向量应用三角形的中线问题（精练）——2026年高一下数学人教A版暑假培优专项练

向量应用三角形的中线问题（精练） 【思维导图】 中点向量转化规则 中线边长专用定理 核心解题工具O 中点极化恒等变换 中线分割两角余弦关系 边角互相转换（正弦定理） 三边一角互求（余弦定理） 配套解三角形知识O 三角形面积计算方式 不等式求边长最值 【核心总结】 1、题型本质 三角形中线题型本质是平面向量线性运算与解三角形（正余弦定理、面积、均值不等式） 的综合应用 2、通用公式 在△ABC中，D为BC的中点，AD是底边BC的中线.遇到中线问题，常见的处理方法 有： (1)中线的向量表示： D-+4C) 通过平方进一步转化为数量积问题. (2)AB2+AC2=2(AD2+BD2)=2AD2+CD) (3)底边邻补角互补：∠ADB+∠ADC=π，所以coS∠ADB+cos∠ADC=0 3.解题步骤 (1)看到中点，立刻写中线向量表达式AD=AB+AC: (2)两边平方，展开得到含边长、夹角余弦的式子； (3)结合题干条件，正弦定理角化边、余弦定理、面积公式： (4)出现最值：用均值不等式求范围、最大值： (5)多线段比例：平方后利用线段长度等式列方程求解边长关系。 4.高频考法 第1页共8页 (1)中线向量基底表示：中点AD=AB+AC。平方转化模长与数量积 (2)正弦定理边角互化：己知三角等式求内角 (3)均值不等式求中线最值：由b2+c2≥2bc求中线最大、最小值 (4)三角形面积公式：S。c=号bcsin A与中线条件联立求值 (5)阿波罗尼斯中线长公式：4AD=2b2+2c2-a快速算中线 (6)平面向量一般线性分解（非中点分点）：设AD=xA恋+yAC),平方列方程 (7)重心性质：重心分中线2：1，求中线长、中线夹角余弦、三角形面积 (8)范围问题：结合三边关系、均值不等式求中线取值范围 【例1】在△ABC中，AB=9,BC=6,CA=7,则BC边上中线长度为 【变式1-1】已知a,b,c分别为△ABC的内角A,B,C所对的边，a=2且 V3asin C+acos C=b+c. (1)求A: (2)已知D是边BC的中点，求AD的最大值， 第2页共8页 c sinC 【变式1-2】在△MBC中，内角4，B,C所对的边分别是a,b,c,已知bP+c2-asinB. (1)求角A: 35 (2)设边BC的中点为D,若a=V7,且△ABC的面积为4，求AD的长。 【例2】记△1BC三个内角A,B,C的对边分别为“，b,c,」 √3 bsin A=a(cosB+l) ,且 (1)求B: 2)设CD是△1BC的中线，若 CD=23 a=2 ’类6 第3页共8页 【变式21】在a1BC中，角么B,C所对的边分别为abc,且2s4=3mg:Qo1-兮 (1)证明：a=c; =5，求BC边上中线4D的长 (2)若 3b 1-cosB 【变式2-2】三角形三内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a sinA (1)求角B的大小： (2)若△ABC的面积等于V3,D为BC边的中点，当中线AD的长最短时，求AC边的长. 第4页共8页 【例3】△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,C,其面积为S.已知 2S+V3AB·AC=0 (1)求A: 2)点D满足A市=号A店+号AC,且cD=2AD求b+C 3 3 【变式3-1】记△ABC是内角A,B,C的对边分别为a,b,c.己知b2=ac,点D在边AC上， BDsin∠ABC=asin C, (1)证明：BD=b: (2)若AD=3DC,求cos∠ABC 第5页共8页 【变式3-2】记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,C,△ABC的面积为S.已知 s=-5a+e2-b 4 (1)求B: ②)若点D在边AC上，且∠ABD= 2,AD=2DC=2,求A4BC的周长 【巩固加练】 1.(2023新高考Ⅱ卷高考真题第17题)记△ABC的内角4，B,C的对边分别为a,b,c，,己 知△ABC的面积为V3,D为BC中点，且AD=1. (1)若∠ADC=π 3,求tanB; (2)若b2+c2=8,求b,c. 第6页共8页 2.在△MBC中，角 A,B, C所对的边为C且满足asin1cosC=(W56-asinC)osA (1)求A: (2)当a=2时，求BC边上中线AD的范围. 3.如图，在△ABC中，己知AB=2,AC=5,∠BAC=60,BC,AC边上的两条中线AM,BN相 交于点P B (1)求中线AM的长： (2)求∠MPN的余弦值： 第7页共8页 (3)求△ABP面积. 第8页共8页向量应用三角形的中线问题（精练） 【思维导图】 中点向量转化规则 中线边长专用定理 核心解题工具O 中点极化恒等变换 中线分割两角余弦关系 边角互相转换（正弦定理） 三边一角互求（余弦定理） 配套解三角形知识O 三角形面积计算方式 不等式求边长最值 【核心总结】 1、题型本质 三角形中线题型本质是平面向量线性运算与解三角形（正余弦定理、面积、均值不等式） 的综合应用 2、通用公式 在△ABC中，D为BC的中点，AD是底边BC的中线.遇到中线问题，常见的处理方法 有： (1)中线的向量表示： D-+4C) 通过平方进一步转化为数量积问题. (2)AB2+AC2=2(AD2+BD2)=2AD2+CD) (3)底边邻补角互补：∠ADB+∠ADC=π，所以coS∠ADB+cos∠ADC=0 3.解题步骤 (1)看到中点，立刻写中线向量表达式AD=AB+AC: (2)两边平方，展开得到含边长、夹角余弦的式子； (3)结合题干条件，正弦定理角化边、余弦定理、面积公式： (4)出现最值：用均值不等式求范围、最大值： (5)多线段比例：平方后利用线段长度等式列方程求解边长关系。 4.高频考法 第1页共13页 (1)中线向量基底表示：中点办=恋+A心，平方转化模长与数显积 (2)正弦定理边角互化：己知三角等式求内角 (3)均值不等式求中线最值：由b2+c2≥2bc求中线最大、最小值 (4)三角形面积公式：S。c=号besin A与中线条件联立求值 (5)阿波罗尼斯中线长公式：4AD2=2b2+2c2-a快速算中线 (6)平面向量一般线性分解（非中点分点）：设AD=xA恋+yAC),平方列方程 (7)重心性质：重心分中线2：1，求中线长、中线夹角余弦、三角形面积 (8)范围问题：结合三边关系、均值不等式求中线取值范围 【例1】在△ABC中，AB=9,BC=6,CA=7,则BC边上中线长度为 【答案】2W14 【解析】由余弦定理得cos∠B1C=9+7-647 2x9×7=63,设4D是BC边上的中线，所以 D=)(B+4C),两边平方得 而-6+24C+aC）81+2x9x7× 63+4956. 所以AD=56=214,即BC边上的中线长为24. 【变式1-1】已知a,b,c分别为△ABC的内角A,B,C所对的边，a=2且 V3asin C+acos C=b+c. (1)求A: (2)已知D是边BC的中点，求AD的最大值. 【答灯回A=子 (2RV3 第2页共13页 【解析】(1)因为3 asinC+acosC=b+c, 由正弦定理得：3 sin AsinC+sin AcosC=sinB+sinC, 因为sinB=sinA+C=sin AcosC+cos Asin C, 所以R/3 sin AsinC=cos Asin C+sinC, 因为C∈0，，所以sinC>0,所以V3sinA-cosA=1, 所2A君副1rnA君3 因为A∈0，所以-名A-名5所以A言音所A=号 3 (2)因为cosA=b+c2-d1 2bc =2a=2,所以b2+c2=4+bc, 因为D是BC的中点，所以AD=AB+AC, 所以ò-aB+Ac+2AB-AC +b+2bccosA+bc)2bc+4 因为b2+c2≥2bc,所以4+bc≥2bc,即bc≤4， 所以=426c+4利s2×4+4)=3, 当且仅当b=C时，等号成立.所以AD的最大值为3. c2 sinC 【变式1-2】在△ABC中，内角4，B,C所对的边分别是a,b,c,已知b2+c2-a2sinB. (1)求角A; 3W5 (2)设边BC的中点为D,若Q=V万，且△ABC的面积为4，求AD的长. V13 〖答案】)1-32)2 sinc c 【解析】(1)在△ABC中，由正弦定理得，sinBb,因为 第3页共13页 B c2 +心-G“m8:所以+-a分 sinC c2 化简得，6+c2-0=加：在44BC中，由余弦定理得，cos4=+。-)】 2bc一2，又因为 0<4<元，所以4=骨 (2)由5c-csnA=5be=35 1 2 4 4,得bc=3,由a2=b2+c2-2 bccosA,得 7=公+心2-3所以公+c=10:又因为边BC的中点为D,所以D=(B+AC）,所 以0-2B+a-+e+2a-0+2x3 ,1√13 22 【例2】记△1BC三个内角A,B,C的对边分别为“，b,c,且N50smA=a(ecsB+). (1)求B: 2)设CD是△1BC D=23a=2 b 的中线，若 ,求 【答IaB=号 (2b=2V13 【解析】(1)因为V5 bsin A=a(cos B+I),所以由正弦定理得 3sin Bsin A=sin A(cos B+1). 又因为sinA>0,即V5sinB-cosB=l,整理得 <B-<5n B、π、π B= 又因为0<B<π，所以6 66,所以66，即3」 BD2+2-(251 cos B= (2)在△BCD中，由余弦定理 2×2×BD 2 可得BD-2BD-8=0,解得BD=4或BD=-2(舍)，即c=8. 第4页共13页 在△ABC中，由余弦定理可知 =22+82-2×2x8 =52 2 解得b=23 【变式2-1】在△4BC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且2csin4=3 asinB? Cos/4=1 3 (1)证明：a=c; 2刨若6= 2,求BC边上中线1D的长 BC 【答案】(1)证明见解析 1AD=34 4 cs.3 b 【解析】(1)证明：因为2 csinA-=3 asinB,由正弦定理得，2ca=3ab,所以2， 1 b2+c2-a21 CosA= cosA= 因为 3,由余弦定理， 2bc 3, 为 b2+9b-a2 4 1 代入cs a= 2得， 3b2 3,化简得“2， 所以a=c,即证： 3√2 a= (2)因为a=c,所以A=C,所以 osC=cosA=1」 3. 2, 在A4CD中，由余孩定理，4D=C4+CD2-2CA×CDcosC2十8-2×V2xV2X117 438 AD=V34 4 3b 1-cosB 【变式2-2】三角形三内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a sinA (1)求角B的大小： 第5页共13页 (2)若△ABC的面积等于V5,D为BC边的中点，当中线AD的长最短时，求AC边的长. 【谷1a=2智 (2)AC=14. 【解析】(1)在△4BC中，由正弦定理得，V5 BsinBsinA=sinA--sinAcosB 因为A∈(0，π)，sinA≠0，所以V3sinB=l-cosB, 3sinB+CosB-2sin B+=1 sinB+ 所以 （6),即气(62 又B∈|0，mB+∈，7x） B+π、5π 8+6气66，则66， B=2π 所以3. (2)由(1) Sc=acsin120°=5 2 ac= ，所以ac=4, 在△ABD中，由余弦定理可得： 2<.g.c0s120°=c2+2/+ a C= 当且仅当2，即a=2W2,c=V2时，等号成立， 6 4c2=a2+e2-220=8+2-222-5(=i4 此 故AC=V14 【例3】△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,C,其面积为S.己知 第6页共13页 2S+3AB·AC=0 (1)求A; 2应D满-号恋+CHcD-2D求兰 3 【将案1田A= 【解折】(a)因为S=号besin A,恋.AC=AB,AG)COS A=cbcosA, 2 2S+V3AB·AC=0, 所以2×besin A+5 cbcoA=0,即obesin A+R3 becosA=0, 因为bc≠0，cosA≠0，所以tanA=-P3, 又因为0<A<,所以A=2 (2)因为AD=号AB+号AC,CD=AD-AC=号Ai+号AC-AC=4AB-2AC 2 因为CD=2AD:所以GD=2AD则1CD}=4DP, -号成4售恋衣 整理得+恋衣=0即。+ehcoA=0也即cc书-0 因为c20.所以c-号b-0,mb=2c 布aAc中，由余孩定理知d-心+c2-2=2cf+d-22cc引7d 所以b2+c2=2c2+c25, 7c2 第7页共13页 【变式3-1】记△ABC是内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知b2=ac,点D在边AC上， BDsin∠ABC=asin C. (1)证明：BD=b: (2)若AD=3DC,求Cos∠ABC 13 【答案】(1)证明见解析；(2)24 【详解】(1)设。ABC的外接圆半径为R,由正弦定理得，sm∠A8C= 2R,sinC=.c 2R, 因为BDsin∠ABC=asin C,所以BD·b=ac, 又b2=aC,且b≠0，所以BD=b (2)由(1)知，BD=AC=b, 因为AD=3DC. 31 以D=h.CD=h S.u.,即×Bsm☑ADB3 aesin AB 4 4， 42 由b2=ac,则sin∠ADB=sin∠ABC, 故有∠ADB=∠ABC或∠ADB+∠ABC=π（不合题意舍去），所以∠ABD=∠C, AD BD 在aADB中，由正弦定理得sin∠ABD sin A' 所以4 b 以sinCsin '即sinc=3 sin4. 3 在AABC中，由正弦定理得，C= 44，① 又h2=c,所以ac=b=② 在中今弦定理及0②得，c0s2ABC=2=16“442， 2ac 3 2×a×兰a 24. △ABC 4 第8页共13页 D B 【变式3-2】记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,C,△ABC的面积为S.已知 s=-5a+c2-b 4 (1)求B: ②若点D在边4C上，且∠ABD- 2,AD=2DC=2,求A4BC的周长 【答案】(1)B= 3 :(2)3+23 -3 ,则2 esinB=-5 【解折】(1由3=-4(a+c2-b)a ×2ac·cosB 4 tan B=-3 又B∈(0，，故B=2 3· (②)由(4可如.B=,又4a0-受 2,则∠CBD= 6 由题可知，AD=2DC=2, 数D=c+⑦-c+号a=c+-C)号c+, 所以 .-c+--0 因为e20:所以a=G,4=C=g 6 在Rt△ABD中，C=AD.cos-元=V5 6 第9页共13页 故4AB 的周长为MB+BC+AC=5+V5+3=3+2W5 【巩固加练】 1.(2023新高考Ⅱ卷高考真题第17题)记△4BC的内角4，B,C的对边分别为a,b,C,己 知△ABC的面积为V3,D为BC中点，且AD=1. (1)若∠ADC=π 3,求tanB: (2)若b2+c2=8,求b,c. 【答案】(a)anB=3 (2)b=c=2 【解析)1)方法1：在A4BC中，因为D为BC中点，ZADC=3,4D=1? DE 2 2 28a= 2 2,解得a=4, 在△4BD中，∠ADB=2 ,由余弦定理得c2=BD+AD2-2BD·ADcos∠ADB: 2-4-2a47,的55，wm8-普. 5-四 sin B=1-cosB=1-(14) 14, 所以 tan B=sinB3 cos B 5. 第10页共13页 (2)在MB C中，因为D为8C中点，则2D=B+C,又B=-4C 于是4而+C丽=(B+AC+(-C=20+)=16.即4+a2-16,解得a=25 又Sc-2xv3x1xsim∠ADc= 1 2 2,解得sin∠ADC=1,而0<∠ADC<π，于是 ∠ADC= 2, 所以b=c=VAD+CD2=2 2.在△1BC中，角 A,B,C 所对的边为a,C且满足asin1cosC=(N56-asinC)cosA (1)求A; (2)当a=2时，求BC边上中线AD的范围. 【答案】哈 (2(1,V31 【解析】(1)在△ABC中，由asin AcosC=(W3b-asinC)cosA及正弦定理， sin Asin AcosC=(3sin B-sin Asin C)cosA sin 4(sin AcosC+cos Asin C)=3 cos Asin B,sin Asin(+C)=3cos AsinB, 于是sin Asin B=V5 cos AsinB,而4Be(0,m,cos Asin B≠0，则tanA=V5, 所4- 4=a2=b2+c2-2bccos*=b2+e2-bczbc (2)由(1)及余弦定理，得 3 当且仅当b=c时取等号， 1 因此b+C2=4+bc,0<bc≤4，由AD为BC边上中线，得 AD=二(AB+AC) 2 第11页共13页 则02m+aG-2+42cw写-6+d+-4r2eL同 所以BC边上中线AD的范围是L,VS]. 3.如图，在△ABC中，己知AB=2,AC=5,∠BAC=60,BC,AC边上的两条中线AM,BN相 交于点P B (1)求中线AM的长； (2)求∠MPN的余弦值： (3)求△ABP面积. 【容案】a9 2 2,49 91 日，5 .AM-1AB+4C 【解析】(1)因为M为BC的中点， 2 -丽+0-丽+2丽C+C）+25+2x2x5xo60)-2, AM3 2. (2)因为BN=号A花-A8 丽-}C-西-日C-c丽+G-×25-2x5xos60+4- 4 BN 2, 第12页共13页 ∴cos∠MPN=cos(AM,BW AM·BN 2丽+ (e 491 AMBN AM BN 91. (3)P为中线的交点，.P为△ABC重心， APF名IAMLIBPE名BNI 3 3 '∠MPN∈(0，π). sin∠MPW=V1-cos2∠MPN=VF 91, SMx=sin∠MPv-5店 6 第13页共13页