第3章 幂、指数与对数（单元自测，上海专用沪教版）数学初升高衔接

**基本信息** 高中数学初升高衔接单元卷，聚焦幂、指数与对数，通过120分钟150分的分层设计，融合概念辨析、实际应用与逻辑推理，适配核心素养培养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |填空题|12题54分|方程根、指数对数运算、最值求解|基础巩固，如用已知对数表示代数式| |选择题|4题18分|概念辨析、对数定义域、密码破解时间计算|结合科技情境，如密码破解时间估算| |解答题|5题78分|方程求解、证明推广、不等式恒成立、方程解讨论|综合应用，如对数方程解的分类讨论|

第3章 幂、指数与对数 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 考前须知： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、填空题（1-6填对每题得4分，7-12填对每题得5分） 1．若为方程的两个根，则___________． 2．已知，，化简：__________. 3．已知（且），则___________ 4．若，则____________． 5．关于的方程的解集为______． 6．设，若，则_____ 7．已知，用表示___________． 8．已知实数，且，则________． 9．已知，，且，则的最小值为__________． 10．已知，且，则 _____. 11．对不同正数a、b，若，则的范围是__________． 12．记，则_______. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分） 13．下列结论中，正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D． 14．下列各式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 15．在对数式中，实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 16．若密码的长度设定为512比特，则密码一共有种可能，因此，为了破解密码，最坏情况需要进行次哈希运算．现在有一台机器，每秒能进行次哈希运算，假设机器一直正常运转，那么在最坏情况下，这台机器破译密码所需时间大约为（    ） A．秒 B．秒 C．秒 D．6.4秒 三、解答题(本大题共有5题，第17~19题每题14分，第20~21题每题18分，满分78分) 17．（本题14分）求下列方程的解集 (1) (2) 18．（本题14分）已知，． (1)当，求的值； (2)当时，用，表示． 19．（本题14分）已知a、b、c为正实数，且a、b、c均不等于1， (1)求证：； (2)设，，，为正实数且（且），请把（1）中结论进行推广，并证明． 20．（本题18分）已知为实数， (1)求证:； (2)若不等式，对任意实数均成立，求实数的取值范围. 21．（本题18分）（1）当时，解关于x的方程； （2）当时，要使对数有意义，求实数x的取值范围； （3）若关于x的方程有且仅有一个解，求实数a的取值范围 2 / 9 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3章 幂、指数与对数 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 考前须知： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、填空题（1-6填对每题得4分，7-12填对每题得5分） 1．若为方程的两个根，则___________． 【答案】4 【分析】根据韦达定理得出，再应用指数幂运算律计算求解. 【详解】因为为方程的两个根， 则， 则. 故答案为：4. 2．已知，，化简：__________. 【答案】 【分析】根据根式与分数指数幂的互化、指数运算的性质直接求解即可. 【详解】， . 故答案为：. 3．已知（且），则___________ 【答案】 【分析】利用立方差公式将因式分解，再化简求值即可. 【详解】； 故答案为： 4．若，则____________． 【答案】/ 【分析】先进行指对互化，再根据指数幂的运算性质求解. 【详解】由题可知，. 故答案为：. 5．关于的方程的解集为______． 【答案】 【分析】整理可得，结合对数解方程即可. 【详解】因为，可得， 所以方程的解集为. 故答案为：. 6．设，若，则_____ 【答案】 【分析】根据对数运算性质可得，即可得结果. 【详解】因为，则， 所以. 故答案为：. 7．已知，用表示___________． 【答案】 【分析】应用指对数运算得出，再应用换底公式计算求解. 【详解】因为，所以， 所以， 所以用表示， 故答案为：. 8．已知实数，且，则________． 【答案】16 【详解】由换底公式可得 ，且，故。 设（），则原方程可化为：， 两边同乘以整理得 ， 解得或。 ∵ ，∴ 舍去，即， ∴ 。 9．已知，，且，则的最小值为__________． 【答案】/ 【分析】通过指数运算求出，进而根据常数代换和基本不等式即可求解. 【详解】由得，所以， 所以，当且仅当，即时等号成立. 则的最小值为. 10．已知，且，则 _____. 【答案】 【分析】求出，利用换底公式化简即可求出. 【详解】因为，所以， 当时，，不符合题意；故且， 所以，则. 故答案为： 11．对不同正数a、b，若，则的范围是__________． 【答案】 【分析】根据题意可得，再由基本不等式求范围即可． 【详解】对不同正数a、b，， 则，即， ， ，当且仅当时取等， 则的范围是． 故答案为：. 12．记，则_______. 【答案】1 【分析】根据给定条件，利用换底公式及对数运算法则求解. 【详解】由，得 . 故答案为：1 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分） 13．下列结论中，正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D． 【答案】C 【分析】利用指数运算化简判断AC；利用根式运算化简判断BD. 【详解】对于A，，A错误； 对于B，由，得，B错误； 对于C，由可知，则， 因为，所以，C正确； 对于D，，D错误. 故选：C 14．下列各式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对数的运算性质，逐一分析各个选项，即可得答案. 【详解】选项A：，故A错误； 选项B：无法直接分解为，故B错误； 选项C，D：，故C错误，D正确； 故选：D 15．在对数式中，实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对数的概念，底数大于且不等于，真数大于0，列不等式组即可求解． 【详解】要使对数式有意义，需满足， 解得或， 所以实数的取值范围是． 故选：D. 16．若密码的长度设定为512比特，则密码一共有种可能，因此，为了破解密码，最坏情况需要进行次哈希运算．现在有一台机器，每秒能进行次哈希运算，假设机器一直正常运转，那么在最坏情况下，这台机器破译密码所需时间大约为（    ） A．秒 B．秒 C．秒 D．6.4秒 【答案】B 【分析】根据题意得，然后两边取对数，利用对数运算，结合对数式和指数式的关系求解可得. 【详解】由题意可知，在最坏情况下，这台机器破译密码所需时间大约为秒， 令，两边取对数得， 所以， 故选：B 三、解答题(本大题共有5题，第17~19题每题14分，第20~21题每题18分，满分78分) 17．（本题14分）求下列方程的解集 (1) (2) 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据对数的定义及运算求解，注意对数的真数大于0. （2）对的取值讨论，去掉绝对值，转化为指数方程求解. 【详解】（1）因为， 所以有，即，解得或（舍去）. 故方程的解集为. （2）当时，可化为，即，解得. 当时，可化为，整理得， 解得或. 因为，所以不满足，故舍去. 所以. 综上，方程的解集为. 18．（本题14分）已知，． (1)当，求的值； (2)当时，用，表示． 【答案】(1); (2). 【分析】（1）利用对数恒等式即可求解； （2）利用对数换底公式和同底对数的加减运算，即可求解. 【详解】（1）因为，， 所以，，且， 又因为，所以， 则解得：或（舍去） 故当时， ； （2）由，可得，, 而. 19．（本题14分）已知a、b、c为正实数，且a、b、c均不等于1， (1)求证：； (2)设，，，为正实数且（且），请把（1）中结论进行推广，并证明． 【答案】(1)证明见解析； (2)推广：，证明见解析． 【分析】（1）利用换底公式通过计算证明； （2）类比推理进行推广，再利用换底公式通过计算证明． 【详解】（1），得证； （2）推广： 证明：． 20．（本题18分）已知为实数， (1)求证:； (2)若不等式，对任意实数均成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）取对数表示，利用换底公式及对数运算法则证明即可； （2）利用代换法，右边转化为定值，然后解二次不等式即可. 【详解】（1）令且，则，，， 所以， 又因为， 所以成立. （2）由（1）知， ，，， 所以 ， 由恒成立知，成立， 即，解得. 21．（本题18分）（1）当时，解关于x的方程； （2）当时，要使对数有意义，求实数x的取值范围； （3）若关于x的方程有且仅有一个解，求实数a的取值范围 【答案】（1）；（2）或；（3） 【分析】（1）解对数方程，其中；（2）有意义，要求真数大于0；（3）通过化简变为有且仅有一个解，对进行分类讨论，注意变形中的真数要始终成立，所以要检验. 【详解】（1）∵ ∴ ∴ （2）对数有意义，则，解得：或， 所以实数x的取值范围为或； （3） 即 =① 方程两边同乘x得： 即② 当时，方程②的解为，此时代入①式，，符合要求 当时，方程②的解为，此时代入①式，，符合要求 当且时方程②的解为或， 若是方程①的解，则，即 若是方程①的解，则，即 则要使方程①有且仅有一个解，则 综上：方程有且仅有一个解，实数a的取值范围是 2 / 9 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $