第2章 等式与不等式（单元自测，上海专用沪教版）数学初升高衔接

**基本信息** 初升高衔接阶段“等式与不等式”单元卷，通过基础巩固与情境应用结合，提升数学抽象、推理及模型意识，适配衔接期知识过渡与素养培养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |填空题|12题/54分|不等式解集（如第1题）、集合运算（第7题）、最值问题（第10题）|梯度设计，基础概念与符号运算结合| |选择题|4题/18分|充分必要条件（第13题）、方程解集（第14题）|聚焦逻辑推理与概念辨析| |解答题|5题/78分|糖水不等式证明（第19题）、海报面积优化（第20题）、函数最值（第21题）|情境真实（生活问题）、综合应用（跨知识点），体现数学思维与模型应用|

第2章 等式与不等式（单元自测） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 考前须知： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、填空题（1-6填对每题得4分，7-12填对每题得5分） 1．不等式的解集是________. 2．已知，，则的取值范围是________． 3．已知，则方程的解集为__________． 4．关于的不等式的解集为______. 5．已知，则的最大值为__________． 6．若的最小值是___________． 7．已知集合，，若，则实数______． 8．若关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是___________ 9．已知实数 满足，则的取值范围是________． 10．若正实数a，b满足，则的最小值是________． 11．已知，若关于x的方程有两个实根，，且，则a的值为__________. 12．已知，记符号表示不大于的最大整数，集合，，则_______. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分） 13．设，，则“”是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 14．设，求方程的解集（    ） A． B． C． D． 15．若，则有（    ） A．最小值 B．最大值4 C．最小值 D．最小值4 16．当时，关于x的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 三、解答题(本大题共有5题，第17~19题每题14分，第20~21题每题18分，满分78分) 17．（本题14分）已知，试比较和的大小. 18．（本题14分）设全集为R，集合，集合． (1)求集合A； (2)若，求实数a的取值范围． 19．（本题14分）假设克糖水中含有克糖，若再添加克糖（其中，），生活常识告诉我们：添加的糖完全溶解后，糖水会更甜． (1)根据这个生活常识，提炼出一个不等式，并证明； (2)利用（1）提炼的不等式证明：若为三角形的三边长，则． 20．（本题18分）（1）已知实数，求的取值范围； （2）如图，要设计一张矩形海报，该海报含有大小相等的左右两个矩形栏目（即图中阴影部分），这两栏的面积之和为18000，四周空白的宽度为10cm，两栏之间的中缝空白的宽度为16cm，怎样确定海报的高与宽的尺寸（单位：cm），能使矩形海报面积S最小？最小面积是多少？    21．（本题18分）已知函数 . (1)当时，解不等式； (2)求在上的最小值； (3)若时，恒成立，求实数的取值范围. 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2章 等式与不等式（单元自测） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 考前须知： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、填空题（1-6填对每题得4分，7-12填对每题得5分） 1．不等式的解集是________. 【答案】 【分析】直接根据绝对值不等式的性质即可求解． 【详解】因为，所以，解得，故解集为． 故答案为：． 2．已知，，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】利用不等式的性质即可求解. 【详解】，，， 的取值范围是. 故答案为： 3．已知，则方程的解集为__________． 【答案】 【分析】分，，，四类讨论即可. 【详解】当时，方程即为，解得，不符合题意，舍去； 当时，方程即为，解得，不符合题意，舍去； 当时，方程即为，等式恒成立，所以； 当时，方程即为，解得，不符合题意，舍去； 综上所述，方程的解集为. 故答案为： 4．关于的不等式的解集为______. 【答案】 【分析】将分式不等式转化为二次不等式，再结合分母不为零，即可得出正确解集. 【详解】, 所以且，解得或， 所以的不等式的解集为 故答案为： 5．已知，则的最大值为__________． 【答案】/ 【分析】根据基本不等式可得，结合条件即可求结论. 【详解】因为，当且仅当时等号成立， 结合可得，， 当且仅当，或，时等号成立， 所以当，或，时，取最大值，最大值为. 6．若的最小值是___________． 【答案】4 【分析】利用绝对值三角不等式可直接求得结果． 【详解】，当且仅当成立， 即，故的最小值为4． 故答案为：4. 7．已知集合，，若，则实数______． 【答案】 【详解】因为，说明一元二次不等式的解集就是，即和是对应方程的两个实根， 根据韦达定理得，因此， 验证： 因式分解得，解集确实为，符合. 8．若关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是___________ 【答案】 【分析】根据一元二次不等式的解集性质，结合一元二次不等式的解法进行求解即可. 【详解】因为关于的不等式的解集是， 所以有， 所以，或， 所以原不等式的解集为. 故答案为： 9．已知实数 满足，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】根据绝对值的性质，列出不等式组，求出结果. 【详解】因为， 则原方程变形为， 因为，当且仅当时取等号， 即时，等号成立． 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 10．若正实数a，b满足，则的最小值是________． 【答案】/0.25 【分析】利用换元法和分离常数的思路将式子整理为，然后根据“1”的运用求最值. 【详解】由题意得， 令，，则，，， ， 当且仅当，即，时等号成立. 11．已知，若关于x的方程有两个实根，，且，则a的值为__________. 【答案】 【分析】由韦达定理得到和，代入解出的值，根据判别式判断是否符合题意. 【详解】因为，是的两个实根，由韦达定理得， 所以，即，解得或， 判别式， 当时，，方程无实根，舍去， 当时，，有两个实根，符合条件， 故答案为：. 12．已知，记符号表示不大于的最大整数，集合，，则_______. 【答案】 【分析】解一元二次方程，结合的定义写出集合，再利用集合的交集运算求. 【详解】由得，解得或， 又因为表示不大于的最大整数， 所以由得，由得， 所以，所以. 故答案为： 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分） 13．设，，则“”是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】应用作差法计算判断大小关系及特殊值法，最后结合充分必要条件定义判断求解. 【详解】当时，，所以，所以“”是的充分条件； 当时，满足，不满足，所以“”是的不必要条件； 则“”是的充分不必要条件. 故选：A. 14．设，求方程的解集（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据绝对值的定义去掉绝对值，分类讨论，求解即可． 【详解】当时，方程为，解得； 当时，方程为，解得，舍去； 当时，方程为，解得，舍去； 当时，方程为，解得 综上，方程的解集为 故选：D 15．若，则有（    ） A．最小值 B．最大值4 C．最小值 D．最小值4 【答案】D 【详解】由题意得， 因为，所以，则， 由基本不等式可得， 当且仅当时取等，此时解得， 则有最小值4，故D正确. 16．当时，关于x的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先化简得，作差比较与的大小，利用一元二次不等式即可求解. 【详解】时，，不等式可化为， 因为，且， 则，故有， 则原不等式等价于， 所以原不等式的解集为. 三、解答题(本大题共有5题，第17~19题每题14分，第20~21题每题18分，满分78分) 17．（本题14分）已知，试比较和的大小. 【答案】答案见解析. 【分析】根据给定条件，作差、变形，再与0比较大小即可. 【详解】依题意， ， 由，得， 所以当时，； 当时，； 当时，. 18．（本题14分）设全集为R，集合，集合． (1)求集合A； (2)若，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据分式不等式的解法，求得不等式的解集，即可求解； （2）由（1）知，分和，两种情况讨论，结合，列出关系式，即可求解. 【详解】（1）解：由不等式，可得，所以. （2）解：由（1）知：集合，且， 当时，不等式的解集为空集，满足，符合题意； 当时，不等式，可得，即， 因为，则满足，解得， 综上可得，实数满足，即实数的取值范围为. 19．（本题14分）假设克糖水中含有克糖，若再添加克糖（其中，），生活常识告诉我们：添加的糖完全溶解后，糖水会更甜． (1)根据这个生活常识，提炼出一个不等式，并证明； (2)利用（1）提炼的不等式证明：若为三角形的三边长，则． 【答案】(1)；证明见解析； (2)证明见解析. 【分析】（1）根据题意分析可得，其中，，并利用作差法分析证明. （2）利用糖水不等式，结合不等式的性质推理可得. 【详解】（1）因为加糖后糖水更甜，即糖水的浓度变大，所以提炼出的不等式为: ； 证明如下：利用作差法证明 ， 所以，不等式成立. （2）因为为三角形的三边长，所以 由（1）知， ， ， 将上述三个不等式相加可得： ， 所以 20．（本题18分）（1）已知实数，求的取值范围； （2）如图，要设计一张矩形海报，该海报含有大小相等的左右两个矩形栏目（即图中阴影部分），这两栏的面积之和为18000，四周空白的宽度为10cm，两栏之间的中缝空白的宽度为16cm，怎样确定海报的高与宽的尺寸（单位：cm），能使矩形海报面积S最小？最小面积是多少？    【答案】（1） （2）海报的高为与宽为，可使矩形海报面积S最小，最小面积为 【分析】（1）分，两种情况，结合基本不等式求解即可； （2）设矩形栏目宽为，高为，则，利用基本不等式求解即可. 【详解】（1）当时，，当且仅当，即取等号， 当时，，所以， 当且仅当，即取等号， 综上所述：的取值范围为. （2）设矩形栏目宽为，高为，则， 所以 ， 当且仅当，即取等号， 所以海报的高为与宽为，可使矩形海报面积S最小，最小面积为. 21．（本题18分）已知函数 . (1)当时，解不等式； (2)求在上的最小值； (3)若时，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】（1）解不含参的一元二次不等式即可； （2）利用对称轴分为三类区间来讨论二次函数的单调性，然后求出最小值； （3）利用分离参变量思想，构造对勾函数来判断单调性求最大值，即可求解参数的范围. 【详解】（1）当时，， 则，解得：或， 即不等式的解集为：； （2）因为二次函数的对称轴为， 当，即时，在上单调递增， 所以； 当，即时，在上单调递减，在上单调递增， 所以 当，即时，在上单调递减， 所以. 综上可得：； （3）由不等式可得： (*)， 因为，所以， 则(*)等价于，， 再令，则，令函数， 因为在单调递减，在单调递增， 且， 所以， 由对任意的都恒成立，则， 所以实数的取值范围是. 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $