分式，绝对值及无理不等式 讲义-2026年初升高数学衔接

分式，绝对值及无理不等式 分式不等式解法 1 例：x+2 ≤3 策略一：同乘分母的平方 1 3→x+2≤3x+2}→3x+11x+10≥0→x2-5或x<-2 x+2 (也可以提公因式) 策略二：也可以直接去分母，但应注意讨论分母的符号： +2:+253+2>0 1 或x+2<0 x>-2x<- 同乘 36x+2)≥13x+2≤1x745、0 5→x≥-5或x<-2 3 3 策略三：先将一端变为0，再讨论分子分母是否同号，注意分母不能为0 L6k59t归2c23x+5(x+2]20号t2 1 3x+6 3r5 +2+2+2 X+2≠0 l 简单分式不等式的解法梳理 1)标准化：移项通分化为四>0（成四<0）：f巴≥0（或四s0)的形式， 8(x) 8(x) 8(x) 8(x) 2)转化为整式不等式（组）f9>0台f98(四>0：f2≥0分f98()≥0 8(x) 8g(x) 8(x)≠0 例1.解下列分式不等式： x+1 3 1)-3≥0 (2)x中<1 x>1 x+8 (3) (4)r2+2x+32 x-5 -≥1 (5)x2-2x-3; 3x-5≥2. (6)x2+2x-3 例2.已知不等式ax-3x+6>4的解集为xx<1或r>b} (1)求a,b的值： x2-1>0 (2)解不等式ax-b 绝对值不等式 一.绝对值的几何意义 d的几何意义：数轴上数口到原点的距离 a-b的几何意义：在数轴上，数口和数b之间的距离 二.常见的绝对值不等式 2 (1)<aa>0)的解集是fx-a<x<a,如图1. (2)>a(a>0)的解集是xx<-a或x>a4,如图2. -a 0 a 图1 图2 (3)若Kr+a≤b→-b≤x+a≤b (4④若k+a2b(b>0)→x+a≥b或x+a≤-b (5)对于形如f()Pg()和f)上(0)的不等式，可利用绝对值的含义去绝对值符号得 |f(x)Pg(x)台f(x)≥g()或fsgd-fsg: |f(x)g(x)台-g(x)≤f(x)≤g(x) (6)若r+a≤r+b→(x+a)≤(x+b)月 例1.阅读下列材料： 我们知道的几何意义是在数轴上数对应的点与原点的距离，即内_K一0，也就是说，内表示在数轴 上数与数0对应的点之间的距离：这个结论可以推广为：一 表示在数轴上数与数对应的点之间 的距离： 1.解方程x|=2.因为在数轴上到原点的距离为2的点对应的数为士2，所以方程|x|=2的解为x=士2. 2.解不等式x一1|>2.在数轴上找出|x一1=2的解（如图），因为在数轴上到1对应的点的距离等于2 的点对应的数为一1或3，所以方程|x一1|=2的解为x=一1或x=3,因此不等式|x一1>2的解集为x< -1或x>3. ☐—2—工 -2-101234 3.解方程|七一1+|术+2=5.由绝对值的几何意义知，该方程就是求在数轴上到1和一2对应的点的距离 之和等于5的点对应的x的值.因为在数轴上1和一2对应的点的距离为3（如图），满足方程的x对应的 点在1的右边或一2的左边.若x对应的点在1的右边，可得x=2:若x对应的点在一2的左边，可得x=一 3,因此方程|x一1+|x+2=5的解是x=2或x=一3. 参考阅读材料，解答下列问题： (1)方程|x+2=3的解为 (2)解不等式：|x-2<6: (3)解不等式：|x一3+|x+4|≥9： (4)解方程：|术-2+x+2+x-5=15. 二41由 -2 012 例2解绝对值不等式：(1)x-10<3, (2)2r-5>2 (3)4r-3>2x+1 4k->2x-3 (5)1<1-2≤3 6k-+r-3到>4 例3.画出下列函数的图像 ()少=-x+1 ②)y=网+e- 4 4 3 3 2 2 54321d12346芳 3 3 例4使关于x的不等式K+1+k<有解的实数k的取值范围是 例5.若不等式r+>2在亿，+0)上恒成立，则实数“的取值范围为 例6，对于任意实数，不等式z+2-z一1>“恒成立，则实数a的取值范围是 无理不等式 无理不等式的解法：通过判断符号后两边平方 常见题型与方法如下： J ①Vf>Vg(丙台f)>89≥0 ②v7不网>8一{得w或智58 g(x)>0 F西<g台{88e 例1.解不等式(1)(x-2)·√x+1≥0 (2)√2-x≤√3x-1」 (3)V2x2-3z+1>1+2x. (4)V3-x<x-1 (6)x2+2x-√02+2x+5≥7 课后练习 3x+10 x+51 1.解不等式(1)2-x (2)x-32 6 3x1 4-x≥1 (3)2x+1 (4)2x+3 (5)311+6≤0： x-2 (7)x-1+x+2<5 (8)3-2x≤5 (9)x2-1≤2. (10)√c+6<x-2 2.关于x的不等式x2-ax+b<0的解集为{x1<x<2,则不等式br+a>5的解集为. 3.不等式<2x-1的解集为 > 4车关于的不筒式x-23的解类为号》0 5.若不等式3x-b<4的解集中的整数有且仅有1,2,3，则b的取值范围为 6.已知函数f(x)=|x-a|+|x+3| (1)当a=1时，求不等式f(x)≥6的解集； (2)若f(x)>-a,求a的取值范围。 7.对任意x∈R,|2-x|+|x+3|≥a-4a恒成立，则a的取值范围是 8 8.已知f(x)=2|x|+|x-2|,求不等式f(x)≤6-x的解集； 分式，绝对值及无理不等式 分式不等式解法 例： 策略一： 同乘分母的平方 （也可以提公因式） 策略二：也可以直接去分母，但应注意讨论分母的符号： 同乘： 策略三：先将一端变为0，再讨论分子分母是否同号，注意分母不能为0 简单分式不等式的解法梳理 例1.解下列分式不等式： （1） 【答案】（1） 【解析】 （1）由，得，解得或， 故不等式的解集为. （2） 【答案】或 【解析】 由，得， 即，解得或， 所以不等式得解集为或.. （3） 【答案】（-1,0）∪（1，+∞） （4） 【答案】 （5）； 【答案】 【解析】原不等式等价于≤0 ≤0 由数轴穿根法可知原不等式解集为； （6） ． 【答案】 或 【解析】 例2．已知不等式的解集为或 (1)求， 的值； (2)解不等式. 【答案】（1）， ；（2）或. 【解析】试题分析：（1）由已知解集的端点可知1和b为方程ax2-3x+2=0的两个解，把x=1代入方程求出a的值，进而求出b的值；(2)将， 代入不等式得， ， 可转化为： ，由“穿针引线”法可得结果. (2)将， 代入不等式得， ， 可转化为： ， 如图，由“穿针引线”法可得 原不等式的解集为或. 绝对值不等式 一．绝对值的几何意义 的几何意义：数轴上数到原点的距离 的几何意义：在数轴上，数和数之间的距离 二．常见的绝对值不等式 （1）的解集是，如图1． （2）的解集是，如图2． （3）若 （4）若或 （5）对于形如和的不等式，可利用绝对值的含义去绝对值符号得 或-； ． （6）若 例1.阅读下列材料： 我们知道的几何意义是在数轴上数对应的点与原点的距离，即=，也就是说，表示在数轴上数与数0对应的点之间的距离；这个结论可以推广为表示在数轴上数与数对应的点之间的距离； 1.解方程||=2．因为在数轴上到原点的距离为2的点对应的数为，所以方程||=2的解为． 2.解不等式|－1|＞2．在数轴上找出|－1|=2的解（如图），因为在数轴上到1对应的点的距离等于2的点对应的数为－1或3，所以方程|－1|=2的解为=－1或=3，因此不等式|－1|＞2的解集为＜－1或＞3． 3.解方程|－1|+|+2|=5．由绝对值的几何意义知，该方程就是求在数轴上到1和－2对应的点的距离之和等于5的点对应的的值．因为在数轴上1和－2对应的点的距离为3（如图），满足方程的对应的点在1的右边或－2的左边．若对应的点在1的右边，可得=2；若对应的点在－2的左边，可得=－3，因此方程|－1|+|+2|=5的解是=2或=－3． 参考阅读材料，解答下列问题： （1）方程|+2|=3的解为　 ； （2）解不等式：|－2|＜6； （3）解不等式：|－3|+|+4|≥9； （4）解方程: |-2|+|+2|+|-5|=15. 【答案】（1）x=1或x=－5；（2）－4＜x＜8；（3）x≥4或x≤－5；（4）或 . 【解析】 （1）由已知可得x+2=3或x+2=-3 解得或x=－5． （2）在数轴上找出|x－2|=6的解．∵在数轴上到2对应的点的距离等于6的点对应的数为－4或8， ∴方程|x－2|=6的解为x=－4或x=8，∴不等式|x－2|＜6的解集为－4＜x＜8． （3）在数轴上找出|x－3|+|x+4|=9的解． 由绝对值的几何意义知，该方程就是求在数轴上到3和－4对应的点的距离之和等于9的点对应的x的值． ∵在数轴上3和－4对应的点的距离为7，∴满足方程的x对应的点在3的右边或－4的左边． 若x对应的点在3的右边，可得x=4；若x对应的点在－4的左边，可得x=－5， ∴方程|x－3|+|x+4|=9的解是x=4或x=－5， ∴不等式|x－3|+|x+4|≥9的解集为x≥4或x≤－5． （4）在数轴上找出|x-2|+|x+2|+|x-5|=15的解． 由绝对值的几何意义知，该方程就是求在数轴上到2和－2和5对应的点的距离之和等于15的点对应的x的值． ∵在数轴上-2和5对应的点的距离为7，∴满足方程的x对应的点在-2的左边或5的右边． 若对应的点在5的右边，可得；若对应的点在－2的左边，可得， ∴方程|-2|+|+2|+|-5|=15的解是或 . 例2.解绝对值不等式：（1）； 【答案】； 【解析】由题意，，解得， 所以原不等式的解集为． （2） 【答案】； 【解析】由题意，或，解得或， 所以原不等式的解集为． （3） 【答案】{x/或} 【解析】方法一：（分类讨论） （1）当时，原不等式变为：， 解得，所以； （2）当时，原不等式变为：， 解得，所以； 综上所述，原不等式的解集为． 方法二（重点）：或，解得或， 所以原不等式的解集为． （4） 【答案】 【解析】两边同时平方得：x2-2x+1＞4x2-12x+9，整理得：3x2-10x+8＜0，即（3x-4）（x-2）＜0. ∴解集 （5） 【答案】{x/或} 【解析】不等式可化为， ∴，或； 解之得：或， (6) ＞4． 【答案】 {x/x＜0，或x＞4}． 【解法一】由，得；由，得； ①若，不等式可变为， 即＞4，解得x＜0，又x＜1，∴x＜0； ②若，不等式可变为，即1＞4，∴不存在满足条件的x； ③若，不等式可变为，即＞4， 解得x＞4．又x≥3， ∴x＞4． 综上所述，原不等式的解为 x＜0，或x＞4． 【解法二】如图1．1－1，表示x轴上坐标为x的点P到坐标为1的点A之间的距离|PA|，即|PA|＝|x－1|；|x－3|表示x轴上点P到坐标为2的点B之间的距离|PB|，即|PB|＝|x－3|． 所以，不等式＞4的几何意义即为 |PA|＋|PB|＞4．由|AB|＝2，可知点P 在点C(坐标为0)的左侧、或点P在点D(坐标为4)的右侧． x＜0，或x＞4． 例3.画出下列函数的图像 (1) (2) 【答案】见解析 【解析】 例4.使关于的不等式有解的实数的取值范围是__________． 【答案】 【解析】原不等式转化为k＜x﹣|x+1|成立， 因为y=x﹣|x+1|=，对应图象如图， 由图得其最大值为﹣1． 故只须k＜﹣1即可． 故答案为： 。 例5．若不等式在上恒成立，则实数的取值范围为_________． 【答案】∪[1，+∞） ∴a≥1或a≤-3， 例6.对于任意实数x，不等式恒成立，则实数a的取值范围是 【答案】(-∞,-3) 【解析】令y=，∵恒成立，∴a小于y的最小值，由图像可得y的最小值为-3，所以a＜-3，即(-∞,-3) 无理不等式 无理不等式的解法：通过判断符号后两边平方 常见题型与方法如下： ⑴ ⑵ ⑶ 例1.解不等式（1） 【答案】[2,+∞)∪{-1} 【解析】由x+1≥0可得x≥-1； 当x=-1时，符合条件； 当x＞-1时，x-2≥0，∴x≥2 综上所述；x∈[2,+∞)∪{-1} （2） 【答案】[,2] 【解析】依题意得解得 ∴x∈[,2] （3） 【答案】(,0) 【解析】依题意得①解得即 解得 ∴≤x＜0 综上所述：x∈(,0) （4） 【答案】(,3] 【解析】依题意得解得 ∴x∈(,3] （5） 【答案】(，-1-2]∪[-1+2,+) 【解析】由方程可得x2+2x+5-≥12 令t= ∴原式=t2-t≥12，解得t≤-3（舍去）或t≥4 ∴≥16，解得x≤-1-2或x≥-1+2 x∈(，-1-2]∪[-1+2,+) 课后练习 1.解不等式（1） 【答案】 【解答】不等式等价于， ，解得或. 原不等式的解集为或. （2） 【答案】 【解答】， 或 解得 （3） 【答案】 【解答】因为， 所以，则，即，故，解得 （4） 【答案】 【解答】解：由可得，解得， 故原不等式的解集为. （5） 【答案】(，]∪(2,3] 【解答】原不等式等价于≤0， 即由图像法可得(，]∪(2,3] （6） 【答案】[，)∪[3,) 【解答】原不等式化简得：≥0， 即由图像法可得[，)∪[3,) （7） 【答案】 （8） 【答案】 【解析】由题意，，解得， 所以原不等式的解集为． （9）|x2-1|≤2. 【答案】见解析 【解析】 （10） 【答案】(,) 【解析】依题意得解得 ∴x∈(,) 2．关于的不等式的解集为，则不等式的解集为__________． 【答案】 【解析】∵ 不等式的解集为 ∴或是方程的解，即， ∴ ∵ ∴或 ∴或 ∴不等式的解集为 故答案为 3．不等式的解集为________． 【答案】 【解析】,所以不等式的解集为． 4.若关于的不等式的解集为，则________． 【答案】 5.若不等式的解集中的整数有且仅有1,2,3，则b的取值范围为 【答案】(,) 【解析】∵ ∴-4＜3x-b＜4 ∴ ＜x＜ ∵不等式解集中的整数有且仅有1,2,3， ∴解得5＜b＜7，∴答案为(,) 6.已知函数f(x)=∣x-a∣+∣x+3∣ (1)当a=1时，求不等式f(x)≥6的解集； （2）若f(x)＞-a，求a的取值范围。 【答案】（1）(，]∪[2,) （2）（-，+） 【解析】（1）当a=1时， ∵f(x)≥6 ∴x≤-4或x≥2. ∴不等式解集为(，]∪[2,) （2）f(x)=∣x-a∣+∣x+3∣≥∣a+3∣ 若f（x）＞-a，则∣a+3∣＞-a， 两边平方可得a2+6a+9＞a2,解得a＞-，即a的取值范围是（-，+） 7.对任意x∈R，∣2-x∣+∣x+3∣≥a2-4a恒成立，则a的取值范围是 【答案】[-1,5] 【解析】对任意x∈R，∣2-x∣+∣x+3∣表示数轴上的x对应点到-3、2对应点的距离之和， 它的最小值等于5， 要使∣2-x∣+∣x+3∣≥a2-4a恒成立，∴5≥a2-4a， 解得-1≤a≤5，故a的取值范围是[-1,5] 8.已知f(x)=2∣x∣+∣x-2∣，求不等式f(x)≤6-x的解集； 【答案】[-2,2] 【解析】当x＜0时，-2x+2-x≤6-x，解得x≥-2，∴-2≤x＜0； 当0≤x≤2时，2x+2-x≤6-x，解得x≤2，∴0≤x≤2 当x＞2时，2x+x-2≤6-x，解得x≤2，∴无解 综上所述：[-2,2] 1 学科网（北京）股份有限公司 $