第25讲 合并同类项 小升初衔接 2026--2027学年人教版七年级数学上册

4.2.1 合并同类项 人教版·数学·七年级上册（2024 新版） 第四章 第二节 第一课时 · 学生版 一、学习目标 1. 概念理解 —— 准确说出同类项的定义：所含字母相同、并且相同字母的指数也相同的两个单项式；掌握常数项也是同类项这一特殊规定，能在多项式中快速识别所有同类项。 2. 方法迁移 —— 熟练运用识·合·检三步法合并同类项：识（找出所有同类项，分组归类）→ 合（系数相加减，字母连同指数不变）→ 检（有没有漏合并、合并错的组）；理解「合并同类项」的本质是加法分配律 ma + na = (m+n)a 的逆用。 3. 素养链接 —— 感受从「表面复杂」到「本质简洁」的数学化归思想。 二、重难点 类别 内容 突破策略 重点 同类项的定义（字母相同 + 指数相同）；合并同类项的法则（系数相加减，字母指数不变） 对比 3x²y vs 3xy² 强化「指数分别相同」；用「加法分配律」逆用理解合并本质 难点 ① 指数分别相同 —— 3x²y 与 -5yx² 是同类项（字母顺序无关），但 3x²y 与 3xy² 不是（x 的指数不同） 口诀：「字母一致，指数各同」；练习中反复对比「顺序换 vs 指数换」两类干扰项 难点 ② 合并时系数带符号相加 —— -3x + 5x = 2x（不是 -2x、不是 -8x）；-3x - 5x = -8x 先把每项写成「系数 × 字母」形式，符号跟着系数走；分数系数用公式呈现避免混淆 难点 ③ 多项式中「不同类项」不能合并 —— 3x + 2y 不能合并为 5xy 或 5 口诀：「不同类，不来往」；例题设置 3x²y + 3xy² 这类陷阱强化 六大易错点提前预警：① 顺序换以为不是同类项 · ② 指数换以为是同类项 · ③ 系数相加漏符号 · ④ 合并后字母指数相加 · ⑤ 常数项与其他项合并 · ⑥ 遗漏一类同类项没合并（按类别写在同一颜色下 是最有效的预防手段） 三、复习回顾 回顾一 · §4.1.2 项·次·排三步法（5 题热身） 请写出下列多项式的项、次数、常数项：（本节的一切合并都基于对「项」的正确识别） 多项式 各项 次数 常数项 3x + 2y − 5 　 　 　 −x² + 5x − 7 　 　 　 2a² − 3ab + b² 　 　 　 x³ − 3x²y + 3xy² − y³ 　 　 　 πr² − 2πrh + πr²h 　 　 　 回顾二 · 加法分配律（合并的本质） 小学已学： a × (m + n) = a × m + a × n；反过来： a × m + a × n = a × (m + n) 代数版本：将 a 提出：ma + na = (m + n)a 填一填（口答）： 3x + 5x = (　　)·x = 　　 回顾三 · 生活情境导入（分类整理） 场景：超市盘点货架，有：3 瓶可乐 + 2 瓶雪碧 + 5 瓶可乐 − 1 瓶雪碧。请回答：可乐一共 ______ 瓶，雪碧一共 ______ 瓶。 类比： 3 瓶可乐 + 5 瓶可乐 = 8 瓶可乐 ⇔ 3x + 5x = 8x（可乐 → x） 反例： 3 瓶可乐 + 2 瓶雪碧 ≠ 5 瓶「可乐雪碧」 ⇔ 3x + 2y ≠ 5xy（也 ≠ 5x、≠ 5y） 四、新知探究 ★★★ 探究一 · 同类项的定义（三看识别法） 定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项，叫做同类项。所有的常数项都是同类项。 三看识别法（本节工具 ①）：① 看字母种类是否完全相同 ② 看每个字母的指数是否分别相同 ③ 看是不是常数项（是就直接归为同类） 案例组 · 5 组两两对比（判断是否同类项） 组 第一项 第二项 字母相同？ 指数分别相同？ 结论 ① 3x²y −5yx² 　 　 　 ② 3x²y 3xy² 　 　 　 ③ −7 12 　 　 　 ④ 2ab −ab 　 　 　 ⑤ 4a²b 4ab² 　 　 　 强化练习 · 5 题判断（画 ✓ 或 ✗） ① 5x² 与 −3x² [ 　 ] ② 2ab² 与 2a²b [ 　 ] ③ 4xy 与 4yx [ 　 ] ④ 3πr² 与 −5r² [ 　 ] ⑤ 8 与 −2 [ 　 ] ★★★ 探究二 · 合并同类项的法则 动手推导：请利用加法分配律计算：3x + 5x = ______。 再试： −4a²b + 7a²b = ______ 分数系数（本节难点）： x + x = ______ 合并同类项法则（用四句话记住）： ① 系数相加减（带符号） ② 字母连同指数一起照抄（绝对不变！） ③ 只有同类项才能合并（不同类的写在一起就好） ④ 合并到只剩不同类项时结束（结果通常按降幂排列） ★★★ 探究三 · 识·合·检三步法（本节核心工具） 步骤一 · 识 —— 分类归组 拿到多项式，先给每一项标记「类别」。同类项标同一颜色/符号。 步骤二 · 合 —— 逐类合并 对每一类同类项：把系数相加减，字母连同指数照抄。 步骤三 · 检 —— 回头验算 检查：① 有没有漏合并的一类？② 每一类系数加对了吗？③ 字母指数改了没有（不能改）？④ 最终有没有两项还是同类的？ 案例 1 · 数字系数（3x + 2y − 4x + 5y − 3） 案例 2 · 分数系数（x²y − xy² + x²y + xy² 的合并） 案例 3 · 多字母 + 陷阱（3x²y + 5xy² − 3x²y − 5xy²） ★★ 探究四 · 三大黄金口诀（本节护身符） 步骤 口诀（八字） ① 识 字母一致，指数各同 ② 合 系数加减，字母照抄 ③ 检 分类归组，漏错都查 完整口诀连读：「字母一致，指数各同；系数加减，字母照抄；分类归组，漏错都查。」 五、例题 例 1 · 判定同类项（识别 · 判定 · 找组） (1) 判定下列各组是否为同类项，若是打 ✓，不是打 ✗： ① 3ab² 与 −5ab² [ 　 ] ② 2x²y 与 −3xy² [ 　 ] ③ 6a 与 6b [ 　 ] ④ −2 与 0.5 [ 　 ] ⑤ 4πr² 与 −πr² [ 　 ] ⑥ x³y² 与 y²x³ [ 　 ] (2) 从下列多项式中找出所有同类项组： 多项式 M = 4x²y − 3xy² + 5 − 2x²y + xy² − 8 + x²y 例 2 · 合并同类项（识·合·检三步法） 请合并下列各式：（学生请写在下方留白处，按三步法书写） (1) 8a − 3a + 5a − a (2) −5x²y + 3xy² + 2x²y − xy² (3) m + m − m (4) 4ab − 3a²b + 5ab − 2a²b + 7 (5) 3x²y + 5xy² − 3yx² − 5y²x （陷阱：yx² 与 x²y 同类；y²x 与 xy² 同类） (6) 接例 1(2)：将 M = 4x²y − 3xy² + 5 − 2x²y + xy² − 8 + x²y 合并到最简 例 3 · 几何情境合并（联动 §4.1.2 图形代数） (1) 长方形周长联动：长为 3a + 2b，宽为 a − b 的长方形，周长 C = 2(长) + 2(宽)。先展开、再合并同类项，求 C 的最简式。 (2) 圆环面积联动（§4.1.2 例 3(4)）：圆环 S = πR² − πr²。若 R = 3r，代入 R = 3r 后合并同类项，求 S 的最简式。 (3) 梯形面积联动（§4.1.2 例 3(3)）：梯形 S = (a + b)h = ah + bh。若下底 b = 3a、高 h = 2，将 b = 3a、h = 2 代入并合并（含分数系数），求 S 的最简式。 (4) 圆柱表面积联动（§4.1.2 例 3(5)）：圆柱表面积 S = 2πr² + 2πrh。若h = 4r，代入 h = 4r 后合并同类项，求 S 的最简式。 六、当堂检测（限时 12 分钟） Part 1 · 判定同类项（6 题 · 每题 1 分） (1) 3x² 与 −7x² [ 　 ] (2) 5ab 与 5a [ 　 ] (3) −2 与 [ 　 ] (4) 4m²n 与 −4mn² [ 　 ] (5) 6xy² 与 yx²·y [ 　 ] (6) π 与 3 [ 　 ] Part 2 · 直接合并同类项（6 题 · 每题 2 分） (1) 6x − 5x − x = ______ (2) −3ab + 5ab − 2ab = ______ (3) 4a²b − 3ab² + 2a²b + 5ab² = ______ (4) y − y + y = ______ (5) 5x² + 3x − 2 − 3x² + x + 7 = ______ (6) 3a − 2b + a − 3c + 2b − c = ______ Part 3 · 先合并再回答（4 题 · 每题 3 分） (1) 已知多项式 A = 3x²y + 5xy² − 2x²y − 4xy² + x²y。合并后，A 有 ______ 项，次数为 ______。 (2) 若 5 + 3x² 合并同类项后结果为 8x²，则 m = ______。 (3) 若 −3· 与 2x²y³ 是同类项，则 a = ______，b = ______。 (4) 计算：3(x + 2y) − 2(x + y) 【提示：先按数字乘分配律展开，再合并同类项】 Part 4 · 综合挑战 ★★★（联动 §3~§4） (1) 【联动 §3.2 燃油车】汽车油耗每公里 元，行驶 x 公里的费用为 x 元。若加油站 A 每天可服务 x 位司机、加油站 B 每天服务 x 位司机、加油站 C 每天服务 x 位司机，三站合计每天服务多少位司机？（用含 x 的最简式表示） (2) 【联动 §4.1.1 单项式家族】下列 6 个单项式：3x²y, −5xy², x²y, 4xy², −7, x²y, 请分组并写出每组合并后的结果。 (3) 【联动 §4.1.2 三步法】若 M = 3a²b − 2ab² + 5，N = −a²b + 4ab² − 3，先分别合并 M 和 N（本身内部）已知都是最简，请计算 M + N 并合并同类项，写出最简式。 七、思维导图 · 识·合·检三步法全景 ┌── 字母相同 ① 识（识别）─┼── 相同字母指数相同 └── 常数项自成一类 │ ▼ ┌── 系数相加减（带符号） ② 合（合并）─┼── 字母连同指数照抄 └── 不同类项写在一起（不合并） │ ▼ ┌── 是否漏合并？ ③ 检（检验）─┼── 系数加对没？（尤其分数、负数） ├── 字母指数改了没？（不能改） └── 是否还有同类项残留？ ★ 三大黄金口诀（本节护身符） ① 识：字母一致，指数各同（顺序无关；π 是数不是字母；常数自成一类） ② 合：系数加减，字母照抄（负号跟系数走；分数通分；字母连指数原样搬） ③ 检：分类归组，漏错都查（每类单独一色；写完回看有无同类残留） 八、分层作业 🅰 🅱 🅲 🅰 基础层 · 全体必做（80% 掌握） A-1 · 判定同类项（8 题，画 ✓ 或 ✗） ① 4a 与 −a [ 　 ] ② 3xy 与 3yx [ 　 ] ③ 2m²n 与 2mn² [ 　 ] ④ 5 与 [ 　 ] ⑤ πr² 与 3r² [ 　 ] ⑥ ·y 与 x²y [ 　 ] ⑦ −7abc 与 abc [ 　 ] ⑧ 4x²y³ 与 4x²y² [ 　 ] A-2 · 直接合并（6 题） ① 5a + 3a − 2a ② −4x² + 7x² − x² ③ 3ab + 5ba − 2ab ④ m + m ⑤ 2x + 3y − x + 5y ⑥ 6a²b − 3a²b + 5ab² − 2ab² A-3 · 综合合并 + 结果分析（4 题） ① 合并：3x²y − 2xy² + 5x²y + xy² − 3x²y。合并后有 ______ 项，次数为 ______。 ② 合并：4m − 3n + 2m − 5n + 7。合并后按 m 降幂排列结果 = ______。 ③ 若合并 2 + 5x² − 3x²为 4x²，则 m = ______。 ④ 合并：a²b + ab² − a²b + ab²。 🅱 提升层 · 中等生（60% 掌握） B-1 · 参数反推（3 题） ① 若 (2m − 3)x²y + 5x²y 合并后系数为 4，则 m = ______。 ② 若 −3 + 5x³ 合并后为 2x³，则 a = ______。 ③ 若 3x² 与 −7·y⁴ 是同类项，则 m + n = ______。 B-2 · 多项式化简（2 题） ① 合并：(4x²y − 6xy) + 3(x²y − 2xy) − 5xy（可先分配后合并） ② 若 A = 2x² − 3x + 5，B = x² + x − 4，求 A + B。 B-3 · 判断题（3 题，说明理由） ① 「合并同类项后，多项式的项数一定减少」—— 对 / 错？ ② 「若多项式合并后为 0，则原多项式的每一项系数都为 0」—— 对 / 错？ ③ 「合并同类项时，字母的指数可以相加」—— 对 / 错？ 🅲 挑战层 · 学有余力（30%~50% 尝试） 🅲-1 · 分数系数综合合并 合并：x²y − xy² + x²y + xy² − 5x²y 🅲-2 · 几何综合应用 题：如图（想象即可），一个矩形花坛长 3a + 2b，宽 2a + b。花坛四周有宽度为 a 的水泥小径，求： (1) 大矩形（花坛+小径）的长和宽（用含 a、b 的多项式表示） (2) 大矩形的周长（合并同类项到最简） (3) 若 a = 1、b = 2 米，大矩形周长是多少？（联动 §3.2 代·算·检） 🅲-3 · 大总决战 · §4.2.1 之最 题：请设计一个含 π、含分数系数、含负数、含 3 类同类项、且合并后结果最简为 3 项 · 2 次多项式 的合并同类项习题，并给出解答。 九、学习反思 项目 是否掌握 困惑或补充 ① 同类项的定义（双相同） ○ 完全 ○ 基本 ○ 未 ② 合并同类项的法则 ○ 完全 ○ 基本 ○ 未 ③ 识·合·检三步法 ○ 完全 ○ 基本 ○ 未 ④ 分数系数的合并 ○ 完全 ○ 基本 ○ 未 ⑤ 陷阱识别（字母顺序、指数错位） ○ 完全 ○ 基本 ○ 未 ⑥ 与几何公式的联动应用 ○ 完全 ○ 基本 ○ 未 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.2.1 合并同类项 人教版·数学·七年级上册（2024 新版） 第四章 第二节 第一课时 · 教师版 一、学习目标 1. 概念理解 —— 准确说出同类项的定义：所含字母相同、并且相同字母的指数也相同的两个单项式；掌握常数项也是同类项这一特殊规定，能在多项式中快速识别所有同类项。 2. 方法迁移 —— 熟练运用识·合·检三步法合并同类项：识（找出所有同类项，分组归类）→ 合（系数相加减，字母连同指数不变）→ 检（有没有漏合并、合并错的组）；理解「合并同类项」的本质是加法分配律 ma + na = (m+n)a 的逆用。 3. 素养链接 —— 感受从「表面复杂」到「本质简洁」的数学化归思想。 二、重难点 类别 内容 突破策略 重点 同类项的定义（字母相同 + 指数相同）；合并同类项的法则（系数相加减，字母指数不变） 对比 3x²y vs 3xy² 强化「指数分别相同」；用「加法分配律」逆用理解合并本质 难点 ① 指数分别相同 —— 3x²y 与 -5yx² 是同类项（字母顺序无关），但 3x²y 与 3xy² 不是（x 的指数不同） 口诀：「字母一致，指数各同」；练习中反复对比「顺序换 vs 指数换」两类干扰项 难点 ② 合并时系数带符号相加 —— -3x + 5x = 2x（不是 -2x、不是 -8x）；-3x - 5x = -8x 先把每项写成「系数 × 字母」形式，符号跟着系数走；分数系数用公式呈现避免混淆 难点 ③ 多项式中「不同类项」不能合并 —— 3x + 2y 不能合并为 5xy 或 5 口诀：「不同类，不来往」；例题设置 3x²y + 3xy² 这类陷阱强化 六大易错点提前预警：① 顺序换以为不是同类项 · ② 指数换以为是同类项 · ③ 系数相加漏符号 · ④ 合并后字母指数相加 · ⑤ 常数项与其他项合并 · ⑥ 遗漏一类同类项没合并（按类别写在同一颜色下 是最有效的预防手段） 三、复习回顾 回顾一 · §4.1.2 项·次·排三步法（5 题热身） 请写出下列多项式的项、次数、常数项：（本节的一切合并都基于对「项」的正确识别） 多项式 各项 次数 常数项 3x + 2y − 5 3x, +2y, −5 1 −5 −x² + 5x − 7 −x², +5x, −7 2 −7 2a² − 3ab + b² 2a², −3ab, +b² 2 无 x³ − 3x²y + 3xy² − y³ x³, −3x²y, +3xy², −y³ 3 无 πr² − 2πrh + πr²h πr², −2πrh, +πr²h 3 无 【教师提示】本节合并同类项的"合并对象"就是这些「项」。若学生对项数、符号、指数还有疑问，务必在此环节先补足；否则本节的所有练习都会踩坑。 回顾二 · 加法分配律（合并的本质） 小学已学： a × (m + n) = a × m + a × n；反过来： a × m + a × n = a × (m + n) 代数版本：将 a 提出：ma + na = (m + n)a 填一填（口答）： 3x + 5x = (　　)·x = 　　 答案：(3 + 5)·x = 8x。合并同类项的数学本质就是加法分配律的逆用：把系数当作 m、n，把字母部分当作 a，一提就合并完成。 回顾三 · 生活情境导入（分类整理） 场景：超市盘点货架，有：3 瓶可乐 + 2 瓶雪碧 + 5 瓶可乐 − 1 瓶雪碧。请回答：可乐一共 ______ 瓶，雪碧一共 ______ 瓶。 答案：可乐 8 瓶，雪碧 1 瓶。 【教学提示】生活中我们天然会「同类相加、异类分开」。数学中的「合并同类项」就是这个思想的严格版：把「同类的东西」的「个数」加起来，「同类的东西」本身不变。这就是本节的核心。 类比： 3 瓶可乐 + 5 瓶可乐 = 8 瓶可乐 ⇔ 3x + 5x = 8x（可乐 → x） 反例： 3 瓶可乐 + 2 瓶雪碧 ≠ 5 瓶「可乐雪碧」 ⇔ 3x + 2y ≠ 5xy（也 ≠ 5x、≠ 5y） 四、新知探究 ★★★ 探究一 · 同类项的定义（三看识别法） 定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项，叫做同类项。所有的常数项都是同类项。 三看识别法（本节工具 ①）：① 看字母种类是否完全相同 ② 看每个字母的指数是否分别相同 ③ 看是不是常数项（是就直接归为同类） 案例组 · 5 组两两对比（判断是否同类项） 组 第一项 第二项 字母相同？ 指数分别相同？ 结论 ① 3x²y −5yx² 是（x, y） 是（x²·y¹） 是同类项 ✓ ② 3x²y 3xy² 是（x, y） 否（x 指数 2 vs 1） 不是 ✗ ③ −7 12 都是常数 —— 是同类项 ✓ ④ 2ab −ab 是（a, b） 是（a¹·b¹） 是同类项 ✓ ⑤ 4a²b 4ab² 是（a, b） 否（指数错位） 不是 ✗ 【教师提示】同类项与三个因素无关：① 系数大小和符号（3x 与 −8x 是同类项）② 字母书写顺序（3xy 与 −2yx 是同类项）③ 是否含 π（πr² 与 2πr² 是同类项，π 是数）。反过来只与两个因素有关：字母种类相同 + 每个字母的指数分别相同。 命门 ①（判定金标准）：必须双相同 —— 字母相同 且 指数分别相同。缺一即 不是同类项。 强化练习 · 5 题判断（画 ✓ 或 ✗） ① 5x² 与 −3x² [ 　 ] ② 2ab² 与 2a²b [ 　 ] ③ 4xy 与 4yx [ 　 ] ④ 3πr² 与 −5r² [ 　 ] ⑤ 8 与 −2 [ 　 ] ① ✓（字母 x 相同，指数都是 2；系数 5 与 −3 不影响判定） ② ✗（都含 a、b，但 2ab² 的 a¹b²，而 2a²b 的 a²b¹，指数错位） ③ ✓（字母顺序换不换都是同类项） ④ ✗（3πr² = 3π·r²，只含 r；−5r² 也只含 r，系数分别是 3π 和 −5，都是数 —— 其实是同类项 ✓！ 陷阱：π 是数不是字母。 ⑤ ✓（都是常数项） 【教学提示】第 ④ 题是经典陷阱：学生看到 π 就当字母。反复强调π 是数（≈3.14159...），归入系数。 ★★★ 探究二 · 合并同类项的法则 动手推导：请利用加法分配律计算：3x + 5x = ______。 3x + 5x = (3 + 5)·x = 8x。系数 3 和 5 相加得 8，字母 x 保持不变。 再试： −4a²b + 7a²b = ______ −4a²b + 7a²b = (−4 + 7)·a²b = 3a²b。注意负号跟着系数走。 分数系数（本节难点）： x + x = ______ 先通分： + = + = 。所以原式 = x。字母 x 照抄。 合并同类项法则（用四句话记住）： ① 系数相加减（带符号） ② 字母连同指数一起照抄（绝对不变！） ③ 只有同类项才能合并（不同类的写在一起就好） ④ 合并到只剩不同类项时结束（结果通常按降幂排列） ★★★ 探究三 · 识·合·检三步法（本节核心工具） 步骤一 · 识 —— 分类归组 拿到多项式，先给每一项标记「类别」。同类项标同一颜色/符号。 步骤二 · 合 —— 逐类合并 对每一类同类项：把系数相加减，字母连同指数照抄。 步骤三 · 检 —— 回头验算 检查：① 有没有漏合并的一类？② 每一类系数加对了吗？③ 字母指数改了没有（不能改）？④ 最终有没有两项还是同类的？ 案例 1 · 数字系数（3x + 2y − 4x + 5y − 3） 识：分成 3 类 —— x 类：3x, −4x； y 类：+2y, +5y； 常数类：−3。 合：x 类：3 + (−4) = −1 → −x；y 类：2 + 5 = 7 → +7y；常数：−3。 检：三类都合并了，无重复同类。结果 = −x + 7y − 3。 案例 2 · 分数系数（x²y − xy² + x²y + xy² 的合并） 识：x²y 类：x²y, +x²y； xy² 类：−xy², +xy²。 合：x²y 类系数： + = + = ，故合并为 x²y。xy² 类系数：− + 1 = − + = ，故合并为 xy²。 检：结果 = x²y + xy²。分数结果直接保留，不要写小数。 案例 3 · 多字母 + 陷阱（3x²y + 5xy² − 3x²y − 5xy²） 识：x²y 类：+3x²y, −3x²y； xy² 类：+5xy², −5xy²。注意 x²y 和 xy² 不同类！ 合：x²y 类：3 + (−3) = 0； xy² 类：5 + (−5) = 0。 检：结果 = 0 + 0 = 0。特殊情况：合并后可以为 0，直接写 0。 陷阱预警：若学生把 3x²y 和 5xy² 当同类项，结果会算成 8x²y (错！) 或 (3+5−3−5)x³y³ = 0 (虽然答案凑巧对，但过程完全错)。 ★★ 探究四 · 三大黄金口诀（本节护身符） 步骤 口诀（八字） ① 识 字母一致，指数各同 ② 合 系数加减，字母照抄 ③ 检 分类归组，漏错都查 完整口诀连读：「字母一致，指数各同；系数加减，字母照抄；分类归组，漏错都查。」 五、例题 例 1 · 判定同类项（识别 · 判定 · 找组） (1) 判定下列各组是否为同类项，若是打 ✓，不是打 ✗： ① 3ab² 与 −5ab² [ 　 ] ② 2x²y 与 −3xy² [ 　 ] ③ 6a 与 6b [ 　 ] ④ −2 与 0.5 [ 　 ] ⑤ 4πr² 与 −πr² [ 　 ] ⑥ x³y² 与 y²x³ [ 　 ] ① ✓ ② ✗ ③ ✗ ④ ✓ ⑤ ✓ ⑥ ✓ 解析：① 字母 a、b 且指数 a¹b² 一致；② 字母顺序不影响，但 x 的指数 2 vs 1 不同；③ 字母不同；④ 都是常数；⑤ π 是数，两项字母都只有 r 且指数都是 2；⑥ 顺序换字母顺序不影响判定。 (2) 从下列多项式中找出所有同类项组： 多项式 M = 4x²y − 3xy² + 5 − 2x²y + xy² − 8 + x²y 识（分类归组）： · x²y 类：+4x²y, −2x²y, +x²y (3 项) · xy² 类：−3xy², +xy² (2 项) · 常数类：+5, −8 (2 项) 共 3 组同类项，7 项分成 3 类。为下一步「合」做好准备。 例 2 · 合并同类项（识·合·检三步法） 请合并下列各式：（学生请写在下方留白处，按三步法书写） (1) 8a − 3a + 5a − a (2) −5x²y + 3xy² + 2x²y − xy² (3) m + m − m (4) 4ab − 3a²b + 5ab − 2a²b + 7 (5) 3x²y + 5xy² − 3yx² − 5y²x （陷阱：yx² 与 x²y 同类；y²x 与 xy² 同类） (6) 接例 1(2)：将 M = 4x²y − 3xy² + 5 − 2x²y + xy² − 8 + x²y 合并到最简 (1) 解： 识：全部为 a 类；合：(8 − 3 + 5 − 1)a = 9a；检：只剩一项，正确。 (2) 解： 识：x²y 类（−5, +2）；xy² 类（+3, −1）；合：(−5+2)x²y + (3−1)xy² = −3x²y + 2xy²；检：两类都合并完毕。 (3) 解： 识：全部为 m 类；合系数： + − = 1 − = ；结果 = m (4) 解： 识：ab 类（+4, +5）；a²b 类（−3, −2）；常数（+7）；合：(4+5)ab + (−3−2)a²b + 7 = 9ab − 5a²b + 7；按降幂排：−5a²b + 9ab + 7 或写作 9ab − 5a²b + 7。 (5) 解： 识：yx² 与 x²y 同类（顺序无关！）— x²y 类（+3, −3）；y²x 与 xy² 同类 — xy² 类（+5, −5）。 合：(3−3)x²y + (5−5)xy² = 0 + 0 = 0；检：字母顺序陷阱识破。 (6) 解： 识（沿用例 1）：x²y 类（+4, −2, +1）；xy² 类（−3, +1）；常数（+5, −8） 合：(4−2+1)x²y + (−3+1)xy² + (5−8) = 3x²y + (−2)xy² + (−3) = 3x²y − 2xy² − 3 检：三类都合并完，无同类项残留 ✓ 例 3 · 几何情境合并（联动 §4.1.2 图形代数） (1) 长方形周长联动：长为 3a + 2b，宽为 a − b 的长方形，周长 C = 2(长) + 2(宽)。先展开、再合并同类项，求 C 的最简式。 解：C = 2(3a+2b) + 2(a−b) = 6a + 4b + 2a − 2b。识：a 类（+6, +2）；b 类（+4, −2）。合：8a + 2b。 C = 8a + 2b。 (2) 圆环面积联动（§4.1.2 例 3(4)）：圆环 S = πR² − πr²。若 R = 3r，代入 R = 3r 后合并同类项，求 S 的最简式。 解：S = π(3r)² − πr² = 9πr² − πr² = 8πr²。识：都是 πr² 类；合：(9−1)πr² = 8πr²。多项式退化为单项式！（联动 §4.1.2 🅲-2） (3) 梯形面积联动（§4.1.2 例 3(3)）：梯形 S = (a + b)h = ah + bh。若下底 b = 3a、高 h = 2，将 b = 3a、h = 2 代入并合并（含分数系数），求 S 的最简式。 解：S = (a + 3a)·2 = ·4a·2 = 4a 或按分开式：S = ·a·2 + ·(3a)·2 = a + 3a = 4a 识：a 类；合：(1+3)a = 4a。检：分数系数 与 2 相乘正好抵消，剩下纯 a 类合并。 (4) 圆柱表面积联动（§4.1.2 例 3(5)）：圆柱表面积 S = 2πr² + 2πrh。若h = 4r，代入 h = 4r 后合并同类项，求 S 的最简式。 解：S = 2πr² + 2πr·4r = 2πr² + 8πr² = 10πr²。识：都是 πr² 类；合：(2+8)πr² = 10πr²。同样多项式退化为单项式。 六、当堂检测（限时 12 分钟） Part 1 · 判定同类项（6 题 · 每题 1 分） (1) 3x² 与 −7x² [ 　 ] (2) 5ab 与 5a [ 　 ] (3) −2 与 [ 　 ] (4) 4m²n 与 −4mn² [ 　 ] (5) 6xy² 与 yx²·y [ 　 ] (6) π 与 3 [ 　 ] (1) ✓ 字母 x 相同，指数都是 2。 (2) ✗ 5ab 含 a、b 两个字母，5a 只含 a。 (3) ✓ 都是常数项。 (4) ✗ m 的指数 2 vs 1 不同。 (5) ✗ yx²·y = x²y²（乘法结合后），而 6xy² = x·y²。比较 x 的指数：2 vs 1，不相等，故不是同类项。（陷阱：先化简单项式再判定） (6) ✓ π 是数，都是常数项。 Part 2 · 直接合并同类项（6 题 · 每题 2 分） (1) 6x − 5x − x = ______ (2) −3ab + 5ab − 2ab = ______ (3) 4a²b − 3ab² + 2a²b + 5ab² = ______ (4) y − y + y = ______ (5) 5x² + 3x − 2 − 3x² + x + 7 = ______ (6) 3a − 2b + a − 3c + 2b − c = ______ (1) (6−5−1)x = 0 (2) (−3+5−2)ab = 0 (3) a²b 类：(4+2)a²b = 6a²b；ab² 类：(−3+5)ab² = 2ab²。合并结果 = 6a²b + 2ab² (4) 系数 = − + = − + = = 1。结果 = y (5) x² 类：(5−3)x² = 2x²；x 类：(3+1)x = 4x；常数：(−2+7) = 5。结果 = 2x² + 4x + 5 (6) a 类：(3+1)a = 4a；b 类：(−2+2)b = 0；c 类：(−3−1)c = −4c。结果 = 4a − 4c Part 3 · 先合并再回答（4 题 · 每题 3 分） (1) 已知多项式 A = 3x²y + 5xy² − 2x²y − 4xy² + x²y。合并后，A 有 ______ 项，次数为 ______。 (2) 若 5 + 3x² 合并同类项后结果为 8x²，则 m = ______。 (3) 若 −3· 与 2x²y³ 是同类项，则 a = ______，b = ______。 (4) 计算：3(x + 2y) − 2(x + y) 【提示：先按数字乘分配律展开，再合并同类项】 (1) A = (3−2+1)x²y + (5−4)xy² = 2x²y + xy²。 2 项 · 3 次多项式 (2) 同类项 → 指数相同 → m = 2。（此时 5x² + 3x² = 8x² ✓） (3) a = 2, b = 3。（同类项的字母指数分别相同） (4) 原式 = 3x + 6y − 2x − 2y = (3−2)x + (6−2)y = x + 4y。这是 §4.2.2 去括号的预告！ Part 4 · 综合挑战 ★★★（联动 §3~§4） (1) 【联动 §3.2 燃油车】汽车油耗每公里 元，行驶 x 公里的费用为 x 元。若加油站 A 每天可服务 x 位司机、加油站 B 每天服务 x 位司机、加油站 C 每天服务 x 位司机，三站合计每天服务多少位司机？（用含 x 的最简式表示） (2) 【联动 §4.1.1 单项式家族】下列 6 个单项式：3x²y, −5xy², x²y, 4xy², −7, x²y, 请分组并写出每组合并后的结果。 (3) 【联动 §4.1.2 三步法】若 M = 3a²b − 2ab² + 5，N = −a²b + 4ab² − 3，先分别合并 M 和 N（本身内部）已知都是最简，请计算 M + N 并合并同类项，写出最简式。 (1) 解： 三站合计 = x + x + x。识：全是 x 类；合系数： + + = + + = = 1。 结果 = x 位司机。分数系数合并到整数，非常干净的一道分数题！ (2) 解： x²y 类：3x²y + x²y + x²y = (3 + + 1)x²y = x²y xy² 类：−5xy² + 4xy² = (−5+4)xy² = −xy² 常数类：−7 最简式 = x²y − xy² − 7 (3) 解： M + N = (3a²b − 2ab² + 5) + (−a²b + 4ab² − 3) = 3a²b − 2ab² + 5 − a²b + 4ab² − 3 识：a²b 类（+3, −1）；ab² 类（−2, +4）；常数（+5, −3） 合：(3−1)a²b + (−2+4)ab² + (5−3) = 2a²b + 2ab² + 2（也可提公因数写成 2(a²b + ab² + 1)，但本节暂不做因式分解） 七、思维导图 · 识·合·检三步法全景 ┌── 字母相同 ① 识（识别）─┼── 相同字母指数相同 └── 常数项自成一类 │ ▼ ┌── 系数相加减（带符号） ② 合（合并）─┼── 字母连同指数照抄 └── 不同类项写在一起（不合并） │ ▼ ┌── 是否漏合并？ ③ 检（检验）─┼── 系数加对没？（尤其分数、负数） ├── 字母指数改了没？（不能改） └── 是否还有同类项残留？ ★ 三大黄金口诀（本节护身符） ① 识：字母一致，指数各同（顺序无关；π 是数不是字母；常数自成一类） ② 合：系数加减，字母照抄（负号跟系数走；分数通分；字母连指数原样搬） ③ 检：分类归组，漏错都查（每类单独一色；写完回看有无同类残留） 八、分层作业 🅰 🅱 🅲 🅰 基础层 · 全体必做（80% 掌握） A-1 · 判定同类项（8 题，画 ✓ 或 ✗） ① 4a 与 −a [ 　 ] ② 3xy 与 3yx [ 　 ] ③ 2m²n 与 2mn² [ 　 ] ④ 5 与 [ 　 ] ⑤ πr² 与 3r² [ 　 ] ⑥ ·y 与 x²y [ 　 ] ⑦ −7abc 与 abc [ 　 ] ⑧ 4x²y³ 与 4x²y² [ 　 ] ① ✓ ② ✓ ③ ✗ ④ ✓ ⑤ ✓ ⑥ 需 a = 2 ⑦ ✓ ⑧ ✗ A-2 · 直接合并（6 题） ① 5a + 3a − 2a ② −4x² + 7x² − x² ③ 3ab + 5ba − 2ab ④ m + m ⑤ 2x + 3y − x + 5y ⑥ 6a²b − 3a²b + 5ab² − 2ab² ① 6a ② 2x² ③ 6ab ④ m ⑤ x + 8y ⑥ 3a²b + 3ab² 提示：③ 中 5ba = 5ab（乘法交换律），是同类项。 A-3 · 综合合并 + 结果分析（4 题） ① 合并：3x²y − 2xy² + 5x²y + xy² − 3x²y。合并后有 ______ 项，次数为 ______。 ② 合并：4m − 3n + 2m − 5n + 7。合并后按 m 降幂排列结果 = ______。 ③ 若合并 2 + 5x² − 3x²为 4x²，则 m = ______。 ④ 合并：a²b + ab² − a²b + ab²。 ① (3+5−3)x²y + (−2+1)xy² = 5x²y − xy²；2 项 · 3 次 ② (4+2)m + (−3−5)n + 7 = 6m − 8n + 7 ③ 同类项 → m = 2；此时 2x² + 5x² − 3x² = 4x² ✓，所以 m = 2 ④ a²b 类：( − ) = ；ab² 类：( + ) = 1。结果 = a²b + ab² 🅱 提升层 · 中等生（60% 掌握） B-1 · 参数反推（3 题） ① 若 (2m − 3)x²y + 5x²y 合并后系数为 4，则 m = ______。 ② 若 −3 + 5x³ 合并后为 2x³，则 a = ______。 ③ 若 3x² 与 −7·y⁴是同类项，则 m + n = ______。 ① (2m − 3) + 5 = 4 → 2m = 2 → m = 1 ② 必须 a = 3（同类），且 −3 + 5 = 2 ✓，所以 a = 3 ③ 同类项：x 指数分别相同 → n = 2；y 指数分别相同 → m = 4；故 m + n = 6 B-2 · 多项式化简（3 题） ① 合并：(4x²y − 6xy) + 3(x²y − 2xy) − 5xy（可先分配后合并） ② 若 A = 2x² − 3x + 5，B = x² + x − 4，求 A + B。 ① 原式 = 2x²y − 3xy + 3x²y − 6xy − 5xy = (2+3)x²y + (−3−6−5)xy = 5x²y − 14xy ② A + B = 2x² − 3x + 5 + x² + x − 4 = (2+1)x² + (−3+1)x + (5−4) = 3x² − 2x + 1 B-3 · 判断题（3 题，说明理由） ① 「合并同类项后，多项式的项数一定减少」—— 对 / 错？ ② 「若多项式合并后为 0，则原多项式的每一项系数都为 0」—— 对 / 错？ ③ 「合并同类项时，字母的指数可以相加」—— 对 / 错？ ① 错 反例：3x + 2y 没有同类项，合并后仍为 2 项。（只有存在同类项时才会减少） ② 错 反例：3x − 3x = 0，但系数是 3 和 −3，都不为 0。（每类系数和为 0 即可） ③ 错 字母连同指数「原样照抄」，绝不相加。这是本节最典型的错误！ 🅲 挑战层 · 学有余力（30%~50% 尝试） 🅲-1 · 分数系数综合合并 合并：x²y − xy² + x²y + xy² − 5x²y 解： x²y 类：( + − 5) = 1 − 5 = −4 → −4x²y xy² 类：(− + ) = ( + ) = → xy² 最简式 = −4x²y + xy² 🅲-2 · 几何综合应用 题：如图（想象即可），一个矩形花坛长 3a + 2b，宽 2a + b。花坛四周有宽度为 a 的水泥小径，求： (1) 大矩形（花坛+小径）的长和宽（用含 a、b 的多项式表示） (2) 大矩形的周长（合并同类项到最简） (3) 若 a = 1、b = 2 米，大矩形周长是多少？（联动 §3.2 代·算·检） (1) 大矩形长 = 3a + 2b + 2a = 5a + 2b；宽 = 2a + b + 2a = 4a + b。（两侧各加 a） (2) 周长 C = 2(5a + 2b) + 2(4a + b) = 10a + 4b + 8a + 2b = 18a + 6b (3) 代入 a=1, b=2：C = 18×1 + 6×2 = 18 + 12 = 30 米。（联动 §3.2 代·算·检） 🅲-3 · 大总决战 · §4.2.1 之最 题：请设计一个含 π、含分数系数、含负数、含 3 类同类项、且合并后结果最简为 3 项 · 2 次多项式 的合并同类项习题，并给出解答。 参考设计（教师参考，不唯一）： 题目：合并 πr² − 3r + 5 + πr² + 7r − 2 − 2πr² 解： πr² 类：( + − 2)πr² = (2 − 2)πr² = 0 r 类：(−3 + 7)r = 4r 常数：(5 − 2) = 3 结果 = 4r + 3（合并后 πr² 消失，剩 2 项。要求 3 项时可减少某类的系数抵消 → 可开放式改编） 【教学价值】这是一道自主命题题，让学生站在教师视角 反向思考「怎样才能凑出目标结构」，深化对识·合·检的理解。是§4 章第 4 章通关的钥匙。 九、学习反思 项目 是否掌握 困惑或补充 ① 同类项的定义（双相同） ○ 完全 ○ 基本 ○ 未 ② 合并同类项的法则 ○ 完全 ○ 基本 ○ 未 ③ 识·合·检三步法 ○ 完全 ○ 基本 ○ 未 ④ 分数系数的合并 ○ 完全 ○ 基本 ○ 未 ⑤ 陷阱识别（字母顺序、指数错位） ○ 完全 ○ 基本 ○ 未 ⑥ 与几何公式的联动应用 ○ 完全 ○ 基本 ○ 未 学科网（北京）股份有限公司 $