6.4.1 平面几何中的向量方法(学用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

6.4　平面向量的应用 6.4.1　平面几何中的向量方法 【例1】　证明：法一　设＝a，＝b， 则｜a｜＝｜b｜，a·b＝0. 又＝＋＝－a＋， ＝＋＝b＋， 所以·＝（b＋）·（－a＋） ＝－－a·b＋＝－｜a｜2＋｜b｜2＝0. 故⊥，即AF⊥DE. 法二　如图所示，以A为原点，AB，AD所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系， 设正方形的边长为2，则A（0，0），D（0，2），E（1，0），F（2，1）， 则＝（2，1），＝（1，－2）. 因为·＝（2，1）·（1，－2）＝2－2＝0， 所以⊥，即AF⊥DE. 训练1　证明：设＝a，＝b， 则＝＋＝－a＋b， ＝＋＝－＋. 而＝a＋b，＝＋＝a＋b， 所以＝－（a＋b）＋（a＋b）＝－a＋b， 所以＝4. 所以NT∥BM. 【例2】　解：设＝a，＝b，则＝a－b，＝a＋b， ∵｜｜＝｜a－b｜＝＝＝＝2， ∴5－2a·b＝4，∴a·b＝， 又｜｜2＝｜a＋b｜2＝a2＋2a·b＋b2 ＝1＋4＋2a·b＝6， ∴｜｜＝，即AC＝. 训练2　B　以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系.设｜｜＝a（a＞0），则A（0，0），C（4，a），D（0，a），E（2，0），所以＝（2，－a），＝（4，a）.因为⊥，所以·＝0，所以2×4＋（－a）·a＝0，即a2＝8，所以a＝2，所以＝（2，－2），所以｜｜＝ ＝2. 【例3】　解：（1）设＝a，＝b， 则＝＋ ＝＋＝＋（－） ＝＋＝a＋b， ∴｜｜2＝＝（a＋b）2 ＝a2＋2×a·b＋b2 ＝×9＋2××3×3×cos 120°＋×9＝3， ∴AD＝. （2）设∠DAC＝θ（0°＜θ＜120°）， 则θ为与的夹角， ∴cos θ＝＝ ＝ ＝＝0， ∴θ＝90°，即∠DAC＝90°. 训练3　B　如图，以B为原点，BC，BA所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，则B（0，0），A（0，8），C（6，0），D（3，4），∴＝（－3，－4），＝（3，－4）.又∠BDC为，的夹角，∴cos∠BDC＝＝＝.故选B. 随堂检测 1.D　由题意得，｜｜＝｜＋｜⇒｜－｜＝｜＋｜，故－2·＋＝＋2·＋，则·＝0，故⊥，即△ABC为直角三角形.故选D. 2.D　由＋＝0，得＝－＝，∴四边形ABCD为平行四边形；由·＝0知，平行四边形ABCD对角线互相垂直，故四边形ABCD为菱形. 3.1　解析：∵＝＋（＋），∴－＝（＋），＝（＋），∴AP为Rt△ABC斜边BC的中线，∴｜｜＝1. 4.解：如图，建立平面直角坐标系，则E（1，0），D（2，3）， 设P（0，b）（0≤b≤3）， 则＝（1，3），＝（－1，b）， ∴cos∠PED＝ ＝＝. 整理得2b2－3b－2＝0， 解得b＝2，b＝－（舍去）， ∴当点P为OA上靠近点A的三等分点时，∠PED＝45°. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 6.4.1　平面几何中的向量方法 1.会用向量方法解决简单的平面几何问题（数学建模）. 2.体会向量在解决几何问题中的作用（数学运算、逻辑推理）. 　　 知识点一｜利用向量证明平面几何问题 【例1】　（链接教材P38例1）如图所示，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，求证：AF⊥DE. 【规律方法】 利用向量证明平面几何问题的方法 （1）基底法：选取适当的基底（基底中的向量尽量已知其模或夹角），将题中涉及的向量用基底表示，利用向量的运算或性质解决； （2）坐标法：建立适当的平面直角坐标系，实现向量的坐标化，将几何问题中的长度、平行、垂直等问题转化为代数运算.一般地，坐标易表示或易建立坐标系的题目选用坐标法. 训练1　如图，在平行四边形ABCD中，M为线段DC的中点，N为线段AC的中点，点T在线段AM上，且AT＝3TM.求证：NT∥BM. 知识点二｜利用平面向量求几何中的长度 【例2】　（链接教材P39例2）在平行四边形ABCD中，AD＝1，AB＝2，对角线BD＝2，求对角线AC的长. 【规律方法】 利用向量法解决长度问题的策略 向量法求平面几何中的长度问题，即向量长度的求解，一是利用图形特点选择基底，向向量的数量积转化，用公式｜a｜2＝a2求解；二是建立坐标系，确定相应向量的坐标，代入公式｜a｜＝ 求解. 训练2　如图所示，在矩形ABCD中，AB＝4，点E为AB的中点，且⊥，则｜｜＝（　　） A. B.2 C.3 D.2 知识点三｜利用平面向量求几何中的角度 【例3】　如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝3，点D在线段BC上，且BD＝DC. 求：（1）AD的长； （2）∠DAC的大小. 【规律方法】 平面几何中夹角问题的求解策略 利用平面向量解决几何中的夹角问题时，本质是将平面图形中的角视为两个向量的夹角，借助夹角公式进行求解，这类问题也有两种方法，一是利用基底法，二是利用坐标运算.在求解过程中，务必注意向量的方向. 训练3　在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，D为AC的中点，则cos∠BDC＝（　　） A.－　 　B. C.0　 　D. 1.在△ABC中，若｜｜＝｜＋｜，则△ABC为（　　） A.等腰直角三角形 B.等边三角形 C.等腰三角形 D.直角三角形 2.在四边形ABCD中，若＋＝0，·＝0，则四边形ABCD为（　　） A.平行四边形 B.矩形 C.等腰梯形 D.菱形 3.在Rt△ABC中，斜边BC的长为2，O是平面ABC内一点，点P满足＝＋（＋），则｜｜＝　　　　. 4.已知长方形AOCD中，OA＝3，OC＝2，E为OC中点，P为AO上一点，利用向量知识判断当点P在什么位置时，∠PED＝45°. 1.理清单 （1）利用向量证明平面几何问题； （2）利用平面向量求几何中的长度、角度问题. 2.应体会 用向量解决平面几何问题时，先把有关问题转化为向量问题，再通过向量的线性运算或数量积运算解决该问题，最后把运算结果“翻译”成几何关系，体现了转化与化归的思想方法. 3.避易错 不能将几何问题转化为向量问题. 提示：完成课后作业　第六章　6.4　6.4.1 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $