第15章分式教案 2025-2026学年华东师大版数学八年级下册

该教案聚焦分式的概念、基本性质、运算、分式方程及零指数幂等核心知识，通过复习整式、分数性质等旧知导入，搭建从具体到抽象的学习支架，梳理分式与整式的区别、分式运算与分数运算的联系。 此教案以情境问题驱动学习，如用长方形面积、苹果售价实例引入分式概念，培养模型意识，通过类比分数性质推导分式基本性质发展推理意识，分式方程应用环节结合工程、行程问题提升应用能力，助力学生建立数学与现实的联系，也为教师提供清晰教学流程与多样化例题。

八年级数学 第15章 分式 华东师大版八年级数学教案 第15章 分式 ───────────────────────── 教学内容：分式及其基本性质 · 分式的运算 · 分式方程 · 零指数幂与负整数指数幂 适用年级：八年级（下学期） 课 时：共12课时 第15章 分式 15.1 分式及其基本性质 1.分式 1.了解分式的概念，明确分式和整式的区别 2.使学生能够求出分式有意义的条件 3.让学生经历用字母表示实际问题中数量关系的过程，体会分式是表示现实世界中的一类量的数学模型 4.培养学生观察、归纳、类比的思维，让学生学会自主探索，合作交流 【教学重点】 理解分式有意义的条件，分式的值为零的条件 【教学难点】 能熟练地求出分式有意义的条件，分式的值为零的条件 一、情境导入,初步认识 下列有理式中哪些是整式？ 【教学说明】因为分式概念的学习是学生通过观察，比较分式与整式的区别从而获得分式的概念，所以必须熟练掌握整式的概念． 二、思考探究，获取新知 探究：分式的概念 做一做 （1）面积为2平方米的长方形一边长3米，则它的另一边长为___米； （2）面积为S平方米的长方形一边长a米，则它的另一边长为___米； （3）一箱苹果售价p元，总重m千克，箱重n千克，则每千克苹果的售价是___元； 问题：观察你所列的3个式子，它们有什么共同点？你能归纳吗？ 【归纳结论】形如A/B(A、B是整式，且B中含有字母，B≠0)的式子，叫做分式.其中A叫做分式的分子,B叫做分式的分母.整式和分式统称有理式,即有 . 【教学说明】让学生通过观察、归纳、总结出整式与分式的异同，从而得出分式的概念． 三、运用新知，深化理解 1.见教材P2例1、P3例2. 2.下列各式中，哪些是整式？哪些是分式？ 解：（2）、（4）是整式，（1）、（3）是分式． 3.x取什么值时，下列分式无意义？ 解：（1）因为当分母的值为零时，分式没有意义． 由2x-3=0，得x=3/2 所以当x=3/2时，分式无意义． （2）因为当分母的值为零时，分式没有意义． 由5x+10=0，得x=-2 所以当x=-2时，分式无意义． 4.若分式有意义，则x的取值范围是（ ） A.x≠3 B.x≠-3 C.x＞3 D.x＞-3 解：当分母x-3≠0，即x≠3时，分式有意义．故选A 5.若分式的值为零，则x的值为____ 分析：分式的值为0的条件是：（1）分子=0；（2）分母≠0．两个条件需同时具备，缺一不可．据此可以解答本题 解： =0，则|x|-1=0，即x=±1，且x+1≠0，即x≠-1．故x=1．故若分式的值为零，则x的值为1． 【教学说明】让学生体会分式的意义，理解如果a的取值使得分母的值为零，则分式没有意义，反之有意义． 四、师生互动，课堂小结 这节课你有哪些收获？ 1.学习了分式的概念，理解了整式与分式的异同． 2.知道当分式的分母不等于零时分式才有意义． 3.在学习新知识时，可把它与所学的旧知识比较，通过观察、类比、归纳它们异同的方法来学习新知识． 4.若使分式的值为零，需满足两个条件：①分子等于零；②分母不等于零 1.布置作业:教材“习题15.1”中第1、2、3题. 2.完成本课时对应练习. 2.分式的基本性质 1.使学生理解并掌握分式的基本性质，并能运用这些性质进行分式约分、通分 2.通过对分式的基本性质的归纳，培养学生观察、类比、推理的能力 3.让学生在讨论活动中通过相互间的合作与交流，进一步发展学生合作交流的能力和数学表达能力 【教学重点】 掌握分式的基本性质 【教学难点】 运用分式的基本性质来化简分式 一、情境导入,初步认识 1.分数的基本性质是什么？ 2.的依据是什么？ 3.与相等吗？ 【教学说明】通过分数的约分、通分，复习分数的基本性质，通过类比来学习分式的基本性质． 二、思考探究，获取新知 探究1：分式的基本性质 你认为分式与相等吗？与呢？ 【教学说明】通过对分数的基本性质的理解，可类比得出分式的基本性质，但学生只想到分式的分子分母同时乘以或除以一个数，不容易想到整式，另外这个整式不能为零，老师要引导学生想到这一点． 【归纳结论】分式的分子和分母都同时乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变. 探究2：约分化简下列分式： 【教学说明】有的学生在应用分式的基本性质时往往分式的分子与分母没有同时乘以或除以同一个公因式．有些学生不能正确找到分子、分母的公因式，导致约分的错误和不彻底．所以教师应适当引导. 【归纳结论】把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分，分子和分母已没有公因式，这样的分式称为最简分式． 探究3：通分把下列各小题中的两个分式化成同分母的两个分式. 【归纳结论】分式的通分，即要求把几个异分母的分式分别化为与原来分式相等的同分母分式.通分的关键是确定几个分式的公分母，通常取各分母所有因式的最高次幂的积作为公分母（即最简公分母）. 三、运用新知，深化理解 1.填空 ①,(a≠0) ② 解：6a2 a-2 2.分式:①,②,③,④中,最简分式有( B ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 3.若把分式中的x和y都扩大3倍，那么分式的值（ C ） A.扩大3倍 B.不变 C.缩小3倍 D.缩小6倍 4.约分：（1）（2）（3）（4） 解：（1）（2）（3）（4） 5.不改变分式的值，使下列分式的分子和分母都不含“-”号. 分析：每个分式的分子、分母和分式本身都有自己的符号，其中两个符号同时改变，分式的值不变. 解： 6.通分： 【教学说明】在教学中让学生将约分的步骤分为这样几步，首先将找出分子和分母公因式并提取，再将分式的分子和分母同时除以公因式．最后看看结果是否为最简分式或整式． 四、师生互动，课堂小结 这节课你有哪些收获？ 1.布置作业:教材“习题15.1”中第4、5题. 2.完成本课时对应练习. 15.2 分式的运算 1.分式的乘除 1.理解分式的乘除运算法则，会进行简单的分式的乘除法运算 2.掌握分式乘方的有关运算 3.经历探索分式的乘除法法则的过程，并结合具体情境说明其合理性 4.通过师生讨论、交流，培养学生合作探究的意识和能力 【教学重点】 掌握分式的乘除法法则 【教学难点】 熟练地运用法则进行计算，提高运算能力 一、情境导入,初步认识 计算，并说出分数的乘除法的法则： （1） （2） 【教学说明】复习小学学过的分数的乘除法运算，为学习分式乘除法的法则做准备. 二、思考探究，获取新知 探究1：分式的乘除法法则 你能总结分式乘除法的法则吗？与同伴交流. 【归纳结论】分式的乘除法的法则: 两个分式相乘,把分子相乘的积作为积的分子,把分母相乘的积作为积的分母;如果得到的不是最简分式，应通过约分进行化简. 两个分式相除,把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘. 【教学说明】让学生观察运算，通过小组讨论交流，并与分数的乘除法的法则类比，让学生自己总结出分式的乘除法的法则. 探究2：分式的乘方 怎样进行分式的乘方呢？试计算： （1） （2）（k是正整数） 解：（1）______； 仔细观察所得的结果，试总结出分式乘方的法则. 【教学说明】通过类比分数的乘方运算方法，总结出分式的乘方运算法则. 【归纳结论】把分式的分子、分母分别乘方，所得的幂作结果的分子、分母. 三、运用新知，深化理解 1.见教材P7例1、例2. 2.计算： 3.计算： 解：原式= 4.计算: 解：原式= 5.先化简，再求值：,其中a=－8,b=． 解：当a=-8,b=时，原式= 6.上海到北京的航线全程s千米，飞行时间需a小时；铁路全长为航线长的m倍，乘车时间需b小时.飞机的速度是火车速度的多少倍？（用含a、b、s、m的分式表示） 解： 7.甲队在n天内挖水渠a米，乙队在m天内挖水渠b米，如果两队同时挖水渠，要挖x米，需要多少天才能完成？（用代数式表示） 解：甲、乙两队每天分别挖米，米，若两队合挖，每天挖（）米，所以要挖x米，需要天才能完成. 【教学说明】通过例题讲解，使学生会根据法则，理解每一步的算理，从而进行简单的分式的乘除法运算，并能解决一些与分式有关的简单的实际问题，增强学生代数推理的能力与应用意识.需要给学生强调的是分式运算的结果通常要化成最简分式或整式，对于这一点，很多学生在开始学习分式计算时往往没有注意到结果要化简. 四、师生互动，课堂小结 分式乘除法的运算步骤： 当分式的分子与分母都是单项式时： (1)乘法运算步骤是：①用分子的积做积的分子，分母的积做积的分母；②把分式积中的分子与分母分别写成分子与分母的分因式与另一个因式的乘积形式，如果分子(或分母)的符号是负号，应把负号提到分式的前面；③约分 (2)除法的运算步骤是：把除式中的分子与分母颠倒位置后，与被除式相乘，其它与乘法运算步骤相同.当分式的分子、分母中有多项式，①先分解因式；②如果分子与分母有公因式，先约分再计算；③如果分式的分子(或分母)的符号是负号时，应把负号提到分式的前面.最后的计算结果必须是最简分式. 1.布置作业:教材P8的“练习”. 2.完成本课时对应练习. 2.分式的加减 第1课时 分式的加减法 1.理解同分母的分式加减法的运算法则，能进行同分母的分式加减法运算 2.理解并掌握异分母分式加减法的法则 3.类比同分数加减法的法则归纳出同分母分式的加减法法则 4.通过学习认识到数与式的联系，理解事物拓延的内在本质，丰富数学情感与思想 【教学重点】 熟练地进行异分母的分式加减法的运算 【教学难点】 熟练地进行异分母的分式加减法的运算 一、情境导入,初步认识 做一做： 【教学说明】通过做一做的几道同分母分数加减的题，引导学生用类比的思想猜一猜同分母分式的加减运算，并试图让学生认识其合理性.从而抛出同分母分式加减法的运算法则，点明本节课的主要内容. 二、思考探究，获取新知 探究：分式的加减法 计算： 解： 【教学说明】类比时注意引导学生正确猜想，使法则的提出顺理成章，也为后面的学习做好铺垫. 【归纳结论】同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减； 异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式，然后再加减. 三、运用新知，深化理解 1.见教材P9例4 2.计算： (1) 解：原式= (2); 解：原式=a+b (3); 解：原式= 3.计算： ； 解：原式=a-1 4. 解：原式= 5.计算: (1) （2） 【教学说明】让学生体会法则的运用要因题而变，而万变不离其宗——异分母分式加减法法则. 四、师生互动，课堂小结 通过本节课的学习，你有哪些收获？哪些疑惑？ 1.布置作业:教材P9“练习”. 2.完成本课时对应练习. 第2课时 分式的混合运算 1.知道分式的加、减、乘、除、乘方的法则是什么；会进行分式的混合运算 2.经历探索分式的混合运算法则的过程,理解分式加减法运算的原理 3.培养大胆猜想、积极探究的学习态度,发展观察、类比、交流的能力 【教学重点】 能够进行分式的混合运算 【教学难点】 能够进行分式的混合运算 一、情境导入,初步认识 我们在小学里学过四则混合运算，它的运算顺序是什么？分式的混合运算顺序又是什么样的呢？ 【教学说明】通过回顾小学里学过四则混合运算的运算顺序，从而引出分式的混合顺序. 二、思考探究，获取新知 计算： 【教学说明】引导学生观察上面的计算过程，并总结分式的混合运算法则. 【归纳结论】分式的混合运算需要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减,最后结果分子、分母要进行约分，注意最后的结果要是最简分式或整式. 三、运用新知，深化理解 1.计算 2.先化简，再求值：，其中x= 3.从三个代数式：①a2-2ab+b2，②3a-3b，③a2-b2中任意选两个代数式构造分式，然后进行化简，并求出当a=6，b=3时该分式的值． 解：选②与③构造出分式， 当a=6，b=3时 原式= 4.先化简，再求值：，其中x是不等式3x+7＞1的负整数解. 3x+7＞1 3x＞-6 x＞-2 ∵x是不等式3x+7＞1的负整数解 ∴x=-1把x=-1代入中 得：原式==3 【教学说明】注意：1.分式通分时分母能分解应先分解；2.确定最简公分母；3.分子、分母同乘以不等于零的整式. 四、师生互动，课堂小结 本节课你学到了什么？同桌两人相互交流意见. 1.布置作业:教材“习题15.2”中第3、4、5题. 2.完成本课时对应练习. 15.3 可化为一元一次方程的分式方程 第1课时 分式方程 1.理解分式方程的概念 2.会通过设适当的未知数，根据等量关系列出分式方程 3.使学生理解增根的概念，了解增根产生的原因，知道解分式方程须验根并掌握验根的方法 4.通过列出的方程归纳出它们的共同特点，得出分式方程的概念.了解分式的概念，明确分式和整式的区别 5.在建立分式方程的数学模型的过程中培养能力和克服困难的勇气，并从中获得成就感，提高解决问题的能力 【教学重点】 使学生理解分式方程的意义，会按一般步骤解可化为一元一次方程的分式方程 【教学难点】 使学生理解增根的概念，了解增根产生的原因，知道解分式方程须验根并掌握验根的方法 一、情境导入,初步认识 1.什么是方程？ 2.什么是一元一次方程？它的解怎样检验？ 【教学说明】回顾方程的相关知识，为本节课的教学做准备. 二、思考探究，获取新知 探究1：分式方程的概念 轮船在顺水中航行80千米所需的时间和逆水航行60千米所需的时间相同.已知水流的速度是3千米/时，求轮船在静水中的速度. 分析：设轮船在静水中的速度为x千米/时，根据题意，得 （1） 观察这个方程与我们学过的一元一次方程有什么不同？ 【教学说明】通过让学生通过观察、归纳、总结出整式方程与分式方程的异同，从而得出分式方程的概念 【归纳结论】方程（1）中含有分式，并且分母中含有未知数，像这样的方程叫做分式方程. 思考：怎样解分式方程呢？有没有办法可以去掉分式方程中的分母把它转化为整式方程呢？试动手解一解方程（1）. 方程（1）可以解答如下：方程两边同乘以（x+3）(x-3)，约去分母，得80（x-3）=60(x+3).解这个整式方程，得x=21. 所以轮船在静水中的速度为21千米/时. 【归纳结论】上述解分式方程的过程，实质上是将方程的两边乘以同一个整式，约去分母，把分式方程转化为整式方程来解.所乘的整式通常取方程中出现的各分式的最简公分母. 探究2：分式方程的增根 解方程. 解方程两边同乘以（x2-1）,约去分母，得x+1=2. 解这个整式方程，得x=1. 思考：x=1是不是原分式方程的解（或根）呢？ 当x=1时，原分式方程左边和右边的分母（x－1）与（x2－1）都是0，方程中出现的两个分式都没有意义，因此，x=1不是原分式方程的解，应当舍去.所以原分式方程无解. 【归纳结论】在解分式方程时，产生不适合原分式方程的解（或根），这种根通常称为增根.因此，在解分式方程时必须进行检验. 如何判定一个值是否为这个分式方程的根呢？分式方程如何检验呢？ 【归纳结论】解分式方程进行检验的关键是看所求得的整式方程的根是否使原分式方程中的分式的分母为零.有时为了简便起见，也可将它代入所乘的整式（即最简公分母），看它的值是否为零.如果为零，即为增根. 三、运用新知，深化理解 1.见教材P15例2. 2.在方程中分式方程有（B） A．2个 B.3个 C.4个 D.5个 3.A、；B、；C、中，B是分式方程,A、C是整式方程. 4.解下列方程： （1）． 解：方程两边都乘以y（y-1），得 2y2+y（y-1）=（y-1）（3y-1）， 2y2+y2-y=3y2-4y+1， 3y=1， 解得y=， 检验：当y=时，y（y-1）=×（-1）=-≠0， ∴y=是原方程的解， ∴原方程的解为y=． （2）. 解：两边同时乘以（x+1）（x-2）， 得x（x-2）-（x+1）（x-2）=3． 解这个方程，得x=-1．（7分） 检验：x=-1时（x+1）（x-2）=0，x=-1不是原分式方程的解， ∴原分式方程无解． （3）． 解：方程的两边同乘（x-1）（x+1），得 3x+3-x-3=0，解得x=0． 检验：把x=0代入（x-1）（x+1）=-1≠0． ∴原方程的解为：x=0 （4）． 解：方程的两边同乘（x+2）（x-2），得2-（x-2）=0，解得x=4． 检验：把x=4代入（x+2）（x-2）=12≠0． ∴原方程的解为：x=4 （5）. 解：方程两边同乘以2（3x-1）， 得3（6x-2）-2= 4 18x-6-2=4， 18x=12， x=． 检验：把x=代入2（3x-1）中， 2（3x-1）≠0， ∴x=是原方程的根． ∴原方程的解为x=． （6）. 解：方程两边同乘以2（3x-1）， 得：-2+3x-1=3， 解得：x=2， 检验：x=2时，2（3x-1）≠0． 所以x=2是原方程的解. 【教学说明】通过学生的反馈练习，考察学生对分式方程的概念、增根的理解；通过学生的反馈练习，使教师能全面了解学生对解分式方程是否清楚，以便教师能及时地进行查漏补缺． 四、师生互动，课堂小结 (1)什么是分式方程？举例说明； (2)解分式方程的一般步骤：在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化为整式方程．解这个整式方程；验根，即把整式方程的根代入最简公分母，看结果是不是零，若结果不是0，说明此根是原方程的根；若结果是0，说明此根是原方程的增根，必须舍去． (3)解分式方程为什么要进行验根？怎样进行验根？ 1.布置作业:教材“习题15.3”中第1题. 2.完成本课时对应练习. 第2课时 分式方程的应用 1.经历将实际问题中的等量关系用分式方程表示的过程； 2.掌握列分式方程解应用题的一般步骤； 3.会列分式方程解决简单的应用题，提高学生分析问题、解决问题的能力和应用意识. 4.经历“实际问题情境——建立分式方程模型——求解——解释解的合理性”的过程，进一步提高学生分析问题和解决问题的能力，增强学生学数学、用数学的意识． 5.通过创设贴近学生生活实际的现实情境，增强学生的应用意识，加深学生对生活的热爱． 【教学重点】 列分式方程解应用题 【教学难点】 对所求出的分式方程的根进行检验的思想的重视 一、情境导入,初步认识 1.解分式方程的一般步骤; 2.解方程; 3.列一元一次方程解应用题的一般步骤分哪几步？ 【教学说明】回顾上节课知识，检查学生掌握情况，复习列一元一次方程解应用题的一般步骤，引出新问题. 二、思考探究，获取新知 某校招生录取时，为了防止数据输入出错，2640名学生的成绩数据分别由两位程序操作员各向计算机输入一遍，然后让计算机比较两人的输入是否一致.已知甲的输入速度是乙的2倍，结果甲比乙少用2小时输完.问这两个操作员每分钟各能输入多少名学生的成绩？ 解：设乙每分钟能输入x名学生的成绩，则甲每分能输入2x名学生的成绩，根据题意得 . 解得：x=11. 经检验，x=11是原方程的解. 并且x=11，2x=2×11=22，符合题意. 答：甲每分钟能输入22名学生的成绩，乙每分钟能输入11名学生的成绩. 【教学说明】引导学生通过独立思考和小组讨论的形式，用所学过的列方程解应用题的一般方法去解决问题，鼓励学生大胆尝试，形成解决问题的一些基本策略，体验解决问题策略的多样性，发展实践能力与创新精神． 【归纳结论】列分式方程解应用题的一般步骤：审—设—列—解—验—答. 三、运用新知，深化理解 1.王军同学准备在课外活动时间组织部分同学参加电脑网络培训，按原定的人数估计共需费用300元.后因人数增加到原定人数的2倍，费用享受了优惠，一共只需要480元，参加活动的每个同学平均分摊的费用比原计划少4元，原定的人数是多少？ 解：设原定是x人，由题意可知： 解得：x=15 经检验：x=15是原分式方程的根. 答：原定的人数是15人. 2.在达成铁路复线工程中，某路段需要铺轨．先由甲工程队单独做2天后，再由乙工程队单独做3天刚好完成这项任务．已知乙工程队单独完成这项任务比甲工程队单独完成这项任务多用2天，求甲、乙工程队单独完成这项任务各需要多少天？ 解：设甲工程队单独完成任务需x天，则乙工程队单独完成任务需(x+2)天， 依题意得． 化为整式方程得x2-3x-4=0 解得x=-1或x=4． 检验：当x=4和x=-1时，x(x+2)≠0，x=4和x=-1都是原分式方程的解． 但x=-1不符合实际意义，故x=-1舍去； ∴乙单独完成任务需要x+2=6（天）． 答：甲、乙工程队单独完成任务分别需要4天、6天． 3.去年5月12日，四川省汶川县发生了里氏8.0级大地震，兰州某中学师生自愿捐款，已知第一天捐款4800元，第二天捐款6000元，第二天捐款人数比第一天捐款人数多50人，且两天人均捐款数相等，那么两天共参加捐款的人数是多少？人均捐款多少元？ 解法1：设第一天捐款x人，则第二天捐款（x+50）人， 由题意列方程． 解得x=200． 检验：当x=200时，x（x+50）≠0， ∴x=200是原方程的解． 两天捐款人数x+（x+50）=450，人均捐款=24（元）． 解法2：设人均捐款x元， 由题意列方程． 答：两天共参加捐款的有450人，人均捐款24元． 4.在我市某一城市美化工程招标时，有甲、乙两个工程队投标．经测算：甲队单独完成这项工程需要60天；若由甲队先做20天，剩下的工程由甲、乙合做24天可完成． （1）乙队单独完成这项工程需要多少天？ （2）甲队施工一天，需付工程款3.5万元，乙队施工一天需付工程款2万元．若该工程计划在70天内完成，在不超过计划天数的前提下，是由甲队或乙队单独完成该工程省钱？还是由甲乙两队全程合作完成该工程省钱？ 解：（1）设乙队单独完成需x天 根据题意，得 解这个方程，得x=90 经检验，x=90是原方程的解. ∴乙队单独完成需90天. （2）设甲、乙合作完成需y天，则有 解得y=36（天） 甲单独完成需付工程款为60×3.5=210（万元）. 乙单独完成超过计划天数不符题意（若不写此行不扣分）． 甲、乙合作完成需付工程款为 36×（3.5+2）=198（万元） 答：在不超过计划天数的前提下，由甲、乙合作完成最省钱． 5.一辆汽车开往距离出发地180千米的目的地，出发后第一小时内按原计划的速度匀速行驶，一小时后以原来的1.5倍匀速行驶，并比原计划提前40分钟到达目的地.求前一小时的行驶速度． 解：设前一小时的速度为xkm/小时，则一小时后的速度为1.5xkm/小时，由题意得： ， 解这个方程为x=60， 经检验，x=60是所列方程的根， 答：前一小时的速度为60km/小时． 【教学说明】使学生体会丰富的实例，巩固用分式方程解决实际问题的技巧． 四、师生互动，课堂小结 列分式方程解应用题的一般步骤： （1）审清题意； （2）设未知数（要有单位）； （3）根据题目中的数量关系列出式子，找出相等关系，列出方程； （4）解方程，并验根，还要看方程的解是否符合题意； （5）写出答案（要有单位）. 1.布置作业:教材“习题15.3”中第2、3题. 2.完成本课时对应练习. 15.4 零指数幂与负整数指数幂 1.使学生掌握不等于零的零次幂的意义. 2.使学生掌握（a≠0，n是正整数）并会运用它进行计算. 3.会用科学记数法表示较小的数. 4.通过探索，让学生体会到从特殊到一般的方法是研究数学的一个重要方法 5.简洁的内容，在形式上尽可能做到活泼，从而培养学生之间的感情，有利于形成和发展学生的数学观念和思维方式． 【教学重点】 不等于零的数的零次幂的意义以及理解和应用负整数指数幂的性质 【教学难点】 不等于零的数的零次幂的意义以及理解和应用负整数指数幂的性质 一、情境导入,初步认识 在前面，我们学习过同底数幂的除法公式am÷an=am-n时，有一个附加条件：m＞n，即被除数的指数大于除数的指数.当被除数的指数不大于除数的指数，即m=n或m＜n时，情况怎样呢？ 【教学说明】回顾相关知识，为本节课的教学做准备. 二、思考探究，获取新知 探究1:零次幂 计算： 52÷52，103÷103，a5÷a5(a≠0) 仿照同底数幂的除法公式来计算，得 52÷52=52-2=50， 103÷103=103-3=100， a5÷a5=a5-5=a0(a≠0). 另一方面，由于这几个式子的被除式等于除式，由除法的意义可知，所得的商都等于1. 【归纳结论】任何不等于零的数的零次幂都等于1.即：a0=1（a≠0） 探究2：负整数指数幂 计算：52÷55，103÷107， 一方面，如果仿照同底数幂的除法公式来计算，得 52÷55=52-5=5-3，103÷107=103-7=10-4. 另一方面，我们可利用约分，直接算出这两个式子的结果为 【归纳结论】.一般地，我们规定： (a≠0，n是正整数) 这就是说，任何不等于零的数的－n（n为正整数）次幂，等于这个数的n次幂的倒数. 【教学说明】引导学生观察、对比两种计算方法，总结出相关结论. 探究3：科学记数法 我们曾用科学记数法表示一些绝对值较大的数，即利用10的正整数次幂，把一个绝对值大于10的数表示成a×10n的形式，其中n是正整数，1≤|a|＜10.例如，864000可以写成8.64×105. 类似地，我们可以利用10的负整数次幂，用科学记数法表示一些绝对值较小的数，即将它们表示成a×10-n的形式，其中n是正整数，1≤|a|＜10. 三、运用新知，深化理解 1.若式子(2x-1)0有意义，求x的取值范围.解：由2x－1≠0，得x≠即，当x≠时，(2x-1)0有意义 2.计算： 3.用科学记数法表示下列各数. （1）30920000（2）0.00003092 （3）－309200（4）－0.000003092 解：（1）30920000=3.092×107 （2）0.00003092=3.092×10-5 （3）－309200=－3.092×105 （4）－0.000003092=－3.092×10-6. 4.用小数表示下列各数. （1）-6.23×10-5（2)(-2)3×10-8 解：（1）-6.23×10-5=－0.0000623； （2）(-2)3×10-8=－8×10-8=－0.00000008. 5.已知x+x-1=a，求x2+x-2的值. 分析：本例考查的是负整数指数幂及完全平方公式的灵活运用，显然，由x+x-1我们很难求出x，但可根据负整数指数幂的意义，把x+x-1及x2+x-2化为分数形式，观察、比较两式的特点，运用完全平方公式即可求解. 【教学说明】巩固提高通过观察、灵活运用. 四、师生互动，课堂小结 1.公式am÷an=am-n(a≠0,m>n)当m=n时，am÷an=____当m<n时，am÷an=____ 2.任何数的零次幂都等于1吗？规定其中a、n有没有限制？如何限制？ 1布置作业:教材“习题15.4”中第1、2、3题. 2.完成本课时对应练习. 章末复习 1.使学生进一步熟悉分式的意义及分式的运算. 2.会解分式方程，利用分式方程解决实际问题. 3.通过复习，发展学生的代数表达能力、运算能力和有条理地思考问题的能力. 4.提高学生解决实际问题的能力，培养学生的符号感，提高分析问题和解决问题的能力. 【教学重点】 会解分式方程，并利用分式方程解决实际问题. 【教学难点】 会解分式方程，并利用分式方程解决实际问题. 一、知识结构 【教学说明】引导学生回顾本章知识点，使学生系统地了解本章知识及它们之间的关系. 二、释疑解惑，加深理解 1.分式概念 形如A/B，其中分母B中含有字母，分数是整式而不是分式. 2.分式的基本性质 分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式，分式的值不变.用式子表示是： 分式的约分和通分： (1)约分的概念：把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分． (2)最简分式的概念：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫做最简分式． 求几个分式的最简公分母的步骤： （1）取各分式的分母中系数最小公倍数； (2)各分式的分母中所有字母或因式都要取到； (3)相同字母（或因式）的幂取指数最大的； (4)所得的系数的最小公倍数与各字母（或因式）的最高次幂的积（其中系数都取正数）即为最简公分母. (5)各个分式的分母都是多项式，并且可以分解因式.这时，可先把各分式的分母中的多项式分解因式，再确定各分式的最简公分母，最后通分. 3.分式的运算 （1）同分母分式的加减法法则：同分母的分式相加减，分母不变，分子相加减．（2）异分母分式的加减法法则：异分母的分式相加减，先通分，变为同分母后再加减．(3)分式的四则混合运算顺序与分数的四则运算顺序一样，先乘方，再乘除，最后加减，有括号要先算括号内的．有些题目先运用乘法分配律，再计算更简便些. 4.分式方程 分式方程的概念：分母中含有未知数的方程叫做分式方程. 分式方程的解法：①去分母，方程两边同时乘以最简公分母,将分式方程化为整式方程;②按解整式方程的步骤求出未知数的值;③验根. 5.分式方程的应用 列分式方程与列整式方程解应用题一样，应仔细审题，找出反映应用题中所有数量关系的等式，恰当地设出未知数，列出方程．与整式方程不同的是求得方程的解后，应进行两次检验，一是检验是否是增根，二是检验是否符合题意. 6.零指数幂与负整数指数幂 零指数幂：任何不等于零的数的零次幂都等于1.即：a0=1（a≠0） 负整数指数幂：任何不等于零的数的－n（n为正整数）次幂，等于这个数的n次幂的倒数. (a≠0，n是正整数) 7.科学记数法：我们可以利用10的负整数次幂，用科学记数法表示一些绝对值较小的数，即将它们表示成a×10-n的形式，其中n是正整数，1≤|a|＜10. 【教学说明】通过学生的回顾与思考，加深学生对解分式方程的步骤及解应用题的步骤的认识. 三、典例精析，复习新知 1.解分式方程： 解：方程两边同乘x-2，得 1=-(1-x) 1=-1+x ∴x=2 检验：将x=2代入x-2=2-2=0 ∴x=2为原方程的增根. 2.有一道题： “先化简，再求值：其中，x=-3”． 小玲做题时把“x=-3”错抄成了“x=3”，但她的计算结果也是正确的，请你解释这是怎么回事？ 解：原式计算的结果等于x2+4，所以不论x的值是+3还是-3结果都为13. 3.一辆汽车开往距离出发地180千米的目的地，出发后第一小时内按原计划的速度匀速行驶，一小时后以原来的1.5倍匀速行驶，并比原计划提前40分钟到达目的地.求前一小时的行驶速度． 解：设前一小时的速度为xkm/小时，则一小时后的速度为1.5xkm/小时，由题意得：， 解这个方程为x=60， 经检验，x=60是所列方程的根， 答：前一小时的速度为60km/小时． 4.某市从今年1月1日起调整居民用天燃气的价格为每立方米天燃气价格上涨25%．小颖家去年12月份的燃气费是96元．今年小颖家将天燃气热水器换成了太阳能热水器，5月份的用气量比去年12月份少10m3，5月份的燃气费是90元．求该市今年居民用气的价格． 解：设该市去年居民用气的价格为x元/m3，则今年的价格为(1+25%)x元/m3． 根据题意，得． 解这个方程，得x=2.4． 经检验，x=2.4是所列方程的根． 2.4×(1+25%)=3(元/m3)． 所以，该市今年居民用气的价格为3元/m3． 【教学说明】通过设置恰当的、有一定梯度的题目，关注学生知识技能的发展和不同层次的需求. 四、复习训练，巩固提高 1.用科学记数法表示下列各数： 0．00004，-0.034,0.00000045,0.003009 解：(1)4×10-5 (2)-3.4×10-2 （3）4.5×10-7 （4）3.009×10-3 2.计算 (1)(3×10-8)×(4×103) (2)(2×10-3)2÷(10-3)3 解：（1）1.2×10-4（2）4×103 3.若的值为零，则x的值是_____ 4.若分式的值是正整数，则整数x的值是____ 5.解方程 （1） 解：略 （2） 解：略 6.先化简，再求值： ，其中a=． 解：原式=3a-1把a=代入得： 原式=3×-1=1-1=0 7.求代数式的值： ，其中x=2+2 解：原式= 当x=2+2时 原式== 8.（1）原子弹的原料——铀，每克含有2.56×1021个原子核，一个原子核裂变时能放出3.2×10-11J的热量，那么每克铀全部裂变时能放出多少热量？ （2）1块900mm2的芯片上能集成10亿个元件，每一个这样的元件约占多少mm2？约多少m2？（用科学记数法表示） 分析：第（1）题直接列式计算；第（2）题要弄清m2和mm2之间的换算关系，即1m=1000mm=103mm，1m2=106mm2，再根据题意计算. 解：（1）由题意得： 2.56×1021×3.2×10-11=2.56×3.2×1021×10-11=8.192×1010(J) 答：每克铀全部裂变时能放出的热量8.192×1010J的热量. （2）=900×10-9=9×102×10-9=9×10-7(mm2) 9×10-7÷106=9×10-7-6=9×10-13(m2) 答：每一个这样的元件约占9×10-7mm2，约9×10-13m2. 9.轮船在顺水中航行30千米的时间与在逆水中航行20千米所用的时间相等，已知水流速度为2千米/小时，求船在静水中的速度. 解：设船在静水中的速度为x千米／小时. 则 去分母得30(x-2)=20(x+2) ∴30x-60=20x+40 10x=100 ∴x=10 将x=10代入方程得：x=10是方程组的根，也是本问题的解， ∴x=10 答：船在静水中的速度是10千米／小时. 10.某车间加工1200个零件，采用了新工艺后，工效是原来的1.5倍，这样加工零件就少用10小时，采用新工艺前、后每小时分别加工多少个零件？ 解：设采用新工艺前每小时加工x个零件，则采用新工艺后每小时加工1.5x个零件. 由题意得 1800-1200=15x 15x=600 x=40（个） 经检验：x=40是方程的解 ∴1.5x=60（个） 答：采用新工艺前、后每时分别加工40个、60个零件 【教学说明】让学生能从具体的情境中抽象出数量关系和变化规律，并用符号表示，发展学生的符号感．通过解决生活中的实际问题，提高分析问题和解决问题的能力. 5、 师生互动，课堂小结 通过复习，你对本章的知识还有哪些疑惑？ 1.布置作业:教材“复习题”中第3、6、7、8题. 2.完成本课时对应练习. 第1页 学科网（北京）股份有限公司 $