1 第2章 方程与不等式(组) 第3节 一元一次不等式(组)与含绝对值的不等式-【创新教程】2026年初升高数学衔接教材一本通

衔接教材一本通 数学 第3节 一元一次不等式（组）与含绝对值的不等式 衔接目标 衔接要点：高中阶段学习解含有绝对值的不等式，一般是将其转化为不含绝对值的 不等式进行求解，因此初中学习的求一元一次不等式（组）的解集是解绝对值不等式的 基础. 二、化解疑难 课前预习导引 1.方程ax=b与不等式ax>b及ax<b解 一、知识链接 法的比较 1.一元一次不等式的概念 ax=b ax>b ax<b 类似于一元一次方程，含有一个未知数， 解：当 a 未知数的次数是1的不等式叫做一元一 解：当a>0时， 解当a>0 ≠0时，x 次不等式，它的一般式是ax+b>0或ax 十b<0,其中a≠0，a,b为常数. ,当a >名：当 时，x<名：当 a a<0时，x> 2.一元一次不等式的解法及步骤 =0,b≠0 时x<日：当a 解一元一次不等式的一般步骤及常用技 时，方程 2当a=0,6 =0,b<0时，x 巧与解一元一次方程类似.其一般步骤 无解；当 ≤0时，不等 为任意实数；当 同样是：去分母、去括号、移项、合并同类 a=0,b= 式无解；当a a=0,b≥0时， 项和系数化为1. 0时，x为 =0,b>0时， 不等式无解 x为任意实数 3.一元一次不等式组的相关概念 任意实数 (1)一元一次不等式组 2.解绝对值不等式的关键是去绝对值符 含有相同未知数的若干个一元一次不 号，等价转化为不含绝对值符号的不等 等式所组成的不等式组，叫做一元一次 式，用已经学过的知识求解 不等式组 (2)一元一次不等式组的解集 课堂典例探究 一般地，几个一元一次不等式的解集的 》类型一-一元一次不等式的解法☑ 公共部分，叫做由它们所组成的一元一 例解不等式x>苔-2，并将其解集表示 次不等式组的解集. 在数轴上 4.绝对值不等式的两种基本类型 [思路分析]解出不等式的解集，再将 (1)带绝对值符号的不等式叫做绝对值不 解集在数轴上表示即可· 等式 [解]不等式两边同乘3，得3x>x一6. (2)绝对值不等式的两种基本类型为x|>a 移项得3x一x>一6. 和x<a 合并同类项得：2x>一6. ①当a>0时，不等式|xl>a的解集是 ∴.不等式的解集是x>一3. x>a,或x<一a;不等式|x|<a的解集 在数轴上表示如图所示 是-a<x<a; ②当a<0时，不等式|x|>a的解集是 0 R;不等式|x<a的解集是☑， 24 初、高中基础知识衔接 第一篇 规律方法 解一元一次不等式的步骤 [变式训练] 是：去分母、去括号、移项、合并同类项、 2.关于x,y的方程组 十的解 系数化为1. x,y满足x>y,求k的取值范围. [变式训练] 1.解下列不等式（组），并把解集分别表示 在数轴上. (1)3 4x<-2; (2)x-3x8+1≥2(10，-2 类型三。_简单绝对值不等式的解法冈 2 7 「例3解不等式：(1)|3x-4|<2; (2)1|2x-1|<x+3. [解](1)解法-：当3x-4>0,即x≥ 4 时，原不等式可化为3x一4<2， 解得≤<2：当3x-4<0,即<专时， 原不等式可化为-(3x一4)<2， 解得号<<青，餘上所远，原不等式的解 为号<<2， 解法二：原不等式可化为一2<3x一4<2，解 》类型二。一元一次不等式组的解 得号<<2. 2x-1>5, (2)解法一：当x十3≤0，即x≤一3时，原 例2解不等式组： 不等式显然无解； 3x+1 一1乙x, 并在数 当x十3>0，即x>一3时，原不等式等价于 轴上表示出不等式组的解， -x-32-1+3,解得-号<<4 [思路分析]先求出不等式组中每一个 不等式的解，再求出它们的公共部分，然 数原不子式的解为-号 后把不等式的解，表示在数轴上即可. 解法二： 2x-1>5① 2x-1≥0 n或/2x-1<0 [解] 3x+1-1≥x ②'解①得：x 2x-1<x+3{-(2x-1)<x十3 2 >3, 解②得：x≥1. 故愿不学式的解为一名<<4 规律方法 -c<ax十b<c(c>0)是 -10 234 一元一次不等式组，但可以按以下方法 则不等式组的解是：x>3. 求解：-c<ax+b<c→-c-b<ax< 规律方法本题考查的是一元一次不 c-b,若a>0,则C-b<x<b;若 a a 等式组的解，解此类题目常常要结合数 轴来判断，还可以观察不等式的解。 a<0,则b<<-c-b >>>>>>25 衔接教材一本通 数学 [变式训练] 构造函数y=|x+3|十|x一3|一8，即 3.解不等式：(1)2<2x-5≤7； 2x-8. x-3. (2)|x-2≥2x+4. y={-2. -3<x<3, 2x-8. x≥3. 作出函数的图象（如图）. 41 心类型四，零点讨论法解绝对值不等式☑ 例4解不等式|x+3+|x-31>8. 函数的零点是一4,4.由图象可知，当x< [解]解法一：当x≤一3时，原不等式 一4或x>4时，y>0,即|x+3|十x-3 可化为一(x+3)一x十3>8，即x<-4, -8>0. 此时，不等式的解为x<一4； 所以原不等式的解为x<一4，或x>4. 当一3<x<3时，原不等式可化为x十3 规律方法求解这类绝对值不等式， 一x十3>8，此时不等式无解； 主要的方法有如下三种： 当x≥3时，原不等式可化为x十3十x一3 (1)(几何法)利用绝对值的几何意义求 >8,即x>4. 解.只要找到使|x一a|+|x一b=c成 此时不等式的解为x>4. 立的x值，依据“大于取两边，小于取中 综上所述，原不等式的解为x<一4， 间”的法则写出不等式的解集即可. (2)(分段讨论法)分段讨论去掉绝对值符 或x>4. 号，以a,b为分界点，将实数集分为三个 解法二：如下图，设数轴上与一3,3对应 区间，在每个区间上x一a,x一b的符号都 的，点分别为A,B,那么A,B两点之间的 是确定的，从而去掉绝对值符号. 距离为6，因此区间[一3,3]上的数都不 (3)(图象法)联系函数图象，通过分析 是不等式的解.设在A点左侧存在一，点 函数值的取值范围得到不等式的解集. A1,使得A1到A,B的距离之和为8，即 [变式训练] |A1A|十|A1B|=8,设，点A1对应的数为 4.解不等式：x-1|+|x-3|>4. x,则有一3一x十3一x=8,.x=一4. AA BB -3 0 3 同理，设点B的右侧存在一点B1,使 |B,B|+|B1A|=8,设点B1对应的数为 x,则有x一（一3)十x一3=8，∴.x=4. 从数轴上可以看到，A1与B1之间的，点到 A、B的距离之和都小于8，而点A1的左 侧或点B,的右侧的任何点到A,B的距 离之和都大于8. ☑课堂达标 所以不等式的解为x<一4，或x>4. 1.不等式2x十4>3x一1的解是 解法三：原不等式可转化为|x十3十 A.x>5 B.x>3 x-3-8>0, C.x<5 D.x<3 26(<<<< 初、高中基础知识衔接 第一篇\ 2.不等式组 2x-3<1 的解集在数轴上可 x+8<4x-1 的解集是 x>-1 4.如果不等式组 x>m 表示为 ( x>3,那么m的取值范围是 A.m=3 B.m≥3 -3-2-90123x 320 C.m<3 D.m≤3 白 二、填空题 3-2-10123x 2101写 5.解不等式|7x一9|≥11x+4的解为 D 3.关于x的一元一次不等式组 6.“五·四”青年节，市团委组织部分中学的团 2x-1>3(x-2) 的解是x<5,则m的 员去西山植树.某校九年级(3)班团支部领 x<m 到一批树苗，若每人植4棵树，还剩37棵； 取值范围是 ( 若每人植6棵树，则最后一人有树植，但不 A.m≥5 B.m≤5 足3棵，这批树苗共有 棵. C.m>5 D.m<5 三、解答题 4.不等式|x一3|+|x+4|≥9的解为 7.已知不等式组-2b>3…@ 2x-a<1…① 的解集是 5.解不等式：(1)2x一8≤20； -1<x<1,则(a+1)(b-1)的值是 (2)9x+51≥13. 多少？ 课后检测评价 一、选择题 1.下列说法中，错误的是 ( 8.某校志愿者团队在重阳节购买了一批牛 A.不等式x<2的正整数解有一个 奶到“夕阳红”敬老院慰问孤寡老人，如 B.-2是不等式2x-1<0的一个解 果给每个老人分5盒，则剩下38盒，如果 C.不等式-3x>9的解是x>-3 给每个老人分6盒，则最后一个老人不 D.不等式x<10的整数解有无数个 足5盒，但至少分得一盒. 2.不等式|x+1<3的解为 (1)设敬老院有x名老人，则这批牛奶共 A.-2<x<4 B.-4<x<2 有多少盒？（用含x的代数式表示） C.x>-4 D.x<2 (2)该敬老院至少有多少名老人？最多有 多少名老人？ 3.对于不等式组 3x-6≤1- 5 32 ,下列说 3(x-1)<5x-1 法正确的是 A.此不等式组的正整数解为1,2,3 R此不等式组的解为-1Kx≤名 C.此不等式组有5个整数解 D.此不等式组无解 >>>>>27衔接教材一本通 课后检测评价 1.C2.C 程，十1=1可得a=x+1,即x=a-1 3.B[由方程a, <0,a<1,当a=0时，方程2千1=1 不成立，∴.a≠0.] 4.A[y=x2+x+1,x2+x=y-1,原方 程可变形为，吕即y-y一2=0 5.-36.(x-1)(x+2)(x-2) 7解：因为xy-日，所以=6，原方程组可化为 1 xy 1+1=5, y 设1,1是一元二次方程2-52十6=0的两个解， x V 1=2, （1=3, 解得之=2,22=3，即 12， 1二3， y (y2 1 1 x1= 2 x2= 1 x1= 所以 或 ’ 经检验 2, 1 y=3, 1 y2= 2 y=3 x2= 3 1 都是原方程组的解」 y2= 2 8解：设山二仁则原方程可化为u+218 即2-18u十72=0.解得u=6,或u=12. (1若4=6，则6=共，即2-2x十6=0， 因为△<0，此时方程无实根； 《2)若u=12,则12=十，即2一8x+12=0.解 得x=2,或x=6. 经检验，x=2,x=6都是原方程的根.又因原方程 没有其他根，所以原方程的根是x=2,或x=6. 第3节一元一次不等式（组）与 含绝对值的不等式 课堂典例探究 变式训练 1.解：-<-2> 3 把解集表示在数轴上为： -5-4-3-2-1012345x 8-3 (2):x-3z28+1≥2102,14x-703z 2 7 8)+14≥4(10-x), .14x-21x+56+14≥40-4x,-3.x≥-30， x≤10；把解集表示在数轴上为： 012345678910x 118(《((<((< 数学 2解：每方程短得x-7y-11与， 5 因为>y→7h-4_11-8张>0；解得：k>1. 5 3锯：1少原不号式等价于：-引名 由2x-5|>2可得2x-5>2或2x-5<-2, 解得>或< 由2x-5|≤7可得-7≤2x-5≤7，解的-1≤ x6. 综上所述，原不等式的解为一1≤x<号， 或7<<6 (2)解法一：当x一2≥0，即x≥2时，不等式可 化为x-2≥2x十4， 解得x≤一6，.不存在满足条件的x. 当x一2<0，即x<2时，不等式可化为一(x 2)≥2x十4，解的≤-号≤-号， 综上所述，原不等式的解为x≤一3， 2 解法二：原不等式可化为x一2≥2x十4或x一2 (2十40，即≤-6或≤-号， 即<-号 “原不等式的解为x≤一号 4.解：由x-1=0,得x=1;由x-3=0,得x=3. 当x<1时，原不等式可化为-(x-1)一(x-3) >4,即-2x十4>4，解得x<0,又x<1,∴.x <0; 当1≤x≤3时，原不等式可化为(x一1)一(x一 3)>4,即2>4，.不存在满足条件的x; 当x>3时，不等式可化为(x一1)十(x一3)>4， 即2x-4>4,解得x>4,又x>3,.x>4. 综上可得，原不等式的解为x<0,或x>4. 课堂达标 1.C[不等式2x十4>3x-1移项得，-x>-5, 在两边同时乘以一1，得x<5. 所以，不等式的解为x<5.] 2.B[2x-3<10 1x>-1② 由①得：x<2.由②得：x>一1. 根据“小大大小中间找”的原则可知不等式组的 解集为：一1<x<2.] 3.A[解不等式2x-1>3(x-2)得：x<5; 解不等式x<m得：x<m;因为不等式组的解是 x5, 根据不等式组解的判定方法即可得m≥5.] 4.x≥4或x≤-5 5.解：(1)原不等式可化为一20≤2x一8≤20，解得 一6≤x≤14..原不等式的解为一6≤x≤14； (2)原不等式可化为9x+5≥13，或9x+5≤-13， 解得≥8或≤-2 愿不等式的解为≥8或≤一2， 课后检测评价 1.C2.B .Ac分-6≤1-号0 1 3(x-1)<5x-1② 解①得≤子解②得>-1，所以不等式组的 7 解为-1<x≤2’ 所以不等式组的正整数解为1,2,3.] 4.D[因为，不等式(1)的解集是：x>3; 不等式(2)的解集是：x>m, 因为，不等式组x十8<4x-1的解集是r>3, x>m 所以，不等式组的解集在数轴上的大致范围，如 图所示， x>m x>3 -10123 仔细观察数轴，要想保证有公共部分，不等式的 解集x>m的部分，必须在x>3的左边或m与 3相等，因此，m的范围应该是：m≤3，所以m的 范围是m≤3.] 5高 6.121 7,解：因为，不等式组2.xa<1…① 1x-2b>3…②’ 所以，不等式①的解集是：z<a1； 2； 不等式②的解集是：x>3+2b; 周为，不等式组{228的解集是-1 <1,所以，x>-1,且x<1, 因此，比较x>3+2b与x>-1,得：3十2b= -1,解得：b=一2； 比较空与<1，得，-1，解得a=1; 所以，(a+1)(b-1)=2×(-3)=-6. 8.解：(1)设敬老院有x名老人， 牛奶盒数：(5x十38)盒； (2)设敬老院有x名老人， 楼提题虑得：十88C} ∴.不等式组的解集为：39<x≤43， x为整数，x=40,41,42,43, 答：该敬老院至少有40名老人，最多有43名老人. 第三章函数及其图象 第1节平面直角坐标系、 一次函数、反比例函数 课堂典例探究 变式训练 1.D[.B1的坐标为(1,1)， 点B2的坐标为(3,2)， 参考答案 .正方形AB,C1O1边长为1，正方形 A2B2C2C1边长为2， .A1的坐标是(0,1)，A2的坐标是：(1,2)， 代入y=x十b(k≠0)得： b=1 k+b=2’ 伦 则直线A1A2的解析式是：y=x十1. A1B1=1,点B2的坐标为(3,2)， .点A3的坐标为(3,4)，.A3C2=A3B3=BC3 =4,.点B3的坐标为(7,4).] 2.解：(1)因为一次函数的图象经过，点P(0,一3)，所 以设函数解析式为y=x一3. 因为该函数的图象与坐标轴的交点为点 (层0j点0，-3 所以·是 ·3=6,解得及=士子.所以这个 一次函致的解析式为y=子2-3或y=一子红 -3. (2)依题意 3-<0解得>3. (k>0 3.(1)C(2)A 课堂达标 1.D[A.一次函数y=2x十4中，k=2>0, 函数值随自变量的增大而增大，故本选项错 误；B.一次函数y=2x十4中，k=2>0,b=4 >0,∴函数图象经过一二三象限，故本选项错 误；C.函数的图象向下平移4个单位长度得y =2x的图象，故本选项错误；D..令x=0,则y =4,.此函数的图象与y轴的交，点坐标是 (0,4),故本选项正确.] 2.B[选项A中，由一次函数y=x十k的图象知 <0,由反比例函数y=的图象知k>0,矛 盾，所以选项A错误；选项B中，由一次函数y =x十的图象知>0，由反比例函数y=冬的 图象知k>0,正确，所以选项B正确；由一次函 数y=x十的图象知，函数图象从左到右上升， 所以选项C、D错误.] 3.-2<x<0或x>3 >>>>>>>>119