力与重力的矢量差，则重力加速度满足 解得，C错误，D正确。 故选AD。 10．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）（多选）工程上常利用“重力加速度反常”来探测矿物，原理简化为如图所示，为某地区地面附近的一点，若地下无矿物时，地下岩石的平均密度为，其正常加速度为，若在地下存在一半径为的球形的矿坑，则点的重力加速度变为， 矿物的平均密度为，矿坑的中心离点的距离为，点、点与地球球心共线。定义为“重力加速度反常值”， 已知当时，测得“重力加速度反常值”为，忽略地球自转，下列说法正确的是（　　） A．，则 B． ，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BD 【解析】A．原本地下全为密度的岩石，P点重力加速度为；当球形区域换为密度的矿物，相当于总引力的变化仅来自这个小球的密度差：小球体积，小球对P点物体的引力差导致重力加速度变化，由万有引力定律可得 根据定义，代入得 为正的常数，与成正比。若，则，得，故A错误； B．由之前分析，若，则，得，故B正确； C．当时， 得 若，，故C错误； D．由之前分析，若，，故D正确。 故选BD。 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $